Как найти площадь треугольника в стереометрии

Формулы стереометрии. Общий обзор!

Категория: Формулы Теория | ЕГЭ-№2Формулы

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

Все формулы по геометрии. Площади фигур

Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!

Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Читайте также о задачах на тему “Координаты и векторы”. Для их решения вспомните, что такое абсцисса точки (это ее координата по ) и что такое ордината (координата по ). Пригодятся также такие понятия, как координаты вектора и длина вектора (она находится по теореме Пифагора), синус и косинус угла, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой, а также сумма, разность и скалярное произведение векторов, угол между векторами.

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Треугольник

Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников :+ показать

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .

Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.

Свойства

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним:

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.

2 . Треугольники равны, если у них соответственно равны два угла и прилегающая к ним сторона.

3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Площадь треугольника

Через сторону и высоту

Через две стороны и угол между ними

Через радиус описанной окружности

Через радиус вписанной окружности

, где – полупериметр

, где – полупериметр

Смотрите также площадь треугольника здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉

Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!

В разделе свойства:

Да, не хватало значка «» у А. Спасибо! 😉

Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.

Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении , то выходим на уравнение Откуда Значит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть
Применяем теорему синусов: , откуда

спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!

Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3

Очевидно,
Примите за .
Примените к треугольнику теорему косинусов:

Найдете , далее можно найти угол и из треугольника найти

Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-treugolnika

[/spoiler]

Содержание

1. Площадь в геометрии
2. Площадь по координатам вершин или двух определяющих его векторов
3. Площадь в матричном виде
4. Площадь в тензорном исчислении
5. Площадь треугольника в трехмерном пространстве
6. Через проекции площадей на координатные плоскости
7. Использованием операции векторного произведения векторной алгебры
8. Площадь с использованием операций свертки тензорного исчисления

В математике и физике широко пользуются тензорным исчислением, в которой понятия “скаляр”, “вектор” и “тензор” являются широко употребляемыми объектами. Смысл этих понятий и анализ первых двух понятий был определен в предыдущей статье, и последующей . В первой были определены понятия “длины ” вектора и “скалярного” произведения векторов и некоторые определения, с ними связанные, их геометрический смысл, а во второй введены понятия и определения, связанные с тензорами. Без них любая статья подобного направления будет художественным текстом на иностранном языке без перевода.

Под понятием “тензор ” обычно понимаются объекты типа “вектор “, “матрица “, и другие многоиндексные объекты произвольной валентности с размерностью, равной размерности n рассматриваемого пространства:

где i .. j , k .. m – индексы тензора,
m –символ последнего индекса.

Тензоры в математике применяются очень широко. В частности, с их помощью можно определять геометрические параметры – длину, площадь, объем. А также различные “прекции”. А для многомерных объектов – гиперобъемы. Длину вектора или отрезка и проекции мы определили в предыдущих статьях. Здесь определим площади.

1. Площадь в геометрии

Из школьной геометрии мы знаем, что площадь квадрата со сторонами d равна d ² .
Площадь прямоугольника со сторонами a и b равна ab .
Площадь треугольника со стороной a и высотой h равна ah /2.
Площадь треугольника со сторонами a и b равна a · b · sin ( a , b ).

2. Площадь по координатам вершин или двух определяющих его векторов

А чему равна площадь треугольника, заданного с помощью координат ее вершин или двух известных определяющих его сторон–векторов? Конечно, можно вычислить, применяя геометрический метод. Но есть еще один метод – универсальный, годный при любом расположении ее вершин и сторон–векторов. Попробуем найти эту формулу для двумерного случая.

Задача: найти площадь треугольника OAB .

Решение: ACB )площадь треугольника ОАВ равна площади квадрата OYa CXb = Ya Xb за вычетом окружающих треугольник OAB треугольников

S = S(OYb B) + S(BCA) + S(OAXa ).

Вычислим их:

S(OYb B) = (OYb) *(OXb) = Yb Xb,
S(OXa A) = (OXa )*( Ya ) = Xa Ya,
S(BCA) = (Yb – Ya )*( Xa – Xb ) = Yb Xa – Yb Xb – Ya Xa + Ya Xb.

Сложим ( точнее – вычтем ) их :

После приведения подобных членов имеем:

S = ½(Yb Xa – Ya Xb) = A × B.

Это очень замечательная формула, по которой, зная координаты вектора, можно напрямую вычислить площадь треугольника и четырехугольника, построенных на них. При этом получим скалярную – точнее, псевдоскалярную – величину. Псевдоскалярную – потому что, если поменять местами вектора A и B , то результат поменяет свой знак – можете поверить – а можете проверить.

Но у этой формулы имеется недостаток – она годится только на двумерной плоскости.

3. Площадь в матричном виде

Есть еще одна математическая дисциплина, которая позволяет ее методами вычислить площадь треугольника по значениям двух матриц-векторов. В виде формулы она представляется через представление площади как детерминанта матрицы, составленного из элементов этих векторов, в таком виде:

У этой формулы также имеется недостаток – она годится только на двумерной плоскости.

4. Площадь в тензорном исчислении

Эта замечательная формула записана не в тензорном формате. Но она состоит из тензорных элементов, элементы которой определяются как элементы прямого произведения элементов векторов A и B . Для того, чтобы получить скаляр, в тензорном исчислении необходимо свернуть все индексы тензора. Поэтому в тензорном виде площадь записывается в форме, где ε ᵢ ⱼ – антисиммметричный тензор:

5. Площадь треугольника в трехмерном пространстве

В трехмерном случае обойтись такими простыми формулами будет невозможно – алгоритмы будут немножко сложнее. В трехмерном пространстве два вектора будут иметь уже по три координаты – ( x , y , z ). Здесь можно выделить основных метода.

Первый метод – используя двухмерные параметры треугольника – находим соответствующие параметры треугольника (длины сторон, углы, координаты точек A и B в плоскости, где находится треугольник) и применяем любые из выше показанных методов (есть, конечно, и другие методы).

Второй метод – используя непосредственно трехмерные параметры треугольника.

6. Через проекции площадей на координатные плоскости

Например, так. Первой операцией будет нахождение площадей получающегося треугольника в координатных плоскостях S(yz), S(zx) и S(xy). Это можно сделать любым из показанных выше методов. В результате получим проекции площадей треугольника на соответствующие координатные плоскости. Причем три проекции {S(yz), S(zx), S(xy)} составлять координаты некоторого вектора [S(yz), S(zx), S(xy)]. Точнее, опять – псевдовектора или по другому – аксиального вектора . Псевдовектор меняет свой знак при преобразовании отражения осей координат.

А общая площадь получится как длина этого вектора. А длину вектора проходили ранее .

7. Использованием операции векторного произведения векторной алгебры

Есть такая математическая дисциплина, которая называется векторной алгеброй , в которой определена операция 3-мерного векторного умножения, результат которой есть именно определенный только что (п.7) вектор:

C ₃ = A × B = [S(yz), S(zx), S(xy)] = ( Az By – Ay Bz , Ax Bz – Az Bx , Ay Bx – Ax By,) .

А общая площадь получится, как писали там же, как длина этого вектора. Как отмечали выше, этот вектор не совсем обычный – а псевдовектор.

8. Площадь с использованием операций свертки тензорного исчисления

Для этого используем формулу площади треугольника через длину сторон и угол между ними: площадь треугольника со сторонами a и b равна a · b · sin ( a , b ). Найдем участвующие в формуле параметры через скалярные произведения. Длины векторов равны | a | и | b |, а также

В результате получили выражение, состоящее только из скалярных произведений участвующих в формуле параметров треугольника – векторов его сторон a и b. Только в формуле опущены индексы.

И эта формула может быть применена в пространстве любой размерности, а не только размерности 2 и 3.

Если статья понравилась – ставьте лайк, делитесь в ваших соцсетях.
И комментируйте!

Понятие площади

Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.

Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.

Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.

Рассмотрим пример.

Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.

Как найти площадь треугольника через высоту и основание

«Как найти площадь треугольника. Формулы треугольника» 👇

Формула Герона

Площадь равностороннего треугольника