Как найти площадь треугольника в прямоугольнике авсд

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Площадь прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор – площадь прямоугольного треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние.

Треугольники бывают прямоугольный, равнобедренный, равносторонний.

Катет – это прилежащая прямому углу сторона треугольника.

Гипотенуза – это сторона треугольника противолежащая прямому углу.

Формула площади прямоугольного треугольника

Чтобы посчитать площадь прямоугольного треугольника, необходимо знать размеры двух сторон треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника расчитывается по формуле:

• S – площадь треугольника
• a – катет
• b – катет
• c – гипотенуза

Если известены размеры только одного катета и гипотенузы, тогда площадь прямоугольного треугольника можно расчитать по формулам:

Площадь прямоугольного треугольника

О чем эта статья:

площадь, 8 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные определения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой, то есть равен 90˚.

Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу.

Катеты — это стороны, прилежащие к прямому углу.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно применить любую формулу нахождения площади треугольника — их несколько.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты

Чтобы найти площадь, нужно вывести формулу:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Так как в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, то один катет — это высота, проведенная ко второму катету.

Отсюда следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через катеты.

S = 1/2 (a × b), где a и b — катеты

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

где с — гипотенуза,

Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

α, β — острые углы

Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через катет и угол

α, β — острые углы

Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу по формуле:

S прямоугольного треугольника = r (r + c) = c1 × c2

r — радиус вписанной окружности

C1 и С2 — отрезки, полученные делением гипотенузы на две части точкой касания с окружностью

Уверены, что во всем разобрались? Закрепите знания на курсах обучения математике в онлайн-школе Skysmart!

[spoiler title=”источники:”]

http://kalk.top/s/triangle-pr

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-ploshad-pryamougolnogo-treugolnika

[/spoiler]

Здравствуйте! В этой статье мы разберём задачи на нахождение площади треугольника построенного на листке в клетку (масштаб клетки 1×1). Фигуры на листе в клетку с вычислением их площади — это целая группа типов задач входящая в экзамен по математике. Кроме треугольника рассматриваются следующие фигуры — трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат.

Решение заданий с треугольником труда не представляет, относятся они к простейшим. Для решения необходимо знать формулу площади треугольника и знать один приём, о котором я вам расскажу ниже.

Вообще, способов нахождения площади любой фигуры, построенной на листе в клетку существует более пяти. Все здесь рассматривать не будем, в интернете вы без труда найдёте их описание. Уверен, что тех рекомендаций, которые представлены будет вполне достаточно для решения. 

Итак! Вам необходимо знать и понимать одну из основных формул площади треугольника, она наиболее часто используется при решении:

Длину основания и высоту считаем по клеткам. В задаче 27545 это наглядно показано. То есть, если перед вами задача, где треугольник построен именно таким образом, то считаем оговоренным способом. Например, рассмотрим треугольники:

 

У всех этих треугольников можно по клеткам установить длину основания и высоту. У первого основание равно 3, высота 5; у второго основание 6, высота 2; у третьего основание 6, высота 2; у четвертого основание равно 3, высота 8; у пятого основание равно 6, высота 2. Подставив их в формулу, остаётся только вычислить площадь (без ошибки).

Есть задачи, в которых треугольники расположены так, что по клеткам длину основания и высоту посчитать неудобно (но можно), вот примеры:

В задачах, где будут даны подобные треугольники, используйте способ, который по моему мнению универсален, его достоинство объясню в одной из следующих статей: «заключите» такой треугольник в прямоугольник, вычислите площадь прямоугольника, затем из его площади вычтите площади треугольников. Пример:

Найти площадь треугольника, изображённого на рисунке:

Заключим данный треугольник в прямоугольник:

   Теперь вычислим площадь прямоугольника. Уверен, всем известно, что она равна произведению его соседних сторон:

Далее из его площади вычитаем площади трёх треугольников:

Ответ: 26

Есть ещё подобные задачи, но в них иначе представлено условие. Также нужно найти площадь треугольника, он построен на координатной плоскости, например:

Решения аналогичны: если можем установить длину основания и высоту треугольника  по  координатам, то далее площадь вычисляем просто по формуле:

В треугольнике на рисунке 1  этого сделать  нельзя, поэтому советую построить данный треугольник по координатам на листе в клетку, и использовать уже рассмотренный нами метод, а именно описать около треугольника прямоугольник.

В будущем мы рассмотрим нахождения площадей параллелограммов, трапеций, четырёхугольников, элементов круга, а так же «сложных» фигур, не пропустите!

Спасибо за внимание, учитесь с удовольствием!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

ПЕРИМЕТР

Периметр – сумма длин всех сторон плоской геометрической фигуры. Чаще всего периметр измеряется в сантиметрах, метрах и километрах.

Чаще всего периметр обозначается буквой P.

Периметр прямоугольника – удвоенная сумма длины и высоты – 2∙(a+b)

Периметр квадрата – произведение любой его стороны на 4, так как стороны равны.

ПЛОЩАДЬ

Площадь – характеристика замкнутой геометрической фигуры, которая показывает ее размер. Чаще всего площадь измеряется в квадратных сантиметрах, квадратных метрах и квадратных километрах.

В отличие от периметра, не существует универсальной формулы площади. Для каждого типа фигур площадь вычисляется по своей особой формуле. Мы будем рассматривать только прямоугольники, квадраты и составные фигуры из прямоугольников и квадратов.

Чаще всего площадь обозначается буквой S.

Площадь прямоугольника – произведение длины на высоту.

Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС

Разделим этот прямоугольник на квадраты

Мы получили 15 квадратов внутри этого прямоугольника – это и есть те самые 15 квадратных сантиметров, которые составляют площадь прямоугольника.

Площадь квадрата – произведение длины стороны на саму себя.

СОСТАВНЫЕ ФИГУРЫ

Разделим эту фигуру на прямоугольник и квадрат

Высота прямоугольника составит 5 – 3 = 2

СООТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДИ И ПЕРИМЕТРА

Фигуры с одной и той же площадью могут иметь разный периметр

Почему у нас изменился периметр, хотя площадь, т.е. число квадратиков внутри фигуры, осталась прежней?

Потому что изменилось число граней квадратиков, которые участвуют в формировании сторон фигуры, т.е. перметра. В первой фигуре – большом квадрате, в формировании сторон участвовали по две внешних грани каждого маленького квадратика – общее число таких граней 8, и периметр равен 8.

Во второй фигуре у нас в формировании сторон участвуют по три грани у двух крайних квадратиков и по две грани внутренних квадратов. Общее число таких граней 10, и периметр равен 10.

ОБЪЁМ

Объём – количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Чаще всего объём измеряется в кубических сантиметрах, кубических дециметрах, кубических метрах и литрах.

1 л = 1 дм³

Не существует универсальной формулы объема. Для каждого типа фигур объём вычисляется по своей особой формуле. Мы будем рассматривать только прямоугольные параллелепипеды.

Чаще всего объём обозначается буквой V.

Прямоугольный параллелепипед – замкнутая фигура, у которой 6 прямоугольных граней (передняя, задняя, нижняя, верхняя и две боковые), и каждая из граней расположены под прямым углом к соседним.

Объём прямоугольного параллелепипеда – произведение его длины, ширины и высоты

Зная объём и две стороны, мы можем найти третью сторону:

c = (V:a):b = V:S

ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.

ЗАДАЧИ

Задача 1. Найдите периметр и площадь прямоугольника, у которого ширина 10 см, и она меньше длины на 6 см.

x = 10 см – ширина

1. Найдём длину

y = 10 + 6 = 16 см

2. Найдём периметр

P = 2∙(10+16) = 52 см

3. Найдём площадь

S = 10∙16 = 160 см²

Ответ: P = 52 см, S = 160 см²

Задача 2. Какую ширину имеет прямоугольник, длина которого 50 см, а площадь совпадает с площадью квадрата периметром 80 см?

1. Вычислим сторону квадрата

4∙n = 80 – периметр

n = 20 см

2. Вычислим площадь квадрата

20∙20 = 400 см²

3. Вычислим ширину прямоугольника

50∙x = 400 см²

x = 8 см

Ответ: 8 см

Задача 3. Чему равна ширина прямоугольника, длина которого равна 15 м, а площадь 7500 дм2 ?

1 дм = 10 см, 1 м = 100 см, 1 м = 10 дм

1. Переведём длину прямоугольника в дм

x = 15∙10 = 150 дм

2. Найдём ширину прямоугольника

150∙y = 7500

y = 7500:150 = 50 дм

Ответ: 50 дм

Задача 4. Длина прямоугольника равна 60 см, и она в 3 раза больше ширины стороны.

1. Найдите площадь этого прямоугольника.

2. Найдите площадь квадрата, который имеет такой же периметр, как и прямоугольник.

3. Найдите периметр квадрата, площадь которого в 12 раз меньше площади прямоугольника.

1. Найдём ширину прямоугольника

x = 60:3 = 20 см

2. Найдём площадь прямоугольника

S = 60∙20 = 1200 см

2. Найдём периметр прямоугольника

P = 2∙(60+20) = 160 см

3. Найдём сторону квадрата

y = 160:4 = 40 см

4. Найдём площадь квадрата

Sкв = 40∙40 = 1600 см²

5. Найдём площадь квадрата, которая в 12 раз меньше площади прямоугольника:

Sкв₂ = 1200:12 = 100 см²

6. Найдём сторону такого квадрата

Площадь квадрата = 100 см²

Из таблицы умножения мы знаем, что 10∙10 = 100, значит сторона квадрата = 10 см

7. Найдём периметр такого квадрата

P = 10∙4 = 40 см

ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.

Задача 5. В прямоугольнике АВСД сторона АВ 3 см, сторона ВС на 1 см длиннее, а диагональ ВД на 2 см длиннее АВ. Найдите периметр и площадь прямоугольника АВСД и треугольника АВД.

1. Найдём сторону ВС

ВС = 3+1 = 4

2. Найдём диагональ ВД

ВД = 3+2 = 5

3. Найдём периметр АВСД

P = 2∙(3+4) = 14 см

4. Найдём площадь АВСД

Sавсд = 3∙4 = 12 см²

5. Найдём периметр треугольника АВД

Pавд = 3 + 5 + 4 = 13 см

6. Найдём площадь треугольника АВД

Треугольник АВД занимает половину площади прямоугольника АВСД

Sавд = Sавсд:2

Sавд = 12:2 = 6 см²

Задача 6. В аквариум в форме прямоугольного параллелепипеда, основание которого имеет стороны 80 и 40 см, налили до краёв 160 л. воды. Какова высота аквариума?

Решение

1. Переведём литры в кубические дециметры

1 л = 1 дм³, 160 л = 160 дм³

2. Переведём стороны аквариума в дециметры

1 дм = 10 см, 80 см = 8 дм, 40 см = 4 дм

3. Найдём высоту аквариума

V = a∙b∙c, a = 8, b = 4

c = (V:a):b

c = (160:8):4 = 5 дм

c = 5∙10 = 50 см

Ответ: 50 см

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.

Начнем с прямоугольных треугольников.

Задача 1

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.

Найти его площадь.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы

   

где a и b — катеты.

Длину катетов считаем по клеточкам.

1) a=2, b=5,

   

2) a=6, b=3,

   

Задача 2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.

Решение:

Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле

   

где a — сторона треугольника, h_a — высота, проведённая к этой стороне.

a  и h_a вычисляем по клеточкам (одна из этих величин должна лежать на горизонтальной линии, другая — на вертикальной).

1) a=6, h_a=4,

   

2) a=3, h_a=5,

   

А как найти площадь, если ни одна из сторон треугольника не лежит на горизонтальной или вертикальной линии клеток?

Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.

Задача 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.

Найдите его площадь.

Решение:

Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.

Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:

   

Площадь прямоугольника найдём по формуле S=ab.

   

Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле

   

где a и b — катеты.

   

   

   

Отсюда