Как найти площадь треугольника вики

Треугольник
Рёбра	3
Символ Шлефли	{3}
Медиафайлы на Викискладе

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади)^[1].

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла^[2], т.е. как часть плоскости, ограниченную тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.

Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В -мерной геометрии аналогом треугольника является -й мерный симплекс.

Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденным.

Основные элементы треугольника[править | править код]

Вершины, стороны, углы[править | править код]

Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: , а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами , и обозначается как . Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин: , , .

Треугольник имеет следующие углы:

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (, , ).

Внешним углом плоского треугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от до .

Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.

Классификация треугольников[править | править код]

По виду наибольшего угла[править | править код]

Основной источник: ^[3]

• 

• 

• 

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна , то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими ). Выделяют следующие виды треугольников^[2].

• Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
• Если один из углов треугольника прямой (равен ), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
• Если один из углов треугольника тупой (больше ), то треугольник называется тупоугольным, Остальные два угла, очевидно, острые (треугольников с двумя тупыми или прямыми углами быть не может).

По числу равных сторон (или по степени симметричности)[править | править код]

• 

• 

• 

• Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны не равны.
• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием^[4]. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Треугольник	Количество осей симметрии	Количество пар равных сторон
Разносторонний	Нет	Нет
Равнобедренный	1	1
Равносторонний	3	3

Медианы, высоты, биссектрисы[править | править код]

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником. Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник.
Длину медианы опущенной на сторону можно найти по формулам:

     для других медиан аналогично.

• 

  Высота в треугольниках различного типа

• 

  Высоты пересекаются в ортоцентре

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.

Длину высоты , опущенной на сторону , можно найти по формулам:

;      для других высот аналогично.

Длины высот, опущенных на стороны. можно также найти по формулам:^[5]:p.64

.

Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).

Если треугольник разносторонний (не равнобедренный), то биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины. Ещё одно важное свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим к ней сторонам^[6].

Длину биссектрисы , опущенной на сторону , можно найти по одной из формул:

, где  — полупериметр.

.

;     здесь  — высота.

Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.

Описанная и вписанная окружности[править | править код]

Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, её центр совпадает с точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины сторон. В тупоугольном треугольнике этот центр лежит вне треугольника^[6].

Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром, он совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Следующие формулы позволяют вычислить радиусы описанной и вписанной окружностей.

где  — площадь треугольника,  — его полупериметр.

,

где  — радиусы соответственных вневписанных окружностей

Ещё два полезных соотношения:

^[7]

.

Существует также формула Карно^[8]:

,

где , ,  — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон , , треугольника,
, ,  — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин , , треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны треугольника равно:

;

расстояние от ортоцентра например до вершины треугольника равно:

.

Признаки равенства треугольников[править | править код]

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:^[9]

1. , , (равенство по двум сторонам и углу между ними);
2. , , (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
3. , , (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. по катету и гипотенузе;
2. по двум катетам;
3. по катету и острому углу;
4. по гипотенузе и острому углу.

Дополнительный признак: треугольники равны, если у них совпадают две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон^[10].

Дополнительный признак {по двум сторонам и углу не между ними, если этот угол прямой или тупой}.
Если в треугольниках и имеют место равенства , , , причём указанные углы НЕ являются острыми, то эти треугольники равны^[11].

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Признаки подобия треугольников[править | править код]

Основные свойства элементов треугольника[править | править код]

Свойства углов[править | править код]

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы^[10].

Каждый внешний угол треугольника равен разности между 180° и соответствующим внутренним углом. Для внешнего угла также имеет место теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных^[10].

Неравенство треугольника[править | править код]

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами:

.

Дополнительное свойство: каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон^[10].

Теорема о сумме углов треугольника[править | править код]

Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:

.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше.

Теорема синусов[править | править код]

,

где  — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Теорема косинусов[править | править код]

.

Является обобщением теоремы Пифагора.

• Замечание. теоремой косинусов также называют следующие две формулы, легко выводимые из основной теоремы косинусов (см. с. 51, ф. (1.11-2))^[12].

.

Теорема о проекциях[править | править код]

Источник: ^[13].

.

Теорема тангенсов (формулы Региомонтана)[править | править код]

Теорема котангенсов[править | править код]

.

Формулы Мольвейде[править | править код]

.

Решение треугольников[править | править код]

Вычисление неизвестных сторон, углов и других характеристик треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы, а также признаки равенства и подобия треугольников.

Площадь треугольника[править | править код]

Далее используются обозначения

Площадь треугольника связана с его основными элементами следующими соотношениями.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6.  — формула Герона
7. ^[14]
8. 
9. ^[15]
10. 
11. 
12. 
13.  — ориентированная площадь треугольника.
14.  — см. Аналоги формулы Герона
15. 
16. 
17. 
18. 

Частные случаи

1.  — для прямоугольного треугольника
2.  — для равностороннего треугольника

Другие формулы[править | править код]

• Существуют другие формулы, такие, как например,^[16]

для угла .

• В 1885 г. Бейкер (Baker)^[17] предложил список более ста формул площади треугольника. Он, в частности, включает:

,

,

,

.

Неравенства для площади треугольника[править | править код]

Для площади справедливы неравенства:

    и    ,

где в обоих случаях равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный).

История изучения[править | править код]

Свойства треугольника, изучаемые в школе, за редким исключением, известны с ранней античности. Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.^[21]

Общая и достаточно полная теория геометрии треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в Древней Греции^[22]. В частности, во второй книге „Начал“ Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников^[23]. Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Свойствами элементов треугольников (углов, сторон, биссектрис и др.) после Евклида занимались Архимед, Менелай, Клавдий Птолемей, Папп Александрийский^[24].

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров^[25]. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен.

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались „зиджи“; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории^[26]. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век).

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века^[27]. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника^[28].

Фундаментальное изложение тригонометрии (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году^[29]. Его „Трактат о полном четырёхстороннике“ содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решённых самим ат-Туси^[30]. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для практической работы с треугольниками.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10»^[31]. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций.

Изучение треугольника продолжилось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636), открыта точка Торричелли (1640) и изучены её свойства. Джованни Чева доказал свою теорему о трансверсалях (1678). Лейбниц показал, как вычислять расстояние от центра тяжести треугольника до других его замечательных точек^[24]. В XVIII веке были обнаружены прямая Эйлера и окружность шести точек (1765).

В начале XIX века была открыта точка Жергонна. В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. К концу XIX века относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нойберга. Окружность девяти точек исследовали Понселе, Брианшон и Штейнер, Были обнаружены ранее неизвестные геометрические связи и образы — например, окружность Брокара, точки Штейнера и Тарри. В 1860 году Шлёмильх доказал теорему: три прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами его соответствующих высот, пересекаются в одной точке. В 1937 году советский математик С. И. Зетель показал, что эта теорема верна не только для высот, но и для любых других чевиан. Исследования перечисленных выше геометров превратили геометрию треугольника в самостоятельный раздел математики^[32].

Значительный вклад в геометрию треугольника внёс в конце XIX — начале XX века Фрэнк Морли. Он доказал, что геометрическое место центров кардиоид, вписанных в треугольник, состоит из девяти прямых, которые, взятые по три, параллельны трём сторонам равностороннего треугольника. Кроме того, 27 точек, в которых пересекаются эти девять прямых, являются точками пересечения двух трисектрис треугольника, принадлежащих к одной и той же его стороне. Наибольшую известность получил частный случай этой теоремы: внутренние трисектрисы углов треугольника, прилежащих к одной и той же стороне, пересекаются попарно в трёх вершинах равностороннего треугольника. Обобщение этих работ опубликовал Анри Лебег (1940), он
ввел -сектрисы треугольника и изучил их расположение в общем виде^[33].

С 1830-х годов в геометрии треугольника стали широко использоваться трилинейные координаты точек. Активно развивалась теория преобразований — проективное, изогональное, изотомическое и другие. Полезной оказалась идея рассмотрения задач теории треугольников на комплексной плоскости.
^[32].

Дополнительные сведения[править | править код]

Все факты, изложенные в этом разделе, относятся к евклидовой геометрии.

• Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Обычно под чевианой понимают не один такой отрезок, а один из трёх таких отрезков, проведённых из трёх разных вершин треугольника и пересекающихся в одной точке. Они удовлетворяют условиям теоремы Чевы. Чевианы, соединяющие вершину треугольника с точками противоположной стороны, отстоящими на заданное отношение от её концов, называют недианами.
• Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Три средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника в 4 раза меньшей площади, чем площадь исходного треугольника.
• Серединные перпендикуляры (медиатрисы) к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.
• Чевианы, лежащие на прямых, симметричных медианам относительно биссектрис, называются симедианами. Они проходят через одну точку — точку Лемуана.
• Чевианы, лежащие на прямых, изотомически сопряжённых биссектрисам относительно оснований медиан, называются антибиссектрисами. Они проходят через одну точку — центр антибиссектрис.
• Кливер треугольника — это отрезок, одна вершина которого находится в середине одной из сторон треугольника, вторая вершина находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.
• Некоторые точки в треугольнике — «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли. Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это — точки Аполлония. Точки и такие, что и называются точками Брокара.

Некоторые замечательные прямые треугольника[править | править код]

• В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности Эйлера лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.
• В любом треугольнике центр тяжести, центр круга, вписанного в него (инцентр), его точка Нагеля и центр круга, вписанного в дополнительный треугольник (или Центр Шпикера), лежат на одной прямой, называемой второй прямой Эйлера (прямой Нагеля)
• Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония.
• Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана.
• Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек описанной окружности перпендикулярны.

Трилинейные поляры треугольника[править | править код]

• Трилинейная полярой точки Лемуана служит ось Лемуана (см. рис.)

• Ортоцентрическая ось  (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра (см. рис.)
• Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид).

Вписанные и описанные фигуры для треугольника[править | править код]

Преобразования[править | править код]

Ниже описаны 3 вида преобразований: 1) Изогональное сопряжение, 2) Изотомическое сопряжение, 3) Изоциркулярное преобразование.

Изогональное сопряжение[править | править код]

• Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны).
• Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек:
  • Центр описанной окружности и ортоцентр (точка пересечения высот),
  • Центроид (точка пересечения медиан) и точка Лемуана (точка пересечения симедиан),
  • Центр девяти точек и точка Косниты треугольника, связанная с теоремой Косниты^[34];
  • Две точки Брокара;
  • Точки Аполлония и точки Торричелли.
• Точка Жергонна и центр отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
• Точка Нагеля и центр положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
• Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают.
• Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.
• Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника^[35].
• Если для любой внутренней точки треугольника построить три точки, симметричные ей относительно сторон, а затем через три последние провести окружность, то ее центр изогонально сопряжен исходной точке^[36].

Изогональные сопряжения линий треугольника[править | править код]

• Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники — в прямые.
• Так, изогонально сопряжены:
  • гипербола Киперта и ось Брокара,
  • гипербола Енжабека и прямая Эйлера,
  • гипербола Фейербаха и линия центров вписанной и описанной окружностей.
• Некоторые известные кубики — например, кубика Томсона — изогонально самосопряжены в том смысле, что при изогональном сопряжении всех их точек в треугольнике снова получаются кубики.

Изотомическое сопряжение[править | править код]

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники.

• Изотомически сопряжены следующие точки:
  • точка Жергонна и Нагеля,
  • точка пересечения биссектрис (инцентр) и точка пересечения антибиссектрис,
  • Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника изотомически сопряжена его точке Брокара,
  • Центроид (точка пересечения медиан) изотомически сопряжён сам себе.

При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры[править | править код]

Изоциркулярное преобразование[править | править код]

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием ^[39]. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Тригонометрические тождества только с углами[править | править код]

(первое тождество для тангенсов)

Замечание. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).

,^[40]

(второе тождество для тангенсов)

,

(первое тождество для синусов)

,^[40]

(второе тождество для синусов)

,^[7]

(тождество для косинусов)

(тождество для отношения радиусов)

Замечание. При делении обеих частей второго тождества для тангенсов на произведение получается тождество для котангенсов:

,

по форме (но не по содержанию) очень похожее на первое тождество для тангенсов.

Разные соотношения[править | править код]

Метрические соотношения в треугольнике приведены для :

Где:

• , и  — стороны треугольника,
• ,  — отрезки, на которые биссектриса делит сторону ,
• , ,  — медианы, проведённые соответственно к сторонам , и ,
• , ,  — высоты, опущенные соответственно на стороны , и ,
•  — радиус вписанной окружности,
•  — радиус описанной окружности,
•  — полупериметр,
•  — площадь,
•  — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
• Для любого треугольника, у которого стороны связаны неравенствами , а площадь равна , длины срединных перпендикуляров или медиатрис, заключённых внутри треугольника, опущенных на соответствующую сторону (отмеченную нижним индексом), равны^{[41]:Corollaries 5 and 6}

, и .

Формулы площади треугольника в декартовых координатах на плоскости[править | править код]

Обозначения

•  — координаты вершин треугольника.

Общая формула площади треугольника в декартовых координатах на плоскости[править | править код]

В частности, если вершина A находится в начале координат (0, 0), а координаты двух других вершин есть B = (x_B, y_B) и C = (x_C, y_C), то площадь может быть вычислена в виде ¹⁄₂ от абсолютного значения определителя

Последнюю формулу площади треугольника в английской литературе именуют формулой площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формулой (surveyor’s formula^[42]), или формулой площади Гаусса.

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов[править | править код]

Пусть вершины треугольника находятся в точках , , .

Введём вектор площади . Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

Положим , где , ,  — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом

и аналогично

Площадь треугольника равна .

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

Вычисление площади треугольника через комплексные декартовы координаты его вершин[править | править код]

Если обозначить комплексные декартовы координаты (на комплексной плоскости) вершин треугольника соответственно через , и и обозначить их комплексно сопряженные точки соответственно через , и , тогда получим формулу:

,

что эквивалентно формуле площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формуле (surveyor’s formula^[42]), или формуле площади Гаусса.

Треугольник в неевклидовых геометриях[править | править код]

На сфере[править | править код]

Свойства треугольника со сторонами , , и углами , , .

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго больше .

Любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов (здесь и далее сторону сферического треугольника принято измерять не линейной мерой, а величиной опирающегося на неё центрального угла):

,

Теоремы косинусов:

,

.

На плоскости Лобачевского[править | править код]

Для треугольника со сторонами , , и углами , , .

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго меньше .

Как и на сфере, любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов

,

Теоремы косинусов

,

.

Связь суммы углов с площадью треугольника[править | править код]

Значение для суммы углов треугольника во всех трёх случаях (евклидова плоскость, сфера, плоскость Лобачевского) является следствием формулы Гаусса — Бонне

.

В случае треугольника эйлерова характеристика . Углы  — это внешние углы треугольника. Значение величины (гауссовой кривизны) — это для евклидовой геометрии, для сферы, для плоскости Лобачевского.

Этот раздел статьи ещё не написан. Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (31 января 2017)

Треугольник в римановой геометрии[править | править код]

Этот раздел статьи ещё не написан. Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (31 января 2017)

Обозначение[править | править код]

Символ	Юникод	Название
△	U+25B3	white up-pointing triangle

См. также[править | править код]

• Глоссарий планиметрии
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрия
• Энциклопедия центров треугольника

Дополнительные статьи о геометрии треугольника можно найти в категориях:

• Категория:Геометрия треугольника.
• Категория:Теоремы евклидовой геометрии
• Категория:Планиметрия
• Категория:Теоремы планиметрии

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть 1: Планиметрия. Изд. 4-е, М.: Учпедгиз, 1957. 608 с.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
• Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0.

История

• Гайдук Ю. М., Хованский А. М. Из истории геометрии треугольника // Вопросы истории физико-математических наук. — М.: Высшая школа, 1963. — С. 129—133. — 524 с.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76—95. — 240 с.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
  • История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
  • Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.

Ссылки[править | править код]

• Расчёт элементов треугольника.
• Расчёт параметров треугольника по координатам его вершин.

Была ли эта статья полезной?

From Wikipedia, the free encyclopedia

In geometry, calculating the area of a triangle is an elementary problem^{[citation needed]} encountered often in many different situations. The best known and simplest formula is where b is the length of the base of the triangle, and h is the height or altitude of the triangle. The term “base” denotes any side, and “height” denotes the length of a perpendicular from the vertex opposite the base onto the line containing the base. In 499 CE Aryabhata, used this illustrated method in the Aryabhatiya (section 2.6).^[1]

Although simple, this formula is only useful if the height can be readily found, which is not always the case. For example, the land surveyor of a triangular field might find it relatively easy to measure the length of each side, but relatively difficult to construct a ‘height’. Various methods may be used in practice, depending on what is known about the triangle. Other frequently used formulas for the area of a triangle use trigonometry, side lengths (Heron’s formula), vectors, coordinates, line integrals, Pick’s theorem, or other properties.^[2]

History[edit]

Heron (or Hero) of Alexandria found what is known as Heron’s formula for the area of a triangle in terms of its sides, and a proof can be found in his book, Metrica, written around 60 CE. It has been suggested that Archimedes knew the formula over two centuries earlier,^[3] and since Metrica is a collection of the mathematical knowledge available in the ancient world, it is possible that the formula predates the reference given in that work.^[4]

In 499 Aryabhata, a great mathematician-astronomer from the classical age of Indian mathematics and Indian astronomy, expressed the area of a triangle as one-half the base times the height in the Aryabhatiya (section 2.6).

A formula equivalent to Heron’s was discovered by the Chinese independently of the Greeks. It was published in 1247 in Shushu Jiuzhang (“Mathematical Treatise in Nine Sections”), written by Qin Jiushao.

Using trigonometry[edit]

The height of a triangle can be found through the application of trigonometry.

Knowing SAS (side-angle-side)

Using the labels in the image on the right, the altitude is h = a sin . Substituting this in the formula derived above, the area of the triangle can be expressed as:

(where α is the interior angle at A, β is the interior angle at B, is the interior angle at C and c is the line AB).

Furthermore, since sin α = sin (π − α) = sin (β + ), and similarly for the other two angles:

Knowing AAS (angle-angle-side)

and analogously if the known side is a or c.

Knowing ASA (angle-side-angle)

and analogously if the known side is b or c.^[5]

Using side lengths (Heron’s formula) [edit]

The shape of the triangle is determined by the lengths of the sides. Therefore, the area can also be derived from the lengths of the sides. By Heron’s formula:

where is the semiperimeter, or half of the triangle’s perimeter.

Three other equivalent ways of writing Heron’s formula are

Formulas resembling Heron’s formula[edit]

Three formulas have the same structure as Heron’s formula but are expressed in terms of different variables. First, denoting the medians from sides a, b, and c respectively as m_a, m_b, and m_c and their semi-sum (m_a + m_b + m_c)/2 as σ, we have^[6]

Next, denoting the altitudes from sides a, b, and c respectively as h_a, h_b, and h_c, and denoting the semi-sum of the reciprocals of the altitudes as we have^[7]

And denoting the semi-sum of the angles’ sines as S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, we have^[8]

where D is the diameter of the circumcircle:

Using vectors[edit]

The area of triangle ABC is half of the area of a parallelogram:

The area of a parallelogram embedded in a three-dimensional Euclidean space can be calculated using vectors. Let vectors AB and AC point respectively from A to B and from A to C. The area of parallelogram ABDC is then

which is the magnitude of the cross product of vectors AB and AC.

The area of triangle ABC can also be expressed in terms of dot products as follows:

In two-dimensional Euclidean space, expressing vector AB as a free vector in Cartesian space equal to (x₁,y₁) and AC as (x₂,y₂), this can be rewritten as:

Using coordinates[edit]

If vertex A is located at the origin (0, 0) of a Cartesian coordinate system and the coordinates of the other two vertices are given by B = (x_B, y_B) and C = (x_C, y_C), then the area can be computed as 1⁄2 times the absolute value of the determinant

For three general vertices, the equation is:

which can be written as

If the points are labeled sequentially in the counterclockwise direction, the above determinant expressions are positive and the absolute value signs can be omitted.^[9] The above formula is known as the shoelace formula or the surveyor’s formula.

If we locate the vertices in the complex plane and denote them in counterclockwise sequence as a = x_A + y_Ai, b = x_B + y_Bi, and c = x_C + y_Ci, and denote their complex conjugates as , , and , then the formula

is equivalent to the shoelace formula.

In three dimensions, the area of a general triangle A = (x_A, y_A, z_A), B = (x_B, y_B, z_B) and C = (x_C, y_C, z_C) is the Pythagorean sum of the areas of the respective projections on the three principal planes (i.e. x = 0, y = 0 and z = 0):

Using line integrals[edit]

The area within any closed curve, such as a triangle, is given by the line integral around the curve of the algebraic or signed distance of a point on the curve from an arbitrary oriented straight line L. Points to the right of L as oriented are taken to be at negative distance from L, while the weight for the integral is taken to be the component of arc length parallel to L rather than arc length itself.

This method is well suited to computation of the area of an arbitrary polygon. Taking L to be the x-axis, the line integral between consecutive vertices (x_i,y_i) and (x_i+1,y_i+1) is given by the base times the mean height, namely (x_i+1 − x_i)(y_i + y_i+1)/2. The sign of the area is an overall indicator of the direction of traversal, with negative area indicating counterclockwise traversal. The area of a triangle then falls out as the case of a polygon with three sides.

While the line integral method has in common with other coordinate-based methods the arbitrary choice of a coordinate system, unlike the others it makes no arbitrary choice of vertex of the triangle as origin or of side as base. Furthermore, the choice of coordinate system defined by L commits to only two degrees of freedom rather than the usual three, since the weight is a local distance (e.g. x_i+1 − x_i in the above) whence the method does not require choosing an axis normal to L.

When working in polar coordinates it is not necessary to convert to Cartesian coordinates to use line integration, since the line integral between consecutive vertices (r_i,θ_i) and (r_i+1,θ_i+1) of a polygon is given directly by r_ir_i+1sin(θ_i+1 − θ_i)/2. This is valid for all values of θ, with some decrease in numerical accuracy when |θ| is many orders of magnitude greater than π. With this formulation negative area indicates clockwise traversal, which should be kept in mind when mixing polar and cartesian coordinates. Just as the choice of y-axis (x = 0) is immaterial for line integration in cartesian coordinates, so is the choice of zero heading (θ = 0) immaterial here.

Using Pick’s theorem[edit]

See Pick’s theorem for a technique for finding the area of any arbitrary lattice polygon (one drawn on a grid with vertically and horizontally adjacent lattice points at equal distances, and with vertices on lattice points).

The theorem states:

where is the number of internal lattice points and B is the number of lattice points lying on the border of the polygon.

Other area formulas[edit]

Numerous other area formulas exist, such as

where r is the inradius, and s is the semiperimeter (in fact, this formula holds for all tangential polygons), and^{[10]: Lemma 2}

where are the radii of the excircles tangent to sides a, b, c respectively.

We also have

and^[11]

for circumdiameter D; and^[12]

for angle α ≠ 90°.

The area can also be expressed as^[13]

In 1885, Baker^[14] gave a collection of over a hundred distinct area formulas for the triangle. These include:

for circumradius (radius of the circumcircle) R, and

Upper bound on the area[edit]

The area T of any triangle with perimeter p satisfies

with equality holding if and only if the triangle is equilateral.^{[15][16]: 657}

Other upper bounds on the area T are given by^{[17]: p.290}

and

both again holding if and only if the triangle is equilateral.

Bisecting the area[edit]

There are infinitely many lines that bisect the area of a triangle.^[18] Three of them are the medians, which are the only area bisectors that go through the centroid. Three other area bisectors are parallel to the triangle’s sides.

Any line through a triangle that splits both the triangle’s area and its perimeter in half goes through the triangle’s incenter. There can be one, two, or three of these for any given triangle.

See also[edit]

• Area of a circle
• Congruence of triangles

References[edit]

Треугольник
Рёбра	3
Символ Шлефли	{3}
Шаблон: Просмотр • Обсуждение • Править

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Если три точки лежат на одной прямой, то «треугольник» с вершинами в трёх данных точках называется вырожденным. Все остальные треугольники невырожденные.

В неевклидовых пространствах в качестве сторон треугольника выступают геодезические линии, которые, как правило, являются криволинейными. Поэтому такие треугольники называют криволинейными. Важным частным случаем неевклидовых треугольников являются сферические треугольники.

Элементы треугольника[править | править вики-текст]

Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как (см. рис.). Треугольник имеет три стороны:

• сторона ;
• сторона ;
• сторона .

Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):

• ;
• ;
• .

Треугольник имеет следующие углы:

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

• Внешним углом плоского треугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу треугольника при этой вершине. Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.

Свойства[править | править вики-текст]

• Внешний угол равен разности между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от 0 до 180°.
• Для внешнего угла треугольника справедлива Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных.

Признаки равенства треугольников[править | править вики-текст]

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

1. a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу между ними);
2. a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
3. a, b, c (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. по катету и гипотенузе;
2. по двум катетам;
3. по катету и острому углу;
4. по гипотенузе и острому углу.

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Типы треугольников[править | править вики-текст]

Типы треугольников
Остроугольный	Тупоугольный	Прямоугольный
Разносторонний	Равнобедренный	Равносторонний

По величине углов[править | править вики-текст]

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

• Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
• Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
• Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше. Разность суммы углов треугольника и 180° называется дефектом. Дефект пропорционален площади треугольника, таким образом, у бесконечно малых треугольников на сфере или плоскости Лобачевского сумма углов будет мало отличаться от 180°.

По числу равных сторон[править | править вики-текст]

• Разносторонним (неравносторонним) называется треугольник, у которого все три стороны не равны.
• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
• Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Определения, связанные с треугольником[править | править вики-текст]

Все факты, изложенные в этом разделе, из евклидовой геометрии.

• Периметром треугольника называют сумму длин трех его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.

Лучи, отрезки и точки[править | править вики-текст]

• Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником.
• Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник.
• Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.
• Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).
• Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой.
• Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Три средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника в 4 раза меньшей площади, чем площадь исходного треугольника.
• Серединные перпендикуляры (медиатриссы) к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.

• В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.
• * Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

• Чевианы, лежащие на прямых, симметричных медианам относительно биссектрис, называются симедианами. Они проходят через одну точку — точку Лемуана.

• Чевианы, лежащие на прямых, изотомически сопряжённых биссектрисам относительно оснований медиан, называются антибиссектрисами. Они проходят через одну точку — центр антибиссектрис.

• Кливер треугольника — это отрезок, одна вершина которого находится в середине одной из сторон треугольника, вторая вершина находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.

Прямые[править | править вики-текст]

• В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности Эйлера лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.
• В любом треугольнике центр тяжести, центр круга, вписанного в него (инцентр), его точка Нагеля и центр круга, вписанного в дополнительный треугольник A′B′C′ (или Центр Шпикера), лежат на одной прямой, называемой второй прямой Эйлера (теорема Хузеля).
• Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония.
• Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана.
• Основания внешних биссектрис углов треугольника лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис.

• Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек описанной окружности перпендикулярны.

Треугольники, вписанные в данный опорный треугольник[править | править вики-текст]

• Треугольник с вершинами в основаниях чевиан, проведённых через данную точку, называется чевианным треугольником этой точки.
• Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.
• Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником. Теорема: окружностно-чевианный треугольник подобен подерному^[1].
• Треугольник оснований медиан A′B′C′ данного треугольника ABC, то есть треугольник, вершины которого суть средины сторон треугольника ABC, называется дополнительным, или серединным, для данного треугольника.
• Ортотреугольник — треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника. Стороны ортотреугольника антипараллельны соответствующим сторонам данного треугольника.

Треугольники, описанные около данного опорного треугольника[править | править вики-текст]

• Треугольник A″B″C″, стороны которого проходят через вершины треугольника ABC и параллельны противолежащим его сторонам, называется антидополнительным для данного треугольника ABC.
• Если вокруг данного остроугольного треугольника ∆ABC описать окружность и в трёх вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует так называемый тангенциальный треугольник ΔA′B′C′ по отношению к данному треугольнику ΔABC. Стороны тангенциального треугольника ΔA′B′C′ антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника и параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Если вне данного треугольника ∆ABC провести через его вершины три его внешние биссектрисы, то они пересекутся в трёх центрах вневписанных окружностей, образуя треугольник трёх внешних биссектрис.

Другие треугольники, расположенные внутри данного опорного треугольника[править | править вики-текст]

• Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.
• Треугольник Эйлера или треугольник Фейербаха — треугольник, вершинами которого служат середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр и его вершины.

Окружности треугольника[править | править вики-текст]

Окружности, проходящие через вершины треугольника[править | править вики-текст]

• Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, если треугольник не вырожден особым образом, то есть две из трех его вершин не совпадают.

• Окружность Джонсона — любая из трех окружностей (см. рис. справа), проходящая через две вершины треугольника и через его ортоцентр. Радиусы всех трех окружностей Джонсона равны. Окружности Джонсона являются описанными окружностями треугольников Гамильтона, имеющих в качестве двух вершин две вершины данного остроугольного треугольника, а в качестве третьей вершины имеющих его ортоцентр.

Окружности, касающиеся сторон треугольника или их продолжений[править | править вики-текст]

• Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром.
  • Отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна. Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля (см. ниже).

• Вневписанная окружность(см. рис. справа) — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон. Таких окружностей в треугольнике три. Их радикальный центр — центр вписанной окружности срединного треугольника, называемый центром Шпикера или точкой Шпикера.
  • Отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Нагеля.

• Три окружности Мальфатти треугольника (см. рис. справа). Каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей Мальфатти.
  • Если провести три прямые, соединяющие центр каждой окружности Мальфатти с точкой касания между собой двух других, то они пересекутся в одной точке — в точке Аджима-Мальфатти (Ajima-Malfatti)^[2].

• Три полувписанные окружности или окружности Веррьера (см. рис. слева). Каждая из них касается двух сторон треугольника и описанной окружности внутренним образом.
  • Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную.
• Лемма Веррьера^[3]. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности (инцентр).

Окружности, взаимно касающиеся друг друга внутри треугольника[править | править вики-текст]

• Три окружности Мальфатти попарно касаются друг друга внутри треугольника. (см. выше)
• Окружность девяти точек или окружность Эйлера касается вписанной окружности внутри треугольника в точке Фейербаха.

Окружности, взаимно касающиеся друг друга вне треугольника[править | править вики-текст]

• Три окружности Веррьера касаются описанной окружности вне треугольника.
• Окружность девяти точек или окружность Эйлера касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внешним образом (Теорема Фейербаха, см. рисунок).

• Окружность Аполлония касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. рисунок)

• Три окружности Джонсона (см. выше) касаются внешним образом антикомплементарной окружности (красная на рисунке справа выше, радиус 2r) треугольника ΔABC. Центры окружностей Джонсона лежат на отрезках (оранжевые), соединяющих общую точку пересечения высот H и точки касания этих трех окружностей с антикомплементарной окружностью.. Эти точки касания образуют антидополнительный или (что то же самое) антикомплементарный треугольник (зелёный на рисунке выше).

Другие окружности[править | править вики-текст]

• Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.

• Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, отрезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности — окружности Конвея.

Определение перспектора коники[править | править вики-текст]

• В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов, парабол или гипербол).
• Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники.
• Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке^[4].

Эллипсы треугольника[править | править вики-текст]

Определение вписанного эллипса Штейнера[править | править вики-текст]

• В треугольник можно вписать бесконечно много эллипсов.
• В треугольник можно вписать единственный эллипс, который касается сторон в их серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера (его перспектором будет центроид треугольника)^[5].
• «Определение перспектора коники» (включая конику-эллипс) см. выше.

Определение описанного эллипса Штейнера[править | править вики-текст]

• Около треугольника можно описать бесконечно много эллипсов.
• Oколо треугольника можно описать единственный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины и параллельных сторонам. Такой эллипс называется описанным эллипсом Штейнера.
• Фокусы описанного эллипса Штейнера называют точками Скутина.
• Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина)

Аффинное преобразование эллипса Штейнера[править | править вики-текст]

• Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести произвольный разносторонний треугольник в правильный треугольник, то его вписанный и описанный эллипсы Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности^[6].

Эллипс Брокара[править | править вики-текст]

• Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана^[7].

Эллипс Мандарта (Mandart inellipse)[править | править вики-текст]

• Эллипс Мандарта (или Мандара) треугольника — вписанный в треугольник эллипс, касающийся его сторон в точках касания их с вневписанными окружностями (см. рис. справа).

Соотношение для произвольного эллипса, вписанного в треугольник[править | править вики-текст]

Если произвольный эллипс, вписан в треугольник ABC и имеет фокусы P и Q, тогда для него справедливо соотношение^[8]

Параболы, вписанные в треугольник[править | править вики-текст]

• В треугольник можно вписать бесконечно много парабол.

• Перспекторы вписанных в треугольник парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера(см. выше)^[9]. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр^[10].

Парабола Киперта[править | править вики-текст]

Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера

Гиперболы, описанные около треугольника[править | править вики-текст]

• Около треугольника можно описать бесконечно много гипербол.
• Если описанная около треугольника гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны)^[11]. Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек^[11].

Гипербола Киперта[править | править вики-текст]

• Гипербола Киперта — описанная гипербола, проходящая через центроид и ортоцентр. Если на сторонах треугольника построить подобные равнобедренные треугольники (наружу или внутрь), а затем соединить их вершины с противоположными вершинами исходного треугольника, то три таких прямые пересекутся в одной точке, лежащих на гиперболе Киперта. В частности, на этой гиперболе лежат точки Торричелли и точки Наполеона (точки пересечения чевиан, соединяющие вершины с центрами построенных на противоположных сторонах правильных треугольников)^[12].

Гипербола Енжабека[править | править вики-текст]

• Гипербола Енжабека — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и точку Лемуана. На ней лежит центр описанной окружности.

Гипербола Фейербаха и точка Фейербаха[править | править вики-текст]

• Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.
• В частности, через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис.^[13]

Преобразования[править | править вики-текст]

Ниже описаны 3 вида преобразований: 1) Изогональное сопряжение, 2) Изотомическое сопряжение, 3) Изоциркулярноое преобразование.

Изогональное сопряжение[править | править вики-текст]

• Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны).
• Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек:
  • Центр описанной окружности и ортоцентр (точка пересечения высот),
  • Центроид (точка пересечения медиан) и точка Лемуана (точка пересечения симедиан),
  • Центр девяти точек и точка Коснита^[en] треугольника, связанная с теоремой Коснита^[en][14].
  • Две точки Брокара,
  • Точки Аполлония и точки Торричелли,
• Точка Жергонна и центр отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
• Точка Нагеля и центр положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
• Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают.
• Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.
• Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника.^[15]

Изогональные сопряжения линий треугольника[править | править вики-текст]

• Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники — в прямые.
• Так, изогонально сопряжены:
  • гипербола Киперта и ось Брокара,
  • гипербола Енжабека и прямая Эйлера,
  • гипербола Фейербаха и линия центров вписанной и описанной окружностей.
• Некоторые известные кубики — например, кубика Томсона — изогонально самосопряжены в том смысле, что при изогональном сопряжении всех их точек в треугольнике снова получаются кубики.

Изотомическое сопряжение[править | править вики-текст]

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники.

• Изотомически сопряжены следующие точки:
  • точка Жергонна и Нагеля,
  • точка пересечения биссектрис (инцентр) и точка пересечения антибиссектрис,
  • Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника изотомически сопряжена его точка Брокара,
  • Центроид (точка пересечения медиан) изотомически сопряжён сам себе.

При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Изоциркулярное преобразование[править | править вики-текст]

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид). Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности (если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке , лежит на трилинейной поляре точки , то трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке лежит на трилинейной поляре точки ).

Кубики[править | править вики-текст]

Кубика (кубическая кривая) — это кривая третьего порядка (задающаяся уравнением третьей степени). Многие замечательные кубики, связанные с треугольником, строятся следующим образом: фиксируется точка в плоскости (возможно, бесконечно удалённая). Тогда множество таких точек , что прямая проходит через эту точку, является описанной около треугольника кубикой (здесь  — точка, изогонально сопряжённая ). Такие кубики проходят также через центры вписанной и вневписанных окружностей, а также через саму фиксированную точку и изогонально сопряжённую ей^[16].

• Кубика Дарбу получается, если зафиксировать точку, симметричную ортоцентру относительно центра описанной окружности. Она проходит через точки: инцентр, ортоцентр, центр описанной окружности, точку Лонгчампа (Longchamps point) X(20), другие точки, а также через вершины A, B, C, через центры вневписанных окружностей, через антиподы вершин A, B, C на описанной окружности. Она проходит через ортоцентр и центр описанной окружности. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) кубика Дарбу значится как K004^[17].
• Кубика Лукаса. Она проходит через точки: центроид, ортоцентр, точку Жергонна, точку Нагеля, точку Лонгчампа (Longchamps point) X(20), вершины антидополнительного треугольника и через фокусы описанного эллипса Штейнера и другие. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) кубика Лукаса значится как K007^[18].
• Кубика Мак-Кэя получится, если в качестве фиксированной точки взять центр описанной окружности. Она также проходит через ортоцентр и центр описанной окружности.
• Кубика Наполеона-Фейербаха. Она проходит через точки: инцентр, ортоцентр, центр описанной окружности, точку Жергонна, точку Нагеля, точку Лонгчампа (Longchamps point) X(20), первую и вторую точки Наполеона, другие точки, а также через вершины A, B, C, а также через центры вневписанных окружностей, проекции центроида на высоты, центры шести равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC (внешним или внутренним образом). В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) кубика Наполеона-Фейербаха значится как K005^[19].
• Кубика Нейберга — множество таких точек , что  — прямой Эйлера (зафиксирована её бесконечно удалённая точка). На этой кубике лежит более 15 замечательных точек, в частности, точки Торричелли, Аполлония, ортоцентр, центр описанной окружности, вершины правильных треугольников, построенных на сторонах (внешним или внутренним образом), точки, симметричные вершинам относительно сторон, две точки Ферма, две изодинамические точки, бесконечную точку Эйлера(Euler infinity point), а также лежащие на всех кубиках центры вписанной и вневписанных окружностей. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) кубика Нейберга значится как K001^[20].

• Кубика Томсона получается, если в качестве фиксированной точки выбрать центроид. Кубика Томсона проходит через центроид, точку Лемуана, ортоцентр, центр описанной окружности, середины сторон и середины высот вершины A, B, C, через центры вневписанных окружностей. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) кубика Томсона значится как K002^[21].

• Первая кубика Брокара. Она проходит через точки: центроид, точку Лемуана, точку Штейнера X(99), две изодинамические точки, точку Парри и другие, а также через вершины 1-го и 3-го треугольников Брокара. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) первая кубика Брокара значится как K017^[22].
• Вторая кубика Брокара. Она проходит через точки: центроид, точку Лемуана, две точки Ферма, две изодинамические точки, точку Парри и другие, а также через вершины 2-го и 4-го треугольников Брокара. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) вторая кубика Брокара значится как K018^[23].
• Первая кубика равных площадей (1st equal areas cubic). Она проходит через точки: инцентр, точку Штейнера X(99), первую и вторую точки Брокара, центры вневписанных окружностей треугольника. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) первая кубика равных площадей значится как K021^[24].
• Вторая кубика равных площадей (2nd equal areas cubic). Она проходит через точки: инцентр, другие точки, а также через следующие точки в обозначениях энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга: X(31), X(105), X(238), X(292), X(365), X(672), X(1453), X(1931), X(2053) и другие. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) вторая кубика равных площадей значится как K155^[25].

Соотношения в треугольнике[править | править вики-текст]

Примечание: в данном разделе , ,  — это длины трёх сторон треугольника, и , ,  — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы).

Неравенство треугольника[править | править вики-текст]

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами:

• ;
• ;
• .

Неравенство треугольника является одной из аксиом метрики.

Теорема о сумме углов треугольника[править | править вики-текст]

Тригонометрические тождества только с углами[править | править вики-текст]

Три положительных угла α, β и γ, каждый из которых меньше 180°, являются углами треугольника тогда и только тогда, когда выполняется любое одно из следующих соотношений:

(первое тождество для тангенсов)

Замечание. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).

^[26]

(второе тождество для тангенсов)

(первое тождество для синусов)

^[26] (второе тождество для синусов)

^[27] (тождество для косинусов)

(тождество для отношения радиусов)

Основные теоремы о треугольниках[править | править вики-текст]

Теорема синусов[править | править вики-текст]

,

где  — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Из теоремы следует, что если , то .

Теорема косинусов[править | править вики-текст]

.

Является обобщением теоремы Пифагора.

• Замечание. Теоремой косинусов также называют следующие две формулы, легко выводимые из основной теоремы косинусов (см. с. 51, ф. (1.11-2))^[28].

,

.

Теорема о проекциях[править | править вики-текст]

См. с. 51, ф. (1.11-4)^[29].

Теорема тангенсов[править | править вики-текст]

Другое название: формула Региомонтана.

Теорема котангенсов[править | править вики-текст]

Прочие соотношения[править | править вики-текст]

Метрические соотношения в треугольнике приведены для :

Где:

• , и  — стороны треугольника,
•  — отрезки, на которые биссектриса делит сторону ,
•  — медианы, проведённые соответственно к сторонам , и ,
•  — высоты, опущенные соответственно на стороны , и ,
•  — радиус вписанной окружности,
•  — радиус описанной окружности,
•  — полупериметр,
•  — площадь,
•  — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
• Для любого треугольника, у которого стороны связаны неравенствами , а площадь равна , длины срединных перпендикуляров или медиатрис, заключенных внутри треугольника, опущенных на соответствующую сторону (отмеченную нижним индексом), равны^{[30]:Corollaries 5 and 6}:

and

Радиусы вписанной и описанной окружностей[править | править вики-текст]

Следующие формулы включают радиусы описанной R и вписанной r окружностей:

,

где  — полупериметр треугольника, h_a и т. д. высоты, проведенные к соответствующим сторонам;^[31]:p.79

^[27]

и

.

Произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты к третьей стороне, умноженной на диаметр описанной окружности.^[31]:p.64:

.

Решение треугольников[править | править вики-текст]

Вычисление неизвестных сторон и углов треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы.

Площадь треугольника[править | править вики-текст]

1. , так как , то:
2. 
3. 
4. 
5.  — формула Герона
6. 
7. 
8. 
9. ориентированная площадь треугольника.
10.  — см. Аналоги формулы Герона

Частные случаи

1.  — для прямоугольного треугольника
2.  — для равностороннего треугольника

Обозначения

Другие формулы[править | править вики-текст]

• Существуют другие формулы, такие, как например,^[32]

для угла α ≠ 90°.

• В 1885, Бейкер (Baker)^[34] предложил список более ста формул площади треугольника. Он, в частности, включает:

.

Неравенства для площади треугольника[править | править вики-текст]

Для площади справедливы неравенства:

и

где в обоих случаях равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный).

Формулы площади треугольника в декартовых координатах на плоскости[править | править вики-текст]

Обозначения

•  — координаты вершин треугольника.

Общая формула площади треугольника в декартовых координатах на плоскости[править | править вики-текст]

В частности, если вершина A находится в начале координат (0, 0), а координаты двух других вершин есть B = (x_B, y_B) и C = (x_C, y_C), то площадь может быть вычислена в виде ¹⁄₂ от абсолютного значения определителя

Последнюю формулу площади треугольника в английской литературе именуют формулой площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формулой (surveyor’s formula^[38]), или формулой площади Гаусса.

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов[править | править вики-текст]

Пусть вершины треугольника находятся в точках , , .

Введём вектор площади . Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

Положим , где , ,  — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом

и аналогично

Площадь треугольника равна .

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

Вычисление площади треугольника через комплексные декартовы координаты его вершин[править | править вики-текст]

Если обозначить комплексные декартовы координаты (на комплексной плоскости) вершин треугольника соответственно через a = x_A + y_Ai, b = x_B + y_Bi и c = x_C + y_Ci и обозначить их комплексно сопряженные точки соответственно через , и , тогда получим формулу:

что эквивалентно формуле площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формуле (surveyor’s formula^[38]), или формуле площади Гаусса.

Теоремы о треугольниках[править | править вики-текст]

История изучения[править | править вики-текст]

Свойства треугольника, изучающиеся в школе, за редким исключением, известны с античности.

Теорема Чевы была доказана в XI веке арабским учёным Юсуфом аль-Мутаманом ибн Худом, однако его доказательство было забыто. Она была доказана вновь итальянским математиком Джованни Чевой в 1678 году.

Дальнейшее изучение треугольника началось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636), открыты некоторые свойства точки Торричелли (1659). В XVIII веке была обнаружена прямая Эйлера и окружность шести точек (1765). В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. В начале XIX века была открыта точка Жергонна.

Многие факты, связанные с треугольником, были открыты в конце XIX века. К этому времени относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нейберга, Пьера Сонда́.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

• Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0.
• А. Г. Мякишев. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.

Ссылки[править | править вики-текст]

• Расчёт элементов треугольника
• Расчёт параметров треугольника по координатам его вершин

Что такое площадь треугольника

Математически это выглядит так:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(S=frac12atimes h)

где a — основание треугольника, а h — его высота.

Способы нахождения площади

Но существуют также и другие способы, по которым можно найти S этого многоугольника. Рассмотрим основные из них.

Через две стороны и угол

Если вам известны две стороны любого треугольника и угол между ними, найти площадь можно по формуле:

(S=frac12atimes btimessinalpha)

где a и b — стороны фигуры, а α — угол между ними.

Через радиус описанной окружности и три стороны

Если вам известен радиус окружности, которая описана вокруг вашего треугольника, а также все его стороны, можно вычислить S следующим образом:

(S=frac{atimes btimes c}{4times R})

где a, b и c — стороны фигуры, а R — радиус описанной окружности.

Через радиус вписанной окружности и три стороны

В случае, если вам известны все три стороны и радиус вписанной в треугольник окружности, можно найти его площадь по формуле:

(S=rtimesfrac{a+b+c}2)

где r — радиус вписанной окружности, (frac{a+b+c}2) — полупериметр фигуры.

Таким образом, формулу можно выразить всего двумя множителями:

(S=rtimes p)

где p — полупериметр треугольника.

Через сторону и два угла

Если в данной фигуры вам известна лишь одна сторона и две прилегающих к ней угла, ее S можно найти следующим образом:

(S=frac12times a^2timesfrac{sinalphatimessinbeta}{singamma})

причем (gamma=180^circ-(alpha+beta))

Для прямоугольного треугольника

В случае треугольника с прямым углом формулы для нахождения площади будут немного отличаться. Найти S можно будет несколькими способами.

По двум сторонам

Если вам известны оба катета данной фигуры, рассчитать S можно умножив их друг на друга, а потом разделив на пополам:

(S=frac{atimes b}2)

где a и b — катеты прямоугольного треугольника.

Через гипотенузу и острый угол

Зная длину гипотенузы и величину одного из острых углов, мы можем найти один из его катетов по определению косинуса. И уже потом можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через две стороны и синус угла между ними.

Начнем с поиска катета:

(cosleft(alpharight)=frac ac)

(a=ctimescosleft(alpharight))

где c — гипотенуза треугольника, a — его катет, а α —  угол между ними.

Подставляем получившееся значение в формулу (S=frac12atimes ctimessinalpha), получается:

(S=c^2timescosleft(alpharight)timessinleft(alpharight))

Через катет и прилежащий угол

В этом случае нужно будет использовать следующую формулу:

(S=frac12times a^2timestanleft(alpharight))

Через радиус вписанной окружности и гипотенузу

Зная радиус вписанной в данную фигуру окружности и гипотенузу, мы можем использовать следующее уравнение для расчета:

(S=rtimes(r+c))

где r — радиус вписанной окружности, c — гипотенуза.

Через вписанную окружность

Радиус, опущенный в точку касания окружности и гипотенузы прямоугольного треугольника, делит эту гипотенузу на неравные отрезки. Если нам известны величины этих отрезков, мы можем найти площадь фигуры по формуле:

(S=с_1times с_2)

где (с_1) и (с_2) — неравные отрезки гипотенузы.

По формуле Герона

Если мы знаем длины всех сторон данного многоугольника, мы можем рассчитать S по формуле Герона:

(S=(p-a)times(p-b))

где (p=frac{a+b+c}2) — полупериметр фигуры.

Для равнобедренного треугольника

Рассмотрим случаи нахождения площади, если у треугольника равные боковые стороны.

Через основание и сторону

 В этом случае формула будет выглядеть следующим образом:

(S=frac b4sqrt{4a^2-b^2})

где a — одно из боковых ребер фигуры, а b — ее основание.

Через основание и противолежащий угол

Зная длину основания и противолежащий ему угол, мы можем использовать следующую формулу:

(S=frac{b^2}{4tanleft({displaystylefracbeta2}right)})

где b — основание многоугольника, β — противолежащий ему угол.

Через основание и высоту

Если нам известна величина основания равнобедренного треугольника, а также его высота, найдем S по приведенной ниже по элементарной формуле:

(S=frac{btimes h}2)

где b — основание фигуры, а h — высота, проведенная к этому основанию.

Через боковые стороны и угол между ними

Если мы знаем длину боковых сторон и угол между ними, найдем площадь, опираясь на расчеты:

(S=frac12a^2timessinleft(betaright))

где a — это боковое ребро, β — угол между равными ребрами.

Через основание и угол между боковыми сторонами

В этом случае нам сначала придется найти высоту по формуле:

(h=frac b2tanleft(betaright))

где β — угол при вершине, а b — основание.

Далее подставляем значение в формулу

(S=frac{btimes h}2 = frac{btimes{displaystylefrac b2}tanleft(betaright)}2=frac{b^2tanleft(betaright)}4)

Итоговая формула:

(S=frac{b^2tanleft(betaright)}4)

Для равностороннего треугольника

В треугольнике, у которого все стороны равны, способы нахождения S также имеют свою специфику.

Через радиус описанной окружности

Если вокруг данного многоугольника описали окружность и нам известен ее радиус, расчеты будут такими:

(S=frac{3sqrt3R^2}4)

где R — радиус описанной окружности.

Через радиус вписанной окружности

В этом случае воспользуемся таким уравнением:

(S=3sqrt3r^2)

где r — радиус вписанной в многоугольник окружности.

Через сторону

Зная лишь одно ребро у равностороннего треугольника, мы можем найти S:

(S=frac{sqrt3a^2}4)

где a — сторона фигуры.

Через высоту

Если нам известна только высота, можем вычислить S таким образом:

(S=frac{h^2}{sqrt3})

Примеры решения задач

Разберемся с нахождением площади треугольника наглядно на примере некоторых случаев.

Задача 1

В треугольник вписана окружность с радиусом 6 см. Известно, что его стороны равны 10 см, 12 см и 14 см. Определить площадь фигуры.

Решение

Для расчета будем использовать формулу (S=rtimesfrac{a+b+c}2) или (S=rtimes p). Подставляем имеющиеся значения и получается:

(S=6timesfrac{10+12+14}2=6times18=108) (см^2)

Ответ: (108) (см^2).

Задача 2

Дан равносторонний треугольник, вокруг которого описали окружность с радиусом 3 см. Посчитать S данной фигуры.

Решение

Считать будем, опираясь на следующее уравнение (S=frac{3sqrt3R^2}4). Подставляем данные величины и получаем:

(S=frac{3sqrt33^2}4=frac{27sqrt3}4 см^2)

Ответ: (frac{27sqrt3}4 см^2.)

Задача 3

Известно, что у равнобедренного треугольника основание равно 4 см, а стороны по 3 см. Нужно вычислить площадь фигуры.

Решение

Для расчета S используем формулу (S=frac b4sqrt{4a^2-b^2}). Получается:

(frac44sqrt{4times3^2-4^2}=sqrt{36-16}=sqrt{20}=2sqrt5 см^2)

Ответ: (2sqrt5 см^2.)

Задача 4

Дан треугольник с прямым углом, у которого гипотенузы равна 2 см, а один из острых углов равен (30^circ). Узнать S данной фигуры.

Решение

Для расчетов будем ориентировать на следующее уравнение: (S=c^2timescosleft(alpharight)timessinleft(alpharight)). Подставляем известные значения:

(S=2^2timesfrac{sqrt3}2timesfrac12=sqrt3 см^2)

Ответ: (S=2^2timesfrac{sqrt3}2timesfrac12=sqrt3 см^2).