Площадь параллелограмма АВСD равна 92. Точка Е – середина стороны АВ. Найдите площадь трапеции DAEC.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Решение:
Проведём прямую пересекающую середины сторон АВ и CD. И прямую из вершины А параллельную ЕС:
Параллелограмм АВСD поделился на 4 равных треугольника. Найдём площадь одного такого треугольника:
S_{Delta }=frac{S_{ABCD}}{4}=frac{92}{4}=23
Площадь трапеции DAEC cоставляет 3 таких треугольника:
SDAEC = 3·SΔ = 3·23 = 69
Ответ: 69.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 4.6 / 5. Количество оценок: 77
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
Лучший ответ
Naumenko
Высший разум
(856085)
6 лет назад
интересная формулировка..
то ли трапеция часть п-ма. то ли наоборот-
без чертежа непонятно. но посильная помощь вам вот
Остальные ответы
Lans_Vans_Dance
Гуру
(3858)
6 лет назад
Трапеция то какая?
Eskas@gmail.com ЭскандерУченик (132)
6 лет назад
Площадь параллелограмма ABCD равна 180. Точка Е – середина стороны AB.Найдите площадь трапеции DAEC
Lans_Vans_Dance
Гуру
(3858)
Трапеция р/б, равносторонняя или как? Я же не вижу её
yurijsiomin
Просветленный
(35939)
6 лет назад
Методом изучения геометрии.
Задача №312 из 1087
|
Площадь параллелограмма
ABCD равна 56. Точка E — середина стороны
CD. Найдите площадь трапеции AECB.
Решение задачи:
Первый вариант решения
Проведем высоту
параллелограмма DO, как показано на рисунке. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту
параллелограмма.
Sпараллелограмма=AB*h=56
А площадь
трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Sтрапеции=h*(AB+EC)/2.
EC=DC/2 (по условию задачи).
DC=AB (по
свойству параллелограмма).
Следовательно EC=AB/2.
Тогда Sтрапеции=h*(AB+AB/2)/2 = h*(3*AB/2)/2 = h*3*AB/4=h*AB*3/4 = Sпарал-ма*3/4=56*3/4=42.
Ответ: Sтрапеции=42.
Второй вариант решения задачи
Прислал пользователь Юлия
1) Отметим точку М на АB, так чтобы AM=MB
SADEM=SMECB, т.к. ЕМ делит ABCD на равные части.
2) Треугольник AED равен треугольнику EAM (по первому признаку):
/AED = /EAM (т.к. AB||CD, AE – секущая, а эти углы –
внутренние накрест лежащие)
DЕ=AM
AE – общая сторона
3) Пусть площадь треугольника AED = х, тогда SABCD = 4x т.к EM делит ABCD пополам.
4x = 56
x = 14
4) SAECB = SABCD – SAED = 4x-x = 3x
SAECB = 3*14 = 42
Ответ: площадь трапеции 42 см в кв.
Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на
странице ‘Про нас’
Другие задачи из этого раздела
Задача №062651
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC=34.
Задача №01C996
В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=79 и BC=BM. Найдите AH.
Задача №0DBEF1
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD=36.
Задача №A1451C
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=44, MN=24. Площадь треугольника ABC равна 121. Найдите площадь треугольника MBN.
Задача №DEDDAD
Укажите номера верных утверждений.
1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
2) Сумма смежных углов равна 180°.
3) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.
Различают три вида трапеции:
Равнобедренная – с равными боковыми сторонами.
Прямоугольная – угол одного угла у основания является прямым (90 градусов).
Разносторонняя – с боковыми сторонами разной длины. Если из любой точки основания опустить перпендикуляр к другому основанию, то полученная прямая будет являться высотой трапеции. Зная длину обоих оснований и высоту, можно вычислить площадь трапеции. Еще один элемент трапеции – ее средняя линия. Ею называется отрезок, соединяющий серединные точки боковых сторон. При известном значении средней линии, тоже можно узнать площадь трапеции.
Вычисление площади трапеции
Формула, описывающая как найти площадь трапеции, гласит, что для этого необходимо вычислить произведение половины суммы высоты и оснований. То есть, приняв величину одного основания за А ,второго–за В, высоту– за Н, имеем: S (площадь)=((А+В)/2) х Н.
Если величины оснований не известны, но известна длина средней линии и высота, то площадь фигуры будет равна произведению высоты и средней линии. Например, отрезок соединяет середины двух непараллельных сторон в точках К и М. Формула будет выглядеть, как: S=КМ х Н.
Другие элементы трапеции также могут помочь при вычислении ее площади. Зная размер диагоналей (d1 и d2) и величину угла между ними, можно вычислить площадь по формуле:(d1хd2 х sin α)/2.
Все эти формулы справедливы для трапеции любого вида.
Особенности равнобедренной трапеции
Равнобедренная трапеция обладает рядом свойств, отличающих ее от прямоугольной и разносторонней.
1. Оба угла, прилагающие к меньшему основанию, и оба угла, прилегающие к большему, – равны.
2. Длины диагоналей в равнобедренной трапеции равны.
3. Если провести перпендикуляр из вершины наибольшее основание (высоту), она разделит его на отрезки, первый из которых будет равен половине разности оснований (а – b)/2, а второй – половине сумме оснований(а + b) / 2.
4. Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны (как в ромбе), то можно узнать высоту по формуле: Н= (а+ b )/ 2, тоесть она составляет половину суммы оснований.
5. Если через середины оснований трапеции провести прямую, то она будет являться осью симметрии этой геометрической фигуры.
6. Доказать, что трапеция является равнобедренной можно с помощью круга. Если в нее можно вписать окружность, а также описать вокруг нее, то такая трапеция считается равнобедренной.
Площадь равнобедренной трапеции
Но если речь идет строго о равнобедренной трапеции, ток ней применимы формулы, которые не подходят для нахождения площади разносторонней или прямоугольной трапеций.
Найти площадь равнобедренной трапеции можно, вписав в нее окружность. В таком случае площадь вычисляем по формуле S =4R2 / sin α.R– радиус окружности, вписанной в трапецию. α–величина угла при основании.
Если угол равен 30 градусам, то формула будет выглядеть так: S = 8R2.
Если требуется узнать площадь равнобедренной трапеции, когда известны размеры всех сторон, используется формула:
Здесь: а и b означают основания фигуры, а c и d – ее боковые стороны.
Оцени ответ
{S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h}
Площадь трапеции можно найти множеством способов. Для вас мы собрали все возможные варианты нахождения площади. Для вашего удобства для каждой формулы создан калькулятор, который поможет рассчитать площадь трапеции по известным данным. От вас требуется только подставить значения и в режиме онлайн мгновенно получить ответ. Формулы и калькуляторы сгруппированы по типам трапеций – обычная, равнобедренная (равнобокая).
- Калькулятор площади трапеции
- Площадь трапеции
- через основания и высоту
- через среднюю линию и высоту
- через диагонали и среднюю линию
- через 4 стороны
- через диагонали и угол между ними
- через основания и углы при основании
- через площади треугольников
- через диагонали и высоту
- через радиус вписанной окружности и основания
- через перпендикулярные диагонали
- Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции
- через основания и высоту
- через 3 стороны (формула Брахмагупты)
- через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
- через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
- через основания и угол
- через диагонали и угол между ними
- через боковую сторону, угол при основании и среднюю линию
- через радиус вписанной окружности и угол при основании
- Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, в которую можно вписать окружность
- через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании
- через основания и угол при основании
- через основания и радиус вписанной окружности
- через основания
- через основания и боковую сторону
- через основания и среднюю линию
- Примеры задач
Площадь трапеции
Трапеция — выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Площадь трапеции через основания и высоту
{S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h}
a и b – основания трапеции
h – высота, проведенная к основанию
Площадь трапеции через среднюю линию и высоту
{S = m cdot h}
m – средняя линия трапеции
h – высота трапеции
Площадь трапеции через диагонали и среднюю линию
{S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)}}
{p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2}}
d1 и d2 – диагонали трапеции
m – средняя линия трапеции
Площадь трапеции через 4 стороны
{S = dfrac{a+b}{2} sqrt{c^2 – {Big( dfrac{(a-b)^2 + c^2 – d^2}{2(a-b)} Big)}^2}}
a, b, c и d – стороны трапеции
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
{S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}cdot sin(alpha); S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}cdot sin(beta)}
d1 и d2 – диагонали трапеции
α или β – угол между диагоналями трапеции
Площадь трапеции через основания и углы при основании
{S = dfrac{b^2 – a^2}{2} cdot dfrac{sin(alpha) cdot sin(beta)}{sin(alpha + beta)}}
a и b – основания трапеции
α или β – прилежащие к основанию трапеции углы
Площадь трапеции через площади треугольников
{S = (sqrt{S_1} + sqrt{S_2})^2}
S1 и S2 – площади образованных пересечением диагоналей трапеции треугольников
Площадь трапеции через диагонали и высоту
{S = dfrac{sqrt{{d_2}^2-h^2}+sqrt{{d_1}^2-h^2}}{2} cdot h}
d1 и d2 – диагонали трапеции
h – высота трапеции
Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания
{S = (a+b)cdot r}
a и b – основания трапеции
r – радиус вписанной в трапецию окружности
Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали
{S = dfrac{1}{2} cdot d_1 cdot d_2}
d1 и d2 – перпендикулярные диагонали трапеции
Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции
Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Площадь равнобедренной трапеции через основания и высоту
{S = dfrac{a+b}{2} cdot h}
a и b – основания равнобедренной трапеции
h – высота, проведенная к основанию равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции через 3 стороны (формула Брахмагупты)
{S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2}}
{p = dfrac{a+b+2c}{2}}
a и b – основания равнобедренной трапеции
c – боковая сторона равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
{S = c cdot sin(alpha) cdot (a+c cdot cos(alpha))}
a – верхнее основание равнобедренной трапеции
c – боковая сторона равнобедренной трапеции
α – прилежащие к нижнему основанию трапеции углы
Площадь равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
{S = c cdot sin(alpha) cdot (b-c cdot cos(alpha))}
b – нижнее основание равнобедренной трапеции
c – боковая сторона равнобедренной трапеции
α – прилежащий к нижнему основанию трапеции угол
Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол
{S = dfrac{1}{2}(b^2-a^2) cdot tg(alpha)}
a и b – основания равнобедренной трапеции
α – прилежащий к основанию трапеции угол
Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
{S = dfrac{1}{2}d^2 cdot sin(alpha)}
a – диагональ равнобедренной трапеции
α – угол между диагоналями равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции через боковую сторону, угол при основании и среднюю линию
{S = m cdot c cdot sin(alpha)}
m – средняя линия равнобедренной трапеции
c – боковая сторона равнобедренной трапеции
α – угол при основании равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании
{S = dfrac{4r^2}{sin(alpha)}}
r – радиус вписанной окружности
α – угол при основании равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, в которую можно вписать окружность
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы ее противоположных сторон равны.
Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании
{S = dfrac{h^2}{sin(alpha)}}
h – высота равнобедренной трапеции
α – угол при основании равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и угол при основании
{S = dfrac{a cdot b}{sin(alpha)}}
a и b – основания равнобедренной трапеции
α – угол при основании равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и радиус вписанной окружности
{S = r(a+b); r=dfrac{sqrt{a cdot b}}{2}}
a и b – основания равнобедренной трапеции
r – радиус вписанной окружности
Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания
{S = sqrt{a cdot b} cdot dfrac{a+b}{2}}
a и b – основания равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и боковую сторону
{S = c cdot sqrt{a cdot b}}
a и b – основания равнобедренной трапеции
c – боковая сторона равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и среднюю линию
{S = m cdot sqrt{a cdot b}}
a и b – основания равнобедренной трапеции
m – средняя линия равнобедренной трапеции
Примеры задач на нахождение площади трапеции
Задача 1
Найдите площадь трапеции, если основания равны 6см и 9 см, а высота трапеции равна 5 см.
Решение
Для решения задачи воспользуемся первой формулой.
S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h = dfrac{1}{2} (6 + 9) cdot 5 = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 5 = dfrac{1}{2} cdot 75 = 37dfrac{1}{2} : см^2
Ответ: 37.5 см²
Полученный ответ легко проверить с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь трапеции средняя линия которой равна 18 см, а высота 9 см.
Решение
С решением этой задачи нам поможет вторая формула.
S = m cdot h = 18 cdot 9 = 162 : см^2
Ответ: 162 см²
Воспользуемся калькулятором для проверки результата.
Задача 3
Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.
Решение
Для решения этой задачи нам поможет третья формула.
На первом этапе вычислим p:
p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{10+8+2 cdot 3}{2} = dfrac{10+8+6}{2} = dfrac{24}{2} = 12
А теперь можно вычислить площадь трапеции:
S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{12(12-10)(12-8)(12-2 cdot 3)} = sqrt{12 cdot 2 cdot 4 cdot 6} = sqrt{576} = 24 : см^2
Ответ: 24 см²
Осталось проверить полученный ответ.
Задача 4
Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 17 и 15, а средняя линия равна 4.
Решение
Задача похожа на ту, что мы только что решили. Поэтому повторим шаги.
На первом этапе вычислим p:
p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{17+15+ 2 cdot 4}{2} = dfrac{17+15+8}{2} = dfrac{40}{2} = 20
А теперь можно вычислить площадь трапеции:
S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{20(20-17)(20-15)(20-2 cdot 4)} = sqrt{20 cdot 3 cdot 5 cdot 12} = sqrt{3600} = 60 : см^2
Ответ: 60 см²
Проверка .
Задача 5
Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 8 и 6 а средняя линия равна 5.
Решение
Еще одна типовая задача. Повторим действия как в задачах выше.
На первом этапе вычислим p:
p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{8+6+ 2 cdot 5}{2} = dfrac{8+6+10}{2} = dfrac{24}{2} = 12
А теперь можно вычислить площадь трапеции:
S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{12(12-8)(12-6)(12-2 cdot 5)} = sqrt{12 cdot 4 cdot 6 cdot 2} = sqrt{576} = 24 : см^2
Ответ: 24 см²
Проверка .
Задача 6
Найдите площадь равнобедренной трапеции если её основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см.
Решение
Для решения этой задачи используем формулу Брахмагупты.
Сначала вычислим p:
p = dfrac{a+b+2c}{2} = dfrac{5+17+2 cdot 10}{2} = dfrac{22+20}{2} = dfrac{42}{2} = 21
А теперь можно вычислить площадь трапеции:
S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2} = sqrt{(21-5)(21-17)(21-10)^2} = sqrt{16 cdot 4 cdot 11^2} = sqrt{16 cdot 4 cdot 121} = sqrt{7744}= 88 : см^2
Ответ: 88 см²
Проверка .
Задача 7
Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, а основания равны 8 и 6 см. Найдите площадь трапеции.
Решение
Для решения этой задачи воспользуемся формулой.
S = dfrac{1}{2}(b^2-a^2) cdot tg(alpha) = dfrac{1}{2}(8^2-6^2) cdot tg(45°)
Тангенс 45° = 1, продолжим вычисления:
S = dfrac{1}{2}(8^2-6^2) cdot tg(45°) = dfrac{1}{2}(64-36) cdot 1 = dfrac{1}{2} cdot 28 = 14 : см^2
Ответ: 14 см²
Убедиться в правильности решения нам поможет калькулятор .
