На чтение 4 мин Просмотров 4.4к. Опубликовано 12 декабря, 2020
Параллелепипед — тело строгих геометрических форм, противоположные грани которого находятся в параллельных плоскостях. Все плоскости, или грани, включая основание, параллелограммы. Научно определение параллелепипеда — призма, основанием которой служит параллелограмм. Часто ученики затрудняются ответить, чем отличается параллелограмм от параллелепипеда. Отличие в том, что параллелограмм — фигура плоская, двухмерная, а параллелепипед — объемное геометрическое тело, протяженное в трех измерениях, имеющее ширину, высоту и длину. Как выглядит параллелепипед, посмотрите на рисунке:
Виды параллелепипеда
Параллелепипед — многогранник. Его ограничивают шесть плоскостей, два основания, и четыре боковые грани. Линии, по которым соединяются грани, называются ребрами, а точки, в которых сходятся три ребра — вершинами. У фигуры 8 вершин.
Если грани имеют общее ребро, то их называют смежными, а те, у которых такого ребра нет — противоположными. Это же касается и вершин, если они не лежат на одной грани, то их тоже называют противоположными. Высота, ширина и длина прямоугольного параллелепипеда называются измерениями, они выходят из одной вершины. Если фигура не прямоугольная, то измерения и ребра не совпадают.
При построении параллелепипеда на рисунке можно провести ряд дополнительных линий, которые помогают при вычислении объема, площади поверхности, неизвестных длин и других параметров. Если линии проходят через противоположные вершины, то их называют диагоналями. У параллелепипеда их насчитывается четыре.
В геометрии выделяют несколько типов параллелепипедов, которые отличаются некоторыми свойствами:
- Прямой — фигура, у которой боковые грани являются прямоугольниками;
- Прямоугольный — все грани прямоугольники, не только боковые, но и основания. Объемный прямоугольник — это т есть такой параллелепипед.
- Наклонный — боковые грани находятся по отношению к основанию под углами, отличными от 900;
- Ромбоэдр — все грани представляют собой равные ромбы;
- Куб — все грани квадратны.
Свойства параллелепипеда
Для всех типов параллелепипедов можно выделить общие свойства, характеризующие фигуру. Таких свойств немного, запомнить их не сложно:
- Диагонали параллелепипеда в точке пересечения делятся пополам;
- Параллелепипед симметричен относительно точки пересечения диагоналей;
- Любой отрезок, соединяющий две точки на гранях параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится пополам;
- Противоположные грани равны и параллельны (вытекает из определения);
- Сумма квадратов измерений равна квадрату диагонали.
Твердо запомнив эти свойства несложно решить большинство задач школьной геометрии.
Основные формулы параллелепипеда
Кроме свойств этой фигуры нужно запомнить ряд несложных формул. Конечно, в процессе решения задачи можно вывести эти выражения самостоятельно. Но часто на это нет времени, лучше воспользоваться готовыми шаблонами.
Формула площади боковой поверхности прямого параллелепипеда — одна из самых простых. Sб=Ро∙h. В этой формуле только три величины, но одна из них составная:
H – высота параллелепипеда;
Р – периметр, АВ+ВС+АD+ CD.
Воспользоваться такой формулой можно только в том случае, если известны длины сторон основы и высота.
Площадь полной поверхности параллелепипеда определяется по формуле Sп=Sб+2Sо.
Как найти площадь боковой поверхности мы знаем из предыдущего пункта, а площадь Sо рассчитывается в зависимости от вида четырехугольника, лежащего в основании.
Объем прямого параллелепипеда тоже найти несложно, для этого достаточно умножить площадь основания на высоту. Объём V=Sо∙h
Формулы для прямоугольного параллелепипеда тоже не отличаются сложностью:
Sб=2c(a+b) в этой формуле а и b – стороны основания, с – высота, равна длине бокового ребра.
Площадь полной поверхности равна Sп=2(ab+bc+ac);
Объем V=abc, то есть, произведение всех трех измерений.
Когда же приходится вычислять площади и объем произвольного параллелепипеда, то показанные формулы не всегда срабатывают. Необходимо использовать законы векторной геометрии. При вычислении объема параллелепипеда через длину диагонали, необходимо использовать проекции на разные оси. Видимая простота формул — это только основа для сложной работы, требующей пространственного воображения и смекалки.
{S_{полн} = 2(ab+bc+ac)}
Чтобы найти площадь поверхности параллелепипеда необходимо знать длины трех его ребер. Для вычисления площади поверхности прямоугольного параллелепипеда используется формула, в которой сумма попарных произведений ребер параллелепипеда умножается на 2. По другому формулу можно трактовать как произведение площадей трех граней параллелепипеда (так как произведение ребер – это площадь грани). Кроме того на странице вы найдете калькулятор, с помощью которого в режиме онлайн можно найти площадь полной и боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда.
В дополнение на сайте можно найти объем параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
Ребро — сторона прямоугольного параллелепипеда. Длина, ширина и высота – это ребра прямоугольного параллелепипеда.
Содержание:
- калькулятор площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
- формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
- формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
- примеры задач
Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
{S_{полн} = 2(ab+bc+ac)}
a – длина прямоугольного параллелепипеда
b – ширина прямоугольного параллелепипеда
c – высота прямоугольного параллелепипеда
Формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
{S_{бок} = 2(ac+bc)}
a – длина прямоугольного параллелепипеда
b – ширина прямоугольного параллелепипеда
c – высота прямоугольного параллелепипеда
Примеры задач на нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
Задача 1
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда измерения которого равны 2 4 и 5.
Решение
Для нахождения площади поверхности воспользуемся первой формулой. Подставим в нее значения длины, ширины и высоты параллелепипеда и произведем вычисления.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(2 cdot 4 + 4 cdot 5 + 2 cdot 5) = 2(8 + 20 + 10) = 2(38) = 76 : см^2
Ответ: 76 см²
Проверим ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 3см 5см и 6см.
Решение
Задача аналогична предыдущей, поэтому повторим действия, подставив новые значения измерений параллелепипеда.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(3 cdot 5 + 5 cdot 6 + 3 cdot 6) = 2(15 + 30 + 18) = 2(63) = 126 : см^2
Ответ: 126 см²
Для проверки ответа используем калькулятор .
Задача 3
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда измерения которого равны 9м 24м 11м.
Решение
Еще одна типовая задача. Для ее решения также воспользуемся первой формулой.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(9 cdot 24 + 24 cdot 11 + 9 cdot 11) = 2(216 + 264 + 99) = 2(579) = 1158 : см^2
Ответ: 1158 см²
Проверка .
Задача 4
Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда у которого a=4см, b=5см, c=7см.
Решение
В этой задаче нам необхожимо найти площадь боковой поверхности. Поэтому мы будем использовать для ее решения вторую формулу.
S_{бок} = 2(ac+bc) = 2(4 cdot 7 + 5 cdot 7) = 2(28 + 35) = 2(63) = 126 : см^2
Ответ: 126 см²
Как всегда ответ можно проверить с помощью калькулятора .
Как найти площадь поверхности параллелепипеда
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности параллелепипеда онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.
Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, у которого все грани являются прямоугольниками.
Через стороны
a:
b:
c:
Результат
Ответы:
Формула площади поверхности параллелепипеда через его ребра:
a, b, c – ребра параллелепипеда.
Площадь поверхности параллелепипеда: онлайн-калькулятор
Для нахождения площади полной поверхности параллелепипеда необходимо рассчитать сумму площадей трех его граней и удвоить результат. Чтобы не совершать действия вручную и получить верный ответ быстро, воспользуйтесь нашим сервисом.
Наша компания помогает разобраться в задачах по алгебре и геометрии. Сервис работает без регистрации и оплаты. Автоматизированная программа производит последовательные вычисления, которые доступны для просмотра. Такая система позволяет избежать ошибок во время промежуточных действий.
Вычисление площади поверхности параллелепипеда. Онлайн-калькулятор
В программу заложен расчет площади поверхности параллелепипеда по формуле:
где a, b, h – ребра фигуры.
Для школьников сервис с основными математическими вычислениями – это возможность самостоятельно подготовиться к поступлению в ВУЗ. Число запросов на расчет не ограничивается, поэтому тренироваться в решении задач можно до полного усвоения темы. Формула в решении в совокупности с готовым чертежом ускоряет запоминание материала. Совершение вычислений не требуется оплачивать. Бесплатная помощь ученикам позволяет сэкономить на репетиторах и повысить успеваемость по математике.
Также сервис используют:
- студенты для подстраховки на зачетах и экзаменах. Готовое решение поможет быстро сориентироваться в задании.
- преподаватели во время проверки работ учеников. Также сервис дает возможность разнообразить план урока и подготовить для каждого ученика индивидуальное задание.
- инженеры и специалисты технических профессий, чтобы исключить погрешности в расчетах и оптимизировать рабочий процесс.
В разделе калькуляторов вы также найдете программы для нахождения площадей других фигур.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, формула.
Параллелепипедом называется призма, основание которой параллелограмм. Параллелепипед имеет шесть граней, и все они — параллелограммы.
Параллелепипед, четыре боковые грани которого — прямоугольники, называется прямым. Прямой параллелепипед у которого все шесть граней прямоугольники, называется прямоугольным.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трех граней этого параллелепипеда:
[S = 2(S_a+S_b+S_c) = 2(ab + bc + ac)]
(a,b,c – ребра параллелепипеда)
Вычислить, найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по формуле (1).
Площадь поверхности параллелепипеда |
стр. 323 |
|---|
