Как найти площадь в прямоугольном равнобедренном треугольнике

Как найти площадь в прямоугольном равнобедренном треугольнике

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый внутренний угол равен 45°:

{displaystyle alpha =beta =45^{circ }={frac {pi }{4}}!,,}

третий внутренний угол — прямой:

{displaystyle gamma =180^{circ }-2alpha =90^{circ }={frac {pi }{2}}!,,}

Внутренние углы имеют соотношение 1 : 1 : 2.

Каждая боковая сторона равна:

{displaystyle a=b={frac {c{sqrt {2}}}{2}}!,,}

а основание равно:

{displaystyle c=a{sqrt {2}}!,,}

стороны соотносятся как 1 : 1 : √2. Боковые стороны являются катетами, основание — гипотенузой.

Высота, опущенная на гипотенузу, равна её половине:

{displaystyle h_{c}={frac {a{sqrt {2}}}{2}}={frac {c}{2}}=R!,,}

где R — радиус описанной окружности.

Периметр[править | править код]

Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника равен

{displaystyle P=a+b+c=a(2+{sqrt {2}})!,.}

Площадь[править | править код]

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна

{displaystyle S={frac {a^{2}}{2}}={frac {c^{2}}{4}}!,.}

Также площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно выразить при помощи формулы Герона:

{displaystyle S={sqrt {p(p-a)^{2}(p-a{sqrt {2}})}}!,,}

где p — полупериметр равнобедренного прямоугольного треугольника:

{displaystyle p={frac {P}{2}}=aleft(1+{frac {sqrt {2}}{2}}right)!,.}

Общие характеристики[править | править код]

Описанная и вписанная окружности[править | править код]

Равнобедренный прямоугольный треугольник, как и все треугольники, является бицентрическим. В нём:

Здесь r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, a — катеты и c — гипотенуза треугольника.

Неправильное покрытие евклидовой плоскости равнобедренными прямоугольными треугольниками

Поляболы с одним-пятью основными символами

Четыре равнобедренных прямоугольных треугольника вместе с другими семью основными фигурами образуют Бермудский треугольник, версию головоломки пазл

Расстояние между центрами вписанной и вписанной окружности d равен радиусу вписанной окружности r и задается уравнением Эйлера:

{displaystyle d^{2}=R(R-2r)={frac {a^{2}}{2}}left(3-2{sqrt {2}}right)!,}
{displaystyle d=r={frac {a}{2}}left(2-{sqrt {2}}right)=a{sqrt {{frac {1}{2}}left(3-2{sqrt {2}}right)}}approx 0,2928932,a!,.}

Равнобедренный треугольник, имеющий равные описанную и вписанную окружность и одинаковые расстояния между их центрами ({displaystyle d=r,}), имеет углы:

{displaystyle alpha =beta =operatorname {arc,tg} {frac {4-{sqrt {2}}}{{sqrt {2}}{sqrt {8{sqrt {2}}-11}}}}approx 72,968751^{circ }!,,}
{displaystyle gamma =180^{circ }-2alpha approx 34,062496^{circ }!,.}

Покрытие евклидовой плоскости[править | править код]

Прямоугольный равнобедренный треугольник является одним из трех треугольников, которые покрывают евклидову плоскость. Только равносторонними треугольниками (треугольник 60-60-60), который является правильным многоугольником, можно правильно покрыть плоскость. Третий треугольник, который неправильно покрывает плоскость, представляет собой прямоугольный треугольник 30-60-90. Эти три треугольника — треугольники Мёбиуса, что означает, что они покрывают плоскость, не перекрываясь, зеркалируя их стороны (см. Треугольная группа).

Полиформы в головоломках[править | править код]

Полиформы, основными фигурами которых являются равнобедренные прямоугольные треугольники, — это поляболы.

Пять равнобедренных прямоугольных треугольников вместе с одним квадратом и одним параллелограммом образуют головоломку пазл.

Источник

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон, образованных путем соединения трех точек на плоскости, не принадлежащих одной прямой.

  • Общие формулы расчета площади треугольника

    • По основанию и высоте

    • Формула Герона

    • Через две стороны и угол между ними

  • Площадь прямоугольного треугольника

  • Площадь равнобедренного треугольника

  • Площадь равностороннего треугольника

    • Через длину стороны

    • Через высоту

  • Примеры задач

Общие формулы расчета площади треугольника

По основанию и высоте

Площадь (S) треугольника равняется половине произведения его основания и высоты, проведенной к нему.

Формула расчета площади треугольника по основанию и высоте

Треугольник с основанием a и высотой h

Формула Герона

Для нахождения площади (S) треугольника необходимо знать длины всех его сторон. Считается она следующим образом:

Формула Герона для расчета площади треугольника по трем сторонам

p – полупериметр треугольника:

Формула расчета полупериметра треугольника

Через две стороны и угол между ними

Площадь треугольника (S) равняется половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.

Формула расчета площади треугольника через две стороны и угол между ними

Треугольник со сторонами a и b и углом α между ними

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь (S) фигуры равняется половине произведения его катетов.

Формула расчета площади прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник с катетами a и b

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь (S) рассчитывается по следующей формуле:

Формула расчета площади равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник

Площадь равностороннего треугольника

Чтобы найти площадь правильного треугольника (все стороны фигуры равны), необходимо воспользоваться одной из формул ниже:

Через длину стороны

Формула расчета площади равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник со стороной a

Через высоту

Формула расчета площади равностороннего треугольника через его высоту

Равносторонний треугольник с высотой h

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь треугольника, если одна из его сторон равна 7 см, а высота, проведенная к ней – 5 см.

Решение:
Используем формулу, в которой участвуют длина стороны и высота:
S = 1/2 ⋅ 7 см ⋅ 5 см = 17,5 см2.

Задание 2
Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 3, 4 и 5 см.

Решение 1:
Воспользуемся формулой Герона:
Полупериметр (p) = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см.

Следовательно, S = √6(6-3)(6-4)(6-5) = 6 см2.

Решение 2:
Т.к. треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный, его площадь можно посчитать по соответствующей формуле:
S = 1/2 ⋅ 3 см ⋅ 4 см = 6 см2.

Источник

Как найти площадь любого треугольника

Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.

Как найти площадь любого треугольника

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

  1. Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
  2. Поделите результат на два.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

  1. Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
  2. Найдите синус угла между выбранными сторонами.
  3. Перемножьте полученные числа.
  4. Поделите результат на два.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a и b — стороны треугольника.
  • α — угол между сторонами a и b.

Зная три стороны (формула Герона)

  1. Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
  2. Найдите произведение полученных чисел.
  3. Умножьте результат на полупериметр.
  4. Найдите корень из полученного числа.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b, c — стороны треугольника.
  • p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

  1. Найдите произведение всех сторон треугольника.
  2. Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • R — радиус описанной окружности.
  • a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • r — радиус вписанной окружности.
  • p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

  1. Посчитайте произведение катетов треугольника.
  2. Поделите результат на два.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

  1. Умножьте основание на высоту треугольника.
  2. Поделите результат на два.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

  1. Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
  2. Поделите результат на четыре.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Читайте также 🧠👨🏻‍🎓✍🏻

  • 7 причин полюбить математику
  • ТЕСТ: Помните ли вы геометрию?
  • 10 хитрых головоломок со спичками для тренировки воображения
  • Интересные математические факты для тех, кто хочет больше узнать о мире вокруг
  • ТЕСТ: Сможете ли вы решить простые математические примеры?

Источник

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

33 133

Как найти площадь треугольника – все способы

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

формула площади прямоугольного треугольника

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Формула площади равнобедренного треугольника

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Формула площади равностороннего треугольника

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Формула площади треугольника по сторонам и синусу угла

Если известны длины трех сторон

Делайте так:

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Площадь треугольника по трем сторонам

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

По сторонам и радиусу описанной окружности

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

По сторонам и вписанной окружности

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

( 32 оценки, среднее 4.44 из 5 )

Оцените статью

ЕЖЕНЕДЕЛЬНАЯ РАССЫЛКА

Получайте самые интересные статьи по почте и подписывайтесь на наши социальные сети

ПОДПИСАТЬСЯ

Источник

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Треугольник с тремя сторонами

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

– полупериметр треугольника; a,b,c – стороны треугольника.

Через основание и высоту

Треугольник с основанием и высотой

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

a – основание треугольника; h – высота треугольника.

Через две стороны и угол

Треугольник с двумя сторонами и углом

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

a,b – стороны треугольника; α – угол между сторонами.

Через сторону и два прилежащих угла

Треугольник со стороной и двумя углами

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<

a– сторона треугольника; α и β – прилежащие углы.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

a, b – катеты треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

a, b – стороны треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Площадь равнобедренного треугольника

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

a – основание равнобедренного треугольника; α – угол между сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

a – сторона равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Площадь равностороннего треугольника

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

h – высота равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

r – радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

r – радиус описанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Площадь треугольника

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

a, b, c – стороны треугольника; r – радиус описанной окружности треугольника.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Площадь треугольника

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

p – полупериметр треугольника;a, b, c – стороны треугольника; r – радиус вписанной окружности треугольника.

Источник

Добавить комментарий