Как найти площадь трапеции по его вершинам

Нахождение площади трапеции по координатам

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (3;2), (5;2), (9;6), (6;6).

Решение задачи

В данном уроке представлен пример решения задачи В5 на вычисление площади трапеции, которым с успехом можно воспользоваться в качестве подготовки к ЕГЭ по математике.

Для успешного решения задачи необходимо знать, что площадь трапеции определяется как произведение полусуммы оснований на высоту: S=(a+b)*h/2, где и – основания трапеции, а — высота. Согласно определению, трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет. Параллельные стороны называются основаниями, они отмечается для наглядности красным цветом. По рисунку определяются значения оснований заданной трапеции и . В ходе решения также утверждается, что высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям . На рисунке выполняется построение высоты зеленым цветом, а затем вычисляется ее длина как разность между крайними отмеченными точками на оси . В результате, подставив все найденные значения в формулу определения площади трапеции, определяется искомый ответ.

Следует напомнить, что Трапеция (от древнегреческого τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны. Две параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь. Интересно, что в русском языке от слова трапеция происходит слово «трапеза».

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции

Доказательство:
Выберем на интервале (xin [a;b]). Площадь соответствующей криволинейной трапеции (S(x)) является функцией от (x). Дадим переменной (x) приращение (triangle x).
Площадь криволинейной трапеции на интервале (left[a;x+triangle xright]) равна сумме
(S(x+triangle x)=S(x)+S(triangle x)). Откуда приращение площади: $$ triangle S=S(triangle x)=S(x+triangle x)-S(x) $$ По теореме о среднем (см. ниже в этом параграфе) между (x) и (x+triangle x) всегда найдется такое (t), что приращение площади равно произведению: $$ triangle S=f(t)cdot (x+triangle x-x)=f(t)cdot triangle x $$ Если (triangle xrightarrow 0), то (trightarrow x), и в пределе получаем: begin S'(x)=lim_frac=lim_ frac=lim_f(t)=f(x) end Т.е. (S(x)) является первообразной для (f(x)) на [a;b]. В общем виде: $$ S(x)=F(x)+C $$ Найдем C. В точке a: $$ S(a)=0=F(a)+CRightarrow C=-F(a) $$ Тогда вся площадь: $$ S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a) $$ Что и требовалось доказать.

п.2. Формула Ньютона-Лейбница

Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $$ y=3-2x-x^2 $$

Построим график (см. §28 справочника для 8 класса). Это парабола. (alt 0) – ветки вниз. Координаты вершины: begin x_0=-frac=-frac=-1,\ y_0=3+2-1=4 end Точки пересечения с осью OX: begin 3-2x-x^2=0Rightarrow x^2+2x-3=0\ (x+3)(x-1)=0Rightarrow left[ beginx=-3,\ x=1 end right. end Точка пересечения с осью OY: $$ x=0, y=3 $$

Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция: (f(x)=3-2x-x^2)
Пределы интегрирования: (a=-3, b=1) begin S=int_^(3-2x-x^2)dx=left(3x-2cdotfrac-fracright)|_^=left(3x-x^2-fracright)|_^=\ =left(3-cdot 1-1^2-fracright)-left(3cdot(-3)-(-3)^2-fracright)=2-frac13+9=10frac23 end Ответ: (10frac23)

п.3. Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем

Теорема Лагранжа о среднем
Если функция (F(x)) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то существует такая точка (muin(a;b)), что $$ F(b)-F(a)=F'(mu)(a-b) $$ Пусть (F'(x)=f(x)), т.е. функция (F(x)) является первообразной для (f(x)). Тогда: $$ F(b)-F(a)=int_^f(x)dx=f(mu)(b-a) $$

Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем в интегральной форме заключается в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием (d=b-a) и высотой (h=f(mu)), где (aleqmuleq b).
Теорема о среднем используется при доказательстве многих формул, связанных с использованием определенных интегралов (центра тяжести тела, площади поверхности и т.д.).

п.4. Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми

Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной двумя параболами (y=x^2) и (y=4x-x^2).

Найдем точки пересечения парабол: $$ x^2=4x-x^2Rightarrow 2x^2-4x=0Rightarrow 2x(x-2)=0Rightarrow left[ beginx=0\ x=2 end right. $$ Строим графики.

Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция сверху: (f(x)=4x-x^2)
Функция снизу: (g(x)=x^2)
Пределы интегрирования: (a=0, b=2) begin S=int_^left((4x-x^2)-x^2right)dx=int_^(4x-2x^2)dx=left(4cdotfrac-2cdotfracright)|_0^2=\ =left(2x^2-frac23 x^3right)|_0^2=2cdot 2^2-frac23cdot 2^3-0=8-frac=frac83=2frac23 end Ответ: (2frac23)

п.5. Примеры

Пример 2. Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале:
a) (f(x)=x^3+3, xinleft[-1;1right])
$$ S=int_^(x^3+3)dx=left(frac+3xright)|_^=frac14+3-left(frac14-3right)=6 $$
б) (f(x)=sin2x, xinleft[0;fracpi 2right])
$$ S=int_^sin2xdx=-frac12cos2x|_^=-frac12left(cosleft(2cdotfracpi 2right)-cos0right)=-frac12(-1-1)=1 $$
в) (f(x)=frac4x+3, xinleft[2;6right])

(f(x)=frac4x+3) — гипербола с асимптотами (x=0, y=3)
Площадь под кривой: begin S=int_^left(frac4x+3right)dx=(4cdot ln|x|+3x)|_^=(4ln 6+18)-(4ln 2+6)=\ =4(ln 6-ln 2)+12=4lnfrac62+12=4ln 3+12=4(ln 3+3) end
г) (f(x)=frac>, xinleft[1;4right])
$$ S=int_^frac>=frac>|_^=2sqrt|_^=2(sqrt-sqrt)=2 $$

Пример 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) (y=x-2, y=x^2-4x+2)
Найдем точки пересечения прямой и параболы: $$ x-2=x^2-4x+2Rightarrow x^2-5x+4=0Rightarrow (x-1)(x-4)=0Rightarrow left[ beginx=1,\ x=4 end right. $$
Функция сверху: (f(x)=x-2)
Функция снизу: (g(x)=x^2-4x+2)
Пределы интегрирования: (a=1, b=4) begin S=int_^left((x-2)-(x^2-4x+2)right)dx=int_^(-x^2+5x-4)dx=\ =left(-frac+frac-4xright)|_^=left(-frac+5cdotfrac-4cdot 4right)-left(-frac13+frac52-4right)=\ =-frac+24+1,5=4,5 end Ответ: 4,5
б) (y=e^, y=frac1x, x=2, x=3)

Функция сверху: (f(x)=e^)
Функция снизу: (g(x)=frac1x)
Пределы интегрирования: (a=2, b=3) begin S=int_^left(e^-frac1xright)dx=(2e^-ln|x|)|_^=left(2e^-ln 3right)-(2e-ln 2)=\ =2e^-2e-ln 3+ln 2=2e(sqrt-1)+lnfrac23 end Ответ: (2e(sqrt-1)+lnfrac23)
в*) (y=3-x^2, y=1+|x|)
Найдем точки пересечения ломаной и параболы: begin 3-x^2=1+|x|Rightarrow x^2+|x|-2=0Rightarrow left[ beginbegin xgeq 0\ x^2+x-2=0 end \ begin xlt 0\ x^2-x-2=0 end end right. Rightarrow left[ beginbegin xgeq 0\ (x+2)(x-1)=0 end \ begin xlt 0\ (x-2)(x+1)=0 end end right. Rightarrow \ left[ beginbegin xgeq 0\ left[ beginx=-2\ x=1 end right. end \ begin xlt 0\ left[ beginx=2\ x=-1 end right. end end right. Rightarrow left[ beginx=1\ x=-1 end right. end
Функция сверху: (f(x)=3-x^2)
Функция снизу: (g(x)=1+|x|)
Пределы интегрирования: (a=-1, b=1)
Чтобы не раскрывать модуль под интегралом, заметим, что площади на интервалах [-1;0] и [0;1] равны, т.к. обе функции четные и симметричные относительно оси OY. Поэтому можно рассматривать только положительные (xinleft[0;1right]), найти для них интеграл (площадь) и умножить на 2: begin S=2int_^left((3-x^2)-(1+x)right)dx=2int_^(-x^2-x+2)dx=2left(-frac-frac+2xright)|_^=\ =2left(-frac13-frac12+2right)-0=frac73=2frac13 end Ответ: (2frac13)
г*) (y=3sinx, y=cosx, x=-frac, x=fracpi 4)

На отрезке (left[-frac;-fracright]) синус над косинусом, далее на (left[-frac;fracright]) — косинус над синусом.
Площадь фигуры, закрашенной голубым, в два раза больше площади фигуры, закрашенной сиреневым. Поэтому общая площадь будет равна трем площадям, закрашенным сиреневым: begin S=3int_>^>(sinx-cosx)dx=3(-cosx-sinx)|_>^>=-3(cosx+sinx)|_>^> end Прибавим полный период, он одинаков для обеих функций:
(-frac+2pi=frac; -frac+2pi=frac) begin -3(cosx+sinx)|_>^>=-3left(cosleft(fracright)+sinleft(fracright)-cosleft(fracright)-sinleft(fracright)right)=\ =-3left(-frac>-frac>+frac>-frac>right)=3sqrt end Ответ: (3sqrt)

Пример 4*. Пусть (S(k)) — это площадь фигуры, образованной параболой (y=x^2+2x-3) и прямой (y=kx+1). Найдите (S(-1)) и вычислите наименьшее значение (S(k)).

Точки пересечения прямой и параболы: begin -x+1=x^2+2x-3\ x^2+3x-4=0\ (x+4)(x-1)=0Rightarrow left[ beginx=-4,\ x=1 end right. end Функция сверху: (y=-x+1) Функция снизу: (y=x^2+2x-3) Пределы интегрирования: (a=-4, b=1)

begin S(-1)=int_^left((-x+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_^(-x-3x+4)dx=\ =left(-frac-frac+4xright)|_^=left(-frac13-frac32+4right)-left(frac-24-16right)=-21frac23+42frac12=20frac56 end
2) Решаем в общем виде.
Все прямые (y=kx+1) проходят через точку (0;1) и при образовании фигуры находятся над параболой.
Точки пересечения прямой и параболы: begin kx+1=x^2+2x-3Rightarrow x^2+(2-k)x-4=0\ D=(2-k)^2-4cdot (-4)=(k-2)^2+16gt 0 end Дискриминант (Dgt 0) при всех (k). Точки пересечения (пределы интегрирования): $$ x_=frac>=frac> $$ Разность корней: $$ x_2-x_1=sqrt=sqrt $$ Минимальное значение разности корней будет при (k=2).
Площадь: begin S(k)=int_^left((kx+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_^(-x^2+(k-2)x+4)dx=\ =left(-frac+frac+4xright)|_^=-frac13(x_2^3-x_1^3)+frac(x_2^2-x_1^2)+4(x_2-x_1) end

begin S(k)_=S(2)\ x_=pm 2\ S(2)=-frac13cdot(2^3+2^3)+0+4sqrt=\ =-frac+16=frac=10frac23 end

Ответ: 1) (S(-1)=20frac56); 2) (S(k)_=S(2)=10frac23)

Пример 5*. Фигура ограничена линиями (y=(x+3)^2, y=0, x=0). Под каким углом к оси OX надо провести прямые через точку (0;9), чтобы они разбивали фигуру на три равновеликие части?

Площадь криволинейной трапеции AOB: begin S_0=int_^(x+3)^2dx=frac|_^=\ =9-0=9 end Площадь каждой части: (S_i=frac13 S_0=3) Точки (C(x_1; 0)) и (D(x_2; 0)) c (-3lt x_1lt x_2lt 0) такие, что прямые AC и AD отсекают по 1/3 от фигуры. Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOD): begin S_3=frac12|x_2|cdot 9=3Rightarrow |x_2|=frac69=frac23Rightarrow\ x_2=-frac23 end Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOC): begin S_2+S_3=frac12|x_1|cdot 9=6Rightarrow |x_1|=frac=frac43Rightarrow\ x_1=-frac43 end

Находим углы соответствующих прямых.
Для (x_1: tgalpha=frac=frac=frac, alpha=arctgfrac)
Для (x_x: tgbeta=frac=frac=frac, beta=arctgfrac)

Все варианты того, как найти площадь трапеции

Многоликая трапеция. Она может быть произвольной, равнобедренной или прямоугольной. И в каждом случае нужно знать, как найти площадь трапеции. Конечно, проще всего запомнить основные формулы. Но иногда проще воспользоваться той, которая выведена с учетом всех особенностей конкретной геометрической фигуры.

Несколько слов о трапеции и ее элементах

Любой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, можно назвать трапецией. В общем случае они не равны и называются основаниями. Большее из них — нижнее, а другое — верхнее.

Две другие стороны оказываются боковыми. У произвольной трапеции они имеют различную длину. Если же они равны, то фигура становится равнобедренной.

Если вдруг угол между любой боковой стороной и основанием окажется равным 90 градусам, то трапеция является прямоугольной.

Все эти особенности могут помочь в решении задачи о том, как найти площадь трапеции.

Среди элементов фигуры, которые могут оказаться незаменимыми в решении задач, можно выделить такие:

• высота, то есть отрезок, перпендикулярный обоим основаниям;
• средняя линия, которая имеет своими концами середины боковых сторон.

По какой формуле вычислить площадь, если известны основания и высота?

Это выражение дается основным, потому что чаще всего можно узнать эти величины, даже когда они не даны явно. Итак, чтобы понять, как найти площадь трапеции, потребуется сложить оба основания и разделить их на два. Получившееся значение потом еще умножить на значение высоты.

Если обозначить основания буквами а₁ и а₂, высоту — н, то формула для площади будет выглядеть так:

Формула, по которой вычисляется площадь, если даны ее высота и средняя линия

Если посмотреть внимательно на предыдущую формулу, то легко заметить, что в ней явно присутствует значение средней линии. А именно, сумма оснований, деленная на два. Пусть средняя линия будет обозначена буквой l, тогда формула для площади станет такой:

Возможность найти площадь по диагоналям

Этот способ поможет, если известен угол, образованный ими. Предположим, что диагонали обозначены буквами д₁ и д₂, а углы между ними — α и β. Тогда формула того, как найти площадь трапеции, будет записана следующим образом:

В этом выражении можно легко заменить α на β. Результат не изменится.

Как узнать площадь, если известны все стороны фигуры?

Бывают и такие ситуации, когда в этой фигуре известны именно стороны. Эта формула получается громоздкой и ее сложно запомнить. Но возможно. Пусть боковые стороны имеют обозначение: в₁ и в₂, основание а₁ больше, чем а₂. Тогда формула площади примет такой вид:

Способы вычисления площади равнобедренной трапеции

Первый связан с тем, что в нее можно вписать окружность. И, зная ее радиус (он обозначается буквой r), а также угол при основании — γ, можно воспользоваться такой формулой:

Последняя общая формула, которая основана на знании всех сторон фигуры, существенно упростится за счет того, что боковые стороны имеют одинаковое значение:

Методы вычисления площади прямоугольной трапеции

Понятно, что подойдет любой из перечисленных для произвольной фигуры. Но иногда полезно знать об одной особенности такой трапеции. Она заключается в том, что разность квадратов длин диагоналей равна разности, составленной из квадратов оснований.

Часто формулы для трапеции забываются, в то время как выражения для площадей прямоугольника и треугольника помнятся. Тогда можно применить простой способ. Разделить трапецию на две фигуры, если она прямоугольная, или три. Одна точно будет прямоугольником, а вторая, или две оставшиеся, треугольниками. После вычисления площадей этих фигур останется их только сложить.

Это достаточно простой способ того, как найти площадь прямоугольной трапеции.

Как быть, если известны координаты вершин трапеции?

В этом случае потребуется воспользоваться выражением, которое позволяет определить расстояние между точками. Его можно применить три раза: для того, чтобы узнать оба основания и одну высоту. А потом просто применить первую формулу, которая описана немного выше.

Для иллюстрации такого метода можно привести такой пример. Даны вершины с координатами А(5; 7), В(8; 7), С(10; 1), Д(1; 1). Нужно узнать площадь фигуры.

До того как найти площадь трапеции, по координатам нужно вычислить длины оснований. Потребуется такая формула:

Верхнее основание обозначено АВ, значит, его длина будет равна √ = √9 = 3. Нижнее — СД = √ = √81 = 9.

Теперь нужно провести высоту из вершины на основание. Пусть ее начало будет в точке А. Конец отрезка окажется на нижнем основании в точке с координатами (5; 1), пусть это будет точка Н. Длина отрезка АН получится равной √ = √36 = 6.

Осталось только подставить получавшиеся значения в формулу площади трапеции:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Задача решена без единиц измерения, потому что не указан масштаб координатной сетки. Он может быть как миллиметр, так и метр.

Примеры задач

№ 1. Условие. Известен угол между диагоналями произвольной трапеции, он равен 30 градусам. Меньшая диагональ имеет значение 3 дм, а вторая больше ее в 2 раза. Необходимо посчитать площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно узнать длину второй диагонали, потому что без этого не удастся сосчитать ответ. Вычислить ее несложно, 3 * 2 = 6 (дм).

Теперь нужно воспользоваться подходящей формулой для площади:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (дм 2 ). Задача решена.

Ответ: площадь трапеции равна 4,5 дм 2 .

№ 2. Условие. В трапеции АВСД основаниями являются отрезки АД и ВС. Точка Е — середина стороны СД. Из нее проведен перпендикуляр к прямой АВ, конец этого отрезка обозначен буквой Н. Известно, что длины АВ и ЕН равны соответственно 5 и 4 см. Нужно вычислить площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно сделать чертеж. Поскольку значение перпендикуляра меньше стороны, к которой он проведен, то трапеция будет немного вытянутой вверх. Так ЕН окажется внутри фигуры.

Чтобы отчетливо увидеть ход решения задачи, потребуется выполнить дополнительное построение. А именно, провести прямую, которая будет параллельна стороне АВ. Точки пересечения этой прямой с АД — Р, а с продолжением ВС — Х. Получившаяся фигура ВХРА — параллелограмм. Причем его площадь равна искомой. Это связано с тем, что треугольники, которые получились при дополнительном построении, равны. Это следует из равенства стороны и двух прилежащих к ней углов, один — вертикальный, другой — накрест лежащий.

Найти площадь параллелограмма можно по формуле, которая содержит произведение стороны и высоты, опущенной на нее.

Таким образом, площадь трапеции равна 5 * 4 = 20 см 2 .

Ответ: S = 20 см 2 .

№ 3. Условие. Элементы равнобедренной трапеции имеют такие значения: нижнее основание — 14 см, верхнее — 4 см, острый угол — 45º. Нужно вычислить ее площадь.

Решение. Пусть меньшее основание имеет обозначение ВС. Высота, проведенная из точки В, будет называться ВН. Поскольку угол 45º, то треугольник АВН получится прямоугольный и равнобедренный. Значит, АН=ВН. Причем АН очень легко найти. Она равна половине разности оснований. То есть (14 — 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).

Основания известны, высота сосчитана. Можно пользоваться первой формулой, которая здесь была рассмотрена для произвольной трапеции.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2 ).

Ответ: Искомая площадь равна 45 см 2 .

№ 4. Условие. Имеется произвольная трапеция АВСД. На ее боковых сторонах взяты точки О и Е, так что ОЕ параллельна основанию АД. Площадь трапеции АОЕД в пять раз больше, чем у ОВСЕ. Вычислить значение ОЕ, если известны длины оснований.

Решение. Потребуется провести две параллельные АВ прямые: первую через точку С, ее пересечение с ОЕ — точка Т; вторую через Е и точкой пересечения с АД будет М.

Пусть неизвестная ОЕ=х. Высота меньшей трапеции ОВСЕ — н₁, большей АОЕД — н₂.

Поскольку площади этих двух трапеций соотносятся как 1 к 5, то можно записать такое равенство:

Высоты и стороны треугольников пропорциональны по построению. Поэтому можно записать еще одно равенство:

В двух последних записях в левой части стоят равные величины, значит, можно написать, что (х + а₁) / (5(х + а₂)) равно (х — а₂) / (а₁ — х).

Здесь требуется провести ряд преобразований. Сначала перемножить крест накрест. Появятся скобки, которые укажут на разность квадратов, после применения этой формулы получится короткое уравнение.

В нем нужно раскрыть скобки и перенести все слагаемые с неизвестной «х» в левую сторону, а потом извлечь квадратный корень.