Как найти площадь треугольника с помощью косинуса - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

I. Площадь треугольника через синус

Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.

Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По таблице синусов синус угла в 30° равен 0.5

Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.

Калькулятор нахождения площади треугольника через синус

Сторона a=	Сторона b=	Угол γ °
Ответ: Площадь треугольника = 3.000

Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

$alpha={180^circ}-(beta+gamma)$
$beta={180^circ}-(alpha+gamma)$
$gamma={180^circ}-(alpha+beta)$

Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:

$S= {1/2} * {a^2} * {{ sin{beta} * sin{gamma} } / { sin{alpha} }}$
$S= {1/2} * {b^2} * {{ sin{alpha} * sin{gamma} } / { sin{beta} }}$
$S= {1/2} * {c^2} * {{ sin{alpha} * sin{beta} } / { sin{gamma} }}$

Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол: $alpha={180^circ}-({60^circ}+{60^circ})$
Подставляем данные в формулу $S= {1/2} * {3^2} * {{ sin{60^circ} * sin{60^circ} } / { sin{60^circ} }}={1/2} * 9 * {{ 0.86 * 0.86 } / { 0.86 }}=3.87$
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.
${c^2}={a^2}+{b^2}-2*a*b*cos{gamma}$
Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

$a=sqrt{ {c^2}+{b^2}-2*c*b*cos{alpha} }$
$b=sqrt{ {a^2}+{c^2}-2*a*c*cos{beta} }$
$c=sqrt{ {a^2}+{b^2}-2*a*b*cos{gamma} }$

Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.

Пример расчета формулы площади треугольника через косинус
Дан треугольник с известными сторонами a = 3, b = 4, и углом γ= 45°. Для начала найдем недостающую сторону с. По таблице косинусов косинус 45°=0,7. Для этого подставим данные в уравнение, выведенное из теоремы косинусов. $c=sqrt{ {3^2}+{4^2}-2*3*4*cos{45^circ} }=sqrt{ 9+16-2*3*4*0.7 }=sqrt{ 25-16.97 }=2.83$
Теперь используя формулу, найдем площадь треугольника по трем сторонам:

Калькулятор нахождения площади треугольника через косинус

Сторона a=	Сторона b=	Угол γ °
Ответ: Площадь треугольника = 4.243

Источник

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Теория и практика по треугольникам (Часть Ⅱ)

Площадь треугольников.

Тригонометрия в прямоугольных треугольниках.

Что такое синус/косинус.

Таблицы Брадиса. Как пользоваться.

Теорема синусов и косинусов.

Геометрия — это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.

С основными свойствами разобрались, теперь рассмотрим формулы и их приминение.

Площадь произвольного треугольника

Нет, это не кривая пентаграмма, нужны на этом рисунке только обозначения. Рассмотрим формулы школьной программы.

Высоту умножаем на ту сторону, на которую приходит высота:
В эту формулу подставляем угол между сторонами a и b:

Удобно использовать эту формулу, когда известны все стороны треугольника, p — полупериметр (половина суммы длин всех сторон):

Данная формула отлично помогает найти радиус вписанной окружности для любого треугольника, если известна площадь:

А эта формула помогает найти радиус описанной окружности для любого треугольника:

А зачем такое количество формул? К каждой задаче будут предоставлять разное дано, удобно знать и применять все формулы, чтобы максимально быстро решать задачи.

Полезные формулы для прямоугольного и равностороннего треугольника:

В данном случае получается, что один катет «b» — высота треугольника, а катет «а» — основание.

Эту формулу можно вывести большим количеством способов, самый простой через формулу №2

Задача №1. Дано на рисунке:

Оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Помимо 5 формул для произвольного треугольника, нам подойдет формула нахождения площади через полупроизведение катетов.

Вариантов здесь много (можно через т. Пифагора), но самый быстрый — найти ∠А = 180°− 90° − 60° = 30°, тогда площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα

Ответ: 60

Задача №2. Дано на рисунке:

Снова оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Дан обычный треугольник, значит, наш выбор ограничен первыми 5−ью формулами. В первой нужна высота, во второй угол, а в третьей полупериметр, но мы же знаем все стороны! Для начала найдем периметр и полупериметр:

Теперь можно подставить все числа в формулу площади:

Главное — правильно определиться с формулой.

Задача №3. Дано на рисунке:

В ΔABH: ∠A = 180°− 90° − 45° = 45°, значит, ∠A = ∠B => BH = AH = 12.

Тогда площадь можно найти по формуле (1) S=½bh. Высота AH = 12, основание AC = 16+12 = 28. => S = ½×12×28 = 168

Задача №4. Дано на рисунке:

Оттолкнемся от отношения, которое нам дано. Мы знаем, что сумма данных углов равна 90°, если ∠ACM = х и ∠ВCM = 2х, тогда 2х+х = 90°

∠ACM = х = 30° => ∠ВCM = 60°. А что у нас равно 4-ем? Да, медиана! А медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы (2−ое свойство). Тогда отметим равные углы:

В ΔBCM получается ∠ВCM = ∠СВM = 60°, тогда ∠СМВ = 60° и ΔBCM — правильный:

Площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα:

Задача №5. Дано на рисунке:

В дано есть только стороны, а найти нужно угол. Как это сделать? Вот стороны 14,2 и 7,1 во сколько раз отличаются? Да, в 2 раза, а значит угол ∠BAL = 30° (против угла в 30° лежит катет, который в два раза меньше гипотенузы).

Значит, ∠A = 60° => ∠ACB = 180° − 90° − 60° = 30°, а ∠ACB — смежный с ∠ACV => ∠ACV = 180° − 30° = 150°.

Что касается LC: внимательно рассмотрим ΔALC, можно даже лупой воспользоваться. Что видишь? ∠LAC = ∠ACL = 30° => ΔALC — равнобедренный, LC = AL = 14,2.

Ответ: 14,2 и 150°

Тригонометрия в прямоугольных треугольниках

В прямоугольном треугольнике три стороны: 2 катета и гипотенуза.

Катеты меньшие стороны треугольника. Гипотенуза большая сторона, которая лежит напротив угла в 90°.

Относительно угла α:

Катет, который составляет угол, называют прилежащим. Катет, который находится напротив угла, называют противолежащим. Логично? Замечательно!

Тригонометрические функции (синус, косинус. ) задают связь между углом и длинами сторон.

Но хорошо бы знать какие-то значения тригонометрических функций при определенных углах. Все значения вместе образуют таблицу Брадиса. С ее помощью можно вычислить почти любое значение тригонометрической функции при заданом угле. Но как с ней работать?

Найдем sin(10°) . Для этого выберем столбец sin и в нем найдем 10°. Ближайшее значение — это то, что нам нужно — 0,1736.

А что за столбец 0′; 6′; 12′ и т.д. Это минуты! Не те, которых мы ждем в конце урока, а градусные минуты.

Из общего: и те, и другие минуты измеряются в промежутке от 0 до 60.

Градусные минуты делят один градус на 60 минут (1°=60′), нужны они для большей точности задания угла.

p.s. Есть еще и градусные секунды, и в одной градусной минуте 60 градусных секунд, знакомо? 1° = 60′ = 3600”.

Семь десятых градуса нужно перевести в минуты. Можно через пропорцию:

Теперь в таблице нужно найти 77°42′ для косинуса. Для синуса минуты прописаны, а для косинуса нет. Но мы же люди не гордые, сами напишем, но в обратном порядке. На пересечении 77° и 42′ получаем наше значение:

Но чтобы не загромождать таблицу 0, его в начале пишут только в первых строчках, поэтому ответ cos(77,7°) = 0,213.

В задачах же таким обилием углов похвастаться нельзя, достаточно знать значения для 30°; 45°; 60°; 90°.

Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов — иногда,

даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься.

Задача №6. Дано на рисунке:

В этой задаче известен противолежащий катет относительно угла в 45°, а найти нужно гипотенузу. Смотрим, где у нас есть противполежащий катет и гипотенуза? Это синус!

Смотрим в таблице, чему равен синус 45°, и подставляем в отношение:

Задача №7. Дано на рисунке:

Мы разобрались с тригонометрическими функциями в прямоугольных треугольниках, значит, и в этой задаче нужно перейти к прямоугольному треугольнику.

В ΔLTK — равнобедренный : ∠L = ∠LKT = (180° − 120°)/2 = 30°

Отлично, в прямоугольном ΔLVK: ∠L = 30° и известна гипотенуза, а нам нужно найти противолежащий катет, чем воспользуемся? Опять синусом!

Теорема синусов и теорема косинусов

Сразу возникает вопрос, а теорема тангенсов тоже есть? Конечно, есть, но она очень редко используется.

Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема синусов:

Запомни, что сторона относится к синусу противолежащего угла.

Следствие из теорма синусов гласит, что любое соотношение равно двум радиусам описанной окружности:

Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема косинусов:

А что будет, если α = 90°, а cos(90) = 0? Получится:

Теорема Пифагора, вот так просто можно запомнить теорему косинусов. Начать как теорему Пифагора, а затем вычесть удвоенное произведение на косинус угла между ними.

Можно записать и для других сторон в этом же треугольнике:

Задача №8. Дано на рисунке:

Запишем теорему синусов для двух отношений:

Выразим отсюда KT:

∠K = 180° − 60° − 45° = 75°. Чтобы найти синус угла 75°, советую посмотреть эту статью, нужно воспользовать формулой суммы синусов:

Тогда представим 75° в виде двух табличных значений:

Аналогично выразим LT:

Ответ: 16,3 и 22,3

Задача №9. Дано на рисунке:

Найти нужно x и y. Запишем теорему косинусов для этого треугольника:

Икс выразим через игрек:

Отлично, поздравляю тебя с Elementary по геометрии!

Что нужно знать:

Вертикальные, смежные, соответственные, накрест лежащие углы.
Равенство и подобие треугольников.
Что такое медиана, биссектриса, высота.
Свойства треугольников.
Площадь треугольников.
Синус/косинус в треугольнике.
Теорему синусов и косинусов.

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

квадратный миллиметр (мм 2 );
квадратный сантиметр (см 2 );
квадратный дециметр (дм 2 );
квадратный метр (м 2 );
квадратный километр (км 2 );
гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

[spoiler title=”источники:”]

http://ik-study.ru/ege_math/tieoriia_i_praktika_po_trieughol_nikam_chast_ii_

http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-treugolnika

[/spoiler]

Источник

Площадь треугольников.

Свойства треугольников.

Тригонометрия в прямоугольных треугольниках.

Что такое синус/косинус.

Таблицы Брадиса. Как пользоваться.

Теорема синусов и косинусов.

Геометрия — это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.

Г. Абель

С основными свойствами разобрались, теперь рассмотрим формулы и их приминение.

Площадь произвольного треугольника

А эта формула помогает найти радиус описанной окружности для любого треугольника:

Полезные формулы для прямоугольного и равностороннего треугольника:

В данном случае получается, что один катет «b» — высота треугольника, а катет «а» — основание.

Эту формулу можно вывести большим количеством способов, самый простой через формулу №2

Задача №1. Дано на рисунке:

Ответ: 60

Задача №2. Дано на рисунке:

Теперь можно подставить все числа в формулу площади:

Главное — правильно определиться с формулой.

Ответ: 84

Задача №3. Дано на рисунке:

В ΔABH: ∠A = 180°− 90° − 45° = 45°, значит, ∠A = ∠B => BH = AH = 12.

Тогда площадь можно найти по формуле (1) S=½bh. Высота AH = 12, основание AC = 16+12 = 28. => S = ½×12×28 = 168

Ответ: 168.

Задача №4. Дано на рисунке:

В ΔBCM получается ∠ВCM = ∠СВM = 60°, тогда ∠СМВ = 60° и ΔBCM — правильный:

Площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα:

Ответ: 8√3

Задача №5. Дано на рисунке:

Значит, ∠A = 60° => ∠ACB = 180° − 90° − 60° = 30°, а ∠ACB — смежный с ∠ACV => ∠ACV = 180° − 30° = 150°.

Ответ: 14,2 и 150°

Тригонометрия в прямоугольных треугольниках

В прямоугольном треугольнике три стороны: 2 катета и гипотенуза.

Катеты меньшие стороны треугольника. Гипотенуза большая сторона, которая лежит напротив угла в 90°.

Относительно угла α:

Тригонометрические функции (синус, косинус…) задают связь между углом и длинами сторон.

Найдем sin(10°). Для этого выберем столбец sin и в нем найдем 10°. Ближайшее значение — это то, что нам нужно — 0,1736.

А что за столбец 0′; 6′; 12′ и т.д. Это минуты! Не те, которых мы ждем в конце урока, а градусные минуты.

Из общего: и те, и другие минуты измеряются в промежутке от 0 до 60.

Градусные минуты делят один градус на 60 минут (1°=60′), нужны они для большей точности задания угла.

p.s. Есть еще и градусные секунды, и в одной градусной минуте 60 градусных секунд, знакомо? 1° = 60′ = 3600”.

Найдем cos(77,7°)

Семь десятых градуса нужно перевести в минуты. Можно через пропорцию:

Но чтобы не загромождать таблицу 0, его в начале пишут только в первых строчках, поэтому ответ cos(77,7°) = 0,213.

В задачах же таким обилием углов похвастаться нельзя, достаточно знать значения для 30°; 45°; 60°; 90°.

Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов — иногда,

даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься.

И.Д. Новиков

Задача №6. Дано на рисунке:

Смотрим в таблице, чему равен синус 45°, и подставляем в отношение:

Ответ: 16√2

Задача №7. Дано на рисунке:

В ΔLTK — равнобедренный : ∠L = ∠LKT = (180° − 120°)/2 = 30°

Ответ: 15

Теорема синусов и теорема косинусов

Сразу возникает вопрос, а теорема тангенсов тоже есть? Конечно, есть, но она очень редко используется.

Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема синусов:

Запомни, что сторона относится к синусу противолежащего угла.

Следствие из теорма синусов гласит, что любое соотношение равно двум радиусам описанной окружности:

Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема косинусов:

А что будет, если α = 90°, а cos(90) = 0? Получится:

Можно записать и для других сторон в этом же треугольнике:

Задача №8. Дано на рисунке:

Запишем теорему синусов для двух отношений:

Выразим отсюда KT:

Тогда представим 75° в виде двух табличных значений:

Аналогично выразим LT:

Ответ: 16,3 и 22,3

Задача №9. Дано на рисунке:

Найти нужно x и y. Запишем теорему косинусов для этого треугольника:

Икс выразим через игрек:

Ответ: 48; 18

Отлично, поздравляю тебя с Elementary по геометрии!

Что нужно знать:

Вертикальные, смежные, соответственные, накрест лежащие углы.
Равенство и подобие треугольников.
Что такое медиана, биссектриса, высота.
Свойства треугольников.
Площадь треугольников.
Синус/косинус в треугольнике.
Теорему синусов и косинусов.

Задачи для закрепления по треугольникам

Нашел опечатку, или что-то непонятно — напиши.

Группа с полезной информацией и легким математическим юмором.

Источник

Здравствуйте, уважаемые читатели. В этой статье рассмотрим задачи по геометрии за 9 класс. Они встречаются в 15 задании ОГЭ по математике.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Задача №1

Теорема о площади треугольника (9 класс). Задание №15 ОГЭ

Решение

Ответ 50

Задача №2

Решение

Введем обозначения для треугольника. Назовем его АВС

Против угла лежит соответствующая ему сторона. Как показано на рисунке.

Запишем формулу нахождения площади треугольника опираясь на теорему о площади треугольника.

По условию дан равнобедренный треугольник. Значит сторона с=а.

Выпишем из условия задачи известные данные:

Подставим в формулу, получаем

Чтобы найти значение Sin120, воспользуемся формулой приведения.

Объяснение формулы приведения: Возьмем единичную окружность. Введем обозначения; SinA – это У, CosА – это Х. Откладываем всегда угол, начиная с координаты (1,0). Выполняем два действия: 1) Определяем знак. Откладываем угол в 120 градусов, оказываемся во второй четверти. Во второй четверти значение Sin120 имеет знак “+”. 2) Выясняем изменится ли SinA на CosA или CosA на SinA. Изменения происходят только в том случае, если в разложении угла имеется 90 градусов. Если возьмем другое разложение Sin(180-60)=Sin60 (Четверть вторая, но при 180 градусов изменения SinA на CosA не происходят)

Ответ 4.

Задача №3

Решение

Найдем второй острый угол прямоугольного треугольника:

Вспомним свойство прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

Запишем формулу нахождения площади треугольника опираясь на теорему о площади треугольника.

Выпишем из условия задачи известные данные:

Подставим в формулу, получаем:

Отсюда найдем значение Х

Нашли сторону b – катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов. По заданию нужно найти гипотенузу. Тогда

Ответ 80

Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог

Источник

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}

Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали калькулятор для нахождения площади любого треугольника – равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного (разностороннего) по 22 формулам.

Калькулятор площади треугольника
Площадь треугольника
1. через основание и высоту
2. через две стороны и угол между ними
3. через сторону и два прилежащих угла
4. через радиус описанной окружности и 3 стороны
5. через радиус вписанной окружности и 3 стороны
6. по формуле Герона
Площадь прямоугольного треугольника
1. через катеты
2. через гипотенузу и прилежащий угол
3. через катет и прилежащий угол
4. через радиус вписанной окружности и гипотенузу
5. через вписанную окружность
6. по формуле Герона
7. через катет и гипотенузу
Площадь равнобедренного треугольника
1. через основание и сторону
2. через основание, боковую сторону и угол
3. через основание и высоту
4. через боковые стороны и угол между ними
5. через основание и угол между боковыми сторонами
Площадь равностороннего треугольника
1. через сторону
2. через высоту
3. через радиус описанной окружности
4. через радиус вписанной окружности
Примеры задач

Площадь треугольника

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Площадь треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}

a – длина основания

h – высота, проведенная к основанию

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin(alpha)}

a и b – стороны треугольника

α – угол между сторонами a и b

Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла

{S = dfrac{a^2}{2} cdot dfrac{sin{(alpha)} cdot sin{(beta)}}{sin{(gamma)}}}
{gamma = 180 – (alpha + beta)}

a – сторона треугольника

α и β – прилежащие к стороне a углы

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

{S = dfrac{a cdot b cdot c}{4 cdot R}}

a, b и c – стороны треугольника

R – радиус описанной окружности

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

{S = r cdot dfrac{a + b + c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

r – радиус вписанной окружности

Площадь треугольника по формуле Герона

{S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

p – полупериметр треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (равен 90 градусов).

Площадь прямоугольного треугольника через катеты

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b}

a и b – стороны треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и прилежащий угол

{S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)}}

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

α – прилежащий к гипотенузе c угол

Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол

{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot tg{(alpha)}}

a – катет прямоугольного треугольника

α – прилежащий к катету a угол

Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

{S = r cdot (r+c)}

r – радиус вписанной окружности

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность

{S = c_1 cdot c_2}

с₁ и с₂ – отрезки, полученные делением гипотенузы точкой касания окружности

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

{S = (p-a) cdot (p-b)}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

p – полупериметр треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через катет и гипотенузу

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2}}

a – катет прямоугольного треугольника

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону

{S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2}}

a – боковая сторона равнобедренного треугольника

b – основание равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через основание, сторону и угол

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin{(alpha)}}

a – боковая сторона равнобедренного треугольника

b – основание равнобедренного треугольника

α – угол между основанием и боковой стороной

Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot b cdot h}

b – основание равнобедренного треугольника

h – высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot sin(alpha)}

a – боковые стороны равнобедренного треугольника

α – угол между боковыми сторонами

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

{S = dfrac{b^2}{4 cdot tg {( dfrac{alpha}{2} )}}}

b – основание равнобедренного треугольника

α – угол между боковыми сторонами

Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

{S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4}}

a – сторона равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через высоту

{S = dfrac{h^2}{sqrt{3}}}

h – высота равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

{S = dfrac{3 sqrt{3} cdot R^2}{4}}

R – радиус описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

{S = 3 sqrt{3} cdot r^2}

r – радиус описанной окружности

Примеры задач на нахождение площади треугольника

Задача 1

Найдите площадь треугольника со сторонами 13 14 15.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой Герона.

S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}

Для начала нам необходимо найти полупериметр p:

p= dfrac{a+b+c}{2}p= dfrac{13+14+15}{2}= dfrac{42}{2} = 21

Теперь можем подставить его в формулу Герона и найти ответ:

S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)} = sqrt{21 cdot (21-13) cdot (21-14) cdot (21-15)} = sqrt{21 cdot (8) cdot (7) cdot (6)} = sqrt{21 cdot 336} = sqrt{7056} = 84 : см^2

Ответ: 84 см²

Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 100.

Решение

Воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{100^2 – 28^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{10000 – 784} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{9216} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot 96 = 14 cdot 96 = 1344 : см^2

Ответ: 1344 см²

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 3

Найдите площадь прямоугольного треугольника если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 17.

Решение

Задача аналогична предыдущей, поэтому решение очень похоже.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{17^2 – 15^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{289 – 225} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{64} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 8 = 15 cdot 4 = 60 : см^2

Ответ: 60 см²

Проверка .

Задача 4

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза его равна 40 см а острый угол равен 60°.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)} = dfrac{1}{4} cdot 40^2 cdot sin{(2 cdot 60°)} = dfrac{1}{4} cdot 1600 cdot sin{(120°)} = 400 cdot dfrac{sqrt{3}}{2} = 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2

Ответ: 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2

Проверка .

Задача 5

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 7 см а основание 4 см.

Решение

В этой задаче используем формулу для нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и боковую сторону.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2} = dfrac{4}{4} sqrt{4 cdot 7^2 – 4^2} = sqrt{4 cdot 49 – 16} = sqrt{196 – 16} = sqrt{180} = sqrt{36 cdot 5} = 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641 : см^2

Ответ: 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641

Проверка .

Задача 6

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 30, боковая сторона равна 17.

Решение

Решим эту задачу по анологии с предыдущей.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 17^2 – 30^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 289 – 900} = dfrac{30}{4} sqrt{1156 – 900} = dfrac{30}{4} sqrt{256} = dfrac{30}{4} cdot 16= 30 cdot 4 = 120 : см^2

Ответ: 120 см²

Проверка .

Задача 7

Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 12 см.

Решение

Используем для решения задачи формулу.

S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 12^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 144}{4} = 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2

Ответ: 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2

Проверка .

Источник