Как найти площадь треугольника зная среднюю линию

Как найти площадь треугольника зная среднюю линию

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

srednyaya-liniya-treugolnika-i-ploshchadI. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

    [S = frac{1}{2}a cdot {h_a}]

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

    [m = frac{1}{2}a,]

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

    [S = m cdot {h_a}]

Вывод:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

srednyaya-liniya-treugolnika-ploshchadЕсли MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Поскольку

    [MN = frac{1}{2}AC,]

то 

    [frac{{MN}}{{AC}} = frac{{MB}}{{AB}} = frac{{NB}}{{CB}} = frac{1}{2}.]

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то 

    [frac{{{S_{Delta MBN}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = {(frac{1}{2})^2} = frac{1}{4},]

то есть

    [{S_{Delta MBN}} = frac{1}{4}{S_{Delta ABC}}.]

Вывод:

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

    [{S_{Delta MBN}} = frac{1}{4}{S_{Delta ABC}} = frac{1}{4} cdot 40 = 10(c{m^2})]

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

    [{S_{AMNC}} = frac{3}{4}{S_{Delta ABC}} = frac{3}{4} cdot 40 = 30(c{m^2}),]

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Источник

Средняя линия треугольника и его площадь

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

I. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

Если MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

[spoiler title=”источники:”]

http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika

http://www.mozgan.ru/Geometry/AreaTriangle

[/spoiler]

Источник

На чтение 4 мин Просмотров 2.2к. Опубликовано 04.07.2019

Содержание

  1. Содержание
  2. Средняя линия треугольника [ править | править код ]
  3. Свойства [ править | править код ]
  4. Признаки [ править | править код ]
  5. Средняя линия четырёхугольника [ править | править код ]
  6. Свойства [ править | править код ]
  7. Средняя линия трапеции [ править | править код ]

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Содержание

Средняя линия треугольника [ править | править код ]

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника [1] .

Свойства [ править | править код ]

  • средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
  • средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
  • три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.

Признаки [ править | править код ]

  • Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок – средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника [ править | править код ]

Средняя линия четырёхугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства [ править | править код ]

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

  • Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
  • Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
  • Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
  • Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода. Средние линии второго рода — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
  • Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
  • В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции [ править | править код ]

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле: E F = A D + B C 2 <displaystyle EF=<frac <2>>> , где AD и BC — основания трапеции.

07.06.2019

5 июня Что порешать по физике

30 мая Решения вчерашних ЕГЭ по математике

Площадь треугольника ABC равна 176, DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему с коэффициентом подобия Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

I. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

Если MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Источник

Рассмотрим задачу на  подобие, где требуется найти площадь треугольника, средняя линия которого делит его на части.

Утверждение.

Средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 1:3.

nayti ploschad treugolnika, srednyaya liniya kotorogo    Дано: ∆ ABC,

FK — средняя линия

Доказать:

    [{S_{Delta FCK}}:{S_{AFKB}} = 1:3]

Доказательство:

найти площадь треугольника, средняя линия

Рассмотрим ∆ FCK и ∆ ACB

По свойству средней линии треугольника, FK∥AB и FK=1/2 AB.

Отсюда, ∠CFK=∠CAB (как соответственные при FK∥AB и секущей AC).

∠C — общий.

Следовательно, ∆ FCK и ∆ ACB подобны (по двум углам).

Так как площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, то

    [frac{{{S_{Delta FCK}}}}{{{S_{Delta ACB}}}} = frac{{F{K^2}}}{{A{B^2}}} = {(frac{1}{2})^2} = frac{1}{4}.]

Таким образом,

    [{S_{Delta FCK}} = frac{1}{4}{S_{Delta ACB}},]

а так как

    [{S_{AFKB}} = {S_{Delta ACB}} - {S_{Delta FCK}}, Rightarrow {S_{AFKB}} = frac{3}{4}{S_{Delta ACB}}.]

Итак, средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых, соответственно, составляют одну четверть и три четверти от площади исходного треугольника, значит,

    [frac{{{S_{Delta FCK}}}}{{{S_{AFKB}}}} = frac{1}{3}]

Что и требовалось доказать.

Задача.

nayti ploschad treugolnika, esli srednyaya liniya    Дано:

∆ ABC,

F — середина AC,

K — середина BC,

    [{S_{Delta FCK}} < {S_{AFKB}}{rm{ na 12 cm}}{rm{,}}]

Найти:

    [{S_{AFKB}}]

Решение:

Пусть

    [{S_{Delta FCK}} = x(c{m^2}).]

По доказанному выше утверждению,

    [frac{{{S_{Delta FCK}}}}{{{S_{AFKB}}}} = frac{1}{3}]

Значит,

    [{S_{AFKB}} = 3x(c{m^2}).]

Поскольку

    [{S_{Delta FCK}} < {S_{AFKB}}{rm{na12cm}},]

    [3x - x = 12]

    [underline {x = 6} ]

    [{S_{AFKB}} = 3 cdot 6 = 18(c{m^2}).]

Ответ: 18 см².

Источник

Содержание:

  • Формула
  • Примеры вычисления площади равностороннего треугольника

Формула

Чтобы найти площадь равностороннего треугольника (рис. 1), нужно квадрат его стороны умножить на
$sqrt{3}$ и поделить на четыре, то есть

$$mathrm{S}_{Delta}=frac{a^{2} sqrt{3}}{4}$$

Эту формулу легко получить из общей
формулы для площади треугольника

$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a b sin alpha$$

при условии, что $a=b$ (так как треугольник равносторонний) и
$alpha=60^{circ}$ (угол равностороннего треугольника).

Напомним, что треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Примеры вычисления площади равностороннего треугольника

Пример

Задание. Найти площадь равностороннего треугольника
$ABC$, если известно, что его сторона равна 2 дм.

Решение. Подставив заданное значение в формулу, будем иметь:

$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{2^{2} cdot sqrt{3}}{4}=frac{4 cdot sqrt{3}}{4}=sqrt{3}$ (дм2)

Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=sqrt{3}$ (дм2)

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти площадь равностороннего треугольника
$ABC$, если его высота равна 3 м.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 2).

Так треугольник равносторонний, то его высота $BH$ является и
медианой, а это означает, что $AH=HC$ .

Пусть $HC=x$, тогда $AC=2HC=2x=BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник
$BHC$. Записываем для него теорему Пифагора:

$$B C^{2}=B H^{2}+H C^{2}$$
$$(2 x)^{2}=2^{2}+x^{2}$$

Решаем полученное уравнение относительно $x$ :

$4 x^{2}-x^{2}=9 Rightarrow 3 x^{2}=9 Rightarrow x^{2}=3 Rightarrow H C=x=sqrt{3}$ (м)

Отсюда получаем, что

$A C=2 x=2 sqrt{3}$ (м)

А тогда искомая площадь

$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{(2 sqrt{3})^{2} cdot sqrt{3}}{4}=frac{12 sqrt{3}}{4}=3 sqrt{3}$ (м2)

Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=3 sqrt{3}$ (м2)

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Как можно вычислить площадь равсностороннего треугольника?

Согласно формуле, по которой вычисляется площадь S треугольника с равными
сторонами, она равна:

S = √3/4*а, в которой а – это длина стороны фигуры.

Площадь можно также найти следующим образом:

S = a*h/2, где h – это высота.

Высоту можно вычислить, используя теорему Пифагора:

h = а² – (а/2)².

Как можно рассчитать площадь равностороннего треугольника, если известно,
что площадь треугольной фигуры, отсекаемой от него средней линией,
составляет 6 см. кв.?

Обозначим имеющийся треугольник с равными сторонами как АВС. Обозначим
длину стороны как а, и получим, что АВ=ВС=АС=а. Среднюю линию обозначим
как МК. Тогда Sмвк = 6 см. кв.

В случае с равносторонним треугольником:

S = а²√3/4

Зная свойство средней линии треугольника, можно записать следующее
равенство:

МК = АС/2 = а/2.

В этом случае площадь отсекаемого треугольника равна:

Sмвк = (а/2)²*√3/4 = а²√3/16 см.кв.

В условии дано, что Sмвк = 6 см.кв., тогда:

а²√3/16 = 6

а² = 96/√3.

Площадь равностороннего треугольника:

S = а²√3/4 = (96√3)/(4√3) = 96/4 =24 см.кв.

Как можно вычислить площадь равностороннего треугольника при условии, что
его периметр составляет 24 см.?

Найдем сторону равносторонней треугольной фигуры, разделив его периметр на
3:

а = 24:3 = 8 см.

Тогда площадь этой фигуры равна:

S =1/2a²sin 60° = 1/2*64*√3/2 = 16√3 см.кв.

Что представляет собой формула площади равностороннего треугольника?

Обозначив одну из сторон равносторонней треугольной фигуры как а, а
высоту, проведенную к ней, – как h, то формула расчета площади этой фигуры
будет выглядеть так:

S=ah/2.

Принимая во внимание то, что все стороны данной треугольной фигуры равны,
то его высоту можно выразить через сторону и вычислить, используя теорему
Пифагора:

h² = а²-(а/2)² = h² = а²- а²/4 = 3а²/4

h = (а√3)/2

Тогда площадь данной фигуры равна:

S = ½ a* h = ½ a*(а√3)/2 = (a²√3)/4

Как выразить длину стороны а из формулы площади равностороннего
треугольника?

Для расчета площади треугольника, длины всех сторон которого равны,
используется формула:

S=a²√3/4

Перенесем 4 в правую часть равенства:

4S=a²√3.

Тогда:

a² = 4S/√3

а = √4S/√3.

Какая формула используется для вычисления площади равностороннего
треугольника с длиной стороны а?

Если известно, что сторона равносторонней треугольной фигуры равна а, то
его площадь рассчитывается так:

S = а²√3/4.

Каким образом можно привести доказательство теоремы о площади
равностороннего треугольника?

Треугольник имеет два катета – АВ и ВС. Его гипотенуза – ВС. Так как
фигура является равносторонней, то АВ = АС.

Требуется доказать, что площадь треугольной фигуры, стороны которой
одинаковы, равна произведению длин его катетов, разделенному на два.

Превратим имеющийся треугольник в квадрат, проведя перпендикуляр из его
углов, и получим что:

ΔВАС = ΔВСD.

Площадь квадрата равна:

S = а*b.

Диагональ квадрата ВС является гипотенузой треугольника, которая делит
квадрат на 2 равные части. Из этого следует, что площадь треугольника
равна половине площади квадрата. Что и требовалось доказать.

Как вычислить площадь равностороннего треугольника со стороной длиной 9 см.?

Имеется треугольник АВС с равным сторонами.

ВН = 9 см.

Площадь данной фигуры находится по формуле:

S=1/2*АС*ВН,

в которой АС – основание треугольной фигуре, по длине равное любой из
сторон (равносторонний Δ), ВН – высота.

Предположим, что АС = 2а см. Тогда:

АН = АС/2 = ½*2а = а см.

Согласно теореме Пифагора:

АВ² = ВН²+АН².

В данном случае:

(2а)² = 9²+а²

Переносим а² в правую часть уравнения:

4а²-а² = 81

Упрощаем:

3а² = 81.

Отсюда:

а² = 81/3 = 27

а=√27=√9×3=3√3 см.

Теперь можно найти площадь:

S=1/2*9*3√3=1/2*27/√3=27√3/2=13,5√3 см.кв.

Какому числу равна площадь равностороннего треугольника с основанием длиной
6 см.?

Известна формула расчета площади треугольника:

S=1/2*h*b.

Проведем высоту h, которая в равностороннем треугольнике представляет
собой также биссектрису и медиану.

Воспользуемся теоремой Пифагора для вычисления высоты:

h = √(36-9) = √27 см.

Тогда:

S = h*3 = 3√27 см.кв.

Возможно ли привести доказательство того, что площадь равностороннего
треугольника равна √3*a²/4, в которой длина его стороны обозначена как а?

Доказать, что приведенное в задании утверждение является верным, можно,
если превратить имеющуюся треугольную фигуру в параллелограмм/, площадь
которого равна произведению длины стороны и высоты.

Параллелограмм состоит из двух треугольников, которые равны. Это значит,
что площадь одной из треугольных фигур находится так:

S = a*h /2.

Высоту можно выразить через определение синуса.

Все углы в равносторонней треугольной фигуре равны и составляют 60
градусов (180/3).

sin(60) = V3/2.

Из определения синуса следует:

h/a = sin(60).

Это значит, что:

h = a*V3/2.

Значит:

S = a*a*V3/4.

Почему площадь равностороннего треугольника равна a^2√3/4?

Известно, что площадь любого треугольника можно найти по формуле:

S = 1/2*a*b*sinA,

в которой стороны треугольника обозначены как а и b, а угол, образованный
ими, – как А.

Доказано, что каждый угол равносторонней треугольной фигуры составляют 60
градусов (sin60 =sqrt(3)/2), а его стороны имеют одинаковые длины. Если
подставить эти значения в формулу, то получим:

S = a22√3/4.

Как найти площадь равностороннего треугольника при условии, что длина каждой
его стороны составляет 12 см.?

Площадь треугольника с равными сторонами вычисляется по формуле:

S = √3/4*a².

В данном случае:

S= √3/4*12²= √3*144 /4*1 = 36√3 ≈ 62,35 см.кв.

Согласно формуле Герона:

S = √(р(р-а)(р-a)(p-a))

Для данного треугольника:

Р = 12*3 = 36 см.

Р = р/2 = 36/2 = 18 см.

Тогда:

S = √ (18× (18-12)³) = √(18*6³) = √(18×216)=√3888 ≈ 62,35 см. кв.

Как вычислить площадь правильного равностороннего треугольника, зная радиус
круга R?

Площадь треугольника с одинаковыми сторонами считается как:

S = a²√3/4.

Радиус r окружности, которая вписана в данный Δ, равен a√3/6. Значит:

а = 2√3r.

Считаем площадь треугольника:

S = 4*3r²√3/4 = 3√3r².

Радиус R окружности, которая описана около правильной треугольной фигуры,
равен a/√3. Следовательно, а = R√3.

В этом случае:

S = R²*3√3/4 = 3√3R²/4.

Известно, что площадь правильного треугольника равна 100√3 м.кв. Как
вычислить его сторону?

Площадь треугольника равна:

(a²√3)/4.

В данном случае:

100√3=(a²√3)/4

Тогда:

a²√3=400√3.

Находим а:

a²√3 = 400√3

a² = 400

a = 20 см.

Чему равна площадь правильного треугольника при условии, что диаметр
окружности, вписанной в него, = 10 см.?

Если d = 10 см., то r = 10/2 = 5 см.

Известно, что:

r = а√3/6, где а – это длина стороны правильного Δ.

Значит:

5 = а√3/6.

Отсюда:

а = 30/√3 = 10√3 см.

Тогда:

SΔ = a²√3/4 =(10√3)³ *√3/4 = 75√3 см. кв.

Чему равна площадь правильного треугольника со стороной 4 дм.?

Известно, что:

S = 1/2 * a * a sin 60 = 1/2 * 4 * 4 * √3/2 = 4√3 дм.кв.

Площадь также можно найти так:

S = a²√3/4 = 16√3/4 = 4√3 дм.кв.

Как найти площадь правильного треугольника, зная, что длина описанной около
него окружности равна 4Пи см.?

Длина окружности через радиус находится так:

L=2πR.

Значит:

R=L/2π=4π/2π=2 у.е.

Имеем правильный треугольник, значит длина его стороны:

a=R*√3=2√3 у.е.

Можем найти SΔ:

S = √3/4a² = √3/43*3 = 3√3 у.е.кв.

Чему равна площадь правильного треугольника и его стороны, если его высота =
14 см.?

В правильном треугольнике длины всех сторон одинаковы. Это значит, что
каждую из них можно обозначить как х. Тогда:

Р (периметр) = х + х + х = 3х см.

Площадь будет равна:

S = 1/2 h * x = 14/2*x = 7х см.кв.

Как найти площадь правильного треугольника с равными сторонами при условии,
что радиус круга R?

Площадь треугольной фигуры с равными сторонами считается как:

S = a²√3/4.

Радиус окружности, вписанной в этот Δ, составляет a√3/6. Тогда а = 2√3r.

Находим площадь треугольника:

S = 4*3r²√3/4 = 3√3r².

Радиус R окружности, которая описана около правильного Δ, составляет a/√3.
Это означает, что а = R√3.

Теперь можем высчитать площадь треугольника:

S = R²*3√3/4 = 3√3R²/4.

Как найти площадь правильного треугольника при условии, что расстояние от
его центра до вершины составляет 2 м.?

Центр правильно треугольной фигуры также является центральной точкой
описанной около нее окружности. Ее радиус представляет собой расстояние от
центра до вершины фигуры:

а=R√3=2√3

Все углы в правильном треугольнике являются одинаковыми и равны по 60
градусов (180/3).

Площадь треугольной фигуры рассчитывается как:

а²sin60°/2=(2√3)²√3/2/2=6√3 м.кв.

Как найти площадь правильного треугольника, если определено, что сторона
имеет длину, аналогичную длине стороны ромба с диагоналями 10 см. и 12 см.?

Предположим, что BD = 10 см., а АС = 12 см.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся на две равные части, пересекаясь
в определенной точке.

ΔАВО: ∠АОВ = 90°, АО = АС/2 = 6, ВО = BD/2 = 5.

Согласно теореме Пифагора:

АВ = √(АО² + ВО²) = √(36 + 25) = √41.

Треугольник имеет равные стороны, длина каждой из которых аналогична длине
стороны ромба:

а = √41.

Тогда:

SΔ = a²√3/4 = 41√3/4 см.кв.

Как найти площадь правильного треугольника периметром 6 см.?

Если длина стороны правильного треугольника указана, то его площадь
вычисляется следующим образом:

S = a²√3/4.

Согласно определению правильного треугольника, длины всех его сторон
одинаковые. Исходя из этого можно найти его сторону, разделив периметр на
три:

а = 6/3 = 2 см.

Ищем площадь, подставив в равенство значение а:

S = 2²√3/4 = S 4√3/4 = √3 см.кв.

Как найти площадь правильного треугольника при условии, что окружность,
которая вписана в него, имеет радиус длиной 4 см.?

Площадь треугольника, имеющего стороны одинаковой длины, может быть
рассчитана через длину его стороны без применения формулы радиуса
окружности, которая вписана в него. Для данной фигуры верно утверждение о
том, что высота, биссектриса и медиана делятся в точке пересечения в
отношении 2:1. При схематичном изображении можно увидеть, что треугольная
фигура АВС включает 6 треугольников с прямыми углами, которые имеют
одинаковый катет (R) и гипотенузу (АО=ВО=СО). Следовательно, площадь
треугольника АВС будет представлять собой сумму площадей всех 6
треугольников, формирующих его.

Какова формула вычисления площади равностороннего треугольника со стороной
а?

Если сказано, что сторона равносторонней треугольной фигуры равна а, то
его площадь можно найти:

S = a²√3/4.

Как определить, чему равна длина стороны треугольника с равными сторонами,
зная формулу, по которой вычисляется площадь равностороннего треугольника
(S=√3/4 а²) и то, что она равна 9√3см²?

Если S=√3/4 а², то в данном случае S=9√3, что означает: 9√3=√3/4 а².

Выразим а²:

а² = 9√3:√3/4 = 9√3 x 4√3 = 36

а = +-√36 = +- 6.

Так как длина стороны не может быть отрицательным числом, то a = 6 см.

Какой вид имеет формула, которая отражает зависимость площади
равностороннего треугольника от длины его сторон?

Доказано, что равносторонний треугольник имеет равные углы по 60 градусов.
Также известна формула вычисления площади данной фигуры путем умножения
длин двух его сторон и синуса угла, который они образуют:

S = 1/2*a*a*sin 60 = a²√3/4 см.кв.

Чему равна площадь равностороннего треугольника и длина его медианы, если
известно, что его сторона составляет а?

Если указано, что длина стороны равностороннего треугольника составляет а,
то его площадь равна:

S=a²√3/4.

Медиана, проведенная в треугольнике с равными сторонами, также
представляет собой его биссектрису и высоту. Из этого следует, что:

h=a√3/2.

Ответ: Площадь треугольника = a²√3/4 см.кв., его медиана = a√3/2 см.

Как определить площадь равностороннего треугольника со стороной, длина
которой составляет 8√2 см?

В случае с треугольником с равными сторонами, высота представляет собой
также медиану, делящую на две равные части сторону, на которую она
опущена. Если применить в данном случае теорему Пифагора, то высота равна:

h = √((8√2)²-(4√2)²)=4√6 см.

Теперь есть возможность найти площадь:

S = (1/2)*8√2*4√6 = 32√3 см. кв.

Площадь также можно найти по формуле для треугольника с равными сторонами:

S =(√3/4)*a² или S =(√3/4)*128 = 32√3 см. кв.

Дано два равносторонних треугольника, площадь одного из которых превышает
площадь другого в три раза. Чему будет равна сторона второго равностороннего
треугольника, при условии, что сторона первого из них составляет 1 см.?

Для расчета площади треугольника с равными сторонами есть формула:

S = a²√3/4.

Найдем площадь меньшего из треугольников, подставив значение а:

S₁ = 12 √3/4 = √3/4 см.кв.

Известно, что площадь второго треугольника больше площади первой фигуры в
три раза. Тогда:

S₂ = 3√3/4.

Очевидно, что сторона большего треугольника составляет √3 см.

Сторона равностороннего треугольника равна 14 см. Чему будет равна его
площадь, умноженная на √3?

Формула площади для треугольника с равными сторонами:

S = а²*√3/4.

Подставляем значение а:

S = 14²*√3/4 = 49√3 см. кв.

Умножаем полученное число на √3:

49√3*√3 = 49*3 = 147 см.

Читать дальше: как найти площадь круга.

Источник

Добавить комментарий