Как найти площадь треугольника показать на рисунке

Как найти площадь треугольника показать на рисунке

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Площадь
  5. Площадь треугольника

Одну из сторон треугольника часто называют основанием. Если основание выбрано, то под словом “высота” подразумевают высоту треугольника, проведенную к основанию.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту

Доказательство

Дано: АВС, СН – высота, S – площадь АВС

Доказать: S =  АВ СН

Доказательство:

Достроим данный треугольник до параллелограмма ABCD так, как показано на рисунке. АВС = DCB (по трем сторонам (ВС – общая, AB = CD и  АС = BD как противоположные стороны параллелограмма ABCD)), а у равных многоугольников равные площади, значит площади данных треугольников равны. Следовательно, площадь S – площадь АВС равна половине площади параллелограмма ABCD, т.е. S =  АВ СН. Теорема доказана.

Следствие 1

Следствие 2

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания

Теорема

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы

Доказательство

Дано: АВС, СН – высота, S – площадь АВС, А1В1С1, В1Н1 – высота, S1 – площадь А1В1С1, А = А1

Доказать:   

Доказательство:

 

Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной А, а стороны А1В1 и А1С1 наложились соответственно на лучи АВ и АС.

Треугольники АВС и АВ1С имеют общую высоту СН, поэтому

Треугольники АВ1С и АВ1С1 также имеют общую высоту – В1Н1, поэтому

Перемножая полученные равенства, находим:

или 

Теорема доказана.

Советуем посмотреть:

Понятие площади многоугольника

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

Площадь параллелограмма

Площадь трапеции

Теорема Пифагора

Теорема, обратная теореме Пифагора

Формула Герона

Площадь


Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 489,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 492,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 505,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 528,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 531,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 4,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 843,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 947,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1208,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1285,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник
Автор статьи

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Понятие площади

Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.

Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.

Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Решение.

Очевидно, что одна из сторон треугольника является диагональю прямоугольника, у которого одна сторона имеет длину $5$ (так как $5$ клеток), а вторая $6$ (так как $6$ клеток). Следовательно, площадь этого треугольника будет равняться половине такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется

$5cdot 6=30$

Тогда площадь треугольника равняется

$30:2=15$

Ответ: $15$.

Логотип baranka

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.

Как найти площадь треугольника через высоту и основание

Теорема 1

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.

Математически это выглядит следующим образом

$S=frac{1}{2}αh$

где $a$ – длина стороны, $h$ – высота, проведенная к ней.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.

Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $hcdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $hcdot HC$. Тогда

$S_ABH=frac{1}{2}hcdot AH$, $S_CBH=frac{1}{2}hcdot HC$

Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется

$S=S_ABH+S_CBH=frac{1}{2}hcdot AH+frac{1}{2}hcdot HC=frac{1}{2}hcdot (AH+HC)=frac{1}{2}αh$

Теорема доказана.

«Как найти площадь треугольника. Формулы треугольника» 👇

Пример 2

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Решение.

Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим

$S=frac{1}{2}cdot 9cdot 9=40,5$

Ответ: $40,5$.

Формула Герона

Теорема 2

Если нам даны три стороны треугольника $α$, $β$ и $γ$, то его площадь можно найти следующим образом

$S=sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

здесь $ρ$ означает полупериметр этого треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим следующий рисунок:

По теореме Пифагора из треугольника $ABH$ получим

$h^2=γ^2-x^2$

Из треугольника $CBH$, по теореме Пифагора, имеем

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Из этих двух соотношений получаем равенство

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

То есть

$x=frac{γ^2-α^2+β^2}{2β}$

Получим

$h^2=γ^2-(frac{γ^2-α^2+β^2}{2β})^2$

$h^2=frac{(α^2-(γ-β)^2 )((γ+β)^2-α^2)}{4β^2}$

$h^2=frac{(α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α)}{4β^2}$

Так как $ρ=frac{α+β+γ}{2}$, то $α+β+γ=2ρ$, значит

$h^2=frac{2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α)}{4β^2}$

$h^2=frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2 }$

$h=sqrt{frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2}}$

$h=frac{2}{β}sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

По теореме 1, получим

$S=frac{1}{2} βh=frac{β}{2}cdot frac{2}{β} sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}=sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

Теорема доказана.

Площадь равностороннего треугольника

Теорема 3

Площадь равностороннего треугольника определяется как произведение квадрата стороны с числом $frac{sqrt{3}}{4}$.

Математически это выглядит следующим образом

$S=frac{α^2sqrt{3}}{4}$

где $α$ – сторона треугольника.

Доказательство.

Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого сторона равняется $α$. Проведем высоту $h$ (рис. 5).

Высота равностороннего треугольника является также и медианой, значит, по теореме Пифагора

$h^2=α^2-frac{α^2}{4}$

$h^2=frac{3}{4} α^2$

$h=frac{αsqrt{3}}{2}$

Значит по теореме 1:

$S=frac{α^2sqrt{3}}{4}$

Теорема доказана.

Пример 3

Найти площадь равностороннего треугольника, если его сторона равняется $2$.

Решение.

Используя теорему 3, получим

$S=frac{4sqrt{3}}{4}=sqrt{3}$

Ответ: $sqrt{3}$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

33 013

Как найти площадь треугольника – все способы

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

формула площади прямоугольного треугольника

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Формула площади равнобедренного треугольника

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Формула площади равностороннего треугольника

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Формула площади треугольника по сторонам и синусу угла

Если известны длины трех сторон

Делайте так:

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Площадь треугольника по трем сторонам

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

По сторонам и радиусу описанной окружности

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

По сторонам и вписанной окружности

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

( 32 оценки, среднее 4.44 из 5 )

Оцените статью

ЕЖЕНЕДЕЛЬНАЯ РАССЫЛКА

Получайте самые интересные статьи по почте и подписывайтесь на наши социальные сети

ПОДПИСАТЬСЯ

Источник

Площадь треугольника. Задачи

  

Площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

( S=dfrac{1}{2}ah )

  Площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения любых двух его сторон на синус угла между ними:

( S=dfrac{1}{2}ab cdot sin ; alpha )

  

Площадь треугольника

1.  Высота треугольника на рисунке ( h=4 ) ,а основание (a=12 ). Найти площадь треугольника
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение

  

Площадь треугольника

2.  Высота треугольника на рисунке ( h=8 ) ,а основание (a=20 ). Найти площадь треугольника
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение

  

Площадь треугольника

3.  Высота треугольника на рисунке ( h=2 ) ,а основание (a=5 ). Найти площадь треугольника
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение

  

Площадь треугольника

4.  Площадь треугольника на рисунке ( S=30 ) ,а основание (a=12 ). Найти высоту (h)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение

  

Площадь треугольника

5.  Площадь треугольника на рисунке ( S=70 ) ,а основание (a=35 ). Найти высоту (h)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение

  

Площадь треугольника

6.  Площадь треугольника на рисунке ( S=175 ) ,а высота (h=25 ). Найти основание (a)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение

  

Площадь треугольника

7.  Площадь треугольника на рисунке ( S=225 ) ,а высота (h=50 ). Найти основание (a)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение

  

Площадь треугольника

8.  Площадь треугольника на рисунке ( S=14,5 ) ,а высота (h=2 ). Найти основание (a)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение

  

Площадь треугольника

9.  (CB=4, ;; AH=5, ;; DB=2. ) Найти (AC )
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение

  

Площадь треугольника

10.  (CB=12, ;; AH=15, ;; DB=6. ) Найти (AC )
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение

  

Площадь треугольника

11.  (AC=17, ;; DB=8, ;; AH=10. ) Найти (CB )
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение

Площадь треугольника

12. 
Угол ( alpha ) между сторонами треугольника ( a и b ) составляет ( 30^0 . )
Найдите площадь этого треугольника, если (a=10, b=11 . )

Показать ответ
Показать решение
Видеорешение

Площадь треугольника

13. 
В треугольнике, изображенном на рисунке угол ( alpha=45^{circ} , )
а стороны ( a=sqrt{8}, b=51 . )

Найдите площадь этого треугольника.

Показать ответ
Показать решение
Видеорешение

Источник

У геометрической фигуры — треугольника — 3 стороны и 3 вершины. Треугольник получается, если три точки, которые не лежат на одной прямой, соединить отрезками.

Для названия треугольника используются большие латинские буквы, при этом соблюдается последовательность вершин, но начинать название можно с любой вершины.

Иногда используют знак Δ.

В зависимости от величин углов треугольника выделяют:

  • остроугольные треугольники (все углы острые, как на рисунке выше);
  • прямоугольные треугольники (один угол прямой — ∡P=90°);
  • тупоугольные треугольники (один угол тупой — ∡M).

Виды треугольников

Виды треугольников

Площадь треугольника

Прямоугольный треугольник легко представить как половину прямоугольника.

Если площадь прямоугольника равна произведению длин сторон, то для определения площади треугольника необходимо это произведение разделить на 2.

Допустим, RP = a, TP = b;

SRPT=(ab)/2.
Если треугольник не имеет прямого угла, можно построить два прямоугольника, как показано на рисунке.

Допустим, MA=BD=NC = h, AC = a.

SABC=SABD+SCBD=h⋅AD/2+h⋅DC/2=h⋅AC/2=h⋅a/2.
Как видно, достаточно в треугольнике от одной вершины провести отрезок под прямым углом к противолежащей стороне и использовать длины отрезка для определения площади треугольника.

Отрезок называют высотой треугольника.

Свойства треугольника

  1. длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух остальных сторон, но больше разницы длин двух остальных сторон;
  2. высота треугольника образует прямой угол со стороной, к которой проведена;
  3. площадь треугольника равна половине произведения длины высоты треугольника и длины стороны, к которой проведена высота SABC=a⋅h/2.

Пример. Можно ли построить треугольник из отрезков с длинами: 3 см, 7 см, 4 см?

Пример. Можно ли построить треугольник из отрезков с длинами: 16 см, 32 см, 18 см?

Пример. Можно ли построить треугольник из отрезков с длинами: 1 см, 3 см, 7 см ?

Одна сторона, которая образует прямой угол прямоугольного треугольника ABD, равна 12 см, другая сторона, которая образует прямой угол, в 3 раза меньше.
Определи площадь треугольника.

Рассчитай площадь треугольника ABC, если дана площадь клетки — 1 м2.

Известно, что периметр равностороннего треугольника — 21 см. Определи периметр данного четырёхугольника, который состоит из равносторонних треугольников.

Дан равносторонний треугольник. 2 раза сделано следующее:

1. на всех сторонах отмечены и соединены серединные точки.
2. На сторонах внутреннего треугольника опять отмечены и соединены серединные точки.
Треугольник, который образовался на этот раз, закрашен розовым цветом.

1. Сколько маленьких треугольников необходимо для перекрытия данного треугольника?

2. Чему равна площадь большого треугольника, если площадь розового треугольника равна 4 м²?

3. Сколько маленьких треугольников получится, если повторить эти действия (построить такую конструкцию) 4 раза?

4. Сколько маленьких треугольников получится, если повторить эти действия (построить такую конструкцию) 3 раза?

Определи площадь данных фигур, если площадь одной клетки равна 6 см2.
1)

Сколько клеток образует площадь фигуры? Чему равна площадь фигуры?


Сколько клеток образует площадь фигуры? Чему равна площадь фигуры?

Подумай, как построены данные фигуры, и определи, сколько клеток будет у следующих двух фигур, если их построить по той же закономерности.

Источник

Добавить комментарий