Как найти площадь треугольника через описанную окружность

Пример 

Рассмотрим наглядный пример:

На рисунке изображен многоугольник с пятью углами ABCDE. Около этого пятиугольника описана окружность, центр которой обозначен О, а радиус равен R. Таким образом, ABCDE представляет собой вписанный пятиугольник, а O является точкой, в которой пересекаются серединные перпендикуляры, проведенные к сторонам ABCD. Запишем следующие соотношения:

(AP = PE,OP bot AE)

(AM = MB,OM bot AB)

(BN = NC,ON bot BC)

(CL = LD,OL bot CD)

(DK = KE,OK bot DE)

Заметим, что точка O находится на одинаковом расстоянии, то есть равноудалена, от каждой из вершин рассматриваемого многоугольника с каким-то периметром:

Данное расстояние между точкой О и какой-либо вершиной соответствует радиусу описанной окружности:

OA=OB=OC=OD=OE=R

Примечание 

Окружность можно описать около любого треугольника. А, к примеру, около выпуклого четырехугольника имеется возможность описать окружность только в том случае, если противолежащие углы данной геометрической фигуры в сумме дают 180°.

Теорема 

Определить площадь треугольника можно путем деления результата от произведения сторон этого треугольника на четыре радиуса окружности, которая описана около данного треугольника.

Формула 1

 Формула имеет вид:

(S = frac{1}{2}absin alpha)

Задача 1

Дан равнобедренный треугольник с боковыми гранями, равными 50. Основание фигуры составляет 80. Требуется определить радиус, которым обладает описанная около данного треугольника окружность.

Решение

Найдем радиус окружности через площадь треугольника:

(R=frac{abc}{4S})

С помощью формулы Герона рассчитаем площадь:

(S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=sqrt{90(90-50)^2(90-80)}=900)

В результате:

(R=frac{90cdot 50cdot 50}{4cdot 900}=62,5)

Ответ: 62,5.

Задача 2

Имеется некий треугольник АВС. Одна из его сторон АВ составляет 28. Угол напротив этой стороны С составляет 150 градусов. Требуется определить радиус окружности, которая описана около данного треугольника.

Решение

Воспользуемся теоремой синусов и запишем:

(frac{AB}{sinC}=2R)

(frac{28}{sin150^{circ}}=2R)

(frac{28}{frac{1}{2}}=2R)

В результате:

R=28.

Ответ: 28.

Задача 3

Дан некий треугольник АВС. Градусная мера угла С составляет 90 градусов, а стороны равны:

BC=16;

AC=30.

Нужно вычислить, каким радиусом обладает описанная около данного треугольника окружность.

Решение

Заметим, что в условии задачи речь идет о прямоугольном треугольнике. Тогда диаметр описанной около такого треугольника окружности является гипотенузой. Запишем:

(R=frac{AB}{2})

Согласно теореме Пифагора:

(AB=sqrt{BC^2+AC^2}=sqrt{16^2+30^2}=34)

В результате:

(R=frac{AB}{2}=frac{34}{2}=17)

Ответ: 17.

Задача 4

Около некого правильного треугольника описана окружность с радиусом (17sqrt{3}). Нужно вычислить сторону данного треугольника.

Решение

Согласно теореме косинусов:

( frac{AB}{sinC}=2R)

(frac{AB}{sin60^{circ}}=2cdot 17sqrt{3})

(frac{AB}{frac{sqrt3}{2}}=34sqrt{3})

В таком случае:

AB=51

Ответ: 51.

Задача 5

Имеется некий правильный треугольник, сторона которого равна (7sqrt3). Требуется вычислить радиус окружности, описанной около этой геометрической фигуры.

Решение

Согласно теореме синусов:

(frac{AB}{sinC}=2R)

(frac{7sqrt3}{sin60^{circ}}=2R)

14=2R

В результате:

R=7

Ответ: 7.

Задача 6

Имеется окружность, на которой расположены точки А, В, С. Эти точки образуют три дуги с градусными мерами в соотношении 1:6:11. Нужно вычислить, какую градусную меру имеет самый большой угол треугольника АВС.

Решение

Обозначим дугу АВ за переменную х. В таком случае:

BC=6x

AC=11x

Далее запишем следующее соотношение:

x+6x+11x=360

18x=360

x=20

В результате:

(breve{AC}=20^{circ}cdot 11=220^{circ})

Вспомним, что вписанный угол соответствует ½ дуги, на которую этот угол опирается. В результате:

(angle ABC=frac{220^{circ}}{2}=110^{circ})

Ответ: (110^{circ}.)

Задача 7

Даны треугольник и описанная около него окружность с радиусом 1. Одна из сторон треугольника равна (sqrt2). Требуется определить градусную меру острого угла треугольника, который расположен напротив этой стороны.

Решение

Согласно теореме синусов:

(frac{a}{sin alpha}=2R)

(frac{sqrt2}{sin alpha}=2cdot 1)

(sinalpha=frac{sqrt2}{2})

(alpha=45^{circ})

Согласно условию задачи, (alpha) является острым углом.

Ответ: (45^{circ}).

Задача 8

Углы некого четырехугольника составляют (56^{circ}) и (99^{circ}). Эта фигура вписана в окружность. Требуется определить самый большой из неизвестных углов.

Решение

Исходя из условия задачи, сделаем вывод о том, что данные углы не противоположны друг другу. В противном случае, эти углы в сумме составляли бы (180^{circ}).

При (angle A=99^{circ}), то (angle C=180^{circ}-99^{circ}=81^{circ})

При (angle B=56^{circ}), то ( angle D=180^{circ}-56^{circ}=124^{circ})

Тогда угол D является самым большим.

Ответ: (124^{circ}.)

Задача 9

Имеется четырехугольник ABCD. Вокруг него описана окружность. Градусная мера угла АВС составляет (38^{circ}), а угла CAD равна —(38^{circ}). Нужно определить угол ABD в градусах.

Решение

По условию задачи:

(angle ABC=38^{circ})

В результате, дуга ADC составит (76^{circ}.)

Также в условии дано:

(angle CAD=33^{circ})

Тогда дуга DC равна (66^{circ}.)

В итоге получим:

(breve{AD}=breve{ADC}-breve{DC}=76^{circ}-66^{circ}=10^{circ})

Таким образом:

(angle ABD=5^{circ})

Ответ: 5.

Задача 10

Имеется квадрат, около которого описана окружность с радиусом (45sqrt2). Требуется вычислить сторону квадрата.

Решение

Диаметр окружности равен диагонали BD квадрата, около которого она описана. Обозначим сторону квадрата за х. Используем теорему Пифагора и запишем:

(x^2+x^2=(90sqrt2)^2)

(2x^2=90^2cdot 2)

(x^2=90^2)

(x=90)

Ответ: 90.