Гексагон
Гексагон — правильный выпуклый многоугольник с шестью сторонами или шестиугольник.
Шестиугольник – это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников.
Выпуклый шестиугольник – это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.
Правильный шестиугольник – это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.
Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 – 2 ) = 720 градусов.
При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.
Свойства правильного шестиугольника
- все внутренние углы равны между собой
- каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
- все стороны равны между собой
- сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
- большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
- меньшая диагональ правильного шестиугольника в ( sqrt <3>) раз больше его стороны.
- vеньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне
- правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
- диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности. 6.
- инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями)
- nреугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60° .
Внутренние углы Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны (120^circ) :
Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)
Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)
Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:
(r = m = alargefrac<<sqrt 3 >><2>normalsize)
Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:
Периметр правильного шестиугольника
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
(S = pr = largefrac<<3sqrt 3 >><2>normalsize),
где (p) − полупериметр шестиугольника.
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
Правильный шестиугольник и его свойства
Определение
Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.
Замечание
Т.к. сумма всех углов (n) –угольника равна (180^circ(n-2)) , то каждый угол правильного (n) –угольника равен [alpha_n=dfracn cdot 180^circ]
Пример
Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен (dfrac <4-2>4cdot 180^circ=90^circ) ;
каждый угол правильного шестиугольника равен (dfrac<6-2>6cdot 180^circ=120^circ) .
Теоремы
1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Следствия
1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.
2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.
Теорема
Если (a) – сторона правильного (n) –угольника, (R) и (r) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: [begin S&=dfrac n2ar\ a&=2Rcdot sindfrac<180^circ>n\ r&=Rcdot cosdfrac<180^circ>n end]
Свойства правильного шестиугольника
1. Сторона равна радиусу описанной окружности: (a=R) .
2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.
3. Все углы правильного шестиугольника равны (120^circ) .
4. Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (dfrac<3sqrt<3>><2>a^2) .
5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу (r) вписанной в правильный шестиугольник окружности.
6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный (60^circ) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).
Замечание
В общем случае правильный (n) -угольник инвариантен относительно поворота на угол (dfrac<360^circ>) .
Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь
Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.
Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.
Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.
Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?
Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.
Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .
Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.
, где — сторона правильного шестиугольника.
Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.
Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
Радиус такой окружности равен .
. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
[spoiler title=”источники:”]
http://shkolkovo.net/theory/77
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/pravilnyj-shestiugolnik-i-ego-ploshhad/
[/spoiler]
Оглавление:
- Площадь правильного шестиугольника
- Площадь неправильного шестиугольника
- Площадь равностороннего шестиугольника
Умение определять площадь различных фигур играет немалую
роль в жизни каждого человека. Рано или поздно приходится иметь дело с этими
знаниями. К примеру, в процессе ремонта помещения для определения необходимого
количества рулонов обоев, линолеума, паркета, плитки в ванную или на кухню
нужно уметь рассчитывать необходимую площадь.
Знаниями в области геометрии пользовались еще в древнем
Вавилоне и других странах. На первых шагах к культуре всегда возникала
необходимость измерить участок, расстояние. При строительстве первых
значительных сооружений требовались умения выдерживать вертикаль,
спроектировать план.
Роль эстетических потребностей людей также имела немалое
значение. Украшение жилища, одежды, рисование картин способствовало процессу
формирования и накопления сведений в области геометрии, которые люди тех времён
добывали опытным путем, по крупицам и передавали из поколения в поколение.
Сегодня знания геометрии необходимы и закройщику, и строителю,
и архитектору и каждому простому человеку в быту.
Поэтому нужно учиться рассчитывать площадь различных
фигур, и помнить, что каждая из формул может пригодиться впоследствии на
практике, в том числе, и формула правильного шестиугольника. Шестиугольником называется
такая многоугольная фигура, общее количество углов которой равно шести.
Площадь правильного шестиугольника
Правильным шестиугольником называют шестиугольную фигуру,
которая имеет равные стороны. Углы у правильного шестиугольника также между
собой равны.
В повседневной жизни мы часто можем встретить предметы,
имеющие форму правильного шестиугольника. Это и металлическая гайка, и ячейки
пчелиных сот, и структура снежинки. Шестиугольными фигурами отлично заполняются
плоскости. Так, например, при мощении тротуарной плитки мы можем наблюдать, как
плитка укладывается одна возле другой, не оставляя пустых мест.
Свойства
правильного шестиугольника
- Правильный шестиугольник всегда будет иметь равные углы,
каждый из которых составляет 120˚. - Сторона фигуры равняется радиусу описанной окружности.
- Все стороны в правильном шестиугольнике равны.
- Правильный шестиугольник плотно заполняет плоскость.
Как посчитать
площадь правильного шестиугольника?
Площадь правильного шестиугольника можно рассчитать,
разбив его на шесть треугольников, каждый из которых будет иметь равные
стороны.
Для расчета площади правильного треугольника используется
следующая формула:
Зная площадь одного из треугольников, можно легко
рассчитать площадь шестиугольника. Формула для ее расчета проста: поскольку
правильный шестиугольник — это шесть равных треугольников, следует площадь
нашего треугольника умножить на 6.
Если провести от центра фигуры к любой из ее сторон
перпендикуляр, получим отрезок, который называется апофема. Рассмотрим, как
найти площадь шестиугольника при известной апофеме:
- Площадь = 1/2*периметр*апофему.
- Предположим, наша апофема равняется 5√3 см.
- Используя апофему, находим периметр: Поскольку апофема
расположена перпендикулярно к стороне шестиугольника, то углы треугольника,
созданного при помощи апофемы, будут равняться 30˚—60˚—90˚. Каждая сторона
полученного треугольника будет соответствовать: x-x√3-2x,
где короткая сторона, которая расположена напротив угла в 30˚— это x, длинная сторона,
расположенная напротив угла в 60˚ — это x√3,
а гипотенуза — 2x. - Поскольку апофема представлена, как x√3, можно подставить ее в формулу a = x√3 и решить. Если, к примеру,
апофема = 5√3, тогда подставим эту
величину в формулу и получим: 5√3 см = x√3, или x = 5
см. - Итак, короткая сторона треугольника равняется 5 см.
поскольку эта величина является половиной длины стороны шестиугольника,
умножаем 5 на 2 и получим 10 см, которая является длиной стороны. - Зная длину стороны, умножим её на 6 и получим периметр
шестиугольника:10 см х 6 = 60 см - Подставим полученные результаты в нашу формулу:
Площадь =
1/2*периметр*апофему
Площадь = ½*60см*5√3
Решаем:
Теперь осталось упростить
ответ, чтобы избавиться от квадратных корней, а полученный результат укажем в
квадратных сантиметрах:
½ * 60 см * 5√3 см =30 * 5√3
см =150 √3 см =259.8 см²
Видео о том, как найти площадь правильного шестиугольника
Площадь неправильного шестиугольника
Существует несколько вариантов определения площади
неправильного шестиугольника:
- Метод трапеции.
- Метод расчета площади неправильных многоугольников при
помощи оси координат. - Метод разбивания шестиугольника на другие фигуры.
В зависимости от исходных данных, которые вам будут
известны, подбирается подходящий метод.
Метод трапеции
Площадь шестиугольника, имеющего произвольную
(неправильную) форму, рассчитывается методом трапеции, суть которого состоит в
разделении шестиугольника на отдельные трапеции и последующим вычислением
площади каждой из них.
Метод с осями
координат
Кроме этого, площадь неправильного шестиугольника можно рассчитать
при помощи метода расчета площади неправильных многоугольников. Рассмотрим его
на следующем примере:
Вычисление будем выполнять методом использования
координат вершин многоугольника:
- На этом этапе следует сделать таблицу и записать
координаты вершин x и y. Выбираем вершины в
последовательном порядке по направлению против часовой стрелки, завершив конец
списка повторной записью координаты первой вершины:
- Теперь следует умножить значения координаты х 1-й вершины
на y 2-й
вершины и продолжить таким образом умножение далее. Затем необходимо сложить
полученные результаты. В нашем случае получилось 82:
- Последовательно умножаем значения координат y1-й
вершины на значения координат х 2-й вершины. Суммируем полученные результаты. В
нашем случае получилось 38:
- Вычитаем сумму, которую получили на четвертом этапе из
суммы, которая получилась на третьем этапе: 82 – (-38) = 120
- Теперь необходимо разделить результат, который был
получен на предыдущем этапе и найдем площадь нашей фигуры: S= 120/2 = 60
см²
Метод разбивания
шестиугольника на другие фигуры
Каждый многоугольник можно разделить на несколько других
фигур. Это могут быть треугольники, трапеции, прямоугольники. Исходя из
известных данных, пользуясь формулами определения площадей перечисленных фигур,
последовательно вычисляются их площади и затем суммируются.
Некоторые неправильные шестиугольники состоят из двух
параллелограммов. Для определения площади параллелограмма следует умножить его
длину на ширину и затем сложить две уже известные площади.
Видео о том, как найти площадь многоугольника
Площадь равностороннего шестиугольника
Равносторонний шестиугольник имеет шесть равных сторон и
является правильным шестиугольником.
Площадь равностороннего шестиугольника равняется 6
площадям треугольников, на которые разбита правильная шестиугольная фигура.
Все треугольники в шестиугольнике правильной формы равны,
поэтому для нахождения площади такого шестиугольника достаточно будет знать
площадь хотя бы одного треугольника.
Для нахождения площади равностороннего шестиугольника
используется, конечно же, формула площади правильного шестиугольника, описанная
выше.
А Вы знали, как найти площадь шестиугольника? Как думаете, где эти знания пригодятся Вам в жизни? Поделитесь своим мнением в комментариях.
На этой странице вы найдете калькуляторы и формулы, которые помогут найти и рассчитать площадь правильного шестиугольника по стороне или радиусам вписанной и описанной окружностей.
Шестиугольник представляет собой многоугольник, к которого все внутренние углы равны 120 градусов, а все стороны равны между собой.
Содержание:
- калькулятор площади правильного шестиугольника
- формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
- формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
- формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
- формула площади правильного шестиугольника через периметр
- примеры задач
Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
S = dfrac{3 sqrt{3} a^2}{2}
a – длина стороны шестиугольника
Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
S = 2 sqrt{3}r^2
r – радиус вписанной окружности
Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
S = dfrac{3 sqrt{3} R^2}{2}
R – радиус описанной окружности
Формула площади правильного шестиугольника через периметр
S = dfrac{P^2 sqrt{3}}{24}
P – периметр шестиугольника
Примеры задач на нахождение площади правильного шестиугольника
Задача 1
Найдите площадь правильного шестиугольника, радиус вписанной окружности которого равен 9 см.
Решение
Исходя из того, что из условия задачи нам известен радиус вписанной окружности, мы воспользуемся формулой.
S = 2 sqrt{3}r^2 = 2 sqrt{3} cdot 9^2 = 2 sqrt{3} cdot 81 = 162 sqrt{3} : см^2 approx 280.59223 : см^2
Ответ: 162 sqrt{3} : см^2 approx 280.59223 : см^2
Проверить правильность решения нам поможет калькулятор .
Задача 2
Найдите площадь правильного шестиугольника со стороной равной 1 см.
Решение
Для этой задачи нам подойдет формула.
S = dfrac{3 sqrt{3} a^2}{2} = dfrac{3 sqrt{3} cdot 1^2}{2} = dfrac{3 sqrt{3} cdot 1}{2} = dfrac{3 sqrt{3}}{2} : см^2 approx 2.59808 : см^2
Ответ: dfrac{3 sqrt{3}}{2} : см^2 approx 2.59808 : см^2
Проверим ответ .
Правильный шестиугольник
Вам тоже становится страшно, когда вы видите в условии задачи «правильный шестиугольник»? Вам хочется сразу перейти к другой задаче? Вы не знаете, как с ним работать ?
Страх перед задачами подобного рода возникает по простой причине – незнание свойств правильного шестиугольника. Ознакомившись с ними, вы с легкостью будете решать задачи с шестиугольниками. В них нет ничего сложного. Давайте разбираться.
Правильный шестиугольник – многоугольник с шестью равными сторонами и углами. Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников. Правильный треугольник = равносторонний треугольник. А в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам.
Площадь и периметр
1. Периметр равен сумме длин всех его сторон.
P = 6a, где a – длина стороны шестиугольника
1. Для того, чтобы найти площадь правильного шестиугольника, необходимо найти площадь равностороннего треугольника и умножить её на шесть.
S = 6 * (площадь треугольника)
Диагональ правильного шестиугольника
Диагонали в правильном шестиугольнике бывают двух типов: малые (d) и большие (D).
Радиусы вписанной и описанной окружностей
r – радиус вписанной окружности
R – радиус описанной окружности
! Обратите внимание на то, что радиус окружностей в 2 раза меньше, чем диагонали.
Пример
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 12, высота равна 9. Найдите длину бокового ребра пирамиды.
Решение
1. Так как в основании лежит правильный шестиугольник, то он состоит из правильных треугольников, у которых все стороны равны FO = 12;
2. Рассмотрим треугольник SOF и найдём в нём по теореме Пифагора длину гипотенузы SF;
3. В правильных пирамидах все боковые рёбра равны SF = 15.
С вопросом: «Как найти площадь шестиугольника?», можно столкнуться не только на экзамене по геометрии и т.п., эти знания пригодятся и в быту, например, для правильного и точного вычисления площади помещения в процессе ремонта. Подставив в формулу требуемые значения, получится определить нужное количество рулонов обоев, плитки в ванную или на кухню и т.д.
Содержание:
- Немного фактов из истории
- Площадь правильного 6-угольника
- Расчет
- Как находить площадь неправильного шестиугольника
- Метод трапеции
- Использование осей координат
- Разбивка шестиугольника на другие фигуры
- Площадь равностороннего шестиугольника
Немного фактов из истории
Геометрия использовалась еще в древнем Вавилоне и прочих государствах, существовавших в одно время с ним. Вычисления помогали при возведении значительных сооружений, так как благодаря ей зодчие знали как выдержать вертикаль, правильно составить план, определить высоту.
Эстетика тоже имела большое значение, и здесь снова шла в ход геометрия. Сегодня этой науки нужны строителю, закройщику, архитектору, да и не специалисту тоже.
Поэтому лучше уметь рассчитывать S фигур, понимать, что формулы могут пригодиться на практике.
Площадь правильного 6-угольника
Итак, у нас шестиугольная фигура с равными сторонами и углами. В повседневности мы часто имеем возможность встретить предметы правильной шестиугольной формы.
К примеру:
- гайка;
- пчелиные соты;
- снежинка.
Шестиугольная фигура наиболее экономично заполняет пространство на плоскости. Взгляните на тротуарную плитку, одна подогнана к другой так, что зазоров не остается.
Каждый угол равен 120˚. Сторона фигуры равна радиусу описанной окружности.
Расчет
Требуемое значение можно вычислить, разбив фигуру на шесть треугольников с равными сторонами.
Чтоб рассчитать S , пользуются следующей формулой:
Вычислив S одного из треугольников, нетрудно определить и общую. Простая формула, так как правильный шестиугольник, по сути, является шестью равными треугольниками. Таким образом, для ее расчета найденную площадь одного треугольника умножают на 6.
Если от центра шестиугольника к любой его стороне провести перпендикуляр, получается отрезок – апофема.
Посмотрим, как находить S шестиугольника, если апофема известна:
- S =1/2×периметр×апофема.
- Возьмем апофему равную 5√3 см.
- Находим периметр, используя апофему: так как апофема перпендикулярно к стороне 6-угольника, углы треугольника, образованного с помощью апофемы, равняются 30˚-60˚-90˚. Каждая сторона треугольника соответствует: x-x√3-2x, где короткая, против угла 30˚,- это x; длинная сторона против угла 60˚- x√3, а гипотенуза – 2x.
- Апофему x√3 можно подставить в формулу a=x√3. Если апофема равна 5√3, подставив данную величину, получим: 5√3см=x√3, или x=5см.
- Короткая сторона треугольника составляет 5см, так как эта величина – половина длины стороны 6-угольника. Умножив 5 на 2, получим 10см, что есть значение длиной стороны.
- Полученную величину умножим на 6 и получим значение периметра – 60см.
Подставляем полученные результаты в формулу: S=1/2×периметр×апофема
S=½×60 см× 5√3
Считаем:
Упрощаем полученный ответ, чтоб избавиться от корней. Результат будет выражен в квадратных сантиметрах: ½×60см×5√3см=30×5√3см=150 √3см=259,8с м².
Как находить площадь неправильного шестиугольника
Есть несколько вариантов:
- Разбивка 6-угольника на другие фигуры.
- Метод трапеции.
- Расчет S неправильных многоугольников с помощью осей координат.
Выбор способа диктуется исходными данными.
Метод трапеции
Шестиугольник делится на отдельные трапеции, после чего вычисляется площадь каждой полученной фигуры.
Использование осей координат
Используем координаты вершин многоугольника:
- В таблицу записываем координаты вершин x и y . Последовательно выбираем вершины, «двигаясь» против часовой стрелки, завершая список повторной записью координат первой вершины.
- Умножаем значения координаты x 1-й вершины на значение y 2-й вершины, и продолжаем так умножать. Складываем полученные результаты.
- Значения координат y1-й вершины умножаем на значения координат x 2-й вершины. Складываем результаты.
- Вычитаем сумму, полученную на 4-м этапе из суммы, полученной на третьем этапе.
- Делим результат, полученный на предыдущем этапе, и находим, что искали.
Разбивка шестиугольника на другие фигуры
Многоугольники разбиваются на другие фигуры: трапеции, треугольники, прямоугольники. Пользуясь формулами вычисления площадей перечисленных фигур, требуемые значения вычисляются и складываются.
Неправильный шестиугольник может состоять из двух параллелограммов. Чтоб вычислить площадь параллелограмма, его длина умножается на его ширину, а далее уже известные две площади складываются.
Площадь равностороннего шестиугольника
У правильного шестиугольника шесть равных сторон. Площадь равносторонней фигуры равна 6S треугольников, на которые разбит правильный шестиугольник. Каждый треугольник в правильном шестиугольнике равен, поэтому для вычисления площади такой фигуры довольно знать площадь хотя б одного треугольника.
Чтоб найти искомое значение пользуются формулой площади правильной фигуры, описанной выше.
