Как найти площадь трапеции если есть координаты - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Площадь по заданным координатам.

Как найти (вычислить) площадь фигуры (треугольник, четырехугольник, трапеция, многоугольник и др.) по координатам?

Какие есть формулы и методы, позволяющие находить площадь через координаты?

бонус за лучший ответ (выдан): 5 кредитов

Для вычисления площади простого многоугольника с любым количеством вершин, представленных в виде списка координат, при последовательном обходе которых, не образуются пересекающиеся линии, применяется формула Гаусса, иначе называемая “формулой землемера”, “формулой геодезиста”, “формулой шнурования”, “алгоритмом шнурования”, а так же “методом треугольников”.

Суть метода заключается в построении треугольников, состоящих из сторон многоугольника и лучей проведённых из начала координат к вершинам многоугольника, и сложении площадей треугольников, включающих внутреннюю часть многоугольника с вычитанием площадей треугольников, расположенных снаружи.

Площадь, вычисленная по приведенной формуле, будет иметь отрицательное значение при обходе фигуры по часовой стрелке и положительное при обходе против часовой стрелки.

Фигура многоугольника может иметь произвольную геометрию. Например:

Список координат многоугольника представлен в виде массива: (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),…(xn, yn).

Для многоугольника на первом рисунке он задан точками: (3,4), (5,11), (12,8), (9,5), (5,6). Его площадь будет равна:

Существует также метод трапеций, основанный на сложении и вычитании площадей трапеций, образованных каждой из сторон многоугольника, её проекцией на ось абсциссы и перпендикулярами, опущенных из вершин на абсциссу. При обходе вершин по часовой стрелке учитывается величина координаты вершин. Если первая вершина меньше второй, то площадь трапеции прибавляется, если нет, то отнимается.

Для многоугольника ABCDE на левом нижнем рисунке существует 5 трапеций : ABJH, CBJF, CDIF, EDIG и EAHG.

Так как X1<X2, X3<X4 и X5<X1, то площади трапеций ABJH, CDIF и EAHG складываются, а X3>X4 и X4<X5, следовательно, площади трапеций CBJF и EDIG вычитаются:

S = S(ABJH) – S(CBJF) + S(CDIF) – S(EDIG) + S(EAHG)

Площади трапеций рассчитываются по формуле;

Sтрапеции = 1/2 *((a+b))*h,

где a, b – основания трапеции,

h – высота трапеции.

Значения a, b и h вычисляются по координатам.

В декартовых координатах круг может быть представлен двумя точками: центр А и любая точка В, лежащая на окружности. Для расчета площади круга необходимо вычислить его радиус по формуле:

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

Ксарфакс
[156K]

5 лет назад

Площадь фигуры по координатам вершин

Если известны координаты всех вершин, то площадь заданной геометрической фигуры (треугольника, прямоугольника, трапеции, ромба и т.д) можно найти по стандартным формулам. Но предварительно нужно найти длину сторон, диагоналей и т.п. (всё зависит от фигуры) с помощью формулы нахождения длины отрезка по заданным координатам.

Эта формула выглядит следующим образом:

Здесь:

AB – отрезок,

точка A имеет координаты (x1, y1),

точка B имеет координаты (x2, y2).

Рассмотрим несколько примеров.

1) Треугольник ABC имеет координаты A(2,3); B(6,7); C(5,0). Его площадь можно найти по формуле Герона:

Здесь:

S – площадь треугольника,

a, b, c – стороны,

p – полупериметр, который равен половине суммы сторон a, b и c.

Найдём, чему равны стороны треугольника по формуле нахождения длины отрезка по координатам:

AB = √(4² + 4²) = √32 ≈ 5,66.

AC = √(3² + (-3)²) = √18 ≈ 4,24.

BC = √((-1)² + (-7)²) = √50 ≈ 7,07.

Полупериметр треугольника будет равен (5,66 + 4,24 + 7,07) / 2 ≈ 16,97 / 2 ≈ 8,49.

Отсюда площадь треугольника ABC ≈ √(8,49 * 2,83 * 4,25 * 1,42) ≈ √145 ≈ 12,04.

2) Ромб ABCD имеет координаты A(1,2); B(3,4); C(5,2); D(3,0). Площадь можно найти через диагонали:

Здесь:

S – площадь ромба,

d1 и d2 – диагонали.

Таким образом, нам нужно найти диагонали AC и BD.

AC = √(4² + 0) = √16 = 4.

BD = √(0 + (-4)²) = √16 = 4.

Отсюда площадь ромба ABCD = 0,5 * 4 * 4 = 8.

3) Трапеция ABCD имеет координаты A(1,1); B(3,4); C(5,4); D(6,1). Стандартная формула площади трапеции такая:

Здесь:

S – площадь трапеции,

a и b – основания,

h – высота.

Высота трапеции (пусть это будет BE) – это перпендикуляр, который был опущен из вершины трапеции (из точки B) на её основание (в нашем случае это AD).

Определим координаты её отрезка:

координаты первой точки совпадают с точкой B, это (3,4).
координаты 2 точки (точка E) будут (3,1) – так как абсцисса совпадает с абсциссой точки B, а ордината совпадает с ординатой точек A и D.

Высота трапеции BE = √(0 + (-3)²) = √9 = 3.

Теперь посчитаем длину оснований:

BC = √(2² + 0) = √4 = 2.

AD = √(5² + 0) = √25 = 5.

Таким образом, площадь трапеции ABCD = 3 * 0,5 * (2 + 5) = 10,5.

Степан-16
[34.5K]

6 лет назад

Первоначально нужно вычислить длины сторон. В этом здесь будет основная задача. Получив стороны, вычисляем площади по стандартным формулам.

Самый простой случай – для прямоугольника, когда его стороны параллельны осям координат. Тогда одна сторона будет равна разнице абсцисс, вторая ординат.

Треугольник. Допустим, основание параллельно оси абсцисс. Вычисляем его длину, как разницу абсцисс. Далее нужно найти высоту. Она будет равна разнице ординат третьей вершины и ординаты любой из вершин основания. Затем – площадь по формуле: половина произведения основания на высоту.

И т.д.

Если же стороны фигуры не параллельны осям, то находить длины сторон придется уже более сложными расчетами. Допустим, прямоугольник. Первую сторону будем искать, как если бы она была гипотенузой в составе прямоугольного треугольника. Каждая сторона будет равна квадратному корню из суммы квадратов абсцисс и ординат концов отрезков стороны.

Так и для любой фигуры. Вначале определяем длины сторон как гипотенузу треугольника. После чего применяем стандартные формулы площадей.

Эления
[445K]

3 года назад

Рассчитать площадь какой угодно геометрической фигуры, зная координаты, не составляет сложности. Каждая из точек, соответствующая вершинам искомой фигуры, будь это треугольник, четырех- или многоугольник, имеет определенную координату, а значит у нее есть значение, через которое можно рассчитать площадь.

Координаты, как найти на графике, чтобы узнать площадь фигуры? Проецируем на оси абсцисс и ординат прямые, проведя перпендикуляр из каждой точки. Полученные значения будут исходной величиной. Каждая из сторон фигуры – это разница двух точек на горизонтальную и вертикальную оси. Разница между значениями означает длину стороны фигуры. А зная все стороны и их значение, по формуле находим площадь.

Пример 1. Ищем площадь треугольника.

Мы видим два отрезка зеленого цвета AB и BC, которые образуют стороны равнобедренного треугольника, а основание есть отрезок на оси абсцисс AC.

Даны значения: AC основание в промежутке от “-4” до “+4”, то есть длина основания равна восьми.

Будет лучше, если посчитать площадь этого треугольника, как сумму из образовавших его двух треугольников, которые являются прямыми, ABO и BOC, совпадающие прямым углом с координатой “0” на графике.

Известна длина каждй из сторон, образующих прямой угол (AO или OC) х = 4 – 0 = 4 и y = 2 – 0 = 2 (BO).

Зная длину двух сторон, образующих прямой угол (AO и BO), находим длину основания (AB или BC). Тогда уже знаем все длины каждой из сторон обоих прямых треугольников. Остается только найти площадь по формуле:

Зная площадь каждого из прямых треугольников, умножаем на два, получаем сумму заштрихованного треугольника на графике ABC.

И еще математически можно записать решение следующим образом, исходя из того, что имеем изначально следующую систему неравенств:

Пример 2.

Пример 3. Есть парабола, ищем площадь фигуры, ограниченную кривой параболы. Чтобы посчитать, используем интеграл.

Бекки Шарп
[71.2K]

3 года назад

Рассмотрим простой случай, где буквально на пальцах можно посчитать площадь через обычную формулу, а затем применим к этой задаче формулу Гаусса.

У нас есть трапеция, у которой известны координаты вершин. (3:2) (5:2) (9:6) (6:6). Мы знаем, что площадь трапеции равна сумме оснований, деленной на 2 и умноженной на высоту.

S = (a+b)/2 х h Считаем площадь: S = (3+2):2х4 = 10. Ответ – 10.

А теперь по теореме Гаусса.

Не смотря на страшный вид, формула очень простая. В квадратных скобках мы перемножаем абсциссу первой точки с ординатой второй, прибавляем абсциссу второй, умноженную на ординату третьей и так идем по кругу фигуры. Далее вычитаем ординату первой умноженную на абсциссу второй и т.д. В квадратных скобках у нас может получиться отрицательное число.

S= 0,5 х [3х6+6х6+9х2+5х2 – 2х6-6х9-6х5-2х3] = 10

Таким образом можно найти площадь любой сложной фигуры, зная ее координаты.

dydySacha
[10.8K]

6 лет назад

Можно взять милиметровку и нанести точки с заданными координатами, согласно осей абсцис и ординат. Соединить эти точки между собой и замерить длины образовавшихся сторон, а с помощью формулы по определению площади образовавшейся фигуры узнать её значение подставив данные в эту формулу.

Алиса в Стране
[364K]

3 года назад

Существует специальная формула, называемая формулой Гаусса, она и позволит нам определить искомую площадь по координатам. Вот как эта формула выглядит:

Формула выглядит немного устрашающе, но давайте попробуем в ней разобраться. У нас есть многоугольник и есть его координаты, подсчитать n – количество сторон многоугольника несложно, а дальше просто нужно подставлять значения в эту формулу, нужно только быть внимательным и не перепутать какие координаты куда надо писать.

Давайте теперь приведем пример нахождения такой площади через формулу Гаусса. Допустим, у нас есть вот такой пятиугольник:

Координаты его пяти вершин, как мы видим: (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5), (5, 6).

Теперь нам остается только очень внимательно подставить эти координаты в нашу формулу, n = 5, координаты известны, вот что у нас получится:

Когда разбираешься в этой формуле, понимаешь, насколько она проста и даже легко запоминается, несмотря на то, что сначала кажется очень сложной.

duselldorf
[4.3K]

5 лет назад

Для вычисления площади геометрической фигуры по координатам ее вершин, нужно воспользоваться формулой Гаусса, иногда ее называют формулой землемера или формулой геодезиста, так как она применяется геодезистами для определения площади земельного участка, например, при межевании:

где

А – площадь многоугольника с заданными координатам его вершин,

n – количество сторон многоугольника,

(xi, yi) – координаты вершин многоугольника,

i = 1, 2,…, n — номер вершины многоугольника.

Бархатные лапки
[382K]

3 года назад

Находим площадь вот такого несложного четырехугольника. Координаты его вершин нам известны. Применяем формулу Гаусса, которая выглядит так:

S (площадь) = 0,5 [6х4 +9х7 + 10х6 + 7х3 – 3х9 – 4х10 – 7х7 – 6х6] = 8 (квадратных единиц)

Как видим если применять при решении формулу Гаусса то решить такую задачку несложно.

Не вижу здесь серьезных проблем. Мы, как я понял, имеем готовые точки координат, которые нужно проставить на координатной плоскости. Далее, соединяя эти точки, получаем фигуру, как в примере вопроса – квадрат, треугольник и т.п.

Теперь вычисляем площадь любой из полученных фигур по формуле ей соответствующей.

Знаете ответ?

Источник

Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Напомним, что мы назвали криволинейной трапецией фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком функции y=f(x) . В этом пункте выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Теорема 3. Если функция y=f(x) неотрицательна на отрезке [a;b] и непрерывна на нем, то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема, причем ее площадь выражается формулой

${ S= intlimits_{a}^{b} f(x),dx,.}$

(4)

Доказательство. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции y=f(x) . Как было показано в пункте 2 такая фигура квадрируема. Чтобы вычислить площадь этой трапеции, построим для нее внешние и внутренние ступенчатые фигуры (см. рис. 26).

Тогда, с одной стороны, имеем:

$sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_kleqslant Sleqslant sum_{k=0}^{n-1} M_kDelta x_k,,$

где $sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_k$ — площадь внутренней ступенчатой фигуры, $sum_{k=0}^{n-1}M_kDelta x_k$ —площадь внешней ступенчатой фигуры, $m_k=min_{xin [x_k;x_{k+1}]}f(x)$ и $M_k=max_{xin[x_k;x_{k+1}]}f(x)$ . С другой стороны, по определению интеграла можно записать:

$sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_kleqslant intlimits_{a}^{b} f(x),dxleqslant sum_{k=0}^{n-1}M_kDelta x_k,.$

Таким образом, числа и $intlimits_{a}^{b} f(x),dx$ разделяют одни и те же числовые множества: $Biggl{,sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_k,Biggr},$ $Biggl{,sum_{k=0}^{n-1}M_kDelta x_k,Biggr}$ . Но, как было показано при изучении определенного интеграла, эти множества разделяются лишь одним числом, и потому $S=intlimits_{a}^{b} f(x),dx$ . Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если фигура ограничена снизу графиком функции y=f_1(x) , сверху графиком функции y=f_2(x) , а слева и справа прямыми x=a,~x=b (рис. 30), то ее площадь выражается формулой

$S= intlimits_{a}^{b}bigl[f_2(x)-f_1(x)bigr]dx,.$

Наглядный смысл формулы (4) состоит в том, что криволинейную трапецию можно рассматривать как объединение «бесконечно тонких полосок» с основаниями и высотами f(x) .

Площадь фигуры между двумя графиками функций

Пусть теперь функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на нем только неположительные значения. Выразим с помощью определенного интеграла площадь соответствующей криволинейной трапеции .

Рассмотрим фигуру Phi , симметричную фигуре относительно оси . Эта фигура (рис. 31) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x) , которая на [a;b] принимает только неотрицательные значения. По доказанному выше

Интегрирование знакопеременной функции

$S(Phi)= intlimits_{a}^{b} bigl(-f(x)bigr)dx$ . Но S(Phi)=S(F).

Значит,

$S(F)= intlimits_{a}^{b} bigl(-f(x)bigr)dx= -intlimits_{a}^{b} f(x),dx,.$

Как мы видим, в рассматриваемом случае интеграл $intlimits_{a}^{b} f(x),dx$ дает значение площади криволинейной трапеции с точностью до знака. Если же функция меняет знак на отрезке [a;b] в конечном числе точек, то значение интеграла $intlimits_{a}^{b} f(x),dx$ дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции y=f(x) , отрезками оси и, быть может, отрезками, параллельными оси (рис. 32).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=e^x , осью абсцисс и прямыми x=1,~x=2 (рис. 33).

Решение. Имеем: $S= intlimits_{1}^{2} e^x,dx= Bigl.{e^x}Bigr|_{1}^{2}= e^2-e= e(e-1)$ (кв. ед.).

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы y^2=4x и отрезком прямой x=2 (рис. 34).

Решение. Из рисунка видно, что трапеция, площадь которой нужно найти, расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно, искомая площадь равна

$S= 2int_{0}^{2}2sqrt{x},dx= left.{frac{4x^{3/2}}{3/2}}right|_{0}^{2}= frac{8}{3}cdot 2^{3/2}= frac{16}{3}sqrt{2},.$

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y^2=9x,~ y=3x (рис. 35).

Решение. Искомая площадь равна разности площадей криволинейного треугольника OAB и прямоугольного треугольника OAB:

$S= intlimits_{0}^{1} sqrt{9x},dx- intlimits_{0}^{1} 3x,dx= left.{3cdot frac{x^{3/2}}{3/2}}right|_{0}^{1}- left.{3cdot frac{x^2}{2} }right|_{0}^{1}= 2-frac{3}{2}= frac{1}{2},.$

Площадь фигуры, ограниченной кривой, осью абсцисс и двумя прямыми

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой a(y^2-x^2)+x^3=0 .

Решение. Из уравнения кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси . Следовательно, можно сначала вычислить половину искомой площади (рис. 36). Рекомендуем читателю подробно исследовать и построить данную кривую.

Площадь фигуры, ограниченной петлёй кривой

Записав уравнение кривой в виде $y^2=frac{x^2}{a}(a-x)$ , найдем точки пересечения ее с осью , положив y=0colon, x_1=0,~ x_2=a . Учитывая сказанное, найдем площадь половины петли:

$frac{1}{2}S= frac{1}{sqrt{a}} intlimits_{0}^{a} xsqrt{a-x},dx,.$

Воспользовавшись формулой из таблицы при a=-1,~ b=a , получим:

$intlimits_{0}^{a} xsqrt{a-x},dx= left.{frac{2(-3x-2a)sqrt{(a-x)^3}}{15}}right|_{0}^{a}= frac{4}{15},a^{5/2},.$

Значит, окончательно имеем:

$frac{1}{2}S= frac{1}{sqrt{a}}cdot frac{4}{15},a^{5/2}= frac{4}{15},a^2quad Leftrightarrowquad S=frac{8}{15},a^2,.$

Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически

Пусть кривая y=f(x),~ f(x)geqslant0,~ aleqslant xleqslant b задана в параметрической форме

$begin{cases}x=varphi(t),\ y=psi(t),end{cases} alpha leqslant tleqslant b,,$

где функция x=varphi(t) монотонна на отрезке [alpha;beta] , причем varphi(alpha)=a, varphi(beta)=b , и имеет на этом отрезке непрерывную производную. Так как y=f(x)= fbigl(varphi(t)bigr)= psi(t) , то по формуле замены переменной под знаком определенного интеграла получаем:

$S= intlimits_{a}^{b} f(x),dx= intlimits_{alpha}^{beta} fbigl(varphi(t)bigr) varphi'(t),dt= intlimits_{alpha}^{beta} psi(t) varphi'(t),dt,.$

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

$S= intlimits_{alpha}^{beta} psi(t)varphi'(t),dt,.$

(5)

Пример 5. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрически $begin{cases} x=acos{t},,\ y=bsin{t},,end{cases} 0leqslant tleqslant 2pi,.$

Площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение. Выберем ту часть эллипса (рис. 37), которая расположена в первом квадранте. Точке A(a;0) соответствует значение t=0 , а точке B(0;b) — значение $t=frac{pi}{2}$ . Поэтому

$begin{aligned} S&= 4intlimits_{0}^{a}y,dx= -4intlimits_{0}^{pi/2}bsin{t}cdot(-asin{t}),dt= 4abintlimits_{0}^{pi/2} sin^2t,dt=\ &= 2abintlimits_{0}^{pi/2} bigl(1-cos2tbigr),dt= left.{2ab!left(t- frac{1}{2}sin2t right)}right|_{0}^{pi/2}= pi,ab,. end{aligned}$

Площадь фигуры, заданной в полярных координатах

Вычислить площадь сектора, ограниченного лучами ell и , выходящими из точки , и непрерывной кривой Gamma (рис. 38). Выберем полярную систему координат, полюсом которой является точка . Пусть rho=rho(varphi) — полярное уравнение кривой Gamma , а varphi_0 и Phi — углы между полярной осью и лучами ell и соответственно. При этом пусть функция непрерывна на [varphi_0;Phi] .

Разобьем данный сектор на частей лучами

$varphi_0< varphi_1< varphi_2< ldots< varphi_k< varphi_{k+1}< ldots< varphi_n= Phi$

и рассмотрим k-й частичный сектор $[varphi_k; varphi_{k+1}]$ (рис. 39). Пусть r_k — наименьшее значение функции rho(varphi) в $[varphi_k; varphi_{k+1}]$ , a R_k — наибольшее значение функции в этом отрезке.

Площадь в полярных координатах и разбиение сектора на n частей

Построим два круговых сектора с радиусами r_k и R_k . Обозначим через Deltavarphi_k величину угла рассматриваемого частичного сектора. Тогда площадь частичного криволинейного сектора будет заключена между площадями вписанного и описанного частичных круговых секторов

$frac{1}{2}cdot r_k^2cdot Deltavarphi_k leqslant S_kleqslant frac{1}{2}cdot R_k^2cdot Deltavarphi_k,.$

Построим аналогичным образом внутренние и внешние круговые секторы для всех частичных криволинейных секторов. Объединяя их, получим внутреннюю и внешнюю фигуры.

Площадь внутренней фигуры, состоящей из круговых секторов, равна $frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 Deltavarphi_k$ , а площадь внешней фигуры равна — $frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 Deltavarphi_k$ . Эти выражения являются нижней и верхней суммами Дарбу s_P и S_P для интеграла $frac{1}{2} intlimits_{varphi_0}^{Phi} rho^2(varphi),dvarphi$ . Так как функция rho(varphi) непрерывна, то непрерывна, а потому и интегрируема функция . Поэтому для любого varepsilon найдется такое разбиение отрезка [varphi_0,Phi] , что S_P-s_P<varepsilon . Из теоремы 2 пункта 2 следует, что заданный криволинейный сектор квадрируем. При этом для его площади выполняются неравенства

Площадь, ограниченная одним лепестком полярной розы

$frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 Deltavarphi_kleqslant Sleqslant frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 Deltavarphi_k,.$

(6)

В то же время по определению определенного интеграла

$frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 Deltavarphi_kleqslant frac{1}{2} intlimits_{varphi_0}^{Phi} rho^2(varphi),dvarphi leqslant frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 Deltavarphi_k,.$

(7)

В силу единственности разделяющего числа из неравенств (6) и (7) следует, что

$S= frac{1}{2} intlimits_{varphi_0}^{Phi} rho^2(varphi),dvarphi,.$

(8)

Пример 6. Вычислить площадь, ограниченную одним лепестком розы rho=asin2varphi (рис. 40).

Решение. Значениям varphi=0 и $varphi=frac{pi}{2}$ соответствует rho=0 Поэтому

$S= frac{1}{2} intlimits_{0}^{pi/2} a^2sin^22varphi,dvarphi= frac{a^2}{2} intlimits_{0}^{pi/2} frac{1-cos4varphi}{2},dvarphi= left.{frac{a^2}{4}! left(varphi- frac{1}{4}sin4varphiright)}right|_{0}^{pi/2}= frac{a^2}{4}cdot frac{pi}{2}= frac{pi}{2},a^2,.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Многоликая трапеция… Она может быть произвольной, равнобедренной или прямоугольной. И в каждом случае нужно знать, как найти площадь трапеции. Конечно, проще всего запомнить основные формулы. Но иногда проще воспользоваться той, которая выведена с учетом всех особенностей конкретной геометрической фигуры.

Несколько слов о трапеции и ее элементах

Любой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, можно назвать трапецией. В общем случае они не равны и называются основаниями. Большее из них — нижнее, а другое — верхнее.

Две другие стороны оказываются боковыми. У произвольной трапеции они имеют различную длину. Если же они равны, то фигура становится равнобедренной.

Если вдруг угол между любой боковой стороной и основанием окажется равным 90 градусам, то трапеция является прямоугольной.

Все эти особенности могут помочь в решении задачи о том, как найти площадь трапеции.

Среди элементов фигуры, которые могут оказаться незаменимыми в решении задач, можно выделить такие:

высота, то есть отрезок, перпендикулярный обоим основаниям;
средняя линия, которая имеет своими концами середины боковых сторон.

По какой формуле вычислить площадь, если известны основания и высота?

Это выражение дается основным, потому что чаще всего можно узнать эти величины, даже когда они не даны явно. Итак, чтобы понять, как найти площадь трапеции, потребуется сложить оба основания и разделить их на два. Получившееся значение потом еще умножить на значение высоты.

Если обозначить основания буквами а₁ и а₂, высоту — н, то формула для площади будет выглядеть так:

S = ((а₁ + а₂)/2)*н.

Формула, по которой вычисляется площадь, если даны ее высота и средняя линия

Если посмотреть внимательно на предыдущую формулу, то легко заметить, что в ней явно присутствует значение средней линии. А именно, сумма оснований, деленная на два. Пусть средняя линия будет обозначена буквой l, тогда формула для площади станет такой:

S = l * н.

Возможность найти площадь по диагоналям

Этот способ поможет, если известен угол, образованный ими. Предположим, что диагонали обозначены буквами д₁ и д₂, а углы между ними — α и β. Тогда формула того, как найти площадь трапеции, будет записана следующим образом:

S = ((д₁ * д₂ )/2) * sin α.

В этом выражении можно легко заменить α на β. Результат не изменится.

Как узнать площадь, если известны все стороны фигуры?

Бывают и такие ситуации, когда в этой фигуре известны именно стороны. Эта формула получается громоздкой и ее сложно запомнить. Но возможно. Пусть боковые стороны имеют обозначение: в₁ и в₂, основание а₁ больше, чем а₂. Тогда формула площади примет такой вид:

S = ((а₁ + а₂) / 2) * √ {в₁ ²– [(а₁ – а₂)² + в₁² – в₂²) / (2 * (а₁ – а₂))]²}.

Способы вычисления площади равнобедренной трапеции

Первый связан с тем, что в нее можно вписать окружность. И, зная ее радиус (он обозначается буквой r), а также угол при основании — γ, можно воспользоваться такой формулой:

S = (4 * r²) / sin γ.

Последняя общая формула, которая основана на знании всех сторон фигуры, существенно упростится за счет того, что боковые стороны имеют одинаковое значение:

S = ((а₁ + а₂) / 2) * √ {в ²– [(а₁ – а₂)² / (2 * (а₁ – а₂))]²}.

Методы вычисления площади прямоугольной трапеции

Понятно, что подойдет любой из перечисленных для произвольной фигуры. Но иногда полезно знать об одной особенности такой трапеции. Она заключается в том, что разность квадратов длин диагоналей равна разности, составленной из квадратов оснований.

Часто формулы для трапеции забываются, в то время как выражения для площадей прямоугольника и треугольника помнятся. Тогда можно применить простой способ. Разделить трапецию на две фигуры, если она прямоугольная, или три. Одна точно будет прямоугольником, а вторая, или две оставшиеся, треугольниками. После вычисления площадей этих фигур останется их только сложить.

Это достаточно простой способ того, как найти площадь прямоугольной трапеции.

Как быть, если известны координаты вершин трапеции?

В этом случае потребуется воспользоваться выражением, которое позволяет определить расстояние между точками. Его можно применить три раза: для того, чтобы узнать оба основания и одну высоту. А потом просто применить первую формулу, которая описана немного выше.

Для иллюстрации такого метода можно привести такой пример. Даны вершины с координатами А(5; 7), В(8; 7), С(10; 1), Д(1; 1). Нужно узнать площадь фигуры.

До того как найти площадь трапеции, по координатам нужно вычислить длины оснований. Потребуется такая формула:

длина отрезка = √{(разность первых координат точек)² + (разность вторых координат точек)²}.

Верхнее основание обозначено АВ, значит, его длина будет равна √{(8-5)² + (7-7)²} = √9 = 3. Нижнее — СД = √ {(10-1)² + (1-1)²} = √81 = 9.

Теперь нужно провести высоту из вершины на основание. Пусть ее начало будет в точке А. Конец отрезка окажется на нижнем основании в точке с координатами (5; 1), пусть это будет точка Н. Длина отрезка АН получится равной √{(5-5)² + (7-1)²} = √36 = 6.

Осталось только подставить получавшиеся значения в формулу площади трапеции:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Задача решена без единиц измерения, потому что не указан масштаб координатной сетки. Он может быть как миллиметр, так и метр.

Примеры задач

№ 1. Условие. Известен угол между диагоналями произвольной трапеции, он равен 30 градусам. Меньшая диагональ имеет значение 3 дм, а вторая больше ее в 2 раза. Необходимо посчитать площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно узнать длину второй диагонали, потому что без этого не удастся сосчитать ответ. Вычислить ее несложно, 3 * 2 = 6 (дм).

Теперь нужно воспользоваться подходящей формулой для площади:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (дм²). Задача решена.

Ответ: площадь трапеции равна 4,5 дм².

№ 2. Условие. В трапеции АВСД основаниями являются отрезки АД и ВС. Точка Е – середина стороны СД. Из нее проведен перпендикуляр к прямой АВ, конец этого отрезка обозначен буквой Н. Известно, что длины АВ и ЕН равны соответственно 5 и 4 см. Нужно вычислить площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно сделать чертеж. Поскольку значение перпендикуляра меньше стороны, к которой он проведен, то трапеция будет немного вытянутой вверх. Так ЕН окажется внутри фигуры.

Чтобы отчетливо увидеть ход решения задачи, потребуется выполнить дополнительное построение. А именно, провести прямую, которая будет параллельна стороне АВ. Точки пересечения этой прямой с АД — Р, а с продолжением ВС — Х. Получившаяся фигура ВХРА — параллелограмм. Причем его площадь равна искомой. Это связано с тем, что треугольники, которые получились при дополнительном построении, равны. Это следует из равенства стороны и двух прилежащих к ней углов, один — вертикальный, другой – накрест лежащий.

Найти площадь параллелограмма можно по формуле, которая содержит произведение стороны и высоты, опущенной на нее.

Таким образом, площадь трапеции равна 5 * 4 = 20 см².

Ответ: S = 20 см².

№ 3. Условие. Элементы равнобедренной трапеции имеют такие значения: нижнее основание – 14 см, верхнее — 4 см, острый угол — 45º. Нужно вычислить ее площадь.

Решение. Пусть меньшее основание имеет обозначение ВС. Высота, проведенная из точки В, будет называться ВН. Поскольку угол 45º, то треугольник АВН получится прямоугольный и равнобедренный. Значит, АН=ВН. Причем АН очень легко найти. Она равна половине разности оснований. То есть (14 – 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).

Основания известны, высота сосчитана. Можно пользоваться первой формулой, которая здесь была рассмотрена для произвольной трапеции.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см²).

Ответ: Искомая площадь равна 45 см².

№ 4. Условие. Имеется произвольная трапеция АВСД. На ее боковых сторонах взяты точки О и Е, так что ОЕ параллельна основанию АД. Площадь трапеции АОЕД в пять раз больше, чем у ОВСЕ. Вычислить значение ОЕ, если известны длины оснований.

Решение. Потребуется провести две параллельные АВ прямые: первую через точку С, ее пересечение с ОЕ — точка Т; вторую через Е и точкой пересечения с АД будет М.

Пусть неизвестная ОЕ=х. Высота меньшей трапеции ОВСЕ — н₁, большей АОЕД — н₂.

Поскольку площади этих двух трапеций соотносятся как 1 к 5, то можно записать такое равенство:

(х + а₂) * н₁ = 1/5 (х + а₁) * н₂

или

н₁ /н₂ = (х + а₁) / (5(х + а₂)).

Высоты и стороны треугольников пропорциональны по построению. Поэтому можно записать еще одно равенство:

н₁ /н₂ = (х – а₂) / (а₁ – х).

В двух последних записях в левой части стоят равные величины, значит, можно написать, что (х + а₁) / (5(х + а₂)) равно (х – а₂) / (а₁ – х).

Здесь требуется провести ряд преобразований. Сначала перемножить крест накрест. Появятся скобки, которые укажут на разность квадратов, после применения этой формулы получится короткое уравнение.

В нем нужно раскрыть скобки и перенести все слагаемые с неизвестной «х» в левую сторону, а потом извлечь квадратный корень.

Ответ: х = √ {(а₁² + 5 а₂²) / 6}.

Источник

Нахождение площади трапеции по координатам

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (3;2), (5;2), (9;6), (6;6).

Решение задачи

В данном уроке представлен пример решения задачи В5 на вычисление площади трапеции, которым с успехом можно воспользоваться в качестве подготовки к ЕГЭ по математике.

Для успешного решения задачи необходимо знать, что площадь трапеции определяется как произведение полусуммы оснований на высоту: S=(a+b)*h/2, где и – основания трапеции, а — высота. Согласно определению, трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет. Параллельные стороны называются основаниями, они отмечается для наглядности красным цветом. По рисунку определяются значения оснований заданной трапеции и . В ходе решения также утверждается, что высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям . На рисунке выполняется построение высоты зеленым цветом, а затем вычисляется ее длина как разность между крайними отмеченными точками на оси . В результате, подставив все найденные значения в формулу определения площади трапеции, определяется искомый ответ.

Следует напомнить, что Трапеция (от древнегреческого τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны. Две параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь. Интересно, что в русском языке от слова трапеция происходит слово «трапеза».

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции

Доказательство:
Выберем на интервале (xin [a;b]). Площадь соответствующей криволинейной трапеции (S(x)) является функцией от (x). Дадим переменной (x) приращение (triangle x).
Площадь криволинейной трапеции на интервале (left[a;x+triangle xright]) равна сумме
(S(x+triangle x)=S(x)+S(triangle x)). Откуда приращение площади: $$ triangle S=S(triangle x)=S(x+triangle x)-S(x) $$ По теореме о среднем (см. ниже в этом параграфе) между (x) и (x+triangle x) всегда найдется такое (t), что приращение площади равно произведению: $$ triangle S=f(t)cdot (x+triangle x-x)=f(t)cdot triangle x $$ Если (triangle xrightarrow 0), то (trightarrow x), и в пределе получаем: begin S'(x)=lim_frac=lim_ frac=lim_f(t)=f(x) end Т.е. (S(x)) является первообразной для (f(x)) на [a;b]. В общем виде: $$ S(x)=F(x)+C $$ Найдем C. В точке a: $$ S(a)=0=F(a)+CRightarrow C=-F(a) $$ Тогда вся площадь: $$ S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a) $$ Что и требовалось доказать.

п.2. Формула Ньютона-Лейбница

Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $$ y=3-2x-x^2 $$

Построим график
(см. §28 справочника для 8 класса).
Это парабола. (alt 0) – ветки вниз.
Координаты вершины: begin x_0=-frac=-frac=-1,\ y_0=3+2-1=4 end Точки пересечения с осью OX: begin 3-2x-x^2=0Rightarrow x^2+2x-3=0\ (x+3)(x-1)=0Rightarrow left[ beginx=-3,\ x=1 end right. end Точка пересечения с осью OY: $$ x=0, y=3 $$

Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция: (f(x)=3-2x-x^2)
Пределы интегрирования: (a=-3, b=1) begin S=int_^(3-2x-x^2)dx=left(3x-2cdotfrac-fracright)|_^=left(3x-x^2-fracright)|_^=\ =left(3-cdot 1-1^2-fracright)-left(3cdot(-3)-(-3)^2-fracright)=2-frac13+9=10frac23 end Ответ: (10frac23)

п.3. Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем

Теорема Лагранжа о среднем
Если функция (F(x)) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то существует такая точка (muin(a;b)), что $$ F(b)-F(a)=F'(mu)(a-b) $$ Пусть (F'(x)=f(x)), т.е. функция (F(x)) является первообразной для (f(x)). Тогда: $$ F(b)-F(a)=int_^f(x)dx=f(mu)(b-a) $$

Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем в интегральной форме заключается в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием (d=b-a) и высотой (h=f(mu)), где (aleqmuleq b).
Теорема о среднем используется при доказательстве многих формул, связанных с использованием определенных интегралов (центра тяжести тела, площади поверхности и т.д.).

п.4. Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми

Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной двумя параболами (y=x^2) и (y=4x-x^2).

Найдем точки пересечения парабол: $$ x^2=4x-x^2Rightarrow 2x^2-4x=0Rightarrow 2x(x-2)=0Rightarrow left[ beginx=0\ x=2 end right. $$ Строим графики.

Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция сверху: (f(x)=4x-x^2)
Функция снизу: (g(x)=x^2)
Пределы интегрирования: (a=0, b=2) begin S=int_^left((4x-x^2)-x^2right)dx=int_^(4x-2x^2)dx=left(4cdotfrac-2cdotfracright)|_0^2=\ =left(2x^2-frac23 x^3right)|_0^2=2cdot 2^2-frac23cdot 2^3-0=8-frac=frac83=2frac23 end Ответ: (2frac23)

п.5. Примеры

Пример 2. Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале:
a) (f(x)=x^3+3, xinleft[-1;1right])
$$ S=int_^(x^3+3)dx=left(frac+3xright)|_^=frac14+3-left(frac14-3right)=6 $$
б) (f(x)=sin2x, xinleft[0;fracpi 2right])
$$ S=int_^sin2xdx=-frac12cos2x|_^=-frac12left(cosleft(2cdotfracpi 2right)-cos0right)=-frac12(-1-1)=1 $$
в) (f(x)=frac4x+3, xinleft[2;6right])

(f(x)=frac4x+3) — гипербола с асимптотами (x=0, y=3)
Площадь под кривой: begin S=int_^left(frac4x+3right)dx=(4cdot ln|x|+3x)|_^=(4ln 6+18)-(4ln 2+6)=\ =4(ln 6-ln 2)+12=4lnfrac62+12=4ln 3+12=4(ln 3+3) end
г) (f(x)=frac>, xinleft[1;4right])
$$ S=int_^frac>=frac>|_^=2sqrt|_^=2(sqrt-sqrt)=2 $$

Пример 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) (y=x-2, y=x^2-4x+2)
Найдем точки пересечения прямой и параболы: $$ x-2=x^2-4x+2Rightarrow x^2-5x+4=0Rightarrow (x-1)(x-4)=0Rightarrow left[ beginx=1,\ x=4 end right. $$
Функция сверху: (f(x)=x-2)
Функция снизу: (g(x)=x^2-4x+2)
Пределы интегрирования: (a=1, b=4) begin S=int_^left((x-2)-(x^2-4x+2)right)dx=int_^(-x^2+5x-4)dx=\ =left(-frac+frac-4xright)|_^=left(-frac+5cdotfrac-4cdot 4right)-left(-frac13+frac52-4right)=\ =-frac+24+1,5=4,5 end Ответ: 4,5
б) (y=e^, y=frac1x, x=2, x=3)

Функция сверху: (f(x)=e^)
Функция снизу: (g(x)=frac1x)
Пределы интегрирования: (a=2, b=3) begin S=int_^left(e^-frac1xright)dx=(2e^-ln|x|)|_^=left(2e^-ln 3right)-(2e-ln 2)=\ =2e^-2e-ln 3+ln 2=2e(sqrt-1)+lnfrac23 end Ответ: (2e(sqrt-1)+lnfrac23)
в*) (y=3-x^2, y=1+|x|)
Найдем точки пересечения ломаной и параболы: begin 3-x^2=1+|x|Rightarrow x^2+|x|-2=0Rightarrow left[ beginbegin xgeq 0\ x^2+x-2=0 end \ begin xlt 0\ x^2-x-2=0 end end right. Rightarrow left[ beginbegin xgeq 0\ (x+2)(x-1)=0 end \ begin xlt 0\ (x-2)(x+1)=0 end end right. Rightarrow \ left[ beginbegin xgeq 0\ left[ beginx=-2\ x=1 end right. end \ begin xlt 0\ left[ beginx=2\ x=-1 end right. end end right. Rightarrow left[ beginx=1\ x=-1 end right. end
Функция сверху: (f(x)=3-x^2)
Функция снизу: (g(x)=1+|x|)
Пределы интегрирования: (a=-1, b=1)
Чтобы не раскрывать модуль под интегралом, заметим, что площади на интервалах [-1;0] и [0;1] равны, т.к. обе функции четные и симметричные относительно оси OY. Поэтому можно рассматривать только положительные (xinleft[0;1right]), найти для них интеграл (площадь) и умножить на 2: begin S=2int_^left((3-x^2)-(1+x)right)dx=2int_^(-x^2-x+2)dx=2left(-frac-frac+2xright)|_^=\ =2left(-frac13-frac12+2right)-0=frac73=2frac13 end Ответ: (2frac13)
г*) (y=3sinx, y=cosx, x=-frac, x=fracpi 4)

На отрезке (left[-frac;-fracright]) синус над косинусом, далее на (left[-frac;fracright]) — косинус над синусом.
Площадь фигуры, закрашенной голубым, в два раза больше площади фигуры, закрашенной сиреневым. Поэтому общая площадь будет равна трем площадям, закрашенным сиреневым: begin S=3int_>^>(sinx-cosx)dx=3(-cosx-sinx)|_>^>=-3(cosx+sinx)|_>^> end Прибавим полный период, он одинаков для обеих функций:
(-frac+2pi=frac; -frac+2pi=frac) begin -3(cosx+sinx)|_>^>=-3left(cosleft(fracright)+sinleft(fracright)-cosleft(fracright)-sinleft(fracright)right)=\ =-3left(-frac>-frac>+frac>-frac>right)=3sqrt end Ответ: (3sqrt)

Пример 4*. Пусть (S(k)) — это площадь фигуры, образованной параболой (y=x^2+2x-3) и прямой (y=kx+1). Найдите (S(-1)) и вычислите наименьшее значение (S(k)).

Точки пересечения прямой и параболы: begin -x+1=x^2+2x-3\ x^2+3x-4=0\ (x+4)(x-1)=0Rightarrow left[ beginx=-4,\ x=1 end right. end Функция сверху: (y=-x+1)
Функция снизу: (y=x^2+2x-3)
Пределы интегрирования: (a=-4, b=1)

begin S(-1)=int_^left((-x+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_^(-x-3x+4)dx=\ =left(-frac-frac+4xright)|_^=left(-frac13-frac32+4right)-left(frac-24-16right)=-21frac23+42frac12=20frac56 end
2) Решаем в общем виде.
Все прямые (y=kx+1) проходят через точку (0;1) и при образовании фигуры находятся над параболой.
Точки пересечения прямой и параболы: begin kx+1=x^2+2x-3Rightarrow x^2+(2-k)x-4=0\ D=(2-k)^2-4cdot (-4)=(k-2)^2+16gt 0 end Дискриминант (Dgt 0) при всех (k). Точки пересечения (пределы интегрирования): $$ x_=frac>=frac> $$ Разность корней: $$ x_2-x_1=sqrt=sqrt $$ Минимальное значение разности корней будет при (k=2).
Площадь: begin S(k)=int_^left((kx+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_^(-x^2+(k-2)x+4)dx=\ =left(-frac+frac+4xright)|_^=-frac13(x_2^3-x_1^3)+frac(x_2^2-x_1^2)+4(x_2-x_1) end

begin S(k)_=S(2)\ x_=pm 2\ S(2)=-frac13cdot(2^3+2^3)+0+4sqrt=\ =-frac+16=frac=10frac23 end

Ответ: 1) (S(-1)=20frac56); 2) (S(k)_=S(2)=10frac23)

Пример 5*. Фигура ограничена линиями (y=(x+3)^2, y=0, x=0). Под каким углом к оси OX надо провести прямые через точку (0;9), чтобы они разбивали фигуру на три равновеликие части?

Площадь криволинейной трапеции AOB: begin S_0=int_^(x+3)^2dx=frac|_^=\ =9-0=9 end Площадь каждой части: (S_i=frac13 S_0=3)
Точки (C(x_1; 0)) и (D(x_2; 0)) c (-3lt x_1lt x_2lt 0) такие, что прямые AC и AD отсекают по 1/3 от фигуры.
Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOD): begin S_3=frac12|x_2|cdot 9=3Rightarrow |x_2|=frac69=frac23Rightarrow\ x_2=-frac23 end Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOC): begin S_2+S_3=frac12|x_1|cdot 9=6Rightarrow |x_1|=frac=frac43Rightarrow\ x_1=-frac43 end

Находим углы соответствующих прямых.
Для (x_1: tgalpha=frac=frac=frac, alpha=arctgfrac)
Для (x_x: tgbeta=frac=frac=frac, beta=arctgfrac)

Все варианты того, как найти площадь трапеции

Многоликая трапеция. Она может быть произвольной, равнобедренной или прямоугольной. И в каждом случае нужно знать, как найти площадь трапеции. Конечно, проще всего запомнить основные формулы. Но иногда проще воспользоваться той, которая выведена с учетом всех особенностей конкретной геометрической фигуры.

Несколько слов о трапеции и ее элементах

Все эти особенности могут помочь в решении задачи о том, как найти площадь трапеции.

Среди элементов фигуры, которые могут оказаться незаменимыми в решении задач, можно выделить такие:

высота, то есть отрезок, перпендикулярный обоим основаниям;
средняя линия, которая имеет своими концами середины боковых сторон.

По какой формуле вычислить площадь, если известны основания и высота?

Если обозначить основания буквами а₁ и а₂, высоту — н, то формула для площади будет выглядеть так:

Формула, по которой вычисляется площадь, если даны ее высота и средняя линия

Возможность найти площадь по диагоналям

В этом выражении можно легко заменить α на β. Результат не изменится.

Как узнать площадь, если известны все стороны фигуры?

Способы вычисления площади равнобедренной трапеции

Методы вычисления площади прямоугольной трапеции

Это достаточно простой способ того, как найти площадь прямоугольной трапеции.

Как быть, если известны координаты вершин трапеции?

Верхнее основание обозначено АВ, значит, его длина будет равна √ = √9 = 3. Нижнее — СД = √ = √81 = 9.

Осталось только подставить получавшиеся значения в формулу площади трапеции:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Примеры задач

Теперь нужно воспользоваться подходящей формулой для площади:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (дм 2 ). Задача решена.

Ответ: площадь трапеции равна 4,5 дм 2 .

№ 2. Условие. В трапеции АВСД основаниями являются отрезки АД и ВС. Точка Е — середина стороны СД. Из нее проведен перпендикуляр к прямой АВ, конец этого отрезка обозначен буквой Н. Известно, что длины АВ и ЕН равны соответственно 5 и 4 см. Нужно вычислить площадь трапеции.

Таким образом, площадь трапеции равна 5 * 4 = 20 см 2 .

Ответ: S = 20 см 2 .

№ 3. Условие. Элементы равнобедренной трапеции имеют такие значения: нижнее основание — 14 см, верхнее — 4 см, острый угол — 45º. Нужно вычислить ее площадь.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2 ).

Ответ: Искомая площадь равна 45 см 2 .

Пусть неизвестная ОЕ=х. Высота меньшей трапеции ОВСЕ — н₁, большей АОЕД — н₂.

Поскольку площади этих двух трапеций соотносятся как 1 к 5, то можно записать такое равенство:

Высоты и стороны треугольников пропорциональны по построению. Поэтому можно записать еще одно равенство:

В двух последних записях в левой части стоят равные величины, значит, можно написать, что (х + а₁) / (5(х + а₂)) равно (х — а₂) / (а₁ — х).

Источник

Площадь фигуры по координатам вершин

Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически

Площадь фигуры, заданной в полярных координатах

Несколько слов о трапеции и ее элементах

По какой формуле вычислить площадь, если известны основания и высота?

Формула, по которой вычисляется площадь, если даны ее высота и средняя линия

Возможность найти площадь по диагоналям

Как узнать площадь, если известны все стороны фигуры?

Способы вычисления площади равнобедренной трапеции

Методы вычисления площади прямоугольной трапеции

Как быть, если известны координаты вершин трапеции?

Примеры задач

Нахождение площади трапеции по координатам

Решение задачи

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции

п.2. Формула Ньютона-Лейбница

п.3. Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем

п.4. Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми

п.5. Примеры

Все варианты того, как найти площадь трапеции

Несколько слов о трапеции и ее элементах

По какой формуле вычислить площадь, если известны основания и высота?

Формула, по которой вычисляется площадь, если даны ее высота и средняя линия

Возможность найти площадь по диагоналям

Как узнать площадь, если известны все стороны фигуры?

Способы вычисления площади равнобедренной трапеции

Методы вычисления площади прямоугольной трапеции

Как быть, если известны координаты вершин трапеции?

Примеры задач

Вам также может понравиться

Как найти катет по теореме пифагора онлайн

Как найти свой социальный круг

Как исправить время в презентации

Добавить комментарий Отменить ответ