Содержание
- Определение
- Введение
- Теорема
- Формула
- Пример
- Доказательство
- Заключение
Определение
Площадь треугольника через синус — это площадь треугольника,
выраженная через две любые стороны треугольника и синус угла между ними.Синус угла — это число, которое используется для нахождения
разных величин в треугольниках, его можно найти в специальных таблицах.
Введение
Площадь треугольника кроме половины произведения высоты
на основания, можно также найти и другим способом.
Мало кто знает, но через синусы углов можно найти обычно
не только стороны, но и площадь любого треугольника!
Площадь треугольника выраженная без синуса численно равна
половине произведения двух сторон друг на друга
на синус угла между ними.
Площадь треугольника через синус ищется только в том случае,
если по другой формуле площадь треугольника найти нельзя.
Теорема
( S = frac{1}2 * BC * AC * sin angle BCA )
Площадь произвольного треугольника равна полусумме
произведения двух любых сторон треугольника друг на друга,
и на синус угла между этими сторонами.
Формула
[ S = frac{1}2 * a * b * sin α ]
Где a, b — две стороны треугольника, синус α — синус угла α.
Пример
Для примера, возьмем треугольник omk, изображенный на рисунке 1, со сторонами om, mk, ok.
Известно, что mk равен 6, ok равен 8, синус угла okm равен 1/4.
Нужно найти площадь треугольника omk.
Дано: △omk, mk = 6, ok = 8, sin okm = 1/4.
Найти: S △omk — ?
Решение:
1) ( S = frac{1}2*a*b*sin α )( implies )( S = frac{1}2*mk*ok*sin okm )
2) S = 1/2 * 6 * 8 * 1/4 = 1/2 * 6 * 8 * 0.25 = 1/2 * 48 * 0.25 = 1/2 * 12 = 6
Ответ: Площадь треугольника omk равна 6.
Доказательство
Докажем, что площадь произвольного треугольника
равна полусумме произведения двух любых сторон
друг на друга, и на синус угла между этими сторонами.
Чтобы вам наглядно было видно, как мы доказываем,
используем один из известнейших треугольников — египетский треугольник.
Высота в египетском треугольнике равна длине одного из катетов.
Построим прямоугольный треугольник, изображенный на рисунке 2,
со сторонами 3,4,5 с одним из углов 90 градусов.
Первым делом найдем площадь обычной формулой,
затем с помощью синуса. Площадь равна половине
основания на высоту — ½3*4 = 6. Теперь найдем с
помощью синуса: ½3*4*sin90 = 6 * 1 = 6. Как видим,
полученные значения площадей сходятся, соответственно
через синус можно найти площадь треугольника ч.т.д.
Теперь, чтобы найти площадь треугольника нам не нужно
знать основание и высоту, можно знать только
две стороны и синус угла между ними.
Заключение
В заключение, можно сказать, что площадь
треугольника можно найти разными способами.
Например, в прямоугольном треугольнике площадь
рассчитать легче чем в любом другом треугольнике,
так как высота уже известна. Именно поэтому,
в школьном курсе, отчасти так подробно изучаются
прямоугольные треугольники. В Древнем Египте были
распространены прямоугольные треугольники со
сторонами 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13. Длины этих прямоугольных
треугольников треугольников целые, что значительно,
упрощало разного рода вычисления.
Формулу площади треугольника делает универсальной то,
что она может применена к абсолютно любым треугольникам.
Главное, чтобы были известные две стороны,
и угол или синус угла между ними.
Формула площади треугольника через синус — универсальна,
поэтому может быть применена к любым видам треугольников.
Содержание:
- Формулы
- Примеры вычисления площади треугольника
Формулы
Первый способ. Чтобы найти площадь треугольника, надо найти полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними (рис. 1).
То есть если известны длины двух сторон треугольника
$ABC$, которые равны
$a$ и
$b$, а также угол
$alpha$ между этими сторонами, то искомая площадь:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a b sin alpha$$
Второй способ. Чтобы найти площадь треугольника, нужно сторону умножить на высоту, проведенную к этой стороне (рис. 2),
и полученное произведение поделить на два. То есть если сторона треугольника
$ABC$ равна
$a$, а длина высоты, проведенной к этой стороне
– $h_{a}$, то имеет место формула:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a h_{a}$$
Третий способ. Чтобы найти площадь треугольника
$ABC$, если известны длины всех его трех сторон
$a$,
$b$ и
$c$, нужно воспользоваться формулой Герона:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
где $p=frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр.
Четвертый способ. Чтобы найти площадь треугольника
$ABC$, нужно радиус
$r$ вписанной в этот треугольник окружности умножить на полупериметр
$p$ треугольника:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=r p$$
Пятый способ. Чтобы найти площадь треугольника со сторонами
$a$,
$b$ и
$c$, нужно произведение этих сторон поделить на четыре радиуса
$R$, описанной около треугольника окружности:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{a b c}{4 R}$$
Примеры вычисления площади треугольника
Пример
Задание. Найти площадь треугольника
$ABC$, если известны длины двух его сторон 3 см и 5 см
соответственно, а также угол между этими сторонами, который равен
$30^{circ}$.
Решение. Искомая площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то есть
$begin{aligned} mathrm{S}_{Delta A B C}=& frac{1}{2} a b sin alpha=frac{1}{2} cdot 3 cdot 5 cdot sin 30^{circ}=\ &=frac{15}{2} cdot frac{1}{2}=frac{15}{4}left(mathrm{cm}^{2}right) end{aligned}$
Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{15}{4}$ (см2)
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Чему равна высота треугольника
$ABC$, проведенная к стороне длины 2 см, если площадь
этого треугольника равна 6 см2 ?
Решение. Так как площадь треугольника в два раза меньше произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a h_{a}$$
то отсюда получаем, что искомая высота
$h_{a}=frac{2 mathrm{S}_{Delta A B C}}{a}=frac{2 cdot 6}{2}=6$ (см)
Ответ. $h_{a}=6$ (см)
Читать дальше: как найти площадь прямоугольного треугольника.
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Как найти площадь треугольника с прямыми углами при условии, что длина его
катета составляет 5 сантиметров, а гипотенузы – 13 сантиметров?
Длина катета (а) = 5 см.
Длина гипотенузы (с) = 13 см.
Используя теорему Пифагора, определим длину второго катета:
в² = с² -а² = 169 – 25 = 144
в = 12
Рассчитать площадь прямоугольного треугольника можно по формуле:
S = 0,5ав = 0,5*5*12 = 30
Ответ: S прямоугольного треугольника равна 30 кв.см.
Как найти площадь треугольника?
Для того чтобы вычислить площадь (S) треугольника, следует произвести
умножение длины его основания (а) на длину высоты к основанию (h), а затем
разделить полученное число пополам:
S=1/2 (а*h)
Как найти площадь треугольника при условии, что длина каждой его стороны
является известной величиной?
Если длина каждой стороны треугольника известна, то вычислить его площадь
(S) можно, используя формулу Герона:
S= √ (p * (p – a)*(p – b)*(p – c))
a,b,c – длина каждой из трех сторон;
р – полупериметр треугольника, который равен сумме длин всех сторон,
разделенной на 2.
Как найти площадь треугольника, зная 3 точки: А(1;8), В(7;8) и С(6;6)?
По условию задачи известны 3 точки, являющиеся вершинами треугольника АВС,
площадь (S) которого нужно вычислить. Это точки А(1;8), В(7;8) и С(6;6).
Две из трех известных точек расположены на прямой, которая параллельна оси
Х, ввиду того что координаты Ya и Yb одинаковы. Это точки А и В. Это
означает, что высота треугольника (h), которая опущена на сторону АВ из
вершины С (6;6), является числом, полученным в результате вычитания из
координаты Ya или Yb координаты Yc:
8-6=2.
Для того чтобы определить длину стороны АВ, нужно от координаты Xb вычесть
координату Xa:
7-1=6.
Теперь можно вычислить площадь треугольника (S):
(1/2)*AB*h = (1/2)*6*2 =6 ед.
Ответ: S = 6 ед.кв.
Как найти площадь треугольника через синус при условии, что известны две
стороны а = 3 и b = 4, а также угол γ= 30°?
Формула расчета площади треугольника (S) через синус применима в случае,
когда известны длины 2-х его сторон и угол, образованный между ними. При
этом следует воспользоваться таблицей синусов, согласно которой синус угла
в 30° = 0,5.
S = (1/2)*3*4*0,5=3.
Ответ: S треугольника = 3 см.кв.
Как найти площадь треугольника через синус, если известно, что длина одной
его стороны равна 12, другой – 16, а синус угла между ними – ¼?
Зная длины двух сторон треугольника и синус угла между ними, можно
рассчитать его площадь. Она будет равна ½ произведений длин его сторон,
умноженной на значение синуса угла между ними:
12*16*0,5*0,25=24.
Ответ: S треугольника = 24 см.кв.
Как найти площадь треугольника АВС, а также вычислить синус его угла А,
зная, что AC=BC=5;AB=6?
Площадь треугольника АВС можно рассчитать, воспользовавшись формулой
Герона:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(8*2*3*3)=√144=12 (ед.²).
Найти синус угла А можно по следующей формуле:
S=12 * АВ * АС * sin∠A
12 * 6 * 5 * sin∠A = 1215 * sin∠A = 12
sin∠A = 1215 = 0,8
Ответ: sin∠A = 0,8.
Как найти площадь треугольника через синус, если длина одной стороны равна 5
см, другой – 12 см, а синус угла, образованного между ними равен 0,2?
Для того чтобы вычислить площадь треугольника (S), зная параметры,
указанные в задаче, следует воспользоваться нижеприведенной формулой:
S= (a b sinα)/2 = (5·12·0,2)/2 =6
Ответ: S треугольника = 6 см.кв.
Как найти синус угла С в треугольнике АВС, если известно, что АВ=ВС=1 и
АС=2?
Для начала нужно убедиться в том, что заданная фигура с параметрами
АВ=ВС=1, АС=2 действительно представляет собой треугольник.
Длины двух сторон треугольника в сумме не могут быть равны или меньше
длине его третьей стороны. В данном случае:
1+1=2, то есть АВ+ВС=АС
Следует помнить, что говорить о фигуре как о треугольнике можно только в
том случае, когда сумма длин двух любых его сторон больше длины третьей
стороны.
Ответ: при заданных параметрах треугольника нет, и вычислить синус угла в
данном случае невозможно.
Как найти синус наибольшего внутреннего угла треугольника АВС, если
известно, что AB=13, BC=14, AC=15?
Сторона треугольника, которая имеет наибольшую длину, является
противоположной его наибольшему углу. В данном случае сторона АС имеет
наибольшую длину (15 см), это значит, что наибольшим углом является угол
В.
Перейдем к построению треугольника.
Нужно провести к стороне ВС высоту АН. Синусом наибольшего угла В является
отношение АН:АВ. Теперь можно вычислить высоту из площади треугольника,
рассчитанной по формуле Герона и равной 84 см:
S=ah:2
h=2S:a
h=ВН=2*84:14= 12
sin B=12:13=0,923
Ответ: sin B = 0,923.
Чему равна площадь треугольника, если две сходственные стороны подобного ему
треугольника, площадь которого 32 см.кв., равны 5 см и 10 см?
В условии говорится о том, что треугольники являются подобными. Также
приведены длины двух сходственных сторон. Эти данные можно использовать,
для того чтобы вычислить коэффициент подобия:
К = 10/5 = 2
Известно, что квадрат коэффициента подобия равен отношению площадей двух
треугольников, являющихся подобными. Это означает, что в заданном случае
площадь второго треугольника в четыре раза превышает площадь первого из
них. Зная это, можно найти площадь первого треугольника следующим образом:
32:4 = 8 см.кв.
Ответ: Площадь первого треугольника – 8 см.кв.
Чему равна площадь треугольника АВС, если он является прямоугольным, и
известно, что катеты равны 2,5 см и 4 см?
Произведение катетов прямоугольного треугольника, разделенное на два,
равно его площади. Для того чтобы дать ответ на поставленный вопрос, нужно
перемножить катеты (2,5*4=10) и разделить полученное число на 2 (10/2=5).
Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 5 см.кв.
Чему равна площадь треугольника, образовавшегося в результате разделения на
два треугольника квадрата, сторона которого равна 4 см?
Для начала нужно рассчитать площадь квадрата:
4*4 = 16 см.кв.
Теперь можно вычислить площадь одного из получившихся в результате
треугольников:
16/2 = 8 см.кв.
Ответ: Площадь треугольника равна 8 см.кв.
Дано: два подобных треугольника, длины двух сходственных сторон которых
равны 3 см и 9 см Площадь одного из треугольников – 9 см.кв. Чему равна
площадь другого треугольника?
Квадраты сходственных сторон двух подобных треугольников относятся как их
площади. Это значит, что:
(9/3)²=х/9,
где х – это площадь треугольника, которую нужно вычислить.
9=х/9,
откуда х=81см.кв.
Ответ: Площадь треугольника – 81 см.кв.
Известна площадь треугольника (208 см), основание которого было разбито
высотой на два отрезка длиной 22 см и 10 см. Чему равна площадь
треугольника, являющегося меньшим из двух образовавшихся?
Сначала нужно найти длину всего основания:
10+22 = 32 см.
Теперь можно вычислить площадь меньшего из двух треугольников:
208 / 32 * 10 = 65 см.кв.
Ответ: Площадь меньшего треугольника составляет 65 см.кв.
Чему равна площадь треугольника через синус, если две его стороны имеют
длины 3 см и 8 см, а угол между ними равен 120?
Для того чтобы рассчитать площадь треугольника, нужно найти
полупроизведение двух его сторон на синус угла, образованного между ними:
S=1/2 * 3*8*sin120=1/2*3*8*cos30=12*√3/2=6√3.
Какова формула расчета площади треугольника?
Площадь треугольника можно найти, если разделить на два число, полученное
в результате умножения высоты (h), опущенной на его основание, на длину
самого основания (а):
S=1/2*(h*a).
Как вычислить площадь треугольника по формуле 3-го класса?
В случае треугольника с прямыми углами, его площадь вычисляется по
формуле:
S=a*b/2,
где а и b – это стороны, которые прилегают к прямому углу.
Во всех остальных случаях рассчитать площадь треугольника можно следующим
образом:
S=a*h/2,
где а – сторона,
h – высота.
Какую формулу нужно использовать, чтобы вычислить площадь треугольника, зная
2 его стороны и угол, образованный между ними?
Для вычисления площади треугольника по длинам двух его сторон и
находящемуся между ними углу, нужно пользоваться формулой:
S = 1a*b*sin γ2.
Возможно ли доказать, что по формуле S= 1/2 Pr можно вычислить площадь
треугольника?
Имеется:
– треугольник АВС;
– О – центр вписанной окружности, точка пересечения биссектрис;
– Н – точка касания окружности на АВ;
– К – точка на ВС;
М – точка на АС.
Нужно провести ОА, ОВ, ОС, а также перпендикулярные радиусы в точки
касания – ОН, ОК, ОМ, ОН=ОК=ОМ=радиус=r. Площадь треугольника АВО будет
равна:
S = 1/2АВ*ОН.
Площадь ВОС рассчитывается так:
S = 1/2ВС*ОК.
Площадь АОС:
S = 1/2АС*ОМ
Площадь заданного треугольника АВС можно найти следующим образом:
S АВС = S АОВ + S ВОС + S АОС = 1/2АВ*ОН+1/2ВС*ОК+1/2АС*ОМ.
Однако ОН=ОК=ОМ=r.
Тогда S АВС = 1/2*r*(АВ+ВС+АС).
Но АВ+ВС+АС= периметр Р, что означает, что
S АВС = 1/2*Р*r.
Как вычислить площадь треугольника при помощи формулы Герона, если дано, что
его стороны равны 6 см, 8 см и 10 см?
Сначала следует произвести расчет полупериметра (р):
р=(6+8+10):2=12 см.
Далее, используя формулу Герона, можно найти площадь треугольника (S):
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(12*6*4*2)=√576=24 см.кв.
Каким образом можно доказать тот факт, что радиус окружности, которая
описана вокруг треугольника, вычисляется по формуле R=a*b*c/4S, где а,b, с –
это стороны треугольника, S – его площадь?
Высота к стороне треугольника находится по формуле b*sin(C). Отсюда можно
найти его площадь S = a*b*sin(C)/2. При этом следует принимать во внимание
теорему синусов, согласно которой c = 2*R*sin(C); или sin(C) = c/(2*R).
Тогда площадь S = a*b*c/4R. Именно это требовалось доказать.
Что представляет собой формула расчета площади треугольника ROF, в случае
если R(0;5),О(0;0),F(2;0)?
Полагаясь на координаты, можно утверждать, что точка R лежит на оси Y и
находится на расстоянии в пять единиц от начала отсчета. При этом точка F
находится на оси X, на расстоянии двух единиц от начала отсчета. Заданный
треугольник является прямоугольным. RO равна 5 единицам длины, FO – двум
единицам длины. В этом случае площадь треугольника ROF равна:
S =RO*FO/2=5*2/2=5(единиц длины)².
Как вычислить площадь треугольника, использовав формулу Герона?
Формула Герона, предназначенная для вычисления площади треугольника,
выгладит так:
S = √(р * (р-а)(p-b)(p-c) ),
где а,b, с – это стороны треугольника,
р – полупериметр, рассчитываемый как Р/2.
Какова формула, по которой можно вычислить площадь треугольника, зная три
стороны и радиус описанной окружности?
Если известны длины трех сторон треугольника (а,b, с), а также радиус
описанной окружности (R), то можно рассчитать площадь треугольника (S) по
следующей формуле:
S = a*b*с/4R.
Как можно найти длину одной стороны треугольника b, используя формулу
расчета его площади S=abc/4R?
В случае необходимости выразить длину одной из сторон треугольника b из
формулы расчета его площади S=abc/4R, нужно произвести умножение всего
выражения на 4R:
S4R=abc.
После этого нужно произвести деление всего на ac:
S4R/ac=b.
Можно ли привести доказательство того, что радиус вписанной в треугольник
окружности (r), рассчитывается по формуле r =2S/a+b+c, в которой а,b, с –
это стороны треугольника, S – его площадь?
В случае соединения вершин треугольника с центром окружности, вписанной в
него, в результате произойдет его деление на 3 треугольника. Радиус в
точке касания будет выступать в роли высоты в каждом из них. Из этого
вытекает формула:
S = pr,
где р – полупериметр.
Возможно ли из формулы S=aha/2, используемой для вычисления площади
треугольника, выразить и вычислить одну из его сторон а, при условии, что
площадь равна 21 см, а высота ha – 7 см?
Ответ на поставленный вопрос выглядит следующим образом:
S=aha/2
a=2S/ha
a=2*21/7=6 см.
Ответ: Длина стороны а равна 6 см.
Какую формулу нахождения площади треугольника следует применять, когда
известно, что три катета равны 3 см, 5 см и 4 см?
Формула S=12 bа для прямоугольного треугольника с двумя катетами (а и b)
и гипотенузой с. В представленной задаче а=3 см, b=4 см, с=5 см. Согласно
таблице Пифагора с²=а²+в². В нашем случае 5²=3²+4², 25=9+16) и S=12*3*4=6
cм. кв.
Какова формула нахождения площади треугольника, длины трех сторон которого
равны 16 см, 24 см и 32 см?
Площадь треугольника можно рассчитать, применяя формулу Герона:
S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
в которой р обозначает полупериметр, вычисляемый как сумма длин всех
сторон треугольника, разделенная на 2: р=(16+24+32)/2=36.
В формуле стороны треугольника обозначены как a, b, c.
S=√36*20*12*4 = 48√15 cм.кв.
S = a*b*c/(4R) – это формула нахождения площади треугольника. В ней a, b и
с – это его стороны, а R – это радиус окружности, которая описана вокруг
данного треугольника. Каким образом можно использовать данную формулу,
чтобы найти площадь треугольника, если а = 11, b = 13, с = 20 и R = 65/6?
Сначала нужно перемножить длины всех сторон треугольника:
a*b*с = 11*13*20 = 2860.
Четыре радиуса окружности равны:
4/(65/6) = 130/3.
Из этого следует, что площадь треугольника будет равна:
S = 2860/(130/3) = 8580/130 = 66 см. кв.
Каковы формулы нахождения площади треугольника?
Существует несколько формул, которыми можно пользоваться для вычисления
площади треугольника:
1. S = 1/2*bh, в которой b – это основание фигуры, а h – проведенная к
нему высота.
2. S = 1/2*ahₐ, где а обозначает длину стороны треугольника, а hₐ –
проведенная к этой стороне высота.
3. Формула Герона: S = √(р * (р-а)(p-b)(p-c) ), в которой стороны
треугольника обозначены как а,b, с. Полупериметр (Р/2) обозначен как р.
4. S=р*r, или полупериметр*радиус вписанной окружности.
5. S= 1/2*ab*sinα, где a и b – это стороны треугольника, α – угол,
образованный между ними.
6. S = (a*b*c) / 4R, в которой радиус описанной окружности обозначен R, а
стороны треугольника – а,b,с.
Прямоугольник, периметр которого равен 40 см, вписан в треугольник со
сторонами 20 см, 34 см и 42 см таким образом, что одна из его сторон лежит
на стороне треугольника, являющейся наибольшей. Чему равны стороны
треугольника?
Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона:
S = √(р * (р-а)(p-b)(p-c)) = √ (48*(48-20)*(48-34)*(48-42)) = 336 см. кв.
Отсюда следует, что высота, проведенная к стороне 42 рассчитывается так:
Н = 2*336/48 = 16.
Верхняя сторона прямоугольника отсекает подобный треугольник (x – сторона
II основанию 42, y – сторона II высоте H = 16), из чего следует очевидная
пропорция (16 – y)/16 = x/42, согласно которой отношение высот равно
отношению оснований. По условию x + y = 20. Решив данную систему двумя
уравнениями с двумя неизвестными, получаем следующее:
х = 84/13; y = 176/13.
Длина большей стороны треугольника равна 16 см. Число 0,4 является
разностью длин двух других его сторон. Чему равны стороны треугольника при
условии, что его периметр равен 0,38 м?
Схема решения задачи:
а (большая сторона треугольника) = 16 см.
b-с = 0,4 см., b = 0,4+с.
Периметр (Р) = 38 см.
16+0,4+с+с = 38 см.
2с = 21,6 см.
с = 21,6/2 = 10,8 см.
b = 10,8+0,4 = 11,2 см.
Каким способом можно доказать то, что два треугольника с равными сторонами
равны между собой при условии, что стороны одного из них равны стороне
другого?
Для равносторонних треугольников характерно равенство длин всех трех
сторон. Если одна его сторона равна а, то и обе другие тоже будут равны а.
Если же все стороны треугольников равны, то это равенство соблюдается по 3
признаку.
Длины двух сторон треугольника с периметром 19 см равны 6 см и 4 см. Чему
равна третья сторона данного треугольника?
Известно, что периметр треугольника является суммой длин всех его сторон и
рассчитывается по формуле:
Р = а+ b+с.
В данном случае:
19 = 6+4+с
19 = 10+с
с = 19-10 = 9 см.
Ответ: Длина третьей стороны треугольника – 9 см.
Наименьшая сторона треугольника имеет длину 5 см. Чему равны другие стороны
этого треугольника при условии, что стороны треугольника, являющегося
подобным ему, равны 8 см, 2 см и 9 см?
Сначала необходимо вычислить коэффициент подобия двух этих треугольников.
Он равен отношению сходственных сторон:
к = 5/2.
Теперь нужно рассчитать длины других сторон первого из треугольников. Одна
из них, которая является сходственной стороне второго из треугольников
длиной 8 см, рассчитывается следующим образом:
8*к = 9*5/2 = 20 см.
Еще одна сторона первого треугольника, сходственная стороне другого из
них, которая имеет длину 9 см, вычисляется так:
9*к = 9*5/2 = 22,5 см.
Три стороны треугольника имеют длины 8 см, 24 см и 22 см. Произведение длин
всех трех сторон подобного треугольника равно 66. Чему равны стороны
подобного треугольника?
Следует найти отношение этих сторон:
4/12/11.
Отношение всех сторон подобного треугольника будет таким же.
Одну из сторон подобного треугольника обозначим 4х, вторую сторону – 12х,
а третью – 11х. В результате получается следующее уравнение:
4х*12х*11х = 66
528х^3 = 66
x^3 = 66:528
x^3 = 0,125
x = корень 3-ей степени из 0,125 = 0,5.
Первая сторона треугольника = 4х = 4*0,5 = 2 см.
Вторая сторона треугольника = 12х = 12*0,5 = 6 см.
Третья сторона треугольника = 11х = 11*0,5 = 5,5 см.
Проверка: 2*6*5,5 = 66 см.
Две стороны треугольника имеют длины 6 см и 8 см. Его медиана, которая
проведена к третьей из сторон, равна √46 см. Чему равна третья сторона
треугольника?
Имеется треугольник АВС, в котором АВ = 6 см, ВС = 8 см, ВD – медиана на
АС = √46 см (2*АВ в квадрате+2*ВС в квадрате-АС в квадрате). √46 см. =
½*√(2*36+2*64-АС в квадрате), каждую часть возводим в квадрат,
4*46=72+128-АС в квадрате, АС в квадрате=16, АС=4.
Ответ: Длина третьей стороны треугольника равна 4 см.
Две из трех сторон треугольника равны 1 см и 3 см. Чему равна третья сторона
этого же треугольника?
Если предположить, что третья сторона треугольника равна 1 см, то в этом
случае не получится соблюсти неравенство 1 см+1 см = 2 см. В этом случае 3
см больше 2 см, а должно быть меньше. Если длина неизвестной стороны равна
2 см, то неравенство снова не соблюдается: 2 см+1 см = 3, тогда 3 см =3
см, чего тоже не может быть ввиду того, что одна из сторон треугольника
обязательно должна быть меньше суммы двух других его сторон. Если принять
длину третьей стороны равной 3 см, то получается 1 см+3 см = 4 см, 3<4. В этом случае неравенство выполняется. 3 см +3 см=6 см, 3<6. Неравенство снова соблюдено. Возьмем за длину третьей стороны 4 см: 3 см+1 см=4 см, 4=4. Неравенство не соблюдено. Это значит, что и последующими числами оно не будет соблюдено.
Ответ: Третья сторона треугольника равна 3 см.
Как узнать площадь треугольника, являющегося прямоугольным?
Для того чтобы рассчитать площадь треугольника (S) с прямыми углами,
следует воспользоваться приведенной ниже формулой:
S = ½* ab,
где a и b – катеты.
Как узнать площадь треугольника с прямыми углами, катеты которого равны 5 см
и 4 см?
Площадь треугольника с прямыми углами равна ½ от произведения его катетов:
S = (5*4)/2=20/2=10 см. кв.
Как узнать площадь треугольника, используя измерения и вычисления?
Для того чтобы получить возможность вычислить площадь треугольника,
необходимо произвести замеры его основания (а) и высоты (h). Тогда площадь
может быть рассчитана по следующей формуле:
S=ah/2.
I. Площадь треугольника через синус
Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.
Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По таблице синусов синус угла в 30° равен 0.5
Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.
| Сторона a= | Сторона b= | Угол γ ° | |
| Ответ: Площадь треугольника = 3.000 |
Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:
Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:
Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол: 
Подставляем данные в формулу 
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.
II. Площадь треугольника через косинус
Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.
Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:
Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.
Пример расчета формулы площади треугольника через косинус
Дан треугольник с известными сторонами a = 3, b = 4, и углом γ= 45°. Для начала найдем недостающую сторону с. По таблице косинусов косинус 45°=0,7. Для этого подставим данные в уравнение, выведенное из теоремы косинусов. 
Теперь используя формулу, найдем площадь треугольника по трем сторонам:
| Сторона a= | Сторона b= | Угол γ ° | |
| Ответ: Площадь треугольника = 4.243 |
Площадь треугольника через синус
Определение
Площадь треугольника через синус — это площадь треугольника,
выраженная через две любые стороны треугольника и синус угла между ними.
Синус угла — это число, которое используется для нахождения
разных величин в треугольниках, его можно найти в специальных таблицах.
Введение
Площадь треугольника кроме половины произведения высоты
на основания, можно также найти и другим способом.
Мало кто знает, но через синусы углов можно найти обычно
не только стороны, но и площадь любого треугольника!
Площадь треугольника выраженная без синуса численно равна
половине произведения двух сторон друг на друга
на синус угла между ними.
Площадь треугольника через синус ищется только в том случае,
если по другой формуле площадь треугольника найти нельзя.
Теорема
( S = frac<1>2 * BC * AC * sin angle BCA )
Площадь произвольного треугольника равна полусумме
произведения двух любых сторон треугольника друг на друга,
и на синус угла между этими сторонами.
Формула
[ S = frac<1>2 * a * b * sin α ]
Где a, b — две стороны треугольника, синус α — синус угла α.
Пример
Для примера, возьмем треугольник omk, изображенный на рисунке 1, со сторонами om, mk, ok.
Известно, что mk равен 6, ok равен 8, синус угла okm равен 1/4.
Нужно найти площадь треугольника omk.
Дано: △omk, mk = 6, ok = 8, sin okm = 1/4.
Найти: S △omk — ?
Решение:
1) ( S = frac<1>2*a*b*sin α ) ( implies ) ( S = frac<1>2*mk*ok*sin okm )
2) S = 1/2 * 6 * 8 * 1/4 = 1/2 * 6 * 8 * 0.25 = 1/2 * 48 * 0.25 = 1/2 * 12 = 6
Ответ: Площадь треугольника omk равна 6.
Доказательство
Докажем, что площадь произвольного треугольника
равна полусумме произведения двух любых сторон
друг на друга, и на синус угла между этими сторонами.
Чтобы вам наглядно было видно, как мы доказываем,
используем один из известнейших треугольников — египетский треугольник.
Высота в египетском треугольнике равна длине одного из катетов.
Построим прямоугольный треугольник, изображенный на рисунке 2,
со сторонами 3,4,5 с одним из углов 90 градусов.
Первым делом найдем площадь обычной формулой,
затем с помощью синуса. Площадь равна половине
основания на высоту — ½3*4 = 6. Теперь найдем с
помощью синуса: ½3*4*sin90 = 6 * 1 = 6. Как видим,
полученные значения площадей сходятся, соответственно
через синус можно найти площадь треугольника ч.т.д.
Теперь, чтобы найти площадь треугольника нам не нужно
знать основание и высоту, можно знать только
две стороны и синус угла между ними.
Заключение
В заключение, можно сказать, что площадь
треугольника можно найти разными способами.
Например, в прямоугольном треугольнике площадь
рассчитать легче чем в любом другом треугольнике,
так как высота уже известна. Именно поэтому,
в школьном курсе, отчасти так подробно изучаются
прямоугольные треугольники. В Древнем Египте были
распространены прямоугольные треугольники со
сторонами 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13. Длины этих прямоугольных
треугольников треугольников целые, что значительно,
упрощало разного рода вычисления.
Формулу площади треугольника делает универсальной то,
что она может применена к абсолютно любым треугольникам.
Главное, чтобы были известные две стороны,
и угол или синус угла между ними.
Формула площади треугольника через синус — универсальна,
поэтому может быть применена к любым видам треугольников.
Площадь треугольника по двум сторонам
Выясним, как найти площадь треугольника по двум сторонам.
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Формула площади треугольника по двум сторонам:
Проведем в треугольнике ABC высоту BD.
равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
Рассмотрим треугольник ABD — прямоугольный (так как BD — высота по построению).
По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике,
Если в треугольнике ABC
то в треугольнике ABD
То есть, и в случае тупого угла A выполняется равенство
Формулировка теоремы о площади треугольника:
Доказательство:
Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть в нем сторона BC = a, сторона CA = b и S – площадь этого треугольника. Необходимо доказать, что S = (1/2)*a*b*sin(C).
Для начала введем прямоугольную систему координат и поместим начало координат в точку С. Расположим нашу систему координат так, чтобы точка B лежала на положительном направлении оси Сх, а точка А имела бы положительную ординату.
Если все выполнить правильно, то должен получится следующий рисунок.
Площадь данного треугольника можно вычислить по следующей формуле: S = (1/2)*a*h, где h – это высота треугольника. В нашем случае высота треугольника h равна ординате точки А, то есть h = b*sin(C).
Учитывая полученные результат, формулу площади треугольника можно переписать следующим образом: S = (1/2)*a*b*sin(C). Что и требовалось доказать.
[spoiler title=”источники:”]
http://www.sites.google.com/site/trigonometry121/teorema-o-nahozdenie-plosadi-cerez-sinus
[/spoiler]
По формуле площади треугольника через синус угла
Правило
Формула площади треугольника через синус угла
|
В треугольнике (displaystyle ABC) (displaystyle S_{ABC}=frac{1}{2}cdot red{AB} cdot color {blue}{BC}cdot sin angle color {#339900}{B}{small .}) |
 |
(displaystyle S_{ABC}=frac{1}{2}cdot {AB} cdot {BC}cdot sinangle {ABC}{small .})
Так как (displaystyle AB=15 {small,}) (displaystyle BC=8sqrt{2} {small,}) (displaystyle angle ABC= 45^{circ} {small ,}) то
(displaystyle S_{ABC}=frac{1}{2}cdot {15} cdot {8sqrt{2}}cdot sin 45^{circ}={60sqrt{2}}sin 45^{circ}{small .})
Поскольку (displaystyle sin 45^{circ} =frac {sqrt{2}}{2}{small ,}) то
(displaystyle S_{ABC}={60sqrt{2}}sin 45^{circ}=60sqrt{2}cdot frac {sqrt{2}}{2}=60{small .})
Ответ: (displaystyle 60{small.})
