Как найти площадь треугольника таблица

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

  • квадратный миллиметр (мм 2 );
  • квадратный сантиметр (см 2 );
  • квадратный дециметр (дм 2 );
  • квадратный метр (м 2 );
  • квадратный километр (км 2 );
  • гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-treugolnika

http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika

[/spoiler]

Формулы площади треугольника

Через основание и высоту


$$S= frac{1}{2} ah $$
(S) — площадь треугольника

(a) — основание

(h) — высота


(a =)   
(h =)


Через две стороны и угол


$$S= frac{1}{2} ab sin alpha $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

( alpha ) — угол между сторонами (a) и (b)


(a =)   
(b =)   
( alpha =)


Формула Герона


$$S= sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(c) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})


(a =)   
(b =)   
(c =)


Через радиус вписанной окружности


$$S= rp $$
(S) — площадь треугольника

(r) — радиус вписанной окружности

(a) — сторона

(b) — сторона

(c) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})


(r =)   
(p =)


Через радиус описанной окружности


(S= frac{abc}{4R} )

(S) — площадь треугольника

(R) — радиус описанной окружности

(a) — сторона

(b) — сторона

(c) — сторона


(a =)  
(b =)

(c =)  
(R =)


Площадь прямоугольного треугольника


$$S= frac{1}{2} ab $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона


(a =)   
(b =)


Площадь прямоугольного треугольника


$$S= de $$
(S) — площадь треугольника


(d =)   
(e =)


Формула Герона для прямоугольного треугольника


$$ S= (p-a)(p-b) $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})


(a =)   
(b =)   
(p =)


Площадь равнобедренного треугольника


$$S= frac{1}{2} a^2 sin alpha$$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами


(a =)   
( alpha =)


Площадь равнобедренного треугольника

<
$$S= frac{1}{2} ab sin alpha $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами и основанием


(a =)   
(b =)   
( alpha =)


Площадь равнобедренного треугольника


$$S= frac{b^2}{4tg frac{ alpha }{2}} $$
(S) — площадь треугольника

(b) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами и основанием


(b =)   
(alpha =)


Формула Герона для равнобедренного треугольника

a =   
b =


Площадь равностороннего треугольника


$$S= frac{ sqrt{3}a^2}{4} $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона


(a =)


Площадь равностороннего треугольника


$$S= frac{3 sqrt{3}R^2}{4}$$
(S) — площадь треугольника

(R) — радиус описанной окружности


(R =)


Площадь равностороннего треугольника


$$S= 3 sqrt{3}r^2 $$
(S) — площадь треугольника

(r) — радиус вписанной окружности


(r =)


Площадь равностороннего треугольника


$$S= frac{h^2}{sqrt{3}}$$
(S) — площадь треугольника

(h) — высота


(h =)

Для всех треугольников

По основанию и высоте

По основанию и высоте

Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.

Сторона a

Высота h


По двум сторонам и углу между ними

По двум сторонам и углу между ними

Сторона a

Сторона b

Угол α° между сторонами a и b

Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.


По радиусу вписанной окружности и трем сторонам

По радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус r вписанной окружности

По радиусу описанной окружности и трем сторонам

По радиусу описанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус R описанной окружности


По формуле Герона

По формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c


По стороне и двум прилежащим углам

По стороне и двум прилежащим углам

Сторона a

Угол β°

Угол α°

Для равнобедренных треугольников

По боковым сторонам и основанию

По боковым сторонам и основанию

Сторона a (a = b)

Сторона c


По боковым сторонам и углу между ними

По боковым сторонам и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Угол α° между боковыми сторонами


По боковой стороне, основанию и углу между ними

По боковой стороне, основанию и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Основание треугольника c

Угол β° между основанием и стороной


По основанию и углу между боковыми сторонами

По основанию и углу между боковыми сторонами

Основание треугольника c

Угол α° между боковыми сторонами


По высоте и основанию

По высоте и основанию

Основание треугольника c

Высота h

Для равносторонних треугольников

По стороне

По стороне

Сторона a (a = b = c)


По высоте

площадь треугольника по высоте

Высота h


По радиусу вписанной окружности

По радиусу вписанной окружности

Радиус r вписанной окружности


По радиусу описанной окружности

По радиусу описанной окружности

Радиус R описанной окружности


Для прямоугольных треугольников

По двум катетам

По двум катетам

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника по двум катетам

Катет a

Катет b


Через гипотенузу и угол

Через гипотенузу и угол

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Сторона c

Угол α


Через катет и угол

Через катет и угол

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катет и угол:

Сторона b

Угол α


По отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

По отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Отрезок d

Отрезок e


Через гипотенузу и вписанную окружность

Через гипотенузу и вписанную окружность

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность

Сторона с

Радиус r

По формуле Герона

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади прямоугольного треугольника:

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Таблица с формулами площади треугольника

исходные данные рисунок формула
Для всех треугольников
1 основание и высота
2 две стороны и угол между ними
3 радиус вписанной окружности и три стороны
4 радиус описанной окружности и три стороны
5 три стороны
(по формуле Герона)

где 

6 сторона и два прилежащих угла
Для равнобедренных треугольников
7 боковые стороны и основание
8 боковые стороны и угол между ними
9 боковые стороны, основание и угол между боковыми сторонами и основанием
10 основание и угол между боковыми сторонами
11 высота и основание
Для равносторонних треугольников
12 сторона
13 высота
14 радиус вписанной окружности
15 радиусу описанной окружности
Для прямоугольных треугольников
16 два катета
17 гипотенуза и угол
18 катет и угол
19 отрезки, на которые делит гипотенузу вписанная окружность
20 гипотенуза и радиус вписанной окружности
21 три стороны
(по формуле Герона)

где  

Определения

Катет

Катет — одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол. Противолежащая прямому углу сторона называется гипотенузой. Для непрямоугольного треугольника катеты не существуют.

Треугольник

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади).

Площадь

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь треугольника определяется как общее пространство, занимаемое тремя сторонами треугольника в 2-мерной плоскости. Основная формула для площади треугольника равна половине произведения его основания и высоты, то есть A = 1/2 × b × h. Эта формула применима ко всем типам треугольников, будь то разносторонний треугольник, равнобедренный треугольник или равносторонний треугольник. Следует помнить, что основание и высота треугольника перпендикулярны друг другу.

В этом уроке мы изучим формулы площади треугольников для различных типов треугольников, а также некоторые примеры.

Что такое площадь треугольника?

Площадь треугольника — это область, заключенная между сторонами треугольника. В зависимости от длины сторон и внутренних углов, площадь треугольника варьируется от одного треугольника к другому. Единица площади измеряется в квадратных единицах, например м 2, см 2 и т. Д.

Площадь треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}

Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали калькулятор для нахождения площади любого треугольника – равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного (разностороннего) по 22 формулам.

  1. Калькулятор площади треугольника
  2. Площадь треугольника
    1. через основание и высоту
    2. через две стороны и угол между ними
    3. через сторону и два прилежащих угла
    4. через радиус описанной окружности и 3 стороны
    5. через радиус вписанной окружности и 3 стороны
    6. по формуле Герона
  3. Площадь прямоугольного треугольника
    1. через катеты
    2. через гипотенузу и прилежащий угол
    3. через катет и прилежащий угол
    4. через радиус вписанной окружности и гипотенузу
    5. через вписанную окружность
    6. по формуле Герона
    7. через катет и гипотенузу
  4. Площадь равнобедренного треугольника
    1. через основание и сторону
    2. через основание, боковую сторону и угол
    3. через основание и высоту
    4. через боковые стороны и угол между ними
    5. через основание и угол между боковыми сторонами
  5. Площадь равностороннего треугольника
    1. через сторону
    2. через высоту
    3. через радиус описанной окружности
    4. через радиус вписанной окружности
  6. Примеры задач

Площадь треугольника

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Площадь треугольника через основание и высоту

Площадь треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}

a – длина основания

h – высота, проведенная к основанию

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin(alpha)}

a и b – стороны треугольника

α – угол между сторонами a и b

Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла

Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла

{S = dfrac{a^2}{2} cdot dfrac{sin{(alpha)} cdot sin{(beta)}}{sin{(gamma)}}}
{gamma = 180 – (alpha + beta)}

a – сторона треугольника

α и β – прилежащие к стороне a углы

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

{S = dfrac{a cdot b cdot c}{4 cdot R}}

a, b и c – стороны треугольника

R – радиус описанной окружности

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

{S = r cdot dfrac{a + b + c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

r – радиус вписанной окружности

Площадь треугольника по формуле Герона

Площадь треугольника по формуле Герона

{S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

p – полупериметр треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (равен 90 градусов).

Площадь прямоугольного треугольника через катеты

Площадь прямоугольного треугольника через катеты

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b}

a и b – стороны треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и прилежащий угол

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и прилежащий угол

{S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)}}

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

α – прилежащий к гипотенузе c угол

Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол

Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол

{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot tg{(alpha)}}

a – катет прямоугольного треугольника

α – прилежащий к катету a угол

Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

{S = r cdot (r+c)}

r – радиус вписанной окружности

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность

Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность

{S = c_1 cdot c_2}

с1 и с2 – отрезки, полученные делением гипотенузы точкой касания окружности

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

{S = (p-a) cdot (p-b)}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

p – полупериметр треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через катет и гипотенузу

Площадь прямоугольного треугольника через катет и гипотенузу

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2}}

a – катет прямоугольного треугольника

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону

Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону

{S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2}}

a – боковая сторона равнобедренного треугольника

b – основание равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через основание, сторону и угол

Площадь равнобедренного треугольника через основание, сторону и угол

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin{(alpha)}}

a – боковая сторона равнобедренного треугольника

b – основание равнобедренного треугольника

α – угол между основанием и боковой стороной

Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту

Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot b cdot h}

b – основание равнобедренного треугольника

h – высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot sin(alpha)}

a – боковые стороны равнобедренного треугольника

α – угол между боковыми сторонами

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

{S = dfrac{b^2}{4 cdot tg {( dfrac{alpha}{2} )}}}

b – основание равнобедренного треугольника

α – угол между боковыми сторонами

Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через сторону

{S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4}}

a – сторона равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Площадь равностороннего треугольника через высоту

{S = dfrac{h^2}{sqrt{3}}}

h – высота равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

{S = dfrac{3 sqrt{3} cdot R^2}{4}}

R – радиус описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

{S = 3 sqrt{3} cdot r^2}

r – радиус описанной окружности

Примеры задач на нахождение площади треугольника

Задача 1

Найдите площадь треугольника со сторонами 13 14 15.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой Герона.

S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}

Для начала нам необходимо найти полупериметр p:

p= dfrac{a+b+c}{2}p= dfrac{13+14+15}{2}= dfrac{42}{2} = 21

Теперь можем подставить его в формулу Герона и найти ответ:

S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)} = sqrt{21 cdot (21-13) cdot (21-14) cdot (21-15)} = sqrt{21 cdot (8) cdot (7) cdot (6)} = sqrt{21 cdot 336} = sqrt{7056} = 84 : см^2

Ответ: 84 см²

Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 100.

Решение

Воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{100^2 – 28^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{10000 – 784} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{9216} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot 96 = 14 cdot 96 = 1344 : см^2

Ответ: 1344 см²

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 3

Найдите площадь прямоугольного треугольника если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 17.

Решение

Задача аналогична предыдущей, поэтому решение очень похоже.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{17^2 – 15^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{289 – 225} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{64} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 8 = 15 cdot 4 = 60 : см^2

Ответ: 60 см²

Проверка .

Задача 4

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза его равна 40 см а острый угол равен 60°.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)} = dfrac{1}{4} cdot 40^2 cdot sin{(2 cdot 60°)} = dfrac{1}{4} cdot 1600 cdot sin{(120°)} = 400 cdot dfrac{sqrt{3}}{2} = 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2

Ответ: 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2

Проверка .

Задача 5

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 7 см а основание 4 см.

Решение

В этой задаче используем формулу для нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и боковую сторону.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2} = dfrac{4}{4} sqrt{4 cdot 7^2 – 4^2} = sqrt{4 cdot 49 – 16} = sqrt{196 – 16} = sqrt{180} = sqrt{36 cdot 5} = 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641 : см^2

Ответ: 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641

Проверка .

Задача 6

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 30, боковая сторона равна 17.

Решение

Решим эту задачу по анологии с предыдущей.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 17^2 – 30^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 289 – 900} = dfrac{30}{4} sqrt{1156 – 900} = dfrac{30}{4} sqrt{256} = dfrac{30}{4} cdot 16= 30 cdot 4 = 120 : см^2

Ответ: 120 см²

Проверка .

Задача 7

Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 12 см.

Решение

Используем для решения задачи формулу.

S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 12^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 144}{4} = 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2

Ответ: 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2

Проверка .

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона


Треугольник с тремя сторонами


Формула Герона для нахождения площади треугольника:

– полупериметр треугольника; a,b,c – стороны треугольника.


Через основание и высоту


Треугольник с основанием и высотой


Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

a – основание треугольника; h – высота треугольника.


Через две стороны и угол


Треугольник с двумя сторонами и углом


Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

a,b – стороны треугольника; α – угол между сторонами.


Через сторону и два прилежащих угла


Треугольник со стороной и двумя углами


Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<

a– сторона треугольника; α и β – прилежащие углы.


Площадь прямоугольного треугольника


Площадь прямоугольного треугольника


Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

a, b – катеты треугольника.


Площадь равнобедренного треугольника через стороны


Площадь равнобедренного треугольника


Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

a, b – стороны треугольника.


Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол


Площадь равнобедренного треугольника


Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

a – основание равнобедренного треугольника; α – угол между сторонами.


Площадь равностороннего треугольника через стороны


Площадь равностороннего треугольника


Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

a – сторона равностороннего треугольника.


Площадь равностороннего треугольника через высоту


Площадь равностороннего треугольника


Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

h – высота равностороннего треугольника.


Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности


Площадь равностороннего треугольника


Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

r – радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.


Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности


Площадь равностороннего треугольника


Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

r – радиус описанной окружности равностороннего треугольника.


Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны


Площадь треугольника


Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

a, b, c – стороны треугольника; r – радиус описанной окружности треугольника.


Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны


Площадь треугольника


Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

p – полупериметр треугольника;a, b, c – стороны треугольника; r – радиус вписанной окружности треугольника.

Добавить комментарий