Как найти площадь треугольника абд

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

[spoiler title=”источники:”]

http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika

http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-treugolnika

[/spoiler]

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

Формулы площади треугольника

Через основание и высоту

$$S= frac{1}{2} ah $$
(S) — площадь треугольника

(a) — основание

(h) — высота

(a =)   
(h =)

---

Через две стороны и угол

$$S= frac{1}{2} ab sin alpha $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

( alpha ) — угол между сторонами (a) и (b)

(a =)   
(b =)   
( alpha =)

---

Формула Герона

$$S= sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(c) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})

(a =)   
(b =)   
(c =)

---

Через радиус вписанной окружности

$$S= rp $$
(S) — площадь треугольника

(r) — радиус вписанной окружности

(a) — сторона

(b) — сторона

(c) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})

(r =)   
(p =)

---

Через радиус описанной окружности

(S= frac{abc}{4R} )

(S) — площадь треугольника

(R) — радиус описанной окружности

(a) — сторона

(b) — сторона

(c) — сторона

(a =)  
(b =)

(c =)  
(R =)

---

Площадь прямоугольного треугольника

$$S= frac{1}{2} ab $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(a =)   
(b =)

---

Площадь прямоугольного треугольника

$$S= de $$
(S) — площадь треугольника

(d =)   
(e =)

---

Формула Герона для прямоугольного треугольника

$$ S= (p-a)(p-b) $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})

(a =)   
(b =)   
(p =)

---

Площадь равнобедренного треугольника

$$S= frac{1}{2} a^2 sin alpha$$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами

(a =)   
( alpha =)

---

Площадь равнобедренного треугольника

<
$$S= frac{1}{2} ab sin alpha $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами и основанием

(a =)   
(b =)   
( alpha =)

---

Площадь равнобедренного треугольника

$$S= frac{b^2}{4tg frac{ alpha }{2}} $$
(S) — площадь треугольника

(b) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами и основанием

(b =)   
(alpha =)

---

Формула Герона для равнобедренного треугольника

a =   
b =

---

Площадь равностороннего треугольника

$$S= frac{ sqrt{3}a^2}{4} $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(a =)

---

Площадь равностороннего треугольника

$$S= frac{3 sqrt{3}R^2}{4}$$
(S) — площадь треугольника

(R) — радиус описанной окружности

(R =)

---

Площадь равностороннего треугольника

$$S= 3 sqrt{3}r^2 $$
(S) — площадь треугольника

(r) — радиус вписанной окружности

(r =)

---

Площадь равностороннего треугольника

$$S= frac{h^2}{sqrt{3}}$$
(S) — площадь треугольника

(h) — высота

(h =)

Здравствуйте, уважаемые читатели. В этой статье рассмотрим задачи по геометрии за 8-9 класс. Задачи на нахождение площади треугольника. Они встречаются в 15 задании ОГЭ по математике.

В статье будут рассмотрены несколько формул вычисления площади треугольника.

Первая теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на сторону, к которой она проведена.

Задача №1

Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника

Решение

Задача №2

У треугольника со сторонами 2 и 10 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 5. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на сторону, к которой она проведена. Поэтому площадь треугольника в каждом случае будет одинаковой.

Задача №3

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=6, DC=10. Площадь треугольника ABC равна 48. Найдите площадь треугольника BCD.

Решение

Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла, делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:

Отрезок AD относиться к отрезку DC как 6:10. Значить площадь треугольника ABD составляет 6 частей от площади треугольника АВС, а площадь треугольника DBC – 10 частей. Вся площадь треугольника ABC равна 16 частей. По условию площадь треугольника АВС равна 48. Значит площадь треугольника ВСD=(48/16)*10=30.

Ответ 30

Задача №4

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 10. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Вторая теорема

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Ответ 20

Задача №5

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а угол, лежащий напротив него равен 45°. Найдите площадь треугольника

Решение:

Если в прямоугольном треугольнике, один из острых углов равен 45 градусам, то и второй острый угол равен 45 градусам, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Значит в треугольнике катеты равны 4 ( a=b=4). Найдем площадь равнобедренного прямоугольного треугольника:

Ответ 8

Задача №6

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 8 и 17.

Решение

Вспомним что такое катет и гипотенуза.

Стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол, называются катеты, а третья сторона – гипотенуза.

Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника, необходимо вычислить второй катет. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Зная оба катета прямоугольного треугольника, вычислим его площадь:

Ответ 60

Задача №7

Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 72. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение

В этой задаче, чтобы найти высоту, проведенную к гипотенузе, необходимо воспользоваться двумя формулами нахождения площади треугольника. Первая формула (для прямоугольного треугольника): половина произведения его катетов. Вторая формула: половина произведения высоты на сторону, к которой эта высота проведена. Площадь, вычисленная разными формулами одной фигуры, одинаковая. Для решения, нам понадобятся размеры гипотенузы. Вычислим ее:

Теперь найдем, чему будет равна высота:

Ответ 20,16

Задача №8

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25, а основание равно 48. Найдите площадь этого треугольника.

Решение.

В этой задаче, площадь треугольника найдем по формуле Герона. Для этого нужно знать полупериметр (периметр, деленный на 2) треугольника и длину каждой стороны.

В равнобедренном треугольнике, боковые стороны равны. Найдем периметр треугольника. Периметр треугольника – это сумма всех длин сторон треугольника

Ответ 168

Задача №9

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 82, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение

Если в прямоугольном треугольнике, один из острых углов равен 45 градусам, то и второй острый угол равен 45 градусам, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

В нашем случает получается треугольник прямоугольный и равнобедренный т.е. катеты треугольника равны. Найдем катеты прямоугольного треугольника через теорему Пифагора.

Пусть катеты прямоугольного треугольника это Х

Ответ 1681

Задача №10

Решение

Третья теорема. Теорема о площади треугольника (9 класс)

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Ответ 50

Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог

Что такое треугольник

Это весьма узнаваемая, классическая фигура в геометрии, известная даже детишкам дошкольного возраста. Треугольник фактически состоит из трёх точек на плоскости и трёх соединяющих их отрезков. Что важно — точки не могут лежать на одной прямой линии и именуются они вершинами данной фигуры.

Соединяющие отрезки — это стороны, а пространство между ними — внутренность треугольника, площадь которой мы и собираемся вычислить. В зависимости от значений или соотношений сторон и углов выделяют равносторонние, равнобедренные, прямоугольные и др.

Площадь прямоугольного треугольника

Частным будет случай, когда один из углов фигуры равен 90°, то есть является прямым. Двух прямых углов в треугольнике быть просто физически не может, иначе третий будет равен 0°, что невозможно: сумма углов всегда 180° — это закон.

Формула нахождения площади в этом случае чрезвычайно проста: перемножаем катеты и делим результат на два. По сути своей — это половина прямоугольника, что можно сложить из двух таких фигур. Наш онлайн-калькулятор моментально выполнит расчёт.

Важно: если ваши единицы измерения — миллиметры, тогда площадь будет выражаться в мм²; если сантиметры — тогда в см² и так далее …

Площадь треугольника через сторону и прилежащие углы

Чтобы воспользоваться приведённой здесь формулой, необходимо знать длину одной из сторон треугольника и прилежащие к ней углы. На самом деле потребуются значения всех углов, но при наличии двух из них — найти третье не составит труда: сумма углов треугольника всегда равна 180°.

Известное нам значение длины возводится в квадрат, делится на 2 и умножается на следующую дробь: в числителе перемножены синусы прилежащих углов, в знаменателе — синус оставшегося третьего угла.

Важно: если ваши единицы измерения — миллиметры, тогда площадь будет выражаться в мм²; если сантиметры — тогда в см² и так далее …

Площадь треугольника через две стороны и угол

Представленная формула позволит найти площадь любого произвольного треугольника, если мы имеем на руках значения двух его сторон и угла между ними. Для этого необходимо произведение этих сторон умножить на синус угла, и разделить итоговое значение на 2.

Сложно представить, при каких жизненных ситуациях нам может потребоваться производить подобные вычисления, тем не менее у школьников и людей специализированных профессий такая потребность возникает с завидной регулярностью. Для них и создан наш онлайн-калькулятор.

Важно: если ваши единицы измерения — миллиметры, тогда площадь будет выражаться в мм²; если сантиметры — тогда в см² и так далее …

Площадь треугольника по формуле Герона

Герон — греческий математик, изобретатель и механик, живший в первом веке нашей эры. По его формуле площадь треугольника рассчитывается, как корень из произведения разностей полупериметра (p) и каждой из его сторон (a, b, c). Всё, что необходимо знать — значения длин всех сторон.

Формула Герона присутствует в так называемой «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.). Была названа конечно же его именем, хотя говорят её вывел ещё сам Архимед.

Наш онлайн-калькулятор всего за несколько секунд поможет вам найти площадь, достаточно ввести значения длин всех сторон.

Важно: если ваши единицы измерения — миллиметры, тогда площадь будет выражаться в мм²; если сантиметры — тогда в см² и так далее …

Площадь треугольника через основание и высоту

Наш онлайн-калькулятор моментально вычислит для вас площадь треугольника. Существует множество научных способов как её найти.

В данном случае потребуются следующие данные: длина основания (мы обозначили её буквой «b») и опущенная к нему высота (обычно обозначается как «h»). Для вашего удобства мы добавили подробный чертёж с обозначениями.

Важно: если ваши единицы измерения — миллиметры, тогда площадь будет выражаться в мм²; если сантиметры — тогда в см² и так далее …

Ваша оценка?

[Оценок: 11 / Средняя: 4.8]