Как найти площадь треугольника краткий ответ

Как найти площадь треугольника краткий ответ

Расскажите, как найти площадь треугольника, своими словами.

Антон Александров

12 ноября 2018  · 123,6 K

19,8 K

Комментировать ответ…Комментировать…

Технический писатель, бизнес-аналитик. Интересуюсь математикой, геометрией, космосом…  · 11 февр 2021

Площадь треугольника можно найти различными способами. Если кратко – то все зависит от того, что у нас ИЗВЕСТНО об этом треугольнике.
Например, перечислим основные варианты:
1) длины трех сторон. В этом случае используется т.н. формула Герона в которой помимо длин сторон используется полупериметр треугольника;
2) две стороны и угол между этими сторонами. Формула… Читать далее

12,0 K

Комментировать ответ…Комментировать…

Лучший ответ на 99.9% вопросов: “Поисковик в помощь”.  · 12 нояб 2018

Самая простая формула для нахождения площади треугольника S=1/2*h*b, где S – площадь, h – высота, b – сторона, к которой построена высотаю.

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны и высоты построенной к этой стороне.

60,7 K

А если я в 4 классные допустим? Это не самая лёгкая,_,

Комментировать ответ…Комментировать…

Источник

Теперь вам не нужно тратить время на долгие вычисления, прежде чем вы сможете узнать площадь треугольника. Зная методы расчета, используемые для расчета площади треугольника, вы легко сможете это сделать самостоятельно. Действительно, всегда лучше знать формулы площади треугольника. Треугольники могут быть разными и вы это знаете, но как найти площадь треугольника если вам практически ничего неизвестно о треугольнике? И что нужно знать из размеров треугольника, чтобы найти его площадь. Давайте разбираться. При этом тема не так проста как кажется на первый взгляд, наверное, поэтому задачи нахождения площади треугольника есть и в ОГЭ и в ЕГЭ по математике.

Что такое треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура. По определению, это многоугольник, имеющий три стороны. Следовательно, треугольник также должен иметь три угла.

Сумма трех углов треугольника должна быть равна 180°.

Чтобы иметь возможность вычислить площадь треугольника, мы должны сначала знать меру его основания, а также высоту. Основание треугольника представляет одну из его сторон. Высота, с другой стороны, представляет собой каждую из трех прямых линий, которые проходят через одну из вершин треугольника и перпендикулярны стороне, лежащей напротив принятой вершины (то есть перпендикулярно основанию).

Треугольник

Прежде всего, помните, что треугольник состоит из трех сторон и трех углов. Это значит, что у него должно быть три вершины. Треугольник, вершинами которого являются A, B и C, может быть представлен как: ΔABC. Существуют разные виды треугольников. Они могут быть классифицированы двумя различными способами: либо по свойству его сторон, либо по свойству его углов.

Различные типы треугольников в зависимости от длины их сторон

Разносторонний треугольник

Мы узнаем разносторонний треугольник по трем сторонам, которые имеют разную длину. Эта треугольная форма может быть построена только с тремя разными углами. Кроме того, один из них может быть прямым углом (или углом 90 °). В общем, название «произвольный треугольник» используется для разностороннего треугольника.

Разносторонний треугольник

Равнобедренный треугольник

Мы говорим, что треугольник равнобедренный, если он имеет две стороны одинаковой длины и два равных угла при основании. Равнобедренный треугольник также можно узнать по тому факту, что его высота представляет его ось симметрии, его медиану и биссектрису.

Равнобедренный треугольник

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник обязательно имеет прямой угол. Другими словами, сумма двух других его углов должна быть равна 90°. Прямоугольный треугольник также имеет гипотенузу.

Прямоугольный треугольник

Это противоположная сторона вершине с прямым углом. Прямой треугольник может быть разносторонним (или любым), если его три стороны имеют разную длину.

Кроме того, он может быть равнобедренным в том случае, если он имеет два одинаковых катета.

Равносторонний треугольник

Треугольник называется равносторонним, если он имеет три стороны одинаковой длины. Поэтому все его углы также равны и каждый по 60°. В равностороннем треугольнике любая высота также выступает в качестве медианы и биссектрисы.

Равносторонний треугольник

Площадь треугольника

Площадь разностороннего треугольника

Вычисляем площадь треугольника без особенностей – все его стороны разные и все углы разные.

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

Если известны две стороны треугольника и угол между ними, то площадь разностороннего треугольника вычисляется по формуле “площадь треугольника через две стороны и угол между ними”:

S=frac{1}{2} cdot ab cdot sin alpha

Если известны высота в треугольнике и основание, то используется формула площади треугольника через основание и высоту:

Площадь треугольника через основание и высоту

S=frac{1}{2} ah

Формула Герона определения площади треугольника

Если известны стороны любого треугольника, то его площадь можно определить по формуле Герона.

Определение площади по формуле Герона

S=sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}, где p=frac{a+b+c}{2}

Площади треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь треугольника через основание и сторону можно найти, если известны сторона и основания равнобедренного треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через сторону и основание

S=frac{1}{4}b sqrt{4a^2-b^2}

К равнобедренному треугольнику также применима формула площади треугольника через основание, сторону и угол между ними:

Площадь равнобедренного треугольника через сторону и основание

S=frac{1}{2}ab cdot sin alpha

Найти площадь равнобедренного треугольника можно также через боковые стороны и угол между ними.

Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

S=frac{1}{2} a^2 cdot sin alpha

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

S=frac{b^2}{4 tg frac{alpha}{2}}

Площадь прямоугольного треугольника

Приведем формулы площади прямоугольного треугольника. Формула площади прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол:

Площадь треугольника по катету и прилежащему углу

S=frac{a^2 cdot tg alpha}{2}

Площадь прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе

Формула площади треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе

S=r cdot (r+c)

Площадь прямоугольного треугольника, если в него вписана окружность:

Формула площади прямоугольного треугольника, в который вписана окружность

S=c_1 cdot c_2

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника можно найти через радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

S=frac{3 sqrt{3} R^2}{4}

Если дан радиус вписанной окружности, то площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

S=3r^2 sqrt{3}

Площадь равностороннего треугольника, если известна сторона треугольника:

S=frac{sqrt{3}}{4} cdot a^2

Площадь равностороннего треугольника, если известна высота треугольника:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

S=frac{h^2}{sqrt{3}}

Источник

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

33 033

Как найти площадь треугольника – все способы

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

формула площади прямоугольного треугольника

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Формула площади равнобедренного треугольника

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Формула площади равностороннего треугольника

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Формула площади треугольника по сторонам и синусу угла

Если известны длины трех сторон

Делайте так:

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Площадь треугольника по трем сторонам

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

По сторонам и радиусу описанной окружности

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

По сторонам и вписанной окружности

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

( 32 оценки, среднее 4.44 из 5 )

Оцените статью

ЕЖЕНЕДЕЛЬНАЯ РАССЫЛКА

Получайте самые интересные статьи по почте и подписывайтесь на наши социальные сети

ПОДПИСАТЬСЯ

Источник

Как найти площадь любого треугольника

Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.

Как найти площадь любого треугольника

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

  1. Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
  2. Поделите результат на два.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

  1. Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
  2. Найдите синус угла между выбранными сторонами.
  3. Перемножьте полученные числа.
  4. Поделите результат на два.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a и b — стороны треугольника.
  • α — угол между сторонами a и b.

Зная три стороны (формула Герона)

  1. Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
  2. Найдите произведение полученных чисел.
  3. Умножьте результат на полупериметр.
  4. Найдите корень из полученного числа.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b, c — стороны треугольника.
  • p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

  1. Найдите произведение всех сторон треугольника.
  2. Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • R — радиус описанной окружности.
  • a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • r — радиус вписанной окружности.
  • p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

  1. Посчитайте произведение катетов треугольника.
  2. Поделите результат на два.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

  1. Умножьте основание на высоту треугольника.
  2. Поделите результат на два.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

  1. Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
  2. Поделите результат на четыре.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Читайте также 🧠👨🏻‍🎓✍🏻

  • 7 причин полюбить математику
  • ТЕСТ: Помните ли вы геометрию?
  • 10 хитрых головоломок со спичками для тренировки воображения
  • Интересные математические факты для тех, кто хочет больше узнать о мире вокруг
  • ТЕСТ: Сможете ли вы решить простые математические примеры?

Источник


Download Article


Download Article

The most common way to find the area of a triangle is to take half of the base times the height. Numerous other formulas exist, however, for finding the area of a triangle, depending on what information you know. Using information about the sides and angles of a triangle, it is possible to calculate the area without knowing the height.

  1. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 1

    1

    Find the base and height of the triangle. The base is one side of the triangle. The height is the measure of the tallest point on a triangle. It is found by drawing a perpendicular line from the base to the opposite vertex. This information should be given to you, or you should be able to measure the lengths.

    • For example, you might have a triangle with a base measuring 5 cm long, and a height measuring 3 cm long.

  2. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 2

    2

    Set up the formula for the area of a triangle. The formula is {text{Area}}={frac {1}{2}}(bh), where b is the length of the triangle’s base, and h is the height of the triangle.[1]

    Advertisement

  3. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 3

    3

    Plug the base and height into the formula. Multiply the two values together, then multiply their product by {frac {1}{2}}. This will give you the area of the triangle in square units.

  4. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 4

    4

    Find the area of a right triangle. Since two sides of a right triangle are perpendicular, one of the perpendicular sides will be the height of the triangle. The other side will be the base. So, even if the height and/or base is unstated, you are given them if you know the side lengths. Thus you can use the {text{Area}}={frac {1}{2}}(bh) formula to find the area.

    5. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 5

    1

    Calculate the semiperimeter of the triangle. The semi-perimeter of a figure is equal to half its perimeter. To find the semiperimeter, first calculate the perimeter of a triangle by adding up the length of its three sides. Then, multiply by {frac {1}{2}}.[2]

  2. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 6

    2

    Set up Heron’s formula. The formula is {text{Area}}={sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}, where s is the semiperimeter of the triangle, and a, b, and c are the side lengths of the triangle.[3]

  3. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 7

    3

    Plug the semiperimeter and side lengths into the formula. Make sure you substitute the semiperimeter for each instance of s in the formula.

  4. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 8

    4

    Calculate the values in parentheses. Subtract the length of each side from the semiperimeter. Then, multiply these three values together.

  5. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 9

    5

    Multiply the two values under the radical sign. Then, find their square root. This will give you the area of the triangle in square units.

    6. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 10

    1

    Find the length of one side of the triangle. An equilateral triangle has three equal side lengths and three equal angle measurements, so if you know the length of one side, you know the length of all three sides.[4]

    • For example, you might have a triangle with three sides that are 6 cm long.

  2. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 11

    2

    Set up the formula for the area of an equilateral triangle. The formula is {text{Area}}=(s^{{2}}){frac {{sqrt {3}}}{4}}, where s equals the length of one side of the equilateral triangle.[5]

  3. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 12

    3

    Plug the side length into the formula. Make sure you substitute for the variable s, and then square the value.

  4. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 13

    4

    Multiply the square by {sqrt {3}}. It’s best to use the square root function on your calculator for a more precise answer. Otherwise, you can use 1.732 for the rounded value of {sqrt {3}}.

  5. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 14

    5

    Divide the product by 4. This will give you the area of the triangle in square units.

    6. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 15

    1

    Find the length of two adjacent sides and the included angle. Adjacent sides are two sides of a triangle that meet at a vertex.[6]
     The included angle is the angle between these two sides.

    • For example, you might have a triangle with two adjacent sides measuring 150 cm and 231 cm in length. The angle between them is 123 degrees.

  2. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 16

    2

    Set up the trigonometry formula for the area of a triangle. The formula is {text{Area}}={frac {bc}{2}}sin A, where b and c are the adjacent sides of the triangle, and A is the angle between them.[7]

  3. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 17

    3

    Plug the side lengths into the formula. Make sure you substitute for the variables b and c. Multiply their values, then divide by 2.

  4. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 18

    4

    Plug the sine of the angle into the formula. You can find the sine using a scientific calculator by typing in the angle measurement then hitting the “SIN” button.

  5. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 19

    5

    Multiply the two values. This will give you the area of the triangle in square units.

    6. Advertisement

Practice Problems

Add New Question

  • Question

    How do I find the length and width of a triangle before calculating the area?

    Community Answer

    It should be included in the problem. If it is a right triangle, use the Pythagorean Theorem (A squared + B squared = C squared) to find the missing side.

  • Question

    How can I calculate the area of an equilateral triangle?

    Community Answer

    If you know the base and height, you can use the standard formula A = 1/2bh. If you know the three side lengths, you can use the method for equilateral triangles described in this article.

  • Question

    How can I find the area of an isosceles right triangle?

    Community Answer

    The legs must be the sides that are equal, so you just square the length of one of the legs and divide by 2. If you only have the hypotenuse: since isosceles right triangles come in the ratio 1-1-(square root of 2), you just divide the hypotenuse by sqrt(2), square what you get, and divide by 2.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

Video

  • If you’re not exactly sure why the base-height formula works this way, here’s a quick explanation. If you make a second, identical triangle and fit the two copies together, it will either form a rectangle (two right triangles) or a parallelogram (two non-right triangles). To find the area of a rectangle or parallelogram, simply multiply base by height. Since a triangle is half of a rectangle or parallelogram, you must therefore solve for half of base times height.

Advertisement

About This Article

Article SummaryX

To calculate the area of a triangle, start by measuring 1 side of the triangle to get the triangle’s base. Then, measure the height of the triangle by measuring from the center of the base to the point directly across from it. Once you have the triangle’s height and base, plug them into the formula: area = 1/2(bh), where “b” is the base and “h” is the height. To learn how to calculate the area of a triangle using the lengths of each side, read the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 3,096,012 times.

Did this article help you?

Источник

Добавить комментарий