Как найти площадь треугольника котангенс

Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла

R – большая полуось

r – малая полуось

π ≈ 3.14

Формула площади эллипса, через полуоси:

Калькулятор, вычислить площадь элипса:

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

а – нижнее основание

b – верхнее основание

с – равные боковые стороны

α – угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, ( S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, ( S ):

2. Формулы площади равнобедренной трапеции если в нее вписана окружность

R – радиус вписанной окружности

D – диаметр вписанной окружности

O – центр вписанной окружности

H – высота трапеции

α , β – углы трапеции

а – нижнее основание

b – верхнее основание

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, ( S ):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

R – радиус вписанной окружности

m – средняя линия

O – центр вписанной окружности

c – боковые стороны

а – нижнее основание

b – верхнее основание

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, стороны и среднюю линию ( S ):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d – диагональ трапеции

α , β – углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, ( S ):

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

c – боковая сторона

m – средняя линия трапеции

α , β – углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, ( S ):

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

a – нижнее основание

b – верхнее основание

h – высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, ( S ):

a , b , c – стороны треугольника

α , β , γ – противолежащие углы

Площадь треугольника через сторону и два угла (S):

Формулы для треугольника:

Зная длины всех трех сторон

и используя формулу Герона можно найти площадь разностороннего треугольника

a , b , c – стороны треугольника

p – полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула ( Герона ) площади треугольника через полупериметр ( S ):

Калькулятор – вычислить, найти площадь треугольника:

Формулы для треугольника:

Треугольник это плоская фигура, которая имеет три стороны и три угла. Сумма всех трех углов, равна 180 градусов.
Высота треугольника это – опущенный перпендикуляр из вершины угла на противоположенную сторону или ее продолжение, которую в этом случае, называют основанием.

Что бы найти площадь треугольника,

для этого надо основание умножить на высоту и разделить на два

1. Площадь разностороннего треугольника

h – высота треугольника

Формула площади треугольника (S):

Калькулятор для расчета площади треугольника

2. Площадь треугольника с тупым углом

h – высота треугольника

Формула площади треугольника с тупым углом (S):

Формулы для треугольника:

Зная у треугольника

две стороны и синус угла между ними, находим по формуле, его площадь

a , b , c – стороны треугольника

α , β , γ – углы

Формулы площади треугольника, через две стороны и угол между ними, (S):

Калькулятор – вычислить, найти площадь треугольника:

Формулы для треугольника:

Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов.
Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется – гипотенуза

1. Если известны только катеты

a , b – катеты треугольника

Формула площади треугольника через катеты ( S ) :

2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет

c – гипотенуза

a , b – катеты

α , β – острые углы

Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :

Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :

Как известно, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, а если

то справедливы следующие тождества:

3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза

c – гипотенуза

c 1 , c 2 – отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности

r – радиус вписанной окружности

О – центр вписанной окружности

Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :

b – основание треугольника

a – равные стороны

h – высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b , (S):

Калькулятор – вычислить, найти площадь треугольника через высоту и основание:

Формула площади треугольника через, стороны a , b , (S):

Калькулятор – вычислить, найти площадь треугольника через равные стороны и основание:

b – основание треугольника

a – равные стороны

h – высота

Формулы для треугольника:

Если вы знаете сторону или высоту

вы можете найти площадь равностороннего треугольника

a – сторона треугольника

h – высота

Площадь треугольника через сторону a и высоту h , (S):

Площадь треугольника только через сторону a , (S):

Калькулятор для расчета площади равностороннего треугольника

Площадь треугольника только через высоту h , ( S ):

Калькулятор для расчета площади равностороннего треугольника

a – сторона треугольника

h – высота

Формулы для треугольника:

Формула площади круга, диаметр

Круг это плоская фигура, все точки которой, расположены на любом расстоянии от определенной точки (центр круга) но не больше заданной длины (радиус).
Радиус круга – отрезок, соединяющий центр окружности и любую, максимально удаленную от центра точку круга.
Диаметр круга – отрезок, соединяющий две любые точки максимально удаленные от центра круга и проходящий через этот центр. Диаметр, в два раза больше радиуса

или радиус круга или длину окружности, можно найти его площадь.

r – радиус круга

D – диаметр круга

Формула площади круга, (S):

на тему: Площадь круга

Калькулятор для расчета площади круга через радиус

Калькулятор для расчета площади круга через диаметр

L – длина окружности

О – центр круга

Формула площади круга если известна длина окружности, (S):

на тему: Площадь круга

Калькулятор для расчета площади круга через длину

Площадь кольца равна – число π , умноженное на разницу квадратов, радиуса внешней окружности и радиуса внутренней окружности

R – радиус внешней окружности

r – радиус внутренней окружности

Формула площади кольца (S):

Калькулятор – вычислить, найти площадь кольца

R – радиус внешней окружности

r – радиус внутренней окружности

α – угол сектора AOB, в градусах

Формула площади сектора кольца (S):

R – радиус круга

α – угол сегмента в градусах

Формула площади сегмента круга (S), отсекаемая хордой AC :

Калькулятор для расчета длины дуги окружности :

Формулы для окружности и круга:

Найти площадь сектора круга если даны радиус и длина дуги или радиус и центральный угол

r – радиус круга

L – длина дуги AB

α – угол сектора круга AOB в градусах

Формула площади сектора круга (S), через длину дуги ( L ):

Формула площади сектора круга (S), через угол ( α ):

Формулы для окружности и круга:

Вычислить площадь ромба, зная: (диагонали) или (сторону и угол между ними) или (диагональ и угол между сторонами)

a – сторона ромба

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α – острый угол

β – тупой угол

Формулы площади ромба через диагонали и углы между сторонами ( S ):

a – сторона ромба

h – высота

r – радиус вписанной окружности

Формула площади ромба через высоту или радиус вписанной окружности ( S ):

1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы

a, b – стороны параллелограмма

α , β – углы параллелограмма

Формула площади через стороны и углы параллелограмма, ( S ):

Калькулятор – вычислить, найти площадь параллелограмма:

2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту

a, b – стороны параллелограмма

H _b – высота на сторону b

H _a – высота на сторону a

Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, ( S ):

3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

D – большая диагональ

d –меньшая диагональ

α , β – углы между диагоналями

Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , ( S ):

Калькулятор – вычислить, найти площадь параллелограмма:

Формулы для параллелограмма:

Математика для блондинок

Математикой должны заниматься блондинки – они врать не умеют.

Страницы

понедельник, 3 декабря 2012 г.

Площадь треугольника через котангенс

Сейчас мы разберемся, как находить площадь треугольника через котангенс, точнее, рассмотрим вывод формулы. Как выглядит площадь треугольника при вычислении её через котангенс? Вот так.

Всем нам известно, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Куда девается высота и откуда появляются котангенсы в этой формуле? Как получить эту формулу? Рецепт довольно прост, как в кулинарии. Нужно взять необходимые компоненты этого математического блюда, предварительно их подготовить и из полуфабрикатов приготовить саму формулу. Продукты для еды мы покупаем в магазине. Где брать составные компоненты математической формулы? Треугольник у нас уже есть. Еще нам понадобится определение котангенса через треугольник. Берем на указанной странице картинку и вырезаем необходимые компоненты.

Теперь начинаются работы по предварительной подготовке к процессу выведения формулы. Как и на кухне, нужно всё соответствующим образом подготовить – почистить, нарезать, поджарить, отварить. Короче, вы гораздо лучше меня знаете, что нужно делать на кухне. Я умею только покушать.

Убираем с рисунка всё лишнее. Красным цветом я дорисовал то, что нам будет нужно. Высота треугольника входит в площадь треугольника. Она делит основание на два отрезка. Длинна каждого отрезка определяется как проекция на основание выше расположенной стороны треугольника. Пользуясь портретом тангенса, я без труда определяю, что использовать нужно косинусы углов. Запишем формулу основания как сумму двух проекций сторон. Переходим к картинке котангенса.

Теперь с картинки треугольника нам нужно перенести все обозначения на картинку котангенса. С левым углом никаких проблем нет, на обеих картинках они направлены в одну сторону. Используя старые обозначения в формуле котангенса и знак равенства на картинке, мы без труда получаем формулу котангенса угла альфа для нашего треугольника. А вот с углом бета возникли маленькие проблемы. Он смотрит в другую сторону. Не отчаиваемся. Как заправские спецназовцы, берем картинку с углом альфа и проводим операцию “фейс даун”, то есть кладем её мордой в пол. Надеваем на неё наручники и подносим к окну. Сквозь лист бумаги проступает расплывчатый рисунок. Вау! Да это же тот самый угол, который нам нужен! А притворялся другим углом (в кулинарных рецептах вы подобных приемчиков не найдете, но ведь и математика – не кулинария). Ставим свои обозначения на перевернутой картинке и получаем значение котангенса угла бета.

Всё. Теперь приступаем к приготовлению самого блюда, то есть к выведению формулы площади треугольника через котангенсы двух углов альфа и бета. Повторяю, что начинаем мы с общей формулы, где площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Записываем всё раздельно: половинку, основание и высоту. Потом с высотой начинаем выполнять волшебные превращения в строгом соответствии с уже полученными нами формулами.

В конце полученное нами значение высоты треугольника, выраженное через котангенс, подставляем в первую формулу и слепливаем всё в кучку. Как видите, ничего сложного в этом рецепте нет.

Общая рекомендация при выведении других формул. Смотрите, что у вас есть в начале и в конце. Ищите то, чем это можно связать вместе. В нашем случае начало и конец связываются определением котангенса через треугольник.

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

[spoiler title=”источники:”]

http://www.mozgan.ru/Geometry/AreaTriangle

[/spoiler]

Формул для вычисления площади треугольника в интернете можно найти свыше 10. Немало из них применяется в задачах с известными сторонами и углами треугольника. Однако есть ряд сложных примеров где по условию задания известны только одна сторона и углы треугольника, или радиус описанной или вписанной окружности и еще одна характеристика. В таких случаях простую формулу применить не удастся.

Приведенные ниже формулы позволят решить 95 процентов задач в которых требуется найти площадь треугольника.
Перейдем к рассмотрению распространенных формул площади.
Рассмотрим треугольник изображен на рисунке ниже

На рисунке и далее в формулах введены классические обозначения всех его характеристик
a,b,c – стороны треугольника,
R– радиус описанной окружности,
r – радиус вписанной окружности,
h[b],h[a],h[c] – высоты , проведенные в соответствии со сторонами a,b,c.
alpha, beta,hamma – углы возле вершин.

Основные формулы площади треугольника

1. Площадь равна половине произведения стороны треугольника на высоту опущенной к этой стороне. На языке формул это определение можно записать так

Таким образом, если известна сторона и высота – то площадь найдет каждый школьник.
Кстати, из этой формулы можно вывести одну полезную зависимость между высотами

2. Если учесть, что высота треугольника через соседнюю сторону выражается зависимостью

то с первой формулы площади следуют однотипные вторые

Внимательно посмотрите на формулы – их легко запомнить, поскольку в произведении фигурирует две стороны и угол между ними. Если правильно обозначить стороны и углы треугольника (как на рисунке выше) то получим две стороны a,b и угол связан с третьей С (hamma).

3. Для углов треугольника справедливо соотношение

Зависимость позволяет применять в вычислениях следующие формулы площади треугольника

Примеры на эту зависимость встречаются крайне редко, но помнить что есть такая формула Вы должны.

4. Если известна сторона и два прилегающих угла то площадь находится по формуле

5. Формула площади через сторону и котангенс прилегающих углов следующая

Перестановкой индексов можете получить зависимости для других сторон.

6. Приведенная ниже формула площади используется в задачах когда вершины треугольника заданы на плоскости координатами . В этом случае площадь равна половине определителя взятого по модулю.

7. Формула Герона применяют в примерах с известными сторонами треугольника.
Сначала находят полупериметр треугольника

а затем определяют площадь по формуле

или

Ее довольно часто используют в коде программ калькуляторов.

8. Если известны все высоты треугольника то площадь определяют по формуле

Она сложна для вычисления на калькуляторе, однако в пакетах MathCad, Mathematica, Maple площадь находится на «раз два ».

9. Следующие формулы используют известны радиусы вписанных и описанных окружностей.

В частности, если известно радиус и стороны треугольника, или его периметр то площадь вычисляется согласно формуле

10. В примерах где задано стороны и радиус или диаметр описанной окружности площадь находят по формуле

11. Следующая формула определяет площадь треугольника через сторону и углы треугольника.

Ну и напоследок – частные случаи :
Площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b равна половине их произведения

Формула площади равностороннего ( правильного ) треугольника=

= одной четвертой произведения квадрату стороны на корень из тройки.

Пример. Стороны треугольника равны 3, 5, 6 см. Найти площадь треугольника.

Решение: Применим формулу Герона, для этого сначала найдем полупериметр

Подставляем в формулу площади

Ответ:Площадь треугольника равна 7.48 сантиметров квадратных.

————————————
Скачать все приведенные формулы площади треугольника Вы можете по следующей ссылке. Распечатывайте их и используйте в обучении.

{jd_file file==19}

Если материал был полезен Вам – поделитесь ссылкой с друзьями.

Посмотреть материалы:

• Прямоугольный треугольник. Задачи
• Периметр и площадь прямоугольника
• Квадрат. Формулы
• Периметр и площадь параллелограмма
• Формулы площади трапеции
• Ромб. Площадь, периметр

{jcomments on}

Геометрия 8 класса – это, в основном, площади фигур. Во многих задачах фигурирует треугольник, некоторые элементы которого известны, и требуется найти площадь.

Здесь мы систематизируем формулы площади треугольника, грамотно применяя которые вы сможете решить любую задачу 8 класса по геометрии, а то и олимпиадную геометрическую задачу в 8, 9 или 10 классе.

1. Формула площади треугольника по основанию и высоте

Если в треугольнике известны основание a и проведённая к нему высота h_a, то площадь его будет равна полупроизведению основания на высоту.

$S=frac{1}{2}a h_a$

2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Если в треугольнике известны две стороны a и b и угол между ними $alpha$, то его площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними.

$S=frac{1}{2}absinalpha$

3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)

Если в треугольнике известны три стороны, a, b, c то для определения площади у него нужно найти полупериметр $p=frac{a+b+c}{2}$ и вычислить площадь по формуле Герона:

$S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Иногда формулу Герона ещё записывают так:
$S=frac{1}{4}sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))$

Кстати, сущесвтует и формула Герона для четырёхугольника.

4. Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам

Если треугольник прямоугольный и в нём известны два катета, a и b, то площадь треугольника вычисляется как полупроизведение катетов.

$S=frac{1}{2}ab$

5. Формула площади прямоугольного треугольника по одному катету и прилежащему углу

Если треугольник прямоугольный и в нём известен катет a и прилежащий угол $beta$, то площадь треугольника вычисляется как полупроизведение квадрата этого катета на тангенс прилежащего угла.

$S=frac{1}{2}a^2 tg beta$

Если же известен противолежащий угол, то площадь треугольника можно вычислить как полупроизведение квадрата этого катета на котангенс противолежащего угла.
$S=frac{1}{2}a^2 ctg alpha$

6. Формула площади равностороннего треугольника по его стороне

Если дан равносторонний треугольник со стороной a, то площадь его равна квадрату сторону, умноженному на корень из трёх и раделённому на 4.

$S=frac{a^2sqrt{3}}{4}$

7. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности

Если дополнительно к сторонам a, b, c треугольника известен и его радиус описанной окружности R, то площадь можно найти без формулы Герона, просто разделив произведение сторон на четыре радиуса описанной окружности.

$S=frac{abc}{4R}$

8. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности

Если у треугольника известны все стороны и ещё радиус вписанной окружности, то снова формула Герона будет не нужна. Площадь будет равна полупоризведению радиуса списанной окружности на пеример (ну или полупериметра на радиус описанной окружности).

$S=frac{(a+b+c)r}{2}=pr$

9. Формула площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Бывает, что в треугольнике известна только одна строна a, зато два прилежащих к ней угла: $beta$ и $gamma$. В этом случае площадь находится как половина квадрата стороны на произведение синусов прилежащих углов, делённое на синус суммы этих углов.

$S=frac{1}{2}a^2frac{sinbetasingamma}{sin(beta+gamma)}$

10. Формула площади равнобедренного треугольника

Если в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны по a, а основание равно b, то его площадь можно вычислить по следующей формуле:

$S=frac{b}{4}sqrt{4a^2-b^2}$

11. Формула площади треугольника, который задан координатами своих вершин на плоскости

Если треугольник задан на плоскости координатами своих вершин: $(x_0; y_0)$, $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить как определитель матрицы:

$S=frac{1}{2}begin{vmatrix}x_0&y_0&1\x_1&y_1&1\x_2&y_2&1end{vmatrix}$

При этом если точки взяты по часовой стрелке, результат будет положительным, а если против часовой – отрицательным.

12. Формула площади треугольника, стороны которого заданы векторами

Если две стороны треугольника заданы векторами с общим началом и координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить по формуле:

$frac{1}{2}|x_1 y_2 – x_2 y_1|$

13. Формула площади треугольника по трём медианам

Если у треугольника известны все медианы $m_a$, $m_b$, $m_c$, то его площадь можно найти по формуле, аналогичной формуле Герона:

$S = frac{4}{3} sqrt{sigma (sigma – m_a)(sigma – m_b)(sigma – m_c)}$,
где $sigma$ – полусумма медиан.

14. Формула площади треугольника по трём высотам

Если у треугольника известны все высоты $h_a$, $h_b$, $h_c$, то можно сначала найти величину $H = frac{frac{1}{h_a}+frac{1}{h_b}+frac{1}{h_c}}{2}$ (она в полтора раза больше среднего гармонического высот), а затем найти площадь по формуле:

$S=frac{1}{4 sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}}$

15. Формула площади треугольника по радиусу описанной окружности и всем углам

Если у треугольника известны все углы $alpha$, $beta$, $gamma$ и радуис описанной окружности R, то площадь треугольника можно найти как одну восьмую произведения квадрата радиуса вписанной окружности на произведение синусов углов.

$S = frac{1}{8}R^{2} sin alpha sin betasin gamma$

16. Формула площади треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге

Если треугольник нарисован на клетчатой бумаге и все его вершины находятся в углах сетки, то площадь его можно вычисляить по формуле Пика:
S = В+Г/2-1,
где В – количество узлов сетки, находящихся внутри треугольника,
Г – количество узлов сетки, находящихся на границе треугольника.

Площадь любого треугольника можно найти, зная основание и высоту. Вся простота схемы заключается в том, что высота делит основание a на две части a₁ и a₂, а сам треугольник – на два прямоугольных треугольника, площадь которых получается и . Тогда площадь всего треугольника будет суммой двух указанных площадей, и если мы вынесем одну вторую высоты за скобку, то в сумме мы получим обратно основание:

---

Более сложный для расчетов способ – это формула Герона, для которой необходимо знать все три стороны. Для этой формулы нужно вычислить сначала полупериметр треугольника:

Сама формула Герона подразумевает квадратный корень из полупериметра, умноженного поочередно на разность его с каждой из сторон.

---

Следующий способ, также актуальный для любого треугольника, позволяет найти площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Доказательство этому проистекает из формулы с высотой – проводим высоту на любую из известных сторон и через синус угла α получаем, что h=a⋅sinα . Для вычисления площади умножим половину высоты на вторую сторону.

---

Другой способ – найти площадь треугольника, зная 2 угла и сторону между ними. Доказательство этой формулы достаточно простое, и наглядно видно из схемы.

Опускаем из вершины третьего угла высоту на известную сторону и называем полученные отрезки x соответственно. Из прямоугольных треугольников видно, что первый отрезок x равен произведению котангенса угла α на высоту, а второй отрезок y – произведению котангенса угла β на эту же высоту. Дальше соединяем это вместе: