Как найти площадь треугольника теорема 8 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Площадь
5. Площадь треугольника

Советуем посмотреть:

Понятие площади многоугольника

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

Площадь параллелограмма

Площадь трапеции

Теорема Пифагора

Теорема, обратная теореме Пифагора

Формула Герона

Площадь

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 492,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 12,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 515,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 571,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 598,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 842,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 867,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1136,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1241,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1277,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Площадь треугольника:

Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, к ней проведенную.

Доказательство:

Пусть

Докажем, что

1) Проведем через вершину прямую, параллельную  а через вершину – прямую, параллельную  Получим параллелограмм

2)  (по трем сторонам). Поэтому

откуда 

3) Так как  то

В общем виде формулу площади треугольника можно записать так:

где – сторона треугольника, – высота, проведенная к ней.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Следствие 2. Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то площади таких треугольников относятся как их высоты, проведенные к этим сторонам.

Следствие 3. Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.

Пример:

Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Доказательство:

Рассмотрим и у которых Проведем высоты и (рис. 238).

1) Имеем:

2) (по острому углу), поэтому 

3) Имеем: 

Пример:

Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна

Решение:

Пусть – равносторонний со стороной  Тогда  В равностороннем треугольнике  где – медиана. Но  (§ 18, задача 4), поэтому 

Следовательно, 

Ответ.

Пример:

Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и ^ 17 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его наибольшей стороне.

Решение:

Так как (т. е. 289 = 289), то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным. Прямой угол является противолежащим к стороне, равной 17 см.

Пусть на рис. 239 изображен прямоугольный треугольник, у которого см -гипотенуза, и см – катеты, – высота. Найдем

Площадь этого треугольника можно найти

по формулам: или

Тогда то есть  откуда

Таким образом, имеем: (см).

Ответ. см.

Теорема (формула площади треугольника)

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

где  — сторона треугольника,  — проведенная к ней высота.

Доказательство:

 Пусть  — высота треугольника (рис. 148). Докажем, что 

Проведем через вершины  прямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точку их пересечения  Таким образом, мы «достроили» треугольник  до параллелограмма  в котором отрезок  также является высотой, проведенной к стороне 

По формуле площади параллелограмма  Треугольники  равны по трем сторонам (у них сторона  общая,  как противолежащие стороны параллелограмма). Эти треугольники имеют равные площади. Тогда площадь треугольника  составляет половину площади параллелограмма  что и требовалось доказать. 

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

где  — катеты прямоугольного треугольника.

Действительно, в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к катету, совпадает с другим катетом.

Следствие 2

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

где  — диагонали ромба.

Действительно, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами  (рис. 149). Используя следствие 1, имеем:

Следствие 3

Площадь равностороннего треугольника со стороной  вычисляется по формуле

Обоснуйте это следствие самостоятельно.

Опорная задача

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть  — медиана треугольника  (рис. 150).

Проведем высоту  треугольника  Этот отрезок является одновременно высотой треугольника  проведенной к стороне  и высотой треугольника  проведенной к стороне  Учитывая равенство отрезков  имеем:

Эта задача имеет интересные обобщения: если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований; если основания двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот.

Докажите эти утверждения самостоятельно.

Комментарии преподавателя

Повторение темы «Площадь». Решение задач

1. Повторение теоретической части главы «Площадь»

Вначале уделим внимание тому, что вспомним все основные теоремы, формулы и факты, полученные нами при изучении главы «Площадь», и акцентируем внимание на их особенностях. Затем рассмотрим сложный пример на комплексное применение нескольких из упомянутых фактов, касающихся площадей фигур.

1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны (см. Рис. 1). .

Рис. 1. Квадрат

2. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон (см. Рис. 2).  .

Рис. 2. Прямоугольник

          3. Площадь параллелограмма равна произведению основания на опущенную на него высоту (см. Рис. 3). .

Рис. 3. Параллелограмм

4. Площадь произвольного треугольника равна половине произведения основания на опущенную на него высоту (см. Рис. 4). .

Рис. 4. Произвольный треугольник

5. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (см. Рис. 5). .

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

6. Если у двух треугольников высоты равны (), то их площади относятся, как основания (см. Рис. 6). . Полезный факт, необязательный к изучению.

Рис. 6

7. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (см. Рис. 7).  .

Рис. 7

8. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей (см. Рис. 8). . Однако, поскольку ромб является частным случаем параллелограмма, то его площадь можно находить и по формуле площади параллелограмма.

Рис. 8. Ромб

9. Если у двух треугольников равны углы (), то их площади относятся, как произведение сторон, заключающих данные углы (см. Рис. 9). . Полезный факт, не обязательный к изучению.

Рис. 9

10. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (см. Рис. 10). .

Рис. 10. Трапеция

11. Теорема Пифагора. Для прямоугольного треугольника с катетами  и  и гипотенузой  квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов  (см. Рис. 11).

Теорема, обратная теореме Пифагора. Для всякой тройки положительных чисел , такой, что , существует прямоугольный треугольник с катетами  и гипотенузой .

Рис. 11

12. Формула Герона. Применяется для нахождения площади треугольника, если известны длины его сторон (см. Рис. 12). , где  полупериметр треугольника.

Рис. 12

2. Рассмотрение сложного примера

Пример 1. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 м и 8 м проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников.

Решение. Изобразим Рис.13.

Рис. 13

Нам известно:  высота в .

Найдем по теореме Пифагора гипотенузу треугольника: .

Для того чтобы в дальнейшем выразить высоту треугольника, вычислим его площадь с помощью катетов: . Выразим высоту треугольника  из формулы площади произвольного треугольника: .

Рассмотрим треугольник  (первый из тех, на которые высота разбила треугольник ). Его площадь как прямоугольного . Поскольку сторона  не известна, найдем ее по теореме Пифагора: . Тогда .

Площадь треугольника  (второго из тех, на которые высота разбила треугольник ) можно найти аналогично либо путем вычитания из площади треугольника  площади треугольника . Но воспользуемся тем же методом, который мы уже применяли в этой задаче.  прямоугольный, следовательно, . Найдем : . Тогда .

Ответ: ; .

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/povtorenie-temy-ploschad

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/96-test-po-geometrii-8-klass-obobshchenie-temy-ploshchad-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/97-test-po-geometrii-8-klass-obobshchenie-temy-ploshchad-variant-2.html

http://www.uchportal.ru/_ld/105/10586_zad_ploschadi.rar

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

Прежде, чем
рассматривать вопрос о нахождении площади треугольника, вспомним, что высотой
треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника
на противоположную сторону или её продолжение.

Теперь докажем, что
площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту,
проведённую к ней.

Доказательство

Пусть  –
треугольник.

Докажем, что .

Рассмотрим  и .

,как
противолеж. стороны  ,

 –
общая.

 по
третьему признаку.

Значит, .

,

,

.

.

.

Что и
требовалось доказать.

Из доказанного
следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине
произведения длин его катетов.

Возьмём некоторый
прямоугольный треугольник ABC.
Катет AC –
это и есть высота, проведённая к стороне BC, которая также является катетом.

А тогда, так как
площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту,
проведённую к ней, получаем, что площадь треугольника
, то
есть равняется половине произведения длин катетов рассматриваемого
треугольника.

Также следует, что если
высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то их площади
относятся как длины сторон, к которым проведены высоты.

На рисунке
перпендикуляр BE, проведённый к
прямой AC, является высотой треугольника
ABC и  треугольника CBD. 

,

.

, то
есть как длины сторон треугольников, к которым проведены высоты.

Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то
площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих
равные углы.

Доказательство.

Рассмотрим
треугольники ABC и A₁B₁C₁. Пусть S – площадь
треугольника ABC, а S₁ – площадь
треугольника A₁B₁C₁. Углы А и A₁ этих треугольников равны.

 –
площадь ,

 –
площадь .

.

Докажем, что .

,

,

,

.

Таким образом, теорема
доказана.

Закрепим новый
материал на практике.

Задача. Найдите площадь треугольника ,
если длина стороны  см,
а высота , проведённая к этой стороне, в два раза её меньше.

Решение.

,

 (см).

 (см²).

Ответ:  см².

Задача. Вычислите площадь треугольника ,
если высота  см,
отрезок  см,
а .Решение.

Решение

 –
прямоугольный,

 так как  –
высота.

,

тогда .

Значит,  –
равнобедренный, тогда  см.

 (см).

 (см²).

Ответ:  см².

Задача. Найдите длины катетов прямоугольного треугольника, если они относятся
как , а
его площадь равна  см².

Решение.

,

,

,  (см).

 (см).

Ответ:  см,  см.

Итак, на этом уроке
мы доказали, что площадь треугольника равна половине произведения длины стороны
на высоту, проведённую к ней.

Убедились, что
площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его
катетов. А также, что если высота одного треугольника равна высоте другого
треугольника, то их площади относятся как длины сторон, к которым проведены
высоты.

Доказали теорему: если
угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих
треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Также мы решили
несколько задач для закрепления изученного материала.