- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Площадь
- Площадь трапеции
Для вычисления площади произвольного многоугольника его разбивают на треугольники и находят площадь каждого из них. Площадь данного многоугольника равна сумме площадей этих треугольников.
Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, который проведен из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.
Теорема
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту
Доказательство
Дано: ABCD – трапеция, BH и DH1 – высоты, S – площадь
Доказать: S = 
(AD + BC) 
ВН
Доказательство:
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = SABD + SBCD. Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда
SABD = AD BH, SBCD = BC DH1.
Так как DH1 = BH, то SBCD = BC BH.
Таким образом,
S = AD BH + BC BH = (AD + BC) BH.
Теорема доказана.
Советуем посмотреть:
Понятие площади многоугольника
Площадь квадрата
Площадь прямоугольника
Площадь параллелограмма
Площадь треугольника
Теорема Пифагора
Теорема, обратная теореме Пифагора
Формула Герона
Площадь
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 495,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 8,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 512*,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 527,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 621,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 625,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 725,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 735,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 892,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1070,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.
Площадь трапеции – определение и вычисление с примерами решения
Теорема (о площади трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
Доказательство:
Пусть 
Докажем, что площадь 
трапеции можно найти по формуле:
1) Диагональ 
разбивает трапецию на два треугольника 
и 
Поэтому 
2) 
– высота треугольника 
поэтому 
3) Проведем в трапеции высоту 
она является и высотой треугольника 
поэтому 
4) 
(как высоты трапеции). Следовательно,
В общем виде формулу площади 
трапеции можно записать так:
где 
и 
– основания трапеции, 
– ее высота.
Следствие. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту.
Пример:
В трапеции 
Найдите площадь трапеции.
Решение:
1) Проведем в трапеции 
высоту 
(рис. 245). В 
(по свойству катета, противолежащего углу 30°). Следовательно, 
(см).
2) 
Ответ. 39 
Пример:
Периметр трапеции 60 см, а одна из боковых сторон точкой касания вписанной окружности делится на отрезки 9 см и 4 см. Найдите площадь трапеции.
Решение:
1) Так как трапеция является описанной около окружности (рис. 246), то
2) Центр вписанной окружности – точка 
– является точкой пересечения биссектрис углов трапеции, следовательно, и углов 
и 
Поэтому 
(задача 214, с. 43).
3) Точка 
– точка касания окружности со стороной 
поэтому 
Следовательно, 
– радиус окружности и высота прямоугольного треугольника 
проведенная к гипотенузе. По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем: 
откуда 
4) 
— диаметр окружности, а также высота трапеции, поэтому 
(см).
5) Следовательно, 
Ответ. 180 
Площадь трапеции
Часто для вычисления площади некоторого многоугольника его разбивают на несколько треугольников и находят искомую площадь как сумму площадей этих треугольников. Именно такой подход можно применить для вывода формулы площади трапеции.
Теорема (формула площади трапеции) Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:
где 
— основания трапеции, 
— высота трапеции.
Доказательство:
Пусть дана трапеция 
с основаниями 
и высотой 
Диагональ 
делит ее на два треугольника 
(рис. 151).
Проведем высоты этих треугольников 
Обе они являются высотами трапеции, т.е. равны 
Имеем:
Теорема доказана.
Следствие
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
- Центральные и вписанные углы
- Углы и расстояния в пространстве
- Подобие треугольников
- Решение прямоугольных треугольников
- Прямоугольник и его свойства
- Ромб и его свойства, определение и примеры
- Квадрат и его свойства
- Трапеция и ее свойства
Как найти площадь обычной и равнобедренной трапеции
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. В этой статье мы расскажем, как посчитать площадь трапеции. Эту тему подробно изучают в школе в 8-м классе.
Но в классической программе учителя дают далеко не все формулы, с помощью которых можно вычислить нужное значение. И ограничиваются, как правило, одной или двумя.
Мы же дадим максимально развернутый ответ на этот вопрос. Ведь трапеция – это весьма примечательная и сложная фигура в геометрии. А соответственно, и формулы для вычисления ее площади отличаются определенной сложностью и громоздкостью.
Тут нет банальных «перемножить длины сторон», как у площади прямоугольника. Все гораздо мудреней.
Что такое трапеция
Но для начала будет нелишним напомнить, что из себя представляет эта геометрическая фигура.
Трапеция – это геометрическая фигура, которая является четырехугольником, и у которой две противоположные стороны параллельны.
Последнее утверждение очень важное. ТОЛЬКО ДВЕ противоположные стороны параллельны у трапеции. Ведь если бы обе пары лежали на параллельных прямых, то это был бы уже параллелограмм.
Вот так выглядит трапеция:
А вот так параллелограмм:
Кстати, именно по этому принципу древний математик Евклид и разделил все четырехугольники на две большие категории.
Именно он впервые описал разные геометрические фигуры, в том числе трапеции и параллелограммы. И все свои соображения подробно изложил в книге «Начала», которая датируется 300 годом до нашей эры.
Раз уж мы решили вычислять эту величину, напомним, что она обозначает.
Площадь – это численное значение геометрической фигуры, нарисованной в двухмерном (плоском) пространстве. А проще говоря, это пространство, которое ограничено границами фигуры, и находится как бы внутри нее.
В нашем случае – это область, закрашенная синим цветом:
Кстати, в древности вместо этого термина говорили «квадратура». Считалось, что любую фигуру можно разбить на равные квадраты со стороной «один». Частично это понятие докатилось и до наших дней.
Ведь именно в «квадратных метрах» мы измеряем площадь комнаты/квартиры/дачи/офиса. И в «квадратных километрах» частенько озвучивают размер какой-то территории. Например, когда в телевизионных новостях говорят о масштабах лесных пожаров или наводнений.
Главная формула для вычисления площади трапеции
Та формула, которую изучают в школе, основана на вычислении площади трапеции по длине ее оснований и высоте.
Основания трапеции – это стороны, которые лежат на параллельных прямых. Другая пара сторон называется боковыми.
Высота – это отрезок, проведенный из вершины любого угла к противоположному основанию под углом 90 градусов.
То есть мы имеем вот такие исходные данные:
Здесь «a» и «b» являются основаниями, а «h» — высотой.
И тогда формула для вычисления площади выглядит вот так:
Например, если длины сторон и высота равны:
- a = 7 см
- b = 3 см
- h = 5 см
то площадь такой трапеции будет равна:
Опять же заметьте, если стороны и высота у трапеции обозначались в сантиметрах, то площадь будет измеряться в квадратных сантиметрах (то самое понятие «квадратуры», о котором мы писали выше).
То же самое – миллиметры/квадратные миллиметры, метры/квадратные метры, километры/квадратные километры и так далее.
Формулы площади для равнобедренной трапеции
Равнобедренная трапеция – та, у которой боковые стороны равны. А соответственно, они еще и соприкасаются с основаниями под одинаковыми углами.
Это частный случай, и для него верны все перечисленные формулы. Но с учетом равенства сторон и углов формулы заметно упрощаются.
По четырем сторонам
По малому основанию, боковой стороне и углу у большого основания
По большому основанию, углу при нем и боковой стороне
По основаниям и углам
Как видите, формулы громоздкие и весьма сложные сами по себе. Без калькулятора здесь точно не обойтись. С другой стороны, они крайне редко применяются. И служат скорее дополнительными средствами.
Доказательство теоремы о площади трапеции
Любая формула в геометрии требует доказательства. И в нашем случае, формулы вычисления площади трапеции также доказывают во время уроков.
Возьмем для примера трапецию:
В ней AD и BC – основания, BH – высота. Нам надо доказать, что:
Доказательство строится на том, что если провести диагональ BD, то она разделит нашу трапецию на два треугольника. Это будут треугольники ABD и BCD.
И чтобы получить площадь нашей трапеции, нужно посчитать отдельно площади этих треугольников и сложить их.
А как вычислять площадь треугольника, мы уже знаем (или должны знать, согласно школьному курсу). Надо перемножить длину его основания и высоту и поделить на два.
У треугольника ABD высота – это BH. А у треугольника BCD в силу его выпуклости нам пришлось продлить зрительно основание BC, чтобы получить высоту DH1.
И получается:
Но в случае с трапецией высоты равны, то есть BH = DH1. И тогда формулу площади для второго треугольника можно заменить на:
И наконец, с учетом всего вышесказанного начинаем вычислять площадь нашей трапеции. Она равна:
Как часто говориться на уроках геометрии – что и требовалось доказать!
Извиняемся за столь подробное описание доказательства. Но, во-первых, это требуется в рамках школьной программы. А во-вторых, всегда ведь интересно докопаться до самой сути и понять, как и почему именно так что-то устроено.
Как еще можно ее найти (другие формулы)
На этот раз мы уже не будем приводить подробные доказательства каждой из формул. Иначе это займет слишком много времени и места. Просто поверьте, все они правильные и по ним можно вычислить площадь трапеции.
По высоте и средней линии
Средняя линия – это та, которая делит боковые стороны трапеции на две равные части. Формула площади выглядит совсем просто:
По четырем сторонам
Тут формула гораздо сложнее:
Площадь трапеции через диагонали
По основанию и углам при нем
Вот и все, что мы хотели рассказать о том, как вычислять площадь трапеции.
Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) 
, где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:
, где DP – внешняя высота в 
Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:
Вынесем за скобку 
Что и требовалось доказать.
Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то 
2) Применение общей формулы площади четырехугольника.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними 
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется 
, сложить получившиеся выражения, вынести 
за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению 
. Отсюда 
3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь?
Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:
Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).
Спецприемы репетитора по математике.
Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:
Так как точка S – середина CD, то 
(докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:
Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то 
— вторая ее половина. Ч.т.д.
В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: 
где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы :). Приходите на занятия!
Задачи на площадь трапеции:
Замечание репетитора по математике: Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.
1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна 
Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол 
. Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).
Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.
Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве, подготовка к ЕГЭ в Строгино.
Глоссарий. Алгебра и геометрия
Площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:
S = ((AD + BC) / 2) · BH,
где высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.
Доказательство.
Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S.
Докажем, что S = ((AD + BC) / 2) · BH.
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = SABD + SBCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда
SABC = AD · BH / 2, SBCD = BC · DH1.
Так как DH1 = BH, то SBCD = BC · BH / 2.
Таким образом,
S = AD · BH / 2 + BC · BH = ((AD + BC) / 2) · BH.
Теорема доказана.
Так же площадь трапеции можно найти с помощью следующих формул:
- S = mh, где m — средняя линия, h — высота трапеции.
- Если трапеция равнобедренная, то S = 4r2 / sinα, где r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании.
,
где a, b — основания, c и d — боковые стороны трапеции.
Другие заметки по алгебре и геометрии
