Как найти площадь треугольной призмы через диагональ

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.

  • Формула площади правильной призмы

    • 1. Общая формула

    • 2. Площадь правильной треугольной призмы

    • 3. Площадь правильной четырехугольной призмы

    • 4. Площадь правильной шестиугольной призмы

  • Примеры задач

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

Sполн. = Sбок. + 2Sосн.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.

Sбок. = Pосн. ⋅ h

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

Площадь поверхности правильной треугольной призмы

Основание: равносторонний треугольник.

Площадь Формула
основание Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
боковая поверхность Sбок. = 3ah
полная Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи

microexcel.ru

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы

Основание: квадрат.

Площадь Формула
основание Sосн. = a2
боковая поверхность Sбок. = 4ah
полная Sполн. = 2a2 + 4ah

microexcel.ru

Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a2. А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a2.

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

Площадь поверхности правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник

Площадь Формула
основание Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
боковая поверхность Sбок. = 6ah
полная Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи

microexcel.ru

Примеры задач

Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:
Вычисление полной площади правильной треугольной призмы

Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см2. Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.

Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:
Вычисление высоты правильной шестиугольной призмы

Зная ребро в основании треугольной призмы, можно сразу вычислить высоту основания, его площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей в равносторонний треугольник, выполняющий роль основания, по стандартным формулам для правильных многоугольников.
h=a/√2
r=a/(2√3)
R=a/√3
S=(√3 a^2)/4

Затем, используя диагональ боковой грани, можно вычислить боковое ребро через сторону основания по теореме Пифагора в получившемся прямоугольном треугольнике, и найти периметр треугольной призмы, который состоит из суммы всех ее боковых ребер и сторон основания.
b=√(d^2-a^2 )
P=3(2a+b)=3(2a+√(d^2-a^2 ))

Площадь боковой поверхности треугольной призмы представляет собой три площади прямоугольников, являющихся боковыми гранями, со сторонами a и b. Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно сложить площадь боковой поверхности треугольной призмы с двумя площадями оснований.
S_(б.п.)=3ab=3a√(d^2-a^2 )
S_(п.п.)=3a√(d^2-a^2 )+(√3 a^2)/4

Чтобы вычислить объем треугольной призмы, нужно умножить площадь равностороннего треугольника, находящегося в ее основании, на боковое ребро, которое по совместительству является высотой призмы.
V=(√(3(d^2-a^2 ) ) a^2)/4

Радиус вписанной в треугольную призму сферы равен радиусу окружности, вписанной в основание, но такая сфера существует, только если высота треугольной призмы, то есть ее боковое ребро, равна диаметру указанной окружности. Радиус сферы, описанной вокруг треугольной призмы, равен по значению стороне основанию призмы, умноженной на корень из 5/6.
r_1=r
R_1=√(5/6) a

На чтение 4 мин Просмотров 65.5к. Опубликовано 13 февраля, 2019

Здесь вы найдёте: Объем правильной треугольной призмы понятие, Объем призмы треугольной формула нахождения, Площадь треугольной призмы

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Содержание

  1. Призма треугольная — определение
  2. Элементы треугольной призмы
  3. Виды треугольных призм
  4. Прямая треугольная призма
  5. Наклонная треугольная призма
  6. Основные формулы для расчета треугольной призмы
  7. Объем треугольной призмы
  8. Площадь боковой поверхности призмы
  9. Площадь полной поверхности призмы
  10. Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
  11. Пример призмы
  12. Задачи на расчет треугольной призмы

Призма треугольная — определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Призма треугольная

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы.

Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы.

Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Треугольная призма - высота и сечение

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

 Объем призмы = площадь основания х высота

или

V=Sосн . h

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

или

Sбок=Pосн.

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

формула определения полной поверхности призмы

так как Sбок=Pосн.h, то получим:

Sполн.пов.=Pосн.h+2Sосн

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы:

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см2, то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см3 . Если площадь основания в мм2, то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм3 и т. д.

Пример призмы

Прямая треугольная призма

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2  · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Наклонная треугольная призма с сечением

Решение: 

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k2 = S122 = 4S1.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.

Призма

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

$С_1Н$ – высота

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$P_{осн}$ – периметр основания;

$S_{осн}$ – площадь основания;

$S_{бок}$ – площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ – площадь полной поверхности;

$h$ – высота призмы.

$S_{бок}=P_{осн}·h$

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$

$V=S_{осн}·h$

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

  1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ – высота, проведенная к стороне $а$
  2. $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ – соседние стороны, $α$ – угол между этими соседними сторонами.
  3. Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ – это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
  4. $S=p·r$, где $r$ – радиус вписанной окружности
  5. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ – радиус описанной окружности
  6. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ – катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ – смежные стороны.

2. Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ – диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ – длина стороны ромба, а $α$ – угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ – основания трапеции, $h$ – высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ – длина стороны.

2. Квадрат

$S=a^2$, где $а$ – сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$S=6·S_{треугольника}={6·a^2√3}/{4}={3·a^2√3}/{2}$, где $а$ – сторона правильного шестиугольника.

Пример:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.

Решение:

Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.

Распишем формулу площади полной поверхности:

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=P_{осн}·h+2S_{ромба}$

В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$

Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

$АВ=√{5^2+12^2}=√{25+144}=√{169}=13$

$Р=13·4=52$

Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

$S_{основания}={d_1·d_2}/{2}={10·24}/{2}=120$

Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:

$S_{п.п}=P_{осн}·h+2S_{ромба}=52·20+2·120=1040+240=1280$

Ответ: $1280$

Цилиндр – это та же призма, в основании которой лежит круг.

$S_{бок}=P_{осн}·h=2πRh$

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=2πRh+2πR^2=2πR(h+R)$

$V=S_{осн}·h=πR^2 h$

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ – средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

$MN {//} AC, MN = {AC}/{2}$

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ – коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

  1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
  2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
  2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ – противолежащий катет; $ВС$ – прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ – противолежащий катет; $АС$ – прилежащий катет.

  1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
  5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
  7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ ${1}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${√3}/{2}$
$cosα$ ${√3}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${1}/{2}$
$tgα$ ${√3}/{3}$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ ${√3}/{3}$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sinα}={b}/{sinβ}={c}/{sinγ}=2R$, где $R$ – радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα;$

$b^2=a^2+c^2-2·a·c·cos⁡β;$

$c^2=b^2+a^2-2·b·a·cosγ.$


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Призма представляет собой объемную (трехмерную) фигуру с двумя параллельными (и равными) гранями.[1]
Две параллельные грани являются треугольниками и называются основаниями. Также в треугольной призме есть три боковые грани. Чтобы найти площадь поверхности треугольной призмы, сначала нужно вычислить площадь боковой поверхности, затем вычислить общую площадь оснований и, наконец, сложить эти площади. Площадь поверхности призмы находится по формуле: SA=L+2B, где SA – площадь поверхности, L – площадь боковой поверхности, B – площадь одного основания.

  1. Изображение с названием Find Surface Area of a Triangular Prism Step 1

    1

  2. Изображение с названием Find Surface Area of a Triangular Prism Step 2

    2

    Вычислите периметр одного основания. Основание представляет собой треугольник, поэтому имеет три стороны. Периметра треугольника вычисляется по формуле: P=a+b+c, где a, b, c – стороны треугольника.[4]
    Не имеет значения, какое основание рассматривать, так как оба основания равны.[5]

    • Например, стороны основания равны 6 см, 5 см и 4 см; чтобы вычислить периметр, нужно сложить три стороны: 6+5+4=15. Таким образом, периметр одного основания равен 15 см.
  3. Изображение с названием Find Surface Area of a Triangular Prism Step 3

    3

    Подставьте периметр основания в формулу для вычисления площади боковой поверхности призмы. Значение периметра подставляется вместо P.

    • Например, L=15h.
  4. Изображение с названием Find Surface Area of a Triangular Prism Step 4

    4

    Подставьте высоту призмы в формулу для вычисления площади боковой поверхности призмы. Высота призмы равна любой стороне боковой грани, которая не принадлежит основанию. Как правило (но не всегда), такой стороной является более длинная сторона боковой грани.

    • Например, если высота призмы равна 9 см, формула запишется так: L=15(9).
  5. Изображение с названием Find Surface Area of a Triangular Prism Step 5

    5

    Перемножьте периметр одного основания и высоту призмы. Получится площадь боковой поверхности призмы (в квадратных единицах). Это первое значение, необходимое для вычисления площади поверхности призмы (вторым значением является площадь основания).

    • Например, 15(9)=135. Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна 135 см2.

    Реклама

  1. Изображение с названием Find Surface Area of a Triangular Prism Step 6

    1

  2. Изображение с названием Find Surface Area of a Triangular Prism Step 7

    2

    Подставьте основание треугольника в формулу для вычисления площади треугольника. Не перепутайте основание с другой стороной треугольника. Основание – это сторона, к которой проведена высота (то есть сторона, перпендикулярная высоте).

    • Например, если основание треугольника равно 6 см, формула запишется так: A={frac  {1}{2}}6h.
  3. Изображение с названием Find Surface Area of a Triangular Prism Step 8

    3

    Подставьте высоту треугольника в формулу для вычисления площади треугольника. Умножьте основание на высоту, а результат разделите на 2. Получится площадь основания (в квадратных единицах). Это второе значение, необходимое для вычисления площади поверхности призмы.

    Реклама

  1. Изображение с названием Find Surface Area of a Triangular Prism Step 9

    1

    Запишите формулу для вычисления площади поверхности призмы. Формула: SA=L+2B, где где SA – площадь поверхности, L – площадь боковой поверхности, B – площадь одного основания.[8]

  2. Изображение с названием Find Surface Area of a Triangular Prism Step 10

    2

    Подставьте площадь боковой поверхности в формулу. Это общая площадь трех боковых граней (то есть площади оснований не учитываются), которая была вычислена в первом разделе. Площадь боковой поверхности подставляется вместо L.

    • В нашем примере площадь боковой поверхности равна 135 см2, поэтому формула запишется так: SA=135+2B.
  3. Изображение с названием Find Surface Area of a Triangular Prism Step 11

    3

    Подставьте площадь основания в формулу. Подставляйте площадь только одного основания, а не сумму площадей двух оснований. Площадь основания подставляется вместо B.

    • В нашем примере площадь основания равна 9,9 см2, поэтому формула запишется так: SA=135+2(9,9).
  4. Изображение с названием Find Surface Area of a Triangular Prism Step 12

    4

    Проведите вычисления. Умножьте площадь основания на 2, а затем к результату прибавьте площадь боковой поверхности. Получится площадь поверхности треугольной призмы (в квадратных единицах).

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 163 917 раз.

Была ли эта статья полезной?

Добавить комментарий