Как найти площадь трапеции через треугольник

Как найти площадь трапеции через треугольник

Как найти площадь трапеции по 4 сторонам?

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать её основания и высоту. Основания известны, следовательно, задача сводится к нахождению высоты трапеции.

I способ.

Из вершины тупого угла провести прямую, параллельную боковой стороне.

Найти площадь полученного треугольника по формуле Герона. Зная площадь, найти высоту треугольника, которая является также высотой трапеции.

Задача 1.

Найти площадь трапеции, основания которой равны 11 см и 28 см, а боковые стороны — 25 см и 26 см.

ploshchad-trapecii-po-storonamДано: ABCD — трапеция,

AD∥BC, AB=25 см, BC=11 см,

CD=26 см, AD=28 см

Найти:

    [{S_{ABCD}}]

Решение:

1) Проведем через вершину C прямую CL,  CL∥AB.

ploshchad-trapecii-cherez-storonyЧетырехугольник ABCL — параллелограмм (по определению, так как BC∥AL — по условию, CL∥AB — по построению).

По свойству параллелограмма, AL=BC=11 см, CL=AB=25 см. Следовательно, LD=AD-AL=28-11=17 см.

2) Рассмотрим треугольник CDL. Его площадь найдём по формуле Герона

    [S = sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} ,]

    [p = frac{{a + b + c}}{2} = frac{{25 + 26 + 17}}{2} = 34cm]

    [{S_{Delta CDL}} = sqrt {34(34 - 25)(34 - 26)(34 - 17)} = ]

    [ = sqrt {34 cdot 9 cdot 8 cdot 17} = sqrt {2 cdot 17 cdot 9 cdot 4 cdot 2 cdot 17} = ]

    [ = 2 cdot 17 cdot 3 cdot 2 = 204c{m^2}]

С другой стороны, 

    [{S_{Delta CDL}} = frac{1}{2}LD cdot CK.]

    [204 = frac{1}{2} cdot 17 cdot CK, Rightarrow CK = 24cm.]

3) По формуле

    [S = frac{{a + b}}{2} cdot h]

найдём площадь трапеции ABCD:

    [{S_{ABCD}} = frac{{AD + BC}}{2} cdot CK,]

    [{S_{ABCD}} = frac{{28 + 11}}{2} cdot 24 = 39 cdot 12 = 468c{m^2}.]

Ответ: 468 см².

II способ.

Провести из тупых углов трапеции две высоты.

В результате получим прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

Один из катетов этих треугольников — высота трапеции. Её можно выразить через другие стороны в каждом из треугольников, затем приравнять полученные равенства.

Задача 2.

Найти площадь трапеции, основания которой равны 10см  и 14 см, а боковые стороны — 13 см и 14 см.

najti-ploshchad-trapecii-po-4-storonam

рисунок 1

Дано:ABCD — трапеция,

AD∥BC, AB=13 см, BC=10 см,

CD=15 см, AD=14 см

Найти:

    [{S_{ABCD}}]

Решение:

najti-ploshchad-trapecii-cherez-storonyПроведём высоты трапеции BK и CF.

Четырёхугольник BCFK — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Поэтому, KF=BC=10 см.

Пусть FD=x см, тогда AK=AD-KF-FD=14-10-x=4-x см.

Рассмотрим треугольник CDF — прямоугольный. По теореме Пифагора

    [C{F^2} = C{D^2} - F{D^2},]

    [C{F^2} = {15^2} - {x^2}.]

Аналогично, из треугольника ABK

    [B{K^2} = A{B^2} - A{K^2},]

    [B{K^2} = {13^2} - {(4 - x)^2}.]

Приравниваем правые части:

    [{15^2} - {x^2} = {13^2} - {(4 - x)^2}]

    [225 - {x^2} = 169 - 16 + 8x - {x^2}]

    [x = 9]

    [C{F^2} = {15^2} - {9^2} = 144,]

    [CF = 12(cm).]

    [{S_{ABCD}} = frac{{AD + BC}}{2} cdot CF,]

    [{S_{ABCD}} = frac{{10 + 14}}{2} cdot 12 = 144(c{m^2}).]

Ответ: 144 см².

najti-ploshchad-trapecii-znaya-storony

рисунок 2

Традиционно трапецию изображают именно в таком виде, как на рисунке 1 — с двумя тупыми углами при меньшем основании.

Но в трапеции также могут быть тупыми противоположные углы — как на рисунке 2.

dany-storony-trapeciiДля  трапеции с противоположными тупыми углами верны все рассуждения, приведенные выше, за одним исключением —  в этом случае BC=AF=AK+AF.

В разных вариантах трапеции отрезки FD и AK имеют разную длину, но величина высоты, а значит, и площади, одинакова.

Источник

Площадь трапеции через основания и высоту

{S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h}

Площадь трапеции можно найти множеством способов. Для вас мы собрали все возможные варианты нахождения площади. Для вашего удобства для каждой формулы создан калькулятор, который поможет рассчитать площадь трапеции по известным данным. От вас требуется только подставить значения и в режиме онлайн мгновенно получить ответ. Формулы и калькуляторы сгруппированы по типам трапеций – обычная, равнобедренная (равнобокая).

  1. Калькулятор площади трапеции
  2. Площадь трапеции
    1. через основания и высоту
    2. через среднюю линию и высоту
    3. через диагонали и среднюю линию
    4. через 4 стороны
    5. через диагонали и угол между ними
    6. через основания и углы при основании
    7. через площади треугольников
    8. через диагонали и высоту
    9. через радиус вписанной окружности и основания
    10. через перпендикулярные диагонали
  3. Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции
    1. через основания и высоту
    2. через 3 стороны (формула Брахмагупты)
    3. через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
    4. через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
    5. через основания и угол
    6. через диагонали и угол между ними
    7. через боковую сторону, угол при основании и среднюю линию
    8. через радиус вписанной окружности и угол при основании
  4. Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, в которую можно вписать окружность
    1. через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании
    2. через основания и угол при основании
    3. через основания и радиус вписанной окружности
    4. через основания
    5. через основания и боковую сторону
    6. через основания и среднюю линию
  5. Примеры задач

Площадь трапеции

Трапеция — выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Площадь трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции через основания и высоту

{S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h}

a и b – основания трапеции

h – высота, проведенная к основанию

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

{S = m cdot h}

m – средняя линия трапеции

h – высота трапеции

Площадь трапеции через диагонали и среднюю линию

Площадь трапеции через диагонали и среднюю линию

{S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)}}
{p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2}}

d1 и d2 – диагонали трапеции

m – средняя линия трапеции

Площадь трапеции через 4 стороны

Площадь трапеции через 4 стороны

{S = dfrac{a+b}{2} sqrt{c^2 – {Big( dfrac{(a-b)^2 + c^2 – d^2}{2(a-b)} Big)}^2}}

a, b, c и d – стороны трапеции

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

{S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}cdot sin(alpha); S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}cdot sin(beta)}

d1 и d2 – диагонали трапеции

α или β – угол между диагоналями трапеции

Площадь трапеции через основания и углы при основании

Площадь трапеции через основания и углы при основании

{S = dfrac{b^2 – a^2}{2} cdot dfrac{sin(alpha) cdot sin(beta)}{sin(alpha + beta)}}

a и b – основания трапеции

α или β – прилежащие к основанию трапеции углы

Площадь трапеции через площади треугольников

Площадь трапеции через площади треугольников

{S = (sqrt{S_1} + sqrt{S_2})^2}

S1 и S2 – площади образованных пересечением диагоналей трапеции треугольников

Площадь трапеции через диагонали и высоту

Площадь трапеции через диагонали и высоту

{S = dfrac{sqrt{{d_2}^2-h^2}+sqrt{{d_1}^2-h^2}}{2} cdot h}

d1 и d2 – диагонали трапеции

h – высота трапеции

Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания

Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания

{S = (a+b)cdot r}

a и b – основания трапеции

r – радиус вписанной в трапецию окружности

Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали

Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали

{S = dfrac{1}{2} cdot d_1 cdot d_2}

d1 и d2 – перпендикулярные диагонали трапеции

Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Площадь равнобедренной трапеции через основания и высоту

Площадь равнобедренной трапеции через основания и высоту

{S = dfrac{a+b}{2} cdot h}

a и b – основания равнобедренной трапеции

h – высота, проведенная к основанию равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через 3 стороны (формула Брахмагупты)

Площадь равнобедренной трапеции через 3 стороны (формула Брахмагупты)

{S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2}}
{p = dfrac{a+b+2c}{2}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

Площадь равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

{S = c cdot sin(alpha) cdot (a+c cdot cos(alpha))}

a – верхнее основание равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

α – прилежащие к нижнему основанию трапеции углы

Площадь равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

Площадь равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

{S = c cdot sin(alpha) cdot (b-c cdot cos(alpha))}

b – нижнее основание равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

α – прилежащий к нижнему основанию трапеции угол

Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол

Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол

{S = dfrac{1}{2}(b^2-a^2) cdot tg(alpha)}

a и b – основания равнобедренной трапеции

α – прилежащий к основанию трапеции угол

Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

{S = dfrac{1}{2}d^2 cdot sin(alpha)}

a – диагональ равнобедренной трапеции

α – угол между диагоналями равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через боковую сторону, угол при основании и среднюю линию

Площадь равнобедренной трапеции через боковую сторону, угол при основании и среднюю линию

{S = m cdot c cdot sin(alpha)}

m – средняя линия равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

α – угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании

{S = dfrac{4r^2}{sin(alpha)}}

r – радиус вписанной окружности

α – угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, в которую можно вписать окружность

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы ее противоположных сторон равны.

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании

{S = dfrac{h^2}{sin(alpha)}}

h – высота равнобедренной трапеции

α – угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и угол при основании

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и угол при основании

{S = dfrac{a cdot b}{sin(alpha)}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

α – угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и радиус вписанной окружности

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и радиус вписанной окружности

{S = r(a+b); r=dfrac{sqrt{a cdot b}}{2}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

r – радиус вписанной окружности

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания

{S = sqrt{a cdot b} cdot dfrac{a+b}{2}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и боковую сторону

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и боковую сторону

{S = c cdot sqrt{a cdot b}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и среднюю линию

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и среднюю линию

{S = m cdot sqrt{a cdot b}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

m – средняя линия равнобедренной трапеции

Примеры задач на нахождение площади трапеции

Задача 1

Найдите площадь трапеции, если основания равны 6см и 9 см, а высота трапеции равна 5 см.

Решение

Для решения задачи воспользуемся первой формулой.

S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h = dfrac{1}{2} (6 + 9) cdot 5 = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 5 = dfrac{1}{2} cdot 75 = 37dfrac{1}{2} : см^2

Ответ: 37.5 см²

Полученный ответ легко проверить с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь трапеции средняя линия которой равна 18 см, а высота 9 см.

Решение

С решением этой задачи нам поможет вторая формула.

S = m cdot h = 18 cdot 9 = 162 : см^2

Ответ: 162 см²

Воспользуемся калькулятором для проверки результата.

Задача 3

Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.

Решение

Для решения этой задачи нам поможет третья формула.

На первом этапе вычислим p:

p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{10+8+2 cdot 3}{2} = dfrac{10+8+6}{2} = dfrac{24}{2} = 12

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{12(12-10)(12-8)(12-2 cdot 3)} = sqrt{12 cdot 2 cdot 4 cdot 6} = sqrt{576} = 24 : см^2

Ответ: 24 см²

Осталось проверить полученный ответ.

Задача 4

Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 17 и 15, а средняя линия равна 4.

Решение

Задача похожа на ту, что мы только что решили. Поэтому повторим шаги.

На первом этапе вычислим p:

p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{17+15+ 2 cdot 4}{2} = dfrac{17+15+8}{2} = dfrac{40}{2} = 20

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{20(20-17)(20-15)(20-2 cdot 4)} = sqrt{20 cdot 3 cdot 5 cdot 12} = sqrt{3600} = 60 : см^2

Ответ: 60 см²

Проверка .

Задача 5

Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 8 и 6 а средняя линия равна 5.

Решение

Еще одна типовая задача. Повторим действия как в задачах выше.

На первом этапе вычислим p:

p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{8+6+ 2 cdot 5}{2} = dfrac{8+6+10}{2} = dfrac{24}{2} = 12

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{12(12-8)(12-6)(12-2 cdot 5)} = sqrt{12 cdot 4 cdot 6 cdot 2} = sqrt{576} = 24 : см^2

Ответ: 24 см²

Проверка .

Задача 6

Найдите площадь равнобедренной трапеции если её основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см.

Решение

Для решения этой задачи используем формулу Брахмагупты.

Сначала вычислим p:

p = dfrac{a+b+2c}{2} = dfrac{5+17+2 cdot 10}{2} = dfrac{22+20}{2} = dfrac{42}{2} = 21

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2} = sqrt{(21-5)(21-17)(21-10)^2} = sqrt{16 cdot 4 cdot 11^2} = sqrt{16 cdot 4 cdot 121} = sqrt{7744}= 88 : см^2

Ответ: 88 см²

Проверка .

Задача 7

Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, а основания равны 8 и 6 см. Найдите площадь трапеции.

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{2}(b^2-a^2) cdot tg(alpha) = dfrac{1}{2}(8^2-6^2) cdot tg(45°)

Тангенс 45° = 1, продолжим вычисления:

S = dfrac{1}{2}(8^2-6^2) cdot tg(45°) = dfrac{1}{2}(64-36) cdot 1 = dfrac{1}{2} cdot 28 = 14 : см^2

Ответ: 14 см²

Убедиться в правильности решения нам поможет калькулятор .

Источник

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.{1}^{○}$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям – подобны.

$$ 4.{2}^{○}$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей  и точка  пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

 

$$ 4.{3}^{○}$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.{4}^{○}$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.{5}^{○}$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.{6}^{○}$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых   равен   полуразности   оснований,  а  другой –  их  полусумме

(рис. 25, основания равны  `a` и `b`, `a>b`).

       

$$ 4.{7}^{○}$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.{8}^{○}$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).                      

   

$$ 4.{9}^{○}$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` – диагональ, `c` – боковая  сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей  равна  сумме  квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.{10}^{○}$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.{11}^{○}$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Докажем, например, утверждение $$ 4.{9}^{○}$$.          

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):`     `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,        

 `ul(DeltaBCD):`  `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi`  (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Складывая, получаем

`d_1^2+d_2^2=a^2+b^2+c_2^2+(c_2^2-2(a-b)c_2cosvarphi)`.                                              (2)

Проводим `CK“||“BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=a^2+b^2+c_2^2+(c_1^2-(a-b)^2)=`

`=(a^2+b^2+c_2^2)+(c_1^2-a^2-b^2+2ab)`.

Окончательно имеем 

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем 

. 

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.{2}^{○}$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` – его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную  диагонали `AC`, пусть `K` – её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

 

По построению `ACKD` – параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` – это угол между  диагоналями трапеции).             

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой  `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника  `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то  

`S_(BDK)=1/2BK*DP=1/2(BC+AD)DP=S_(ABCD)`.       

Итак, `S_(ABCD)=S=24`.                       

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны  `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` – высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.{1}^{○}$$  `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е.  `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`,  откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah`  и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`,  то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.  

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом,  `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`,  и поэтому площадь трапеции будет равна

`S_1+S_2+2S_0=(sqrt(S_1)+sqrt(S_2))^2`.

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32). 

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.{11}^{○}$$ около  этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.{6}^{○}$$

`AK=(AD-BC)/2=1`, `KD=(AD+BC)/2=9`.                       

Из прямоугольного треугольника  `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)`  и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:`  `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда 

 `R=(3sqrt(10))/(2*3//sqrt(10)) =5`.

$$ 4.{12}^{○}$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.{13}^{○}$$. Если `S_1` и `S_2` – площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.{14}^{○}$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` – какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` – смотрящий на неё вписанный угол.

Источник

Приветствую вас, читатели. В этом выпуске рассмотрим решение задачи, которая считается сложной. Но я покажу как ее решить легко.

Вот текст задачи:

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

Начнем решение задачи с построения чертежа, и написания условия задачи.

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

Начнем решать задачу с конца.

1. Запишем формулу для нахождения площади трапеции.

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

На рисунке у нас нет средней линии и высоты. Но, у нас есть условие, что биссектриса угла ADC проходит через середину AB, поэтому М – это середина стороны АВ.

2. Через точку М проведем прямую параллельно основаниям трапеции и пересекающую сторону CD в точке N. Отрезом MN – средняя линия.

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

В результате построения средней линии, у нас получился треугольник DMN

3. Рассмотрим треугольник DMN.

a) Угол 1 равен углу 3 (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых MN и AD секущей DM

b) Угол 1 равен углу 2 (так как DM – биссектриса)

Из вышесказанного следует, что угол 3 равен углу 2, значит треугольник DMN равнобедренный, MN=ND = CD:2=41:2=20.5

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

Теперь посмотрим на нашу формулу площади трапеции.

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

Мы видим, что теперь нам нужно найти высоту трапеции.

4) Для этого построим еще одну трапецию, и уберем в ней биссектрису и среднюю линию, так как мы их уже использовали для решения, и дальше они нам будут только на чертеже мешать.

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

Для того, чтобы найти высоту трапеции, которая входит в элемент прямоугольного треугольник ABH, нужно найти сторону AD.

Зная, чему равна средняя линия трапеции т.е. MN=20.5, можем найти второе основание трапеции AD.

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

5) Важно! Многие задачи, связанные с трапецией, требуют построение двух высот.

Отметим на чертеже все элементы, что нам известно на данный момент.

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

Как видим по рисунку, если мы найдем AH или FD, то сможем вычислить высоту трапеции через теорему Пифагора.

Пусть отрезок AH=x, тогда FD=25-16-x=9-x

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABH и выразим высоту трапеции

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

Теперь используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника CFD и выразим также высоту трапеции

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

Теперь мы можем приравнять выражения, полученные по треугольникам ABH и CFD

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

Мы получили, что отрезок AH=0, т.е. его НЕТ! Трапеция ABCD – прямоугольная трапеция.

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

Так мы нашли, что высота трапеции равна 40.

6) Теперь ответим на главный вопрос задачи.

Найдем площадь трапеции.

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.

Ответ 820

Для самостоятельной тренировки, попробуйте решить следующие задачи. Ответы пишите в комментариях.

Задачи для тренировки.
Задачи для тренировки.

Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

Найти площадь трапеции в 25 задании ОГЭ. Простое решение сложной задачи.
Источник

Площадь трапеции⁠

Площадь трапе­ции равна про­из­ве­де­нию полу­суммы длин осно­ва­ний на длину высоты. Более формально: если длины
осно­ва­ний равны $a$ и $b$, а высоты – $h$, то площадь равна $S=(a+b)/2cdot h$. Про­ил­лю­стри­ро­вать эту формулу,
а, если она забыта, выве­сти, можно восполь­зо­вавшись форму­лами вычис­ле­ния площади прямо­уголь­ника или тре­уголь­ника.

Чтобы восполь­зо­ваться форму­лой площади прямо­уголь­ника про­ве­дём из сере­дин боко­вых сто­рон трапе­ции перпен­ди­ку­ляры
на длин­ное осно­ва­ние и раз­режем вдоль них трапе­цию. Отре­зан­ные два прямо­уголь­ных тре­уголь­ника при­ложим
гипо­те­ну­зами к оставшимся частям боко­вых сто­рон. Полу­чен­ная фигура явля­ется прямо­уголь­ни­ком.

Длина одной пары сто­рон прямо­уголь­ника совпа­дает с дли­ной высоты трапе­ции. Сумма длин двух других сто­рон равна сумме
длин осно­ва­ний трапе­ции, а, зна­чит, длина одной сто­роны равна полу­сумме длин осно­ва­ний, то есть $(a+b)/2$. Таким обра­зом,
площадь прямо­уголь­ника, а зна­чит и площадь исход­ной трапе­ции, равна $S=(a+b)/2cdot h$.

Для пол­ного дока­за­тельства сле­дует ещё убе­диться, что полу­чивша­яся после пере­кла­ды­ва­ния тре­уголь­ни­ков фигура в действи­тель­но­сти
явля­ется прямо­уголь­ни­ком — каж­дая боко­вая сто­рона и состав­ное осно­ва­ние являются прямыми лини­ями, а соот­вет­ствующие сто­роны
парал­лельны друг другу. Прямо­уголь­ность же углов заложена в самом спо­собе раз­ре­за­ния — по перпен­ди­ку­ля­рам к осно­ва­нию.

Све­сти трапе­цию к  тре­уголь­нику можно раз­ре­зав её вдоль линии, соеди­няющей вершину с сере­ди­ной про­ти­вопо­лож­ной боко­вой сто­роны.
Повер­нём отре­зан­ный тре­уголь­ник до того момента, когда оба осно­ва­ния трапе­ции окажутся на одной прямой. Убе­ди­тесь, что две части
боко­вой сто­роны при этом лягут на одну прямую, то есть, полу­чится действи­тельно тре­уголь­ник.

Одна из сто­рон полу­чившегося тре­уголь­ника имеет длину, рав­ную сумме длин осно­ва­ний трапе­ции, а длина высоты тре­уголь­ника,
про­ве­дён­ной к этой сто­роне, совпа­дает с высо­той трапе­ции.

Один из спо­со­бов под­счёта площади тре­уголь­ника состоит в нахож­де­нии поло­вины про­из­ве­де­ния длины сто­роны на длину высоты,
опущен­ную на эту сто­рону. При­ме­не­ние этого спо­соба и даёт при­выч­ную формулу площади трапе­ции.

Обе модели можно сде­лать из доски толщи­ной около 10 мм. Для удоб­ства демон­страции части, на кото­рые она раз­ре­за­ется,
удобно соеди­нять между собой при помощи маг­ни­тов.

Другие модели раздела «Площади фигур и равносоставленность»

Источник

Добавить комментарий