Как найти площадь треугольника с корнем

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Формула Герона для треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулу Герона, пользуясь которой можно найти площадь треугольника. Также разберем примеры решения задач для того, чтобы закрепить представленный материал.

Формула площади

Площадь треугольника ( S ) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра ( p ) на разности полупериметра и каждой из его сторон ( a, b, c ).

Полупериметр ( p ) вычисляется таким образом:

Примечание: для использования формулы необходимо знать/найти длину всех сторон треугольника.

Формула получила такое название в честь греческого математика и механика Герона Александрийского, который изучал треугольники с целочисленными сторонами и площадью (героновские). К таким, например, относится прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, который также называют египетским.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Решение
Для начала найдем полупериметр:
p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см.

Теперь воспользуемся формулой Герона, подставив в нее заданные значения:
= .

Задание 2
В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равняется 15 см, а одного из катетов – 9 см. Вычислите площадь фигуры.

Решение
Пусть гипотенуза – это c , известный катет – a , а неизвестный – b .

Применим Теорему Пифагора, чтобы найти длину катета b :
b 2 = = = , следовательно,

Полупериметр треугольника равен:
p = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 см.

Остается только использовать формулу для нахождения площади:
= = .

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

[spoiler title=”источники:”]

http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika

[/spoiler]

Эта статья – часть проекта по математике, на котором я помогаю ученикам 8-9 классов и их родителям лучше понимать этот предмет и готовиться к ОГЭ в 9 классе.

Здравствуйте, уважаемые читатели. Сегодня мы продолжим с Вами учиться применять различные математические операции при работе с квадратными корнями, а также находить площадь треугольника общего вида и решать геометрические задачи, связанные с понятием площади треугольника. Я выдам Вам задание на дом и прикреплю в разделе “Комментарии” ответы к нему.

В предыдущей публикации “ОГЭ. Задание 8: квадратные корни. Задание 15: 2 мнения о том, что такое треугольник и его площадь” я дала понятие квадратного корня и площади треугольника. Если Вы впервые на проекте, прочитайте, пожалуйста, сначала эту статью, так как мы будем пользоваться правилами, о которых идёт в ней речь. Ссылки на все написанные статьи цикла “Решаем вместе математику, 8-9 классы” я прикреплю в конце.

Перейдём теперь к геометрии. О понятии треугольника и его площади я написала в статье, на которую дала ссылку выше. Ещё раз подчеркну, что со словосочетанием “площадь треугольника” (так же, как и со словосочетанием “площадь многоугольника”) я не согласна (так как линии нельзя поставить в соответствие число, называемое площадью). Но это – моя точка зрения.

Что такое площадь многоугольника?

В “школьной” геометрии под площадью многоугольника понимают положительную величину, которая обладает следующими свойствами:

• равные многоугольники имеют равные площади;
• если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;
• за единицу измерения площади принимают единичный квадрат, т. е. квадрат со стороной, длина которой равна единице измерения длины.

В следующих статьях цикла мы рассмотрим другие формулы, с помощью которых можно вычислить площадь треугольника. А теперь решим задачи, затрагивающие понятие площади треугольника.

Задание Дана 6 для самостоятельного решения

Ответы для проверки находятся в разделе “Комментарии”.

Приятный бонус для потрудившихся:

Ссылки на предыдущие Даны.

Дан 1. “ОГЭ. Задание 6: десятичные дроби. Задание 15: углы”

Дан 2. “ОГЭ. Задание 6: обыкновенные дроби. Задание 15: треугольники общего вида”

Дан 3. “ОГЭ. Задание 6: сложные задачи-микс с десятичными и обыкновенными дробями”

Дан 4. “ОГЭ. Учимся решать геометрические задачи. Задание 15: свойства элементов треугольников общего вида”

Дан 5. “ОГЭ. Задание 8: квадратные корни. Задание 15: 2 мнения о том, что такое треугольник и его площадь”

Как Ваши успехи, уважаемые читатели? Вы можете всегда задать вопросы, если что-то не получается решить. Сложно Вам или нет решать подготовленные для Вас задания?

Вы находитесь на дружелюбном канале.

Уважайте себя. С уважением, автор.

#математика #проект по математике для 9 класса #огэ по математике #школьное образование #репетитор по математике #обучение математике

Avgust
Меня, иногда, поражает Ваша вера в собственную непогрешимость.

С чего вы взяли что верный ответ 14,48?
Может ошибка не в Википедии, а как раз в Вашей формуле?
У меня, например, расчеты показывают, что ответ 21,50
Причем по формуле Герона, по ее модификации и по стандартной [math]S=dfrac{1}{2}absin{gamma}[/math].

PS:
[math][sqrt {pleft( {p – a} right)left( {p – b} right)left( {p – c} right)} = sqrt {frac{{a + b + c}}{2} cdot frac{{a + b + c – 2a}}{2} cdot frac{{a + b + c – 2b}}{2} cdot frac{{a + b + c – 2c}}{2}} = frac{1}{4}sqrt {left( {a + b + c} right)left( { – a + b + c} right)left( {a – b + c} right)left( {a + b – c} right)} ][/math]

Сравним с Вашей формулой [math][frac{1}{4}sqrt {2aleft( { a + b – c} right)left( {a – b + c} right)left( {-a + b+ c} right)} ][/math]

Исходя из предположения, что Ваша формула верна, получаем
[math]2a=a+b+c[/math]
[math]a=b+c[/math]
Я думаю Вы слышали о неравенстве треугольника.

Вывод: Теперь я знаю кто портит статьи в Википедии.