Как найти площадь треугольника описанного возле окружности - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Площадь треугольника через радиус описанной окружности

Как найти площадь треугольника через радиус описанной окружности

Описанной около выпуклого многоугольника окружностью называют такую окружность, которая пересекает каждую из вершин рассматриваемого многоугольника.

Если около некоторого многоугольника описана окружность, то данный многоугольник является вписанным в эту окружность. Существует правило, согласно которому в выпуклый многоугольник можно также вписать какую-либо окружность. Для этого требуется, чтобы все серединные перпендикуляры сторонам многоугольника обладали единственной точкой пересечения. Данную точку называют центром вписанной в многоугольник окружности.

Центр окружности, которая описана около многоугольника, расположен на одинаковом расстоянии от всех вершин рассматриваемого многоугольника. При этом отрезок, один конец которого совпадает с центром окружности, а второй — с любой из вершин многоугольника, равен радиусу описанной окружности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Пример

Рассмотрим наглядный пример:

Источник: treugolniki.ru

На рисунке изображен многоугольник с пятью углами ABCDE. Около этого пятиугольника описана окружность, центр которой обозначен О, а радиус равен R. Таким образом, ABCDE представляет собой вписанный пятиугольник, а O является точкой, в которой пересекаются серединные перпендикуляры, проведенные к сторонам ABCD. Запишем следующие соотношения:

(AP = PE,OP bot AE)

(AM = MB,OM bot AB)

(BN = NC,ON bot BC)

(CL = LD,OL bot CD)

(DK = KE,OK bot DE)

Заметим, что точка O находится на одинаковом расстоянии, то есть равноудалена, от каждой из вершин рассматриваемого многоугольника с каким-то периметром:

Источник: treugolniki.ru

Данное расстояние между точкой О и какой-либо вершиной соответствует радиусу описанной окружности:

OA=OB=OC=OD=OE=R

Примечание

Окружность можно описать около любого треугольника. А, к примеру, около выпуклого четырехугольника имеется возможность описать окружность только в том случае, если противолежащие углы данной геометрической фигуры в сумме дают 180°.

Если имеется некий правильный многоугольник, то есть равносторонний, вокруг него можно описать окружность. Также в какой-либо правильный многоугольник представляется возможным вписать окружность. В данном случае центры вписанной и описанной окружности совпадают с центром правильного многоугольника.

Отсутствует стандартная формула, с помощью которой можно определить радиус окружности, описанной около многоугольника. Подобная формула предусмотрена для вычисления радиуса вписанной окружности. Поэтому радиус описанной окружности соответствует радиусу окружности, которая описана около какого-либо из треугольников с вершинами, являющимися вершинами описанного многоугольника.

К примеру, представим, что имеется некий многоугольник ABCDE с пятью углами, около которого описана окружность. Радиус данной окружности равен радиусу окружности, описанной около какого-либо из перечисленных треугольников:

ABC;
ABD;
ABE;
BCD;
BCE;
ACD;
ADE и так далее.

Частные случаи составления формул для расчета радиуса описанной окружности:

правильные многоугольники;
треугольники;
прямоугольники.

Описанная около треугольника окружность — это окружность, на которой расположены все вершины данного треугольника. В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в эту окружность.

Источник: treugolniki.ru

Заметим, что:

(OA=OB=OC=R)

Расстояние, на которое удалена каждая из вершин треугольника от центральной точки описанной окружности, соответствует радиусу данной окружности. Заметим, что окружность допустимо описать около какого-либо треугольника без ограничений. Описанная около треугольника окружность обладает центром, совпадающим с точкой, в котором пересекаются серединные перпендикуляры, проведенные к граням треугольника. Данные отрезки перпендикулярны относительно сторон треугольника и пересекают середины этих сторон.

Источник: treugolniki.ru

Предположим, что имеется некий треугольник с острыми углами. Если описать окружность около такой геометрической фигуры, то центр окружности будет расположен в ее внутреннем пространстве.

Источник: treugolniki.ru

Представим, что имеется некий прямоугольный треугольник. Если описать около такой геометрической фигуры окружность, то ее центр будет расположен на середине гипотенузы.

Источник: treugolniki.ru

Около треугольника с тупым углом также допустимо описать окружность. При этом центр данной окружности окажется вне геометрической фигуры. В данном случае центральная точка окружности расположена напротив тупого угла треугольника, за большей стороной.

Теорема с доказательством

Теорема

Определить площадь треугольника можно путем деления результата от произведения сторон этого треугольника на четыре радиуса окружности, которая описана около данного треугольника.

Источник: treugolniki.ru

Докажем записанную теорему. Для этого представим, что существует некий треугольник АВС. Опишем около данного треугольника окружность (O; R). Обозначим стороны треугольника таким образом:

(AB=c, BC=a, AC=b.)

Нужно представить доказательство того, что:

({S_{Delta ABC}} = frac{{abc}}{{4R}})

Изобразим данные треугольник и окружность для наглядности:

Источник: treugolniki.ru

Ведем обозначение угла А. Пусть:

(angle A= alpha)

Вспомним, что вычислить площадь треугольника можно по двум сторонам и углу между ними, как половину от результата умножения пары сторон треугольника на синус угла, расположенного между ними.

Формула 1

Формула имеет вид:

(S = frac{1}{2}absin alpha)

Источник: treugolniki.ru

Применительно к нашему случаю, получим:

({S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}AC cdot AB cdot sin angle A = frac{1}{2}bcsin alpha.)

Далее требуется воспользоваться теоремой синусов, вернее, ее следствием. Заметим, что стороны треугольника относятся к синусу противолежащего угла, как радиус, описанной окружности около данного треугольника, умноженный на два:

(frac{a}{{sin alpha }} = frac{b}{{sin beta }} = frac{c}{{sin gamma }} = 2R)

Тогда:

(R = frac{a}{{2sin alpha }}.)

С помощью данной формулы можно представить расчет синуса угла (alpha):

(sin alpha = frac{a}{{2R}})

При подстановке полученного выражения в начальную формулу имеем:

({S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}bcsin alpha = frac{1}{2}bc cdot frac{a}{{2R}} = frac{{abc}}{{4R}}.)

Теорема доказана.

Примеры задач

Ранее получилось доказать теорему о площади треугольника, вычисляемой с помощью радиуса описанной окружности. Запишем формулу, отражающую смысл этой теоремы:

(S = frac{{abc}}{{4R}})

Используя данную формулу, можно решать задачи по геометрии. Приведем несколько типичных примеров таких заданий.

Задача 1

Дан равнобедренный треугольник с боковыми гранями, равными 50. Основание фигуры составляет 80. Требуется определить радиус, которым обладает описанная около данного треугольника окружность.

Решение

Найдем радиус окружности через площадь треугольника:

(R=frac{abc}{4S})

С помощью формулы Герона рассчитаем площадь:

(S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=sqrt{90(90-50)^2(90-80)}=900)

В результате:

(R=frac{90cdot 50cdot 50}{4cdot 900}=62,5)

Ответ: 62,5.

Задача 2

Имеется некий треугольник АВС. Одна из его сторон АВ составляет 28. Угол напротив этой стороны С составляет 150 градусов. Требуется определить радиус окружности, которая описана около данного треугольника.

Решение

Воспользуемся теоремой синусов и запишем:

(frac{AB}{sinC}=2R)

(frac{28}{sin150^{circ}}=2R)

(frac{28}{frac{1}{2}}=2R)

В результате:

R=28.

Ответ: 28.

Задача 3

Дан некий треугольник АВС. Градусная мера угла С составляет 90 градусов, а стороны равны:

BC=16;

AC=30.

Нужно вычислить, каким радиусом обладает описанная около данного треугольника окружность.

Решение

Заметим, что в условии задачи речь идет о прямоугольном треугольнике. Тогда диаметр описанной около такого треугольника окружности является гипотенузой. Запишем:

(R=frac{AB}{2})

Согласно теореме Пифагора:

(AB=sqrt{BC^2+AC^2}=sqrt{16^2+30^2}=34)

В результате:

(R=frac{AB}{2}=frac{34}{2}=17)

Ответ: 17.

Задача 4

Около некого правильного треугольника описана окружность с радиусом (17sqrt{3}). Нужно вычислить сторону данного треугольника.

Решение

Согласно теореме косинусов:

( frac{AB}{sinC}=2R)

(frac{AB}{sin60^{circ}}=2cdot 17sqrt{3})

(frac{AB}{frac{sqrt3}{2}}=34sqrt{3})

В таком случае:

AB=51

Ответ: 51.

Задача 5

Имеется некий правильный треугольник, сторона которого равна (7sqrt3). Требуется вычислить радиус окружности, описанной около этой геометрической фигуры.

Решение

Согласно теореме синусов:

(frac{AB}{sinC}=2R)

(frac{7sqrt3}{sin60^{circ}}=2R)

14=2R

В результате:

R=7

Ответ: 7.

Задача 6

Имеется окружность, на которой расположены точки А, В, С. Эти точки образуют три дуги с градусными мерами в соотношении 1:6:11. Нужно вычислить, какую градусную меру имеет самый большой угол треугольника АВС.

Решение

Обозначим дугу АВ за переменную х. В таком случае:

BC=6x

AC=11x

Далее запишем следующее соотношение:

x+6x+11x=360

18x=360

x=20

В результате:

(breve{AC}=20^{circ}cdot 11=220^{circ})

Вспомним, что вписанный угол соответствует ½ дуги, на которую этот угол опирается. В результате:

(angle ABC=frac{220^{circ}}{2}=110^{circ})

Ответ: (110^{circ}.)

Задача 7

Даны треугольник и описанная около него окружность с радиусом 1. Одна из сторон треугольника равна (sqrt2). Требуется определить градусную меру острого угла треугольника, который расположен напротив этой стороны.

Решение

Согласно теореме синусов:

(frac{a}{sin alpha}=2R)

(frac{sqrt2}{sin alpha}=2cdot 1)

(sinalpha=frac{sqrt2}{2})

(alpha=45^{circ})

Согласно условию задачи, (alpha) является острым углом.

Ответ: (45^{circ}).

Задача 8

Углы некого четырехугольника составляют (56^{circ}) и (99^{circ}). Эта фигура вписана в окружность. Требуется определить самый большой из неизвестных углов.

Решение

Исходя из условия задачи, сделаем вывод о том, что данные углы не противоположны друг другу. В противном случае, эти углы в сумме составляли бы (180^{circ}).

При (angle A=99^{circ}), то (angle C=180^{circ}-99^{circ}=81^{circ})

При (angle B=56^{circ}), то ( angle D=180^{circ}-56^{circ}=124^{circ})

Тогда угол D является самым большим.

Ответ: (124^{circ}.)

Задача 9

Имеется четырехугольник ABCD. Вокруг него описана окружность. Градусная мера угла АВС составляет (38^{circ}), а угла CAD равна —(38^{circ}). Нужно определить угол ABD в градусах.

Решение

По условию задачи:

(angle ABC=38^{circ})

В результате, дуга ADC составит (76^{circ}.)

Также в условии дано:

(angle CAD=33^{circ})

Тогда дуга DC равна (66^{circ}.)

В итоге получим:

(breve{AD}=breve{ADC}-breve{DC}=76^{circ}-66^{circ}=10^{circ})

Таким образом:

(angle ABD=5^{circ})

Ответ: 5.

Задача 10

Имеется квадрат, около которого описана окружность с радиусом (45sqrt2). Требуется вычислить сторону квадрата.

Решение

Диаметр окружности равен диагонали BD квадрата, около которого она описана. Обозначим сторону квадрата за х. Используем теорему Пифагора и запишем:

(x^2+x^2=(90sqrt2)^2)

(2x^2=90^2cdot 2)

(x^2=90^2)

(x=90)

Ответ: 90.

Источник

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

квадратный миллиметр (мм 2 );
квадратный сантиметр (см 2 );
квадратный дециметр (дм 2 );
квадратный метр (м 2 );
квадратный километр (км 2 );
гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности

Как найти площадь треугольника через радиус описанной окружности?

Площадь треугольника равна частному от деления произведения сторон треугольника на четыре радиуса описанной около треугольника окружности.

Формула для нахождения площади треугольника через радиус описанной окружности:

окружность (O; R) — описанная,

Выразим из этой формулы синус альфа

и подставим полученное выражение в первую формулу

[spoiler title=”источники:”]

http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika

Площадь треугольника через радиус описанной окружности

[/spoiler]

Источник

Содержание

Определение
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
Радиус описанной окружности около треугольника
Площадь треугольника
Периметр треугольника
Сторона треугольника
Средняя линия треугольника
Высота треугольника
Свойства
Признаки существования
Признаки равенства
Виды
Термины

Определение

Треугольник, описанный около окружности — это треугольник,
который находится около окружности и соприкасается
с ней всеми тремя сторонами.

На рисунке ниже изображена окружность, вписанная в треугольник;
и треугольник, описанный около окружности.

△ABC — треугольник, описанный около окружности;
A, B, C — вершины треугольника, описанного около окружности;
F, D, E — точки касания треугольника, описанного около окружности;
O — центр окружности, вписанной в треугольник;
OD = OF = OE — радиусы треугольника, описанного около окружности;
AB, BC, CA — касательные;
FA = AE, EC = CD, FB = BD — отрезки касательных;
OF ⟂ AB, OD ⟂ BC, OE ⟂ AC;

Треугольник ABC имеет три точки, где соприкасаются
стороны и сама окружность, эти точки называют точками
касания. У данного треугольника их всего три.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем
только одну. Треугольник, в который вписана окружность
называется треугольником описанным около окружности.

Треугольники, описанные около окружности, обладают рядом
рядом отличительных свойств, характерных признаков, уникальными
терминами, а также формулам, по которым можно найти разные величины.

Формулы радиуса вписанной окружности, радиуса описанной окружности,
диаметра, средней линии, периметра, площади стороны позволяют выразить
одни величины через другие, рассчитать длину величины, узнать во сколько
раз одна величина отличается от другой, какая прослеживается взаимосвязь.

Длина любой величины произвольного
треугольника может измеряется в мм, см, м, км.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности треугольника, описанного около окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:

[ r = frac{S}{(a+b+c)/2} ]
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

[ r = frac{S}{frac{1}{2}P} ]
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

[ r = sqrt{frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} ]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности треугольника, описанного около окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

[ R = frac{AC}{2 sin angle B} ]
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

[ R = frac{abc}{4S} ]
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

[ R = frac{abc}{4sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} ]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника, описанного около окружности.

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

[ S = pr ]
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

[ S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

[ S = frac{1}2 ah ]
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

[ S = frac{a^2}{2cdot (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β))} ]
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac{1}{2}ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника, описанного около окружности.

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:

[ P = a + b + c ]
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

[ P = frac{2S}{r} ]
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

[ P = sqrt{ b2 + с2 — 2 * b * с * cosα} + (b + с) ]

Сторона треугольника

a — сторона треугольника, описанного около окружности.

Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:

[ a = sqrt{b^2+c^2 -2bc cdot cos alpha} ]
Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

[ a = frac{b · sin alpha }{sin β} ]

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника, описанного около окружности.

Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:

[ l = frac{AB}{2} ]
Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угла между ними:

[ l = frac{sqrt{b^2+c^2-2bc cdot cos alpha}}{2} ]

Высота треугольника

h — высота треугольника, описанного около окружности.

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:

[ h = frac{2S}{a} ]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

[ h = frac{bc}{2R} ]

Свойства

Свойства треугольника, описанного около окружности,
а также окружности, вписанной в треугольник, медиан,
высот, биссектрис, радиусов-перпендикуляров.

Свойство 1. Окружность, можно вписать
в любой треугольник, только один раз.

Свойство 2. Центр окружности, вписанной в треугольник —
точка пересечения биссектрис, центр окружности.

Свойство 3. Центр окружности, описанной около треугольника —
точка пересечения серединных перпендикуляров.

Свойство 4. Центры вписанной и описанной окружностей
равностороннего треугольника, описанного около
окружности совпадают, имеют одну общую точку.

Свойство 5. Отрезок, проведенный из центра треугольника,
описанного около окружности, к любой из сторон,
является радиусом.

Свойство 6. У любого треугольника центр
вписанной окружности находится только внутри.

Свойство 7. Окружность находящаяся внутри
треугольника, описанного около окружности,
касается всех его сторон.

Свойство 8. Вписанная окружность и треугольник,
описанный около окружности, имеют три общие точки,
которые лежат на трех сторонах треугольника.

Свойство 9. Формула радиуса вписанной окружности
у треугольника, описанного около окружности, и четырехугольника,
у которого суммы противоположных равны, совпадает.

Свойство 10. Радиус описанной около треугольника окружности,
можно выразить и рассчитать через Теорему Синусов.

Свойство 11. У треугольника, описанного около
окружности, радиус вписанной окружности, можно
рассчитать через площадь и полупериметр.

Свойство 12. Радиус в точку касания есть перпендикуляр.

Свойство 13. Окружность, вписанная в треугольник, разделяет
стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.

Свойство 14. Стороны треугольника, описанного около
окружности, можно также называть касательными.

Свойство 15. Отрезки, которые проведены из центра вписанной
окружности, к точкам касания, перпендикулярны сторонам.

Свойство 16. Сумма углов треугольника, описанного
около окружности, равна 180 градусам.

Свойство 17. Центр вписанной окружности
равноудален от всех сторон треугольника.

Свойство 18. Центр вписанной в треугольник окружности в научных
кругах называется замечательной точкой треугольника, либо инцентром.

Свойство 19. Правильный треугольник, описанный около
окружности, имеет точки касания с окружность, в серединах сторон.

Свойство 20. Равнобедренный, прямоугольный, равносторонний
треугольники, описанные около окружности, в точке пересечения
биссектрис и центре окружности, имеют одну общую точку.

Признаки существования

Признак 1. Центр вписанной окружности —
это точка пересечения биссектрис.

Признак 2. На сторонах треугольника лежат
три точки касания вписанной окружности.

Признак 3. Вписанная окружность делит смежные
стороны треугольника на равные отрезки касательных.

Признак 4. У вписанной окружности три радиуса в точку касания быть перпендикулярами.

Исходя из вышеперечисленных признаков, исходных
данных, внешнего вида, можно определить является ли
треугольник описанным около окружности или же нет.

Признаки равенства

Признак 1. По двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника, описанного
около окружности, равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.

Признак 2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, описанного
около окружности, равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.

Признак 3. По трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника, описанного
около окружности, равны трем сторонам другого
треугольника, описанного около окружности.

Виды

Как мы знаем, любой треугольник может быть описан около
окружности, исходя из этого можно сказать, что около
окружности, могут быть описаны следующие виды треугольников:

Разносторонний треугольник
Равносторонний / правильный треугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник, описанный около окружности

Характерные признаки: один из углов прямой,
длину сторон можно найти через Теорему
Пифагора, сумма острых углов 90 градусов.

Основные формулы:

[ r = frac{a+b-c}{2} ]

[ S = pr ]

[ BC^2 = BA^2 + AC^2 ]

Равнобедренный треугольник, описанный около окружности

Характерные признаки: два угла равны,
две стороны равны, третий угол можно
найти зная два других.

Основные формулы:

[ S = frac{b}{4} cdot sqrt{4a^2-b^2} ]

[ P = 2a + b ]

[ h = frac{2S}{b} ]

Равносторонний треугольник, описанный около треугольника

Характерные признаки: три угла и три стороны равны, точки пересечения медиан, высот, биссектрис совпадают.

Основные формулы:

[ S = frac{a^2sqrt{3}}{4} ]

[ r = frac{a}{2 sqrt 3} ]

[ R = 2r ]

Термины

Точка касания — это точка, где соприкасается вписанная
окружность с треугольником; это общая точка, для окружности
и треугольника, которая лежит на любой из сторон треугольника.

Инцентр — это точка, где пересекаются три биссектрисы
треугольника; это центр вписанной окружности в треугольник;
это одна из замечательных точек в геометрии.

Касательная — это сторона треугольника, которая имеет с
вписанной окружностью одну общую точку — точку касания.

Ортоцентр — точка, где пересекаются высоты треугольника.

Ось симметрии — это прямая, которая делит
треугольник на равные половины.

Замечательная точка — это точка пересечения медиан,
высот, биссектрис, серединных перпендикуляров.

Отрезок касательной — это отрезок, который берет начало
у одной из вершин треугольника, и имеет конец в точке касания.

Источник

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}

Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали калькулятор для нахождения площади любого треугольника – равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного (разностороннего) по 22 формулам.

Калькулятор площади треугольника
Площадь треугольника
1. через основание и высоту
2. через две стороны и угол между ними
3. через сторону и два прилежащих угла
4. через радиус описанной окружности и 3 стороны
5. через радиус вписанной окружности и 3 стороны
6. по формуле Герона
Площадь прямоугольного треугольника
1. через катеты
2. через гипотенузу и прилежащий угол
3. через катет и прилежащий угол
4. через радиус вписанной окружности и гипотенузу
5. через вписанную окружность
6. по формуле Герона
7. через катет и гипотенузу
Площадь равнобедренного треугольника
1. через основание и сторону
2. через основание, боковую сторону и угол
3. через основание и высоту
4. через боковые стороны и угол между ними
5. через основание и угол между боковыми сторонами
Площадь равностороннего треугольника
1. через сторону
2. через высоту
3. через радиус описанной окружности
4. через радиус вписанной окружности
Примеры задач

Площадь треугольника

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Площадь треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}

a – длина основания

h – высота, проведенная к основанию

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin(alpha)}

a и b – стороны треугольника

α – угол между сторонами a и b

Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла

{S = dfrac{a^2}{2} cdot dfrac{sin{(alpha)} cdot sin{(beta)}}{sin{(gamma)}}}
{gamma = 180 – (alpha + beta)}

a – сторона треугольника

α и β – прилежащие к стороне a углы

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

{S = dfrac{a cdot b cdot c}{4 cdot R}}

a, b и c – стороны треугольника

R – радиус описанной окружности

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

{S = r cdot dfrac{a + b + c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

r – радиус вписанной окружности

Площадь треугольника по формуле Герона

{S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

p – полупериметр треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (равен 90 градусов).

Площадь прямоугольного треугольника через катеты

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b}

a и b – стороны треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и прилежащий угол

{S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)}}

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

α – прилежащий к гипотенузе c угол

Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол

{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot tg{(alpha)}}

a – катет прямоугольного треугольника

α – прилежащий к катету a угол

Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

{S = r cdot (r+c)}

r – радиус вписанной окружности

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность

{S = c_1 cdot c_2}

с₁ и с₂ – отрезки, полученные делением гипотенузы точкой касания окружности

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

{S = (p-a) cdot (p-b)}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

p – полупериметр треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через катет и гипотенузу

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2}}

a – катет прямоугольного треугольника

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону

{S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2}}

a – боковая сторона равнобедренного треугольника

b – основание равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через основание, сторону и угол

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin{(alpha)}}

a – боковая сторона равнобедренного треугольника

b – основание равнобедренного треугольника

α – угол между основанием и боковой стороной

Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot b cdot h}

b – основание равнобедренного треугольника

h – высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot sin(alpha)}

a – боковые стороны равнобедренного треугольника

α – угол между боковыми сторонами

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

{S = dfrac{b^2}{4 cdot tg {( dfrac{alpha}{2} )}}}

b – основание равнобедренного треугольника

α – угол между боковыми сторонами

Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

{S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4}}

a – сторона равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через высоту

{S = dfrac{h^2}{sqrt{3}}}

h – высота равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

{S = dfrac{3 sqrt{3} cdot R^2}{4}}

R – радиус описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

{S = 3 sqrt{3} cdot r^2}

r – радиус описанной окружности

Примеры задач на нахождение площади треугольника

Задача 1

Найдите площадь треугольника со сторонами 13 14 15.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой Герона.

S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}

Для начала нам необходимо найти полупериметр p:

p= dfrac{a+b+c}{2}p= dfrac{13+14+15}{2}= dfrac{42}{2} = 21

Теперь можем подставить его в формулу Герона и найти ответ:

S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)} = sqrt{21 cdot (21-13) cdot (21-14) cdot (21-15)} = sqrt{21 cdot (8) cdot (7) cdot (6)} = sqrt{21 cdot 336} = sqrt{7056} = 84 : см^2

Ответ: 84 см²

Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 100.

Решение

Воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{100^2 – 28^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{10000 – 784} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{9216} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot 96 = 14 cdot 96 = 1344 : см^2

Ответ: 1344 см²

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 3

Найдите площадь прямоугольного треугольника если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 17.

Решение

Задача аналогична предыдущей, поэтому решение очень похоже.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{17^2 – 15^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{289 – 225} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{64} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 8 = 15 cdot 4 = 60 : см^2

Ответ: 60 см²

Проверка .

Задача 4

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза его равна 40 см а острый угол равен 60°.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)} = dfrac{1}{4} cdot 40^2 cdot sin{(2 cdot 60°)} = dfrac{1}{4} cdot 1600 cdot sin{(120°)} = 400 cdot dfrac{sqrt{3}}{2} = 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2

Ответ: 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2

Проверка .

Задача 5

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 7 см а основание 4 см.

Решение

В этой задаче используем формулу для нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и боковую сторону.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2} = dfrac{4}{4} sqrt{4 cdot 7^2 – 4^2} = sqrt{4 cdot 49 – 16} = sqrt{196 – 16} = sqrt{180} = sqrt{36 cdot 5} = 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641 : см^2

Ответ: 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641

Проверка .

Задача 6

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 30, боковая сторона равна 17.

Решение

Решим эту задачу по анологии с предыдущей.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 17^2 – 30^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 289 – 900} = dfrac{30}{4} sqrt{1156 – 900} = dfrac{30}{4} sqrt{256} = dfrac{30}{4} cdot 16= 30 cdot 4 = 120 : см^2

Ответ: 120 см²

Проверка .

Задача 7

Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 12 см.

Решение

Используем для решения задачи формулу.

S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 12^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 144}{4} = 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2

Ответ: 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2

Проверка .

Источник

Как найти площадь треугольника через радиус описанной окружности?