Как найти площадь тетраэдра задача

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Аналитическая геометрия – задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Краткая теория

---

Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное – разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Задача

Даны координаты
вершин пирамиды 
. Найти:

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра

 найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

Угол между ребрами

 и

 найдем как угол
между направляющими векторами

  и

:

Косинус угла между
векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между
ребром

 и гранью

.

Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости

 –им будет
векторное произведение векторов 

 и

.

 

Найдем векторное произведение. Для этого

вычислим определитель:

Нормальный вектор
плоскости:

  

Синус угла:

Площадь грани

Вычислим площадь
грани

. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов

    и 

:

Искомая площадь:

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов

  и

:

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем
пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение
прямой

.  Направляющим
вектором искомой прямой является вектор

. Кроме того, прямая проходит через точку

 

Уравнение искомой
прямой:

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение
плоскости

. Нормальный вектор плоскости

. кроме того, плоскость проходит через точку

 -уравнение
грани

 

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение
высоты, опущенной на грань

 из вершины

:

Нормальный вектор

 является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

 

Искомое уравнение
высоты:

Сделаем схематический чертеж:

Как найти площадь тетраэдра

Тетраэдром в стереометрии называется многогранник, который состоит из четырёх треугольных граней. Тетраэдр имеет 6 рёбер и по 4 грани и вершины. Если у тетраэдра все грани являются правильными треугольниками, то и сам тетраэдр называется правильным. Площадь полной поверхности любого многогранника, в том числе и тетраэдра можно рассчитать, зная площади его граней.

Инструкция

Чтобы найти площадь полной поверхности тетраэдра, необходимо вычислить площадь треугольника составляющего его грань.

Если треугольник равносторонний, то его площадь равна

S = √3 * 4 / a², где a – ребро тетраэдра,

тогда площадь поверхности тетраэдра находится по формуле

S = √3 * a².

В случае, если тетраэдр является прямоугольным, т.е. все плоские углы при одной из его вершин являются прямыми, то площади трёх его граней являющихся прямоугольными треугольниками можно рассчитать по формуле

S = a * b *1/2,

S = a * c *1/2,

S = b * c *1/2,

площадь третьей грани можно рассчитать по одной из общих формул для треугольников, например по формуле Герона

S = √(p * (p – d) * (p – e) * (p – f)), где p = (d + e + f)/2 – полупериметр треугольника.

В общем случае, площадь любого тетраэдра можно рассчитать, используя формулу Герона для вычисления площадей каждой его грани.

Источники:

• площадь поверхности тетраэдра
• Найдите площадь сечения тетраэдра биссекторной плоскостью

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Объём тетраэдра. В данной статье мы с вами рассмотрим несколько заданий с пирамидами. Как известно, тетраэдр также является пирамидой. Определение тетраэдра:

Тетраэдр — это простейший многогранник, имеет 4 грани, которые являются треугольниками. Вершин у тетраэдра 4, к каждой вершине сходится 3 ребра, а всего ребер 6. Тетраэдр у которого грани равносторонние треугольники называется правильным.

Объём пирамиды (значит и тетраэдра):

S – площадь основания пирамиды  h – высота пирамиды

Вычислим объём правильного тетраэдра при ребре равном величине a. 

Тогда площадь каждой грани будет равна (в данном случае и основания АВС):

Вычислим высоту SO. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC:

*Известно, что биссектрисы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 1 к 2.

Вычислим СM. По теореме Пифагора:

Следовательно:

Таким образом, объём тетраэдра будет равен:

Смыл рассматриваемых ниже заданий таков – все ребра пирамиды, либо только высота увеличивается в несколько раз. Понятно, что при этом увеличивается объём пирамиды и площадь её поверхности. Далее требуется вычислить во сколько раз происходит это увеличение.

1. Если увеличивается только высота пирамиды и стоит вопрос об изменении объёма, то понятно, что он увеличивается прямопропорционально исходному объёму пирамиды, так как зависимость линейная. Проще говоря, объём увеличивается во столько же раз, во сколько увеличена высота.

2. Если речь идёт об увеличении всех рёбер пирамиды в определённое количество раз, то здесь необходимо понимать, что в итоге получается пирамида подобная исходной, причём её грани также подобны соответствующим граням полученной пирамиды.

Позволю себе, на данный момент, по вопросу подобия фигур и тел предложить Вам обратиться к теории изложенной в учебнике. В скором будущем обязательно размещу отдельную статью на эту тему.

Что касается представленной группы задач, то отмечу, что с использованием свойств подобия такие задания решаются практически в одно действие.

Вот что необходимо помнить и знать:

То есть, если мы увеличим все рёбра пирамиды в k раз, то отношение площади любой её грани к площади исходной соответствующей ей грани будет равно k². Естественно, что отношение полных площадей поверхностей таких пирамид также будет равно  k².

А также:

То есть, если мы увеличим все рёбра пирамиды в k раз, то отношение объёма полученной пирамиды к объёму исходной  будет равно k³. Рассмотрим задачи:

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в шестнадцать раз?

Тетраэдр это пирамида, все грани которой равносторонние треугольники.

Данная пирамида и пирамида полученная увеличением всех её рёбер в 16 раз будут являться подобными, коэффициент подобия соответственно будет равен 16.

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. То есть, как уже сказано, объём полученной  пирамиды равен произведению куба коэффициента подобия и объёма исходной пирамиды:

Определим во сколько раз увеличится объём, найдём отношение объёмов:

Таким образом, если все ребра увеличить в 16 раз, то объём увеличится в  4096 раз.

*Можно решить задачу по другому. Обозначить ребро тетраэдра как а, далее выразить его высоту. После этого определить объёмы пирамид используя формулу, а далее найти отношение полученных объёмов. Но такой путь будет неоправданно долгим и потребует в разы больше времени на решение.

Ответ: 4096

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в двенадцать раз?

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания и высоты:

 S  – площадь основания

 h  – высота пирамиды

При увеличении высоты в 12 раз, объем пирамиды также увеличится в 12 раз (это прямолинейная зависимость):

Ответ: 12

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раза?

Отметим, что площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей его четырёх граней, которые являются правильными треугольниками.

Первый способ:

Определим площадь поверхности исходного тетраэдра и увеличенного, а затем найдём  отношение площадей.

Пусть ребро тетраэдра равно а, тогда площадь грани будет равна:

*Использовали формулу площади треугольника.

Значит площадь поверхности исходного тетраэдра будет равна:

Если рёбра тетраэдра увеличить в 5 раз, то площадь поверхности изменится следующим образом:

Отношение площадей равно:

Таким образом,  при увеличении ребер тетраэдра в пять раз, площадь его поверхности увеличится в 25 раз.

Второй способ:

Известно, что при увеличении (уменьшении) линейных размеров фигуры в k раз получается подобная ей фигура, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:

k – это есть коэффициент подобия

В данной задаче k=5.

То есть, с использованием свойства подобия задача решается устно:

*Площадь каждой грани пирамиды увеличится в 25 раз, а это означает, что площадь поверхности всей пирамиды также увеличится в 25 раз.

Ответ: 25

27172. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Данная задача от предыдущей ничем не отличается. Не имеет никакого значения идёт ли речь о тетраэдре, пирамиде, кубе, параллелепипеде или о другом многограннике. Если сказано, что все рёбра увеличиваются в одинаковое число раз, то полученные грани «нового» тела будут подобны соответствующим граням исходного тела. А это значит, что увеличение площади поверхности произойдёт в k² раз (где k это коэффициент подобия).

Ответ: 4

Можете посмотреть задачи с кубами. В них речь идёт об увеличении площади поверхности или объёма.

Ещё одна задача такого же класса. Но в условии речь идёт об октаэдре. Октаэдр это многогранник с восьмью граниями, все гарани это правильные треугольники.

27157. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

При увеличении рёбер в три раза каждая грань полученного октаэдра будет подобна соответствующей ей грани исходного.  Площадь каждай грани увеличится в 3² раз, то есть в 9 раз. Значит и площадь всей поверхности также увеличится в 9 раз.

*Задача полностью аналогична  двум предыдущим задачам, только здесь речь идет об октаэдре. 

27085. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Посмотреть решение

27089. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

Посмотреть решение

27131. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Посмотреть решение

На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.