Сферический треугольник — геометрическая фигура на поверхности сферы, состоящая из трёх точек и трёх дуг больших кругов, соединяющих попарно эти точки. Три больших круга на поверхности сферы, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Соотношения между элементами сферических треугольников изучает сферическая тригонометрия.
Сторона сферического треугольника измеряется величиной опирающегося на неё центрального угла. Угол сферического треугольника измеряется величиной двугранного угла между плоскостями, в которых лежат стороны этого угла. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, а углы меньше π, называется эйлеровым[1]:9. Далее рассматриваются эйлеровы треугольники.
Свойства[править | править код]
- Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников верен ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны[1]:16. В евклидовой геометрии такие треугольники являются подобными. В сферической геометрии любое преобразование подобия является изометрическим (то есть коэффициент подобия всегда равен единице), поэтому в сферической геометрии нет неравных подобных фигур (то есть фигур, переводящихся друг в друга преобразованием подобия).
- Полярным для данного сферического треугольника (ABC) называется такой сферический треугольник (A’B’C’), вершины которого A’, B’, C’ являются полюсами[a] по отношению к сторонам BC, CA, AB соответственно. При этом точки A и A’, B и B’, C и C’ лежат по одну сторону относительно BC, CA, AB соответственно.[3]
- Для сторон сферического треугольника выполняются 3 неравенства треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности[1]:11.
- Если от двух углов сферического треугольника отнимем третий, получим угол, меньший
[1]:15. - В отличие от плоского треугольника, у сферического треугольника может быть два или три прямых или тупых угла.
Решение сферических треугольников[править | править код]
Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера. А чтобы решить косоугольный сферический треугольник, необходимо знать три его элемента. Для решения можно использовать следующие соотношения между ними[1]:102—139:
- Формула половины стороны и формула половины угла — при решении по трём сторонам и трём углам;
- Формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне;
- Теорема синусов и формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и противолежащему одной из них углу и по двум углам и противолежащей одному из них стороне.
Комментарии[править | править код]
- ↑ Полюсом по отношению к AB называется называется такая точка X сферы, что отрезок OX (здесь O — центр сферы) перпендикулярен плоскости большого круга AB.[2] Имеется две таких точки. Например, если AB — дуга экватора, то полюсы AB — это северный и южный полюс.
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.
- ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 521.
- ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 530.
- ↑ 1 2 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1974.
- ↑ Сферический треугольник
- ↑ Статья Архивная копия от 23 сентября 2013 на Wayback Machine в «Успехах физических наук»
- ↑ Weisstein, Eric W. Сферический треугольник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Вентцель М. К. Сферическая тригонометрия. — 2 изд, ИГКЛ, 1948, 115 с. (доступно на bookfi.org). Строгое доказательство пропорциональности площади сферическому избытку — на с. 82
- ↑ Васильев Н., Гутенмахер В. Сумма углов сферического многоугольника Архивная копия от 5 февраля 2018 на Wayback Machine // «Квант», № 2, 1988
Литература[править | править код]
- Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. — М., 1995. (§ 1. Сферическая геометрия.)
- Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики. — Физматгиз, 1963. — Т. 4 (геометрия). — С. 518—558.
Ссылки[править | править код]
- Краткий справочник по сферической тригонометрии
- Статья на Wolfram MathWorld [1]
Макеты страниц
Мы уже говорили в п. 4.2, что роль отрезков в сферической геометрии играют дуги больших окружностей сферы (не больше полуокружности). Поэтому ломаной на сфере естественно назвать фигуру, составленную из таких дуг, подобно тому, как составлена ломаная на плоскости из отрезков (рис. 17.8). Как и на плоскости, замкнутая ломаная на сфере называется простой, если она не имеет самопересечений.
Каждая простая замкнутая ломаная на сфере разбивает ее на две области, которые называются сферическими многоугольниками (рис. 17.9). Сама ломаная при этом называется границей этих многоугольников, а ее звенья и вершины соответственно сторонами и вершинами ограниченных ею многоугольников.
Измеряется угол сферического многоугольника в его вершине углом между лучами, идущими из этой вершины и касательными к его сторонам, если соответствующий угол многоугольника выпуклый, или его дополнением до 
если угол многоугольника не выпуклый (рис. 17.10).
На плоскости многоугольник с наименьшим числом сторон и вершин — это треугольник. На сфере имеются двуугольники (рис. 17.11), две вершины которых диаметрально противоположны, а сторонами которых являются две полуокружности больших окружностей.
Выразим площадь двуугольника через его углы и радиус сферы. Пусть Q — двуугольник с вершинами 
на сфере S радиусом 
— угол двуугольника Q, причем 
(рис. 17.12). Тогда а равен величине двугранного утла, ребром которого является прямая 
Рис.
Рис. 17.9
Рис. 17.10
Рис. 17.11
и в гранях которого лежат стороны двуугольника Q. Ясно, что площадь 
двуугольника Q составляет ту часть от площади всей сферы S, которую составляет его угол от 
т. е.
Поэтому
(угол а измеряется в радианах).
Оказывается, что площадь 
сферического треугольника Т, лежащего на сфере S радиусом R, выражается через углы 
этого треугольника по формуле:
Действительно, проведем большие окружности, на которых лежат стороны треугольника Т. Эти большие окружности образуют на сфере три пары двуугольников с углами a, р, у. Эти шесть двуугольников покрывают всю сферу. При этом треугольник Т и диаметрально противоположный ему треугольник Т покрываются трехкратно (двуугольником из каждой пары), а остальную часть сферы двуугольники покрывают без перекрытий (рис. 17.13). Поэтому сумма площадей всех шести двуугольников больше площади сферы S на 
, т. е. на 
так как 
. Итак, используя (7), имеем:
откуда и вытекает (8).
Разность 
называется избытком треугольника Т и обозначается 
Доказанная формула (8) теперь может быть выражена так: площадь сферического треугольника пропорциональна его избытку.
Зная формулу для площади сферического треугольника, теперь легко найти выражение для площади любого простого сферического многоугольника Р.
Назовем поворотом многоугольника Р в его вершине А, имеющей угол 
, разность 
. Границу многоугольника Р обозначим символом 
и ее поворотом 
назовем сумму поворотов 
во всех вершинах 
.
Рис. 17.12
Рис. 17.13
Если число вершин Р равно 
, то
т. е. поворот границы 
-угольника показывает, насколько величина 
отличается от суммы его углов. Для простых многоугольников на евклидовой плоскости их поворот всегда равен 
так как сумма углов любого плоского 
-угольника равна 
Для сферического простого многоугольника имеет место слудующая теорема:
Теорема (о площади сферического многоугольника). Площадь простого многоугольника Р на сфере S радиусом R и поворот его границы связаны равенством
Докажем равенство (11) индукцией по числу вершин 
-угольника Р. Для 
оно имеет своими частными случаями уже доказанные равенства.
Рис. 17.14
Предположим, что (11) верно для всех многоугольников, число вершин которых меньше 
, и установим его для 
-угольника Р.
Разобьем произвольный 
-угольник Р какой-нибудь диагональю на многоугольники 
с меньшим числом вершин (рис. 17.14). Тогда легко подсчитать, что
Так как
и
то
Сферический треугольник — геометрическая фигура на поверхности сферы, состоящая из трёх точек и трёх дуг больших кругов, соединяющих попарно эти точки.
Сначала разберемся с тем что такое большие круги. Большой круг – круг, который делит сферу или шар на две равные половины.
На поверхности сферы большой круг служит аналогом прямой на плоскости, так как кратчайший путь между любыми двумя точками на поверхности сферы пройдёт по дуге большого круга.
Именно поэтому самолеты летают по дуге большего круга нашей планеты, так как в таком случае расстояние будет минимальным. Обычная плоская карта искажает реальные размеры из-за неправильного отображения сферы на плоскость. Так же это может послужить для плоскоземельцев очередным доказательством их не правоты.
То есть сферический треугольник представляет собой три точки на поверхности сферы, соединенные дугами кратчайшего расстояния, которые и есть дуги больших кругов.
Перед тем как считать площадь треугольника нужно ознакомиться с еще одним понятием.
Сферический двуугольник – многоугольник с двумя сторонами и двумя углами. В сферической геометрии четыре двуугольника образуются при пересечении двух больших окружностей.
Из формулы площади сферы легко получить площадь двуугольника. Формула получается таким же способом, как и площадь сектора круга. Площадь делится на максимальный угол двуугольника 2pi, и умножается на угол двуугольника площадь которого мы ищем.
По сути сферический треугольник представляет собой пересечение трех сферических двуугольников с перекрытиями.
При внимательном рассмотрении рисунка, видно что поверхность сферы покрывается шестью двуугольниками, но так как они наслаиваются друг на друга в месте образования треугольника, необходимо вычесть площади четырех треугольников.
Из выведенной формулы следует, сумма углов сферического треугольника больше 180 градусов.
Reference : http://planetmath.org/areaofasphericaltriangle
area of a spherical triangle
A spherical triangle is formed by connecting three points on the surface of a sphere with great arcs; these three points do not lie on a great circle of the sphere. The measurement of an angle of a spherical triangle is intuitively obvious, since on a small scale the surface of a sphere looks flat. More precisely, the angle at each vertex is measured as the angle between the tangents to the incident sides in the vertex tangent plane.
Theorem. The area of a spherical triangle ABC on a sphere of radius R is
SABC=(∠A+∠B+∠C−π)R2.
(1)
Incidentally, this formula shows that the sum of the angles of a spherical triangle must be greater than or equal to π, with equality holding in case the triangle has zero area.
Since the sphere is compact, there might be some ambiguity as to whether the area of the triangle or its complement is being considered. For the purposes of the above formula, we only consider triangles with each angle smaller than π.
An illustration of a spherical triangle formed by points A, B, and C is shown below.
Note that by continuing the sides of the original triangle into full great circles, another spherical triangle is formed. The triangle A′B′C′ is antipodal to ABC since it can be obtained by reflecting the original one through the center of the sphere. By symmetry, both triangles must have the same area.
Proof.
For the proof of the above formula, the notion of a spherical diangle is helpful. As its name suggests, a diangle is formed by two great arcs that intersect in two points, which must lie on a diameter. Two diangles with vertices on the diameter AA′ are shown below.
At each vertex, these diangles form an angle of ∠A. Similarly, we can form diangles with vertices on the diameters BB′ and CC′ respectively.
Note that these diangles cover the entire sphere while overlapping only on the triangles ABC and A′B′C′. Hence, the total area of the sphere can be written as
Ssphere=2SAA′+2SBB′+2SCC′−4SABC.
(2)
Clearly, a diangle occupies an area that is proportional to the angle it forms. Since the area of the sphere is 4πR2, the area of a diangle of angle α must be 2αR2.
Hence, we can rewrite equation (2) as
4πR2=2R2(2∠A+2∠B+2∠C)−4SABC,
∴ SABC=(∠A+∠B+∠C−π)R2,
which is the same as equation (1). ∎
Сферические треугольники решение и формулы (Таблица)
Сферические треугольники.
На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, и сферической поверхности. Сторонами а, b, с сферического треугольника называют те углы между лучами, которые меньше 180°. Каждой стороне треугольникасоответствует дуга большого круга на поверхности шара (рис. 1). Углы A, В, С сферического треугольника, противолежащие сторонам а, b, с соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем 180°, углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лучами.
Свойства сферических треугольников.
Каждая сторона и угол сферического треугольника по определению меньше 180°. Геометрия на поверхности шара является неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°, сумма углов заключена между 180° и 540°. В каждом сферическом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол.
Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):
- тремя сторонами,
- тремя углами,
- двумя сторонами и заключенным между ними углом,
- стороной и двумя прилежащими к ней углами.
Решение сферических треугольников (Таблица)
(смотрите формулы ниже и рис. 1 выше)
|
Случай |
Даны |
Формулы для вычисления |
Условия существования решения |
| 1 |
Три стороны а, Ь, с |
А, В, С из (8) и циклической перестановки |
Сумма двух сторон должна быть больше третьей |
| 2 |
Три угла А, В, С |
а, Ь, с из (8) и циклической перестановки |
Сумма двух углов должна быть меньше 180° плюс третий угол |
| 3 |
Две стороны и заключенный между ними угол b, с, А |
из (6), затем В и С; а из (7), (8) или (4) |
|
| 4 |
Два угла и заключенная между ними сторона В, С, а |
из (6), затем b и с; А из (7), (8) или (5) |
|
| 5 |
Две стороны и противолежащий одной из них угол Ь, с, В |
С из (3); А и а из (6) |
Задача имеет одно или два решения, если sin с sin В ≤ sin b. Сохраняются те из величин с, для которых А — В и а — b имеют одинаковый знак; A + B — 180° и а + b — 180° также должны быть одного знака |
| 6 |
Два угла и противолежащая одному из них сторона В, С, b |
с из (3); А и а из (6) |
Задача имеет одно или два решения, если sin b sin С ≤ sin В. Сохраняются те из величин с, для которых A — В и а — b имеют одинаковый знак; A + В – 180° и а + Ь – 180° также должны быть одного знака |
Формулы для решения сферических треугольников
В следующих ниже соотношениях А, В, С являются углами, противолежащими соответственно сторонам а, b, с сферического треугольника. «Радиусы» описанного и вписанного конусов обозначены соответственно через г и р. Формулы, не включенные в перечень, могут быть получены одновременной циклической перестановкой А, В, С и а, Ь, с. Таблица выше позволяет вычислять стороны и углы любого сферического треугольника потрем подходящим образом заданным сторонам и/или углам. Неравенства, отмеченные в начале п. 2, должны быть приняты во внимание, для того чтобы исключить посторонние результаты при решении треугольников.
|
|
теорема синусов |
(1) |
|
|
теорема косинусов для сторон |
(2) |
|
|
теорема косинусов для углов |
(3) |
|
|
аналогии Непера |
(4) |
|
|
аналогии Деламбра и Гаусса |
(5) |
|
|
формулы половинных углов |
(6) |
|
|
(7) |
|
|
|
(8) |
|
|
|
уравнение Люилье |
(9) |
|
|
Некоторые тригонометрические соотношения становятся особенно удобными для вычислений с помощью логарифмов, если в них использованы новые тригонометрические функции |
(10) |
|
|
Таким образом, если имеются в наличии таблицы функции hav, то для решения сферических треугольников можно использовать эти формулы: |
(11) |
|
Другие аналогичные соотношения можно получить циклической перестановкой |
