Как найти площадь трапеции с перпендикулярными диагоналями

Как найти площадь трапеции с перпендикулярными диагоналями

Площадь равнобедренной трапеции можно найти с помощью любой из формул для нахождения площади трапеции в общем случае. Благодаря свойствам равнобедренной трапеции некоторые из этих формул могут быть упрощены.

I Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

ploshchad-ravnobedrennoj-trapeciiКак и для случая произвольной трапеции, площадь равнобедренной трапеции ABCD, AD∥BC, AB=CD,

    [BF bot AD,]

    [{S_{ABCD}} = frac{{AD + BC}}{2} cdot BF]

Если AD=a, BC=b, BF=h, то формула площади трапеции принимает вид

    [S = frac{{a + b}}{2} cdot h]

II. Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.

formula-ploshchadi-ravnobedrennoj-trapeciiЭто верно, в частности, для равнобедренной трапеции.

Если MN — средняя линия трапеции ABCD, BF — её высота, то площадь трапеции равна

    [{S_{ABCD}} = MN cdot BF]

Если MN=m, BF=h, то

    [S = m cdot h]

III. Площадь трапеции равна половине произведения её диагоналей на синус угла между ними.

Поскольку диагонали равнобедренной трапеции равны, площадь равнобедренной трапеции равна половине произведения квадрата её диагонали на синус угла между диагоналями.

ploshchad-ravnobedrennoj-trapecii-cherez-diagonaliДля равнобедренной трапеции ABCD

AD∥BC, AB=CD, AC∩BD=O,

    [{S_{ABCD}} = frac{1}{2}A{C^2} cdot sin angle COD]

Если AC=d, ∠COD=φ

    [S = frac{1}{2}{d^2}sin varphi ]

VI. Площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями.

1) Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, так как sin 90º=1, предыдущая формула принимает вид:

    [S = frac{1}{2}{d^2}]

2) Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярна, равна квадрату её высоты.

ploshchad-ravnobedrennoj-trapecii-diagonali-perpendikulyarnyВ равнобедренной трапеции ABCD

AD∥BC, AB=CD, AC∩BD=O, проведем высоту FK через точку пересечения диагоналей.

Прямоугольные треугольники AOD и BOC — равнобедренные (с основаниями AD и BC). Поэтому их высоты OK и OF являются также медианами. Следовательно, по свойству медианы, проведенной к гипотенузе

    [OK = frac{1}{2}AD,OF = frac{1}{2}BC.]

    [{S_{ABCD}} = frac{{AD + BC}}{2} cdot FK = ]

    [ = (frac{{AD}}{2} + frac{{BC}}{2}) cdot FK = ]

    [ = (OK + OF) cdot FK = FK cdot FK = F{K^2}.]

Таким образом, формула для нахождения площади равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями:

    [S = {h^2}]

V. Площадь трапеции равна произведению её полупериметра на радиус вписанной окружности.

ploshchad-ravnobedrennoj-trapecii-cherez-radius

    [S = p cdot r]

Так как в трапецию ABCD можно вписать окружность, то

AD+BC=AB+CD, то есть p=AD+BC или p=AB+CD=2AB.

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению суммы оснований на радиус окружности.

Если обозначить основания трапеции AD=a, BC=b, то

    [S = (a + b) cdot r]

Также площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна удвоенному произведению боковой стороны на радиус окружности.

Если обозначить боковые стороны AB=CD=c, то формула площади трапеции в этом случае

    [S = 2cr]

Так как высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями, то площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического её оснований:

    [S = frac{{a + b}}{2} cdot sqrt {ab} ]

Источник

Площадь трапеции через основания и высоту

{S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h}

Площадь трапеции можно найти множеством способов. Для вас мы собрали все возможные варианты нахождения площади. Для вашего удобства для каждой формулы создан калькулятор, который поможет рассчитать площадь трапеции по известным данным. От вас требуется только подставить значения и в режиме онлайн мгновенно получить ответ. Формулы и калькуляторы сгруппированы по типам трапеций – обычная, равнобедренная (равнобокая).

  1. Калькулятор площади трапеции
  2. Площадь трапеции
    1. через основания и высоту
    2. через среднюю линию и высоту
    3. через диагонали и среднюю линию
    4. через 4 стороны
    5. через диагонали и угол между ними
    6. через основания и углы при основании
    7. через площади треугольников
    8. через диагонали и высоту
    9. через радиус вписанной окружности и основания
    10. через перпендикулярные диагонали
  3. Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции
    1. через основания и высоту
    2. через 3 стороны (формула Брахмагупты)
    3. через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
    4. через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
    5. через основания и угол
    6. через диагонали и угол между ними
    7. через боковую сторону, угол при основании и среднюю линию
    8. через радиус вписанной окружности и угол при основании
  4. Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, в которую можно вписать окружность
    1. через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании
    2. через основания и угол при основании
    3. через основания и радиус вписанной окружности
    4. через основания
    5. через основания и боковую сторону
    6. через основания и среднюю линию
  5. Примеры задач

Площадь трапеции

Трапеция — выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Площадь трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции через основания и высоту

{S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h}

a и b – основания трапеции

h – высота, проведенная к основанию

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

{S = m cdot h}

m – средняя линия трапеции

h – высота трапеции

Площадь трапеции через диагонали и среднюю линию

Площадь трапеции через диагонали и среднюю линию

{S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)}}
{p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2}}

d1 и d2 – диагонали трапеции

m – средняя линия трапеции

Площадь трапеции через 4 стороны

Площадь трапеции через 4 стороны

{S = dfrac{a+b}{2} sqrt{c^2 – {Big( dfrac{(a-b)^2 + c^2 – d^2}{2(a-b)} Big)}^2}}

a, b, c и d – стороны трапеции

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

{S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}cdot sin(alpha); S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}cdot sin(beta)}

d1 и d2 – диагонали трапеции

α или β – угол между диагоналями трапеции

Площадь трапеции через основания и углы при основании

Площадь трапеции через основания и углы при основании

{S = dfrac{b^2 – a^2}{2} cdot dfrac{sin(alpha) cdot sin(beta)}{sin(alpha + beta)}}

a и b – основания трапеции

α или β – прилежащие к основанию трапеции углы

Площадь трапеции через площади треугольников

Площадь трапеции через площади треугольников

{S = (sqrt{S_1} + sqrt{S_2})^2}

S1 и S2 – площади образованных пересечением диагоналей трапеции треугольников

Площадь трапеции через диагонали и высоту

Площадь трапеции через диагонали и высоту

{S = dfrac{sqrt{{d_2}^2-h^2}+sqrt{{d_1}^2-h^2}}{2} cdot h}

d1 и d2 – диагонали трапеции

h – высота трапеции

Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания

Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания

{S = (a+b)cdot r}

a и b – основания трапеции

r – радиус вписанной в трапецию окружности

Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали

Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали

{S = dfrac{1}{2} cdot d_1 cdot d_2}

d1 и d2 – перпендикулярные диагонали трапеции

Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Площадь равнобедренной трапеции через основания и высоту

Площадь равнобедренной трапеции через основания и высоту

{S = dfrac{a+b}{2} cdot h}

a и b – основания равнобедренной трапеции

h – высота, проведенная к основанию равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через 3 стороны (формула Брахмагупты)

Площадь равнобедренной трапеции через 3 стороны (формула Брахмагупты)

{S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2}}
{p = dfrac{a+b+2c}{2}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

Площадь равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

{S = c cdot sin(alpha) cdot (a+c cdot cos(alpha))}

a – верхнее основание равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

α – прилежащие к нижнему основанию трапеции углы

Площадь равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

Площадь равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

{S = c cdot sin(alpha) cdot (b-c cdot cos(alpha))}

b – нижнее основание равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

α – прилежащий к нижнему основанию трапеции угол

Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол

Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол

{S = dfrac{1}{2}(b^2-a^2) cdot tg(alpha)}

a и b – основания равнобедренной трапеции

α – прилежащий к основанию трапеции угол

Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

{S = dfrac{1}{2}d^2 cdot sin(alpha)}

a – диагональ равнобедренной трапеции

α – угол между диагоналями равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через боковую сторону, угол при основании и среднюю линию

Площадь равнобедренной трапеции через боковую сторону, угол при основании и среднюю линию

{S = m cdot c cdot sin(alpha)}

m – средняя линия равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

α – угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании

{S = dfrac{4r^2}{sin(alpha)}}

r – радиус вписанной окружности

α – угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, в которую можно вписать окружность

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы ее противоположных сторон равны.

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании

{S = dfrac{h^2}{sin(alpha)}}

h – высота равнобедренной трапеции

α – угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и угол при основании

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и угол при основании

{S = dfrac{a cdot b}{sin(alpha)}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

α – угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и радиус вписанной окружности

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и радиус вписанной окружности

{S = r(a+b); r=dfrac{sqrt{a cdot b}}{2}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

r – радиус вписанной окружности

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания

{S = sqrt{a cdot b} cdot dfrac{a+b}{2}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и боковую сторону

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и боковую сторону

{S = c cdot sqrt{a cdot b}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и среднюю линию

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и среднюю линию

{S = m cdot sqrt{a cdot b}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

m – средняя линия равнобедренной трапеции

Примеры задач на нахождение площади трапеции

Задача 1

Найдите площадь трапеции, если основания равны 6см и 9 см, а высота трапеции равна 5 см.

Решение

Для решения задачи воспользуемся первой формулой.

S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h = dfrac{1}{2} (6 + 9) cdot 5 = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 5 = dfrac{1}{2} cdot 75 = 37dfrac{1}{2} : см^2

Ответ: 37.5 см²

Полученный ответ легко проверить с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь трапеции средняя линия которой равна 18 см, а высота 9 см.

Решение

С решением этой задачи нам поможет вторая формула.

S = m cdot h = 18 cdot 9 = 162 : см^2

Ответ: 162 см²

Воспользуемся калькулятором для проверки результата.

Задача 3

Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.

Решение

Для решения этой задачи нам поможет третья формула.

На первом этапе вычислим p:

p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{10+8+2 cdot 3}{2} = dfrac{10+8+6}{2} = dfrac{24}{2} = 12

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{12(12-10)(12-8)(12-2 cdot 3)} = sqrt{12 cdot 2 cdot 4 cdot 6} = sqrt{576} = 24 : см^2

Ответ: 24 см²

Осталось проверить полученный ответ.

Задача 4

Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 17 и 15, а средняя линия равна 4.

Решение

Задача похожа на ту, что мы только что решили. Поэтому повторим шаги.

На первом этапе вычислим p:

p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{17+15+ 2 cdot 4}{2} = dfrac{17+15+8}{2} = dfrac{40}{2} = 20

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{20(20-17)(20-15)(20-2 cdot 4)} = sqrt{20 cdot 3 cdot 5 cdot 12} = sqrt{3600} = 60 : см^2

Ответ: 60 см²

Проверка .

Задача 5

Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 8 и 6 а средняя линия равна 5.

Решение

Еще одна типовая задача. Повторим действия как в задачах выше.

На первом этапе вычислим p:

p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{8+6+ 2 cdot 5}{2} = dfrac{8+6+10}{2} = dfrac{24}{2} = 12

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{12(12-8)(12-6)(12-2 cdot 5)} = sqrt{12 cdot 4 cdot 6 cdot 2} = sqrt{576} = 24 : см^2

Ответ: 24 см²

Проверка .

Задача 6

Найдите площадь равнобедренной трапеции если её основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см.

Решение

Для решения этой задачи используем формулу Брахмагупты.

Сначала вычислим p:

p = dfrac{a+b+2c}{2} = dfrac{5+17+2 cdot 10}{2} = dfrac{22+20}{2} = dfrac{42}{2} = 21

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2} = sqrt{(21-5)(21-17)(21-10)^2} = sqrt{16 cdot 4 cdot 11^2} = sqrt{16 cdot 4 cdot 121} = sqrt{7744}= 88 : см^2

Ответ: 88 см²

Проверка .

Задача 7

Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, а основания равны 8 и 6 см. Найдите площадь трапеции.

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{2}(b^2-a^2) cdot tg(alpha) = dfrac{1}{2}(8^2-6^2) cdot tg(45°)

Тангенс 45° = 1, продолжим вычисления:

S = dfrac{1}{2}(8^2-6^2) cdot tg(45°) = dfrac{1}{2}(64-36) cdot 1 = dfrac{1}{2} cdot 28 = 14 : см^2

Ответ: 14 см²

Убедиться в правильности решения нам поможет калькулятор .

Источник
Площадь трапеции через основания и угол между боковыми сторонами | Задача

Выведем формулу нахождения площади трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями через два известных основания и угол между боковыми сторонами трапеции?

Как мне кажется, задачи с условными (буквенными) обозначениями — созданы для выведения формул. Если бы основания это трапеции были бы численные, да и угол, мы бы даже не подумали о том, что можно вывести одно такое выражение, в которое «подставляй–да–подставляй» цифры. Все условия для этого есть. Надо пробовать.

Вспомним:

  1. Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними;
  2. Формула нахождения площади трапеции через два основания и высоту;
  3. Формула нахождения площади трапеции через две диагонали и угол между ними.

Условие

В трапеции основания равны a и b, диагонали перпендикулярны, а угол между боковыми сторонами равен α. Найдите площадь трапеции.

Бо́льше трапеций:

🐤 Трапеция разделена прямой на две равновеликие трапеции

🐦 Пропорциональные отрезки, площадь трапеции и треугольника

🐧 Попробуйте найти площадь треугольника в трапеции

Источник

Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, при решении задачи будет полезен следующий теоретический материал.

1. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований.           

v-ravnobedrennoj-trapecii-diagonali-perpendikulyarny

Проведем  через точку C прямую CF, параллельную BD, и продлим прямую AD до пересечения с CF.

diagonali-ravnobokoj-trapecii-perpendikulyarny

Четырехугольник  BCFD — параллелограмм ( BC∥DF как основания трапеции, BD∥CF по построению). Значит, CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.  

Треугольник ACF прямоугольный (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой). Поскольку в равнобедренной трапеции диагонали равны, а CF=BD, то CF=AC, то есть треугольник ACF — равнобедренный с основанием AF. Значит, его высота CN является также медианой. А так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то

    [CN = frac{1}{2}AF = frac{{AD + BC}}{2},]

что в общем виде можно записать как

    [h = frac{{a + b}}{2},]

где h — высота трапеции, a и b — ее основания.

2. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее высота равна средней линии.

Так как средняя линия трапеции m равна полусумме оснований, то

    [h = m.]

3. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты трапеции (или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии).

Так как площадь трапеции находится по формуле

    [S = frac{{a + b}}{2} cdot h]

а высота, полусумма оснований и средняя линия равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями равны между собой:

    [h = frac{{a + b}}{2} = m,]

то

    [S = {h^2}]

    [S = {(frac{{a + b}}{2})^2}]

    [S = {m^2}.]

4. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы оснований, а также  удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату средней линии.

Так как площадь выпуклого четырехугольника можно найти через его диагонали и угол между ними по формуле

    [S = frac{1}{2}{d_1}{d_2}sin varphi ]

sin 90º =1, и диагонали равнобедренной трапеции равны, то площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна

    [S = frac{1}{2}{d^2}.]

откуда

    [frac{1}{2}{d^2} = {(frac{{a + b}}{2})^2} = {h^2} = {m^2},]

    [{d^2} = frac{{{{(a + b)}^2}}}{2}.]

Источник

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.{1}^{○}$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям – подобны.

$$ 4.{2}^{○}$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей  и точка  пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

 

$$ 4.{3}^{○}$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.{4}^{○}$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.{5}^{○}$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.{6}^{○}$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых   равен   полуразности   оснований,  а  другой –  их  полусумме

(рис. 25, основания равны  `a` и `b`, `a>b`).

       

$$ 4.{7}^{○}$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.{8}^{○}$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).                      

   

$$ 4.{9}^{○}$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` – диагональ, `c` – боковая  сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей  равна  сумме  квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.{10}^{○}$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.{11}^{○}$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Докажем, например, утверждение $$ 4.{9}^{○}$$.          

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):`     `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,        

 `ul(DeltaBCD):`  `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi`  (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Складывая, получаем

`d_1^2+d_2^2=a^2+b^2+c_2^2+(c_2^2-2(a-b)c_2cosvarphi)`.                                              (2)

Проводим `CK“||“BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=a^2+b^2+c_2^2+(c_1^2-(a-b)^2)=`

`=(a^2+b^2+c_2^2)+(c_1^2-a^2-b^2+2ab)`.

Окончательно имеем 

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем 

. 

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.{2}^{○}$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` – его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную  диагонали `AC`, пусть `K` – её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

 

По построению `ACKD` – параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` – это угол между  диагоналями трапеции).             

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой  `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника  `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то  

`S_(BDK)=1/2BK*DP=1/2(BC+AD)DP=S_(ABCD)`.       

Итак, `S_(ABCD)=S=24`.                       

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны  `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` – высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.{1}^{○}$$  `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е.  `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`,  откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah`  и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`,  то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.  

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом,  `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`,  и поэтому площадь трапеции будет равна

`S_1+S_2+2S_0=(sqrt(S_1)+sqrt(S_2))^2`.

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32). 

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.{11}^{○}$$ около  этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.{6}^{○}$$

`AK=(AD-BC)/2=1`, `KD=(AD+BC)/2=9`.                       

Из прямоугольного треугольника  `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)`  и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:`  `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда 

 `R=(3sqrt(10))/(2*3//sqrt(10)) =5`.

$$ 4.{12}^{○}$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.{13}^{○}$$. Если `S_1` и `S_2` – площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.{14}^{○}$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` – какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` – смотрящий на неё вписанный угол.

Источник

Добавить комментарий