Как найти площадь вписанного правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник – это геометрическая фигура; правильный многоугольник с 6 равными углами и сторонами.

  • Общая формула вычисления площади

  • Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность

  • Примеры задач

Общая формула вычисления площади

Площадь (S) правильного шестиугольника вычисляется по формуле ниже, где a – длина его стороны:

Формула площади правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника

Формула получена следующим образом:

Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников. Площадь каждого рассчитывается так:

Формула площади равностороннего треугольника

Площадь правильного шестиугольника

Следовательно, площадь правильного шестиугольника равна:

Формула площади правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Сторона правильного шестиугольника равняется радиусу окружности, описанной вокруг него (a=r).

Описанная вокруг правильного шестиугольника окружность

Это значит, что формула площади может быть представлена в таком виде (а заменяем на r):

Формула площади правильного шестиугольника

Примеры задач

Задание 1
Сторона правильного шестиугольника равна 8 см. Найдите его площадь.

Решение:
Используем первую формулу, в которой задействована длина стороны:
Вычисление площади правильного шестиугольника

Задание 2
Вычислите площадь правильного шестиугольника, ели радиус описанной вокруг нее окружности равен 15 см.

Решение:
Воспользуемся второй формулой (через радиус окружности):
Вычисление площади правильного шестиугольника

Как рассчитать площадь правильного шестиугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь правильного шестиугольника онлайн. Для расчета задайте длину стороны или радиус окружности.

Шестиугольник – многоугольник у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.

Через сторону


Площадь правильного шестиугольника

a:

Результат


Ответы:

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через сторону:

a – сторона шестиугольника.


Через радиус описанной окружности


Площадь правильного шестиугольника

r:

Результат


Ответы:

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

r – радиус описанной окружности.


Через радиус вписанной окружности


Площадь правильного шестиугольника

r:

Результат


Ответы:

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

r – радиус вписанной окружности.

Калькулятор

На этой странице вы найдете калькуляторы и формулы, которые помогут найти и рассчитать площадь правильного шестиугольника по стороне или радиусам вписанной и описанной окружностей.

Шестиугольник представляет собой многоугольник, к которого все внутренние углы равны 120 градусов, а все стороны равны между собой.

Содержание:
  1. калькулятор площади правильного шестиугольника
  2. формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
  3. формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
  4. формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
  5. формула площади правильного шестиугольника через периметр
  6. примеры задач

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

Площадь правильного шестиугольника через длину стороны

S = dfrac{3 sqrt{3} a^2}{2}

a – длина стороны шестиугольника

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

S = 2 sqrt{3}r^2

r – радиус вписанной окружности

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Площадь правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

S = dfrac{3 sqrt{3} R^2}{2}

R – радиус описанной окружности

Формула площади правильного шестиугольника через периметр

Площадь правильного шестиугольника через периметр

S = dfrac{P^2 sqrt{3}}{24}

P – периметр шестиугольника

Примеры задач на нахождение площади правильного шестиугольника

Задача 1

Найдите площадь правильного шестиугольника, радиус вписанной окружности которого равен 9 см.

Решение

Исходя из того, что из условия задачи нам известен радиус вписанной окружности, мы воспользуемся формулой.

S = 2 sqrt{3}r^2 = 2 sqrt{3} cdot 9^2 = 2 sqrt{3} cdot 81 = 162 sqrt{3} : см^2 approx 280.59223 : см^2

Ответ: 162 sqrt{3} : см^2 approx 280.59223 : см^2

Проверить правильность решения нам поможет калькулятор .

Задача 2

Найдите площадь правильного шестиугольника со стороной равной 1 см.

Решение

Для этой задачи нам подойдет формула.

S = dfrac{3 sqrt{3} a^2}{2} = dfrac{3 sqrt{3} cdot 1^2}{2} = dfrac{3 sqrt{3} cdot 1}{2} = dfrac{3 sqrt{3}}{2} : см^2 approx 2.59808 : см^2

Ответ: dfrac{3 sqrt{3}}{2} : см^2 approx 2.59808 : см^2

Проверим ответ .

Шестиугольник — многоугольник, у которого есть шесть сторон и шесть углов. В правильном заданном
многоугольном геометрическом объекте все стороны равняются друг другу, а углы формируют шесть
равносторонних треугольников.

Площадь правильной фигуры с шестью углами — положительная величина некоторой области плоскости,
занимаемой данным многоугольным геометрическим объектом.

Выделяют ряд методов нахождения площади этого многоугольника, зависимо от его типа.

  • Площадь правильного шестиугольника через длину стороны
  • Площадь правильного шестиугольника через радиус описаной окружности
  • Площадь правильного шестиугольника через радиус вписаной окружности
  • Площадь правильного шестиугольника через длинную диагональ
  • Площадь правильного шестиугольника через короткую диагональ
  • Площадь правильного шестиугольника через периметр

Через длину стороны

Рис 1

По той причине, что выпуклый шестиугольник включает в себя шесть равносторонних треугольников, тогда
формула нахождения требуемой величины через длину стороны выглядит следующим образом:

S = (3√3*)/2

где a — это продолжительность стороны.

Цифр после запятой:

Результат в:

Рассмотрим пример. Пусть длина стороны эквивалентна 8. Тогда, согласно этой формуле, заданную
характеристику замкнутого выпуклого шестиугольника будет примерно равна 166.

Всё достаточно
просто, если сторона заранее известна. Если же эта величина нам не дана, но известен периметр или
апофема — высота одного из шести равносторонних треугольников — тогда длину стороны можно
высчитать.

В случае, если известен периметр, его необходимо поделить на шесть, таким образом получается длина
стороны. К примеру, если периметр равен 36, то, поделив 36 на 6, получается 6 — это и есть
протяжённость стороны.

Если известна лишь апофема, тогда можно посчитать длину стороны, подставив апофему в формулу b = x√3 и умножив ответ на 2. Всё это потому, что апофема — это сторона
x√3 составляемого ей треугольника с углами 30, 60 и 90 градусов. К примеру, если апофема 11√3, то
x = 11, а протяжённость стороны будет эквивалентна 22.

Через периметр

Рис 6

Если при изучении правильной фигуры с шестью углами нам известен только его периметр, несложно
рассчитать площадь этой фигуры по такой формуле:

Цифр после запятой:

Результат в:

S = (3√3*(p/6)²)/2

где p — это периметр фигуры.

Допустим, если периметр будет равняться 24, тогда площадь будет примерно эквивалентна 42. Если в
качестве периметра возьмём число 50, тогда площадь фигуры окажется 180.

Через длинную диагональ

Рис 4

Длинная или большая диагональ шестиугольника — это диаметр описанной вокруг него плоской кривой, как
правило, она равняется двум его сторонам.

Цифр после запятой:

Результат в:

Используем такое выражение для подсчёта площади подобного правильного многоугольного геометрического
объекта через длинную диагональ этого множества точек:

S = (3√3*)/8

где D — это длинный отрезок, соединяющий несмежные вершины.

К примеру, если D = 6, тогда заданная характеристика замкнутого выпуклого
многоугольника будет приблизительно равна 23. Если в качестве длинной диагонали возьмём 8, тогда
величина будет примерно эквивалентна 42.

Через короткую диагональ

Рис 5

Меньшая или короткая диагональ правильного шестиугольника в √3 раз длиннее его стороны, также она
образует с ней прямой угол.

Цифр после запятой:

Результат в:

Если известна короткая диагональ такого выпуклого многоугольника, то с её помощью можно найти площадь
этой фигуры следующим образом:

S = (√3*)/2

где D — это протяжённость короткого отрезка, соединяющего несмежные
вершины.

К примеру, если длина такой диагонали будет равна 14, тогда необходимая характеристика фигуры будет
примерно равняться 170. Если же в качестве D мы возьмём 2, тогда величина
окажется всего лишь 3.

Через радиус описанной окружности

Рис 2

Шестиугольник считается правильным многоугольником, ведь все его стороны и углы эквивалентны друг
другу. Соответственно, около такого многоугольника можно описать окружность.

Чтобы найти площадь выпуклого многоугольника через радиус описанной окружности, необходимо
воспользоваться такой формулой:

S = (3√3*)/2

где R — это отрезок, соединяющий центр и любую точку описанной замкнутой
плоской кривой.

Цифр после запятой:

Результат в:

К примеру, если отрезок, соединяющий центр и любую точку, равняется 5, тогда заданная характеристика
замкнутой фигуры будет примерно равна 65. Если же в качестве радиуса возьмём число 12,
соответственно, заданная характеристика замкнутой фигуры получится примерно 374.

Через радиус вписанной окружности

Рис 3

Шестиугольник считается правильным многоугольником, ведь все его стороны и углы равны друг другу.
Соответственно, во всякий шестиугольник можно вписать окружность.

Формула для расчёта площади следующего выпуклой фигуры с шестью углами через радиус вписанной
окружности будет выглядеть следующим образом:

S = √3*

где r — это отрезок, соединяющий центр и любую точку вписанной замкнутой
плоской кривой.

Цифр после запятой:

Результат в:

К примеру, если этот отрезок, соединяющий центр и любую точку, равен 14, тогда необходимая величина
этого множества точек будет примерно равна 679. Если в качестве отрезка, соединяющего центр и любую
точку, возьмем 4, тогда площадь будет приблизительно равна 55.

Что такое правильный шестиугольник

Этот многоугольный геометрический объект имеет определённые свойства:

  • Каждый угол этой фигуры равняется 120 градусам;
  • Вокруг правильного шестиугольника можно описать окружность, причем единственную, а её радиус
    равняется его стороне;
  • Большие диагонали такого выпуклого многоугольника разделяют его на шесть равносторонних
    треугольников, высота каждого равняется радиусу вписанной в выпуклый многоугольник окружности;
  • Центры вписанной и описанной окружностей около подобного выпуклого многоугольника — это точка
    пересечения больших диагоналей этого множества точек.

Эта фигура очень часто встречается в природе, технике и культуре. К примеру:

  • Пчелиные соты изображают разделение плоскости на выпуклые шестиугольники;
  • Некоторые сложные молекулы углерода имеют гексагональную кристаллическую решётку;
  • Сечение гайки и большинства карандашей описывается таким выпуклым многоугольником;
  • Гексаграмма — это шестиконечная звезда, сформированная двумя правильными треугольниками. Также
    её называют звездой Давида, она считается символом иудаизма.


Download Article


Download Article

A hexagon is a polygon that has six sides and angles. Regular hexagons have six equal sides and angles and are composed of six equilateral triangles. There are a variety of ways to calculate the area of a hexagon, whether you’re working with an irregular hexagon or a regular hexagon. If you want to know how to calculate the area of a hexagon, just follow these steps.

  1. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 1

    1

    Write down the formula for finding the area of a hexagon if you know the side length. Since a regular hexagon is comprised of six equilateral triangles, the formula for finding the area of a hexagon is derived from the formula of finding the area of an equilateral triangle. The formula for finding the area of a hexagon is Area = (3√3 s2)/ 2 where s is the length of a side of the regular hexagon.[1]

  2. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 2

    2

    Identify the length of one one side. If you already know the length of a side, then you can simply write it down; in this case, the length of a side is 9 cm. If you don’t know the length of a side but know the length of the perimeter or apothem (the height of one of the equilateral triangles formed by the hexagon, which is perpendicular to the side), you can still find the length of the side of the hexagon. Here’s how you do it:

    • If you know the perimeter, then just divide it by 6 to get the length of one side. For example, if the length of the perimeter is 54 cm, then divide it by 6 to get 9 cm, the length of the side.[2]
    • If you only know the apothem, you can find the length of a side by plugging the apothem into the formula a = x√3 and then multiplying the answer by two. This is because the apothem represents the x√3 side of the 30-60-90 triangle that it creates. If the apothem is 10√3, for example, then x is 10 and the length of a side is 10 * 2, or 20.

    Advertisement

  3. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 3

    3

    Plug the value of the side length into the formula. Since you know that the length of one side of the triangle is 9, just plug 9 into the original formula. It will look like this: Area = (3√3 x 92)/2

  4. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 4

    4

    Simplify your answer. Find the value of equation and write the numerical answer. Since you’re working with area, you should state your answer in square units. Here’s how you do it:[3]

    • (3√3 x 92)/2 =
    • (3√3 x 81)/2 =
    • (243√3)/2 =
    • 420.8/2 =
    • 210.4 cm2
  5. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 5

    1

    Write down the formula for finding the area of a hexagon with a given apothem. The formula is simply Area = 1/2 x perimeter x apothem.[4]

  2. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 6

    2

    Write down the apothem. Let’s say the apothem is 5√3 cm.

  3. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 7

    3

    Use the apothem to find the perimeter. Since the apothem is perpendicular to the side of the hexagon, it creates one side of a 30-60-90 triangle. The sides of a 30-60-90 triangle are in the proportion of x-x√3-2x, where the length of the short leg, which is across from the 30 degree angle, is represented by x, the length of the long leg, which is across from the 60 degree angle, is represented by x√3, and the hypotenuse is represented by 2x.[5]

    • The apothem is the side that is represented by x√3. Therefore, plug the length of the apothem into the formula a = x√3 and solve. If the apothem’s length is 5√3, for example, plug it into the formula and get 5√3 cm = x√3, or x = 5 cm.
    • By solving for x, you have found the length of the short leg of the triangle, 5. Since it represents half the length of one side of the hexagon, multiply it by 2 to get the full length of the side. 5 cm x 2 = 10 cm.
    • Now that you know that the length of one side is 10, just multiply it by 6 to find the perimeter of the hexagon. 10 cm x 6 = 60 cm
  4. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 8

    4

    Plug all of the known quantities into the formula. The hardest part was finding the perimeter. Now, all you have to do is plug the apothem and perimeter into the formula and solve:

    • Area = 1/2 x perimeter x apothem
    • Area = 1/2 x 60 cm x 5√3 cm
  5. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 9

    5

    Simplify your answer. Simplify the expression until you’ve removed the radicals from the equation. State your final answer in square units.[6]

    • 1/2 x 60 cm x 5√3 cm =
    • 30 x 5√3 cm =
    • 150√3 cm =
    • 259. 8 cm2
  6. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 10

    1

    List the x and y coordinates of all the vertices. If you know the vertices of the hexagon, the first thing you should do is create a chart with two columns and seven rows. Each row will be labeled by the names of the six points (Point A, Point B, Point C, etc), and each column will be labeled as the x or y coordinates of those points. List the x and y coordinates of Point A to the right of Point A, the x and y coordinates of Point B to the right of Point B, and so on. Repeat the coordinates of the first point at the bottom of the list. Let’s say you’re working with the following points, in (x, y) format:[7]

    • A: (4, 10)
    • B: (9, 7)
    • C: (11, 2)
    • D: (2, 2)
    • E: (1, 5)
    • F: (4, 7)
    • A (again): (4, 10)
  2. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 11

    2

    Multiply the x coordinate of each point by the y coordinate of the next point. You can think of this as drawing a diagonal line to the right and downward one row from each x coordinate. List the results to the right of the chart. Then, add the results.[8]

    • 4 x 7 = 28
    • 9 x 2 = 18
    • 11 x 2 = 22
    • 2 x 5 = 10
    • 1 x 7 = 7
    • 4 x 10 = 40
      • 28 + 18 + 22 + 10 + 7 + 40 = 125
  3. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 12

    3

    Multiply the y coordinates of each point by the x coordinates of the next point. Think of this as drawing a diagonal line from each y coordinate downward and to the left, to the x coordinate below it. Once you multiply all of these coordinates, add the results.[9]

    • 10 x 9 = 90
    • 7 x 11 = 77
    • 2 x 2 = 4
    • 2 x 1 = 2
    • 5 x 4 = 20
    • 7 x 4 = 28
    • 90 + 77 + 4 + 2 + 20 + 28 = 221
  4. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 13

    4

    Subtract the sum of the second group of coordinates from the sum of the first group of coordinates.[10]
    Just subtract 221 from 125. 125 – 221 = -96. Now, take the absolute value of this answer: 96. Area can only be positive.

  5. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 14

    5

    Divide this difference by two.[11]
    Just divide 96 by 2 and you’ll have the area of the irregular hexagon. 96/2 = 48. Don’t forget to write your answer in square units. The final answer is 48 square units.

  6. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 15

    1

    Find the area of a regular hexagon with a missing triangle. If you know you’re working with a regular hexagon that is missing one or more of its triangles, then the first thing you need to do is find the area of the entire regular hexagon as if it were whole. Then, simply find the area of the empty or “missing” triangle, and that subtract that from the overall area. This will give you the area of the remaining irregular hexagon.[12]

    • For example, if you’ve found that the area of the regular hexagon is 60 cm2 and you’ve found that the area of the missing triangle is 10 cm2 simply subtract the area of the missing triangle from the entire area: 60 cm2 – 10 cm2 = 50 cm2.
    • If you know that the hexagon is missing exactly one triangle, you can also just find the area of the hexagon by multiplying the total area by 5/6, since the hexagon is retaining the area of 5 of its 6 triangles. If it’s missing two triangles, you can multiply the total area by 4/6 (2/3), and so on.
  2. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 16

    2

    Break up an irregular hexagon into other triangles. You may find that the irregular hexagon is actually composed of four triangles that are irregularly shaped. To find the area of the whole irregular hexagon, you need to find the area of each individual triangle and then add them up. There are a variety of ways to find the area of a triangle depending on the information that you have.[13]

  3. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 17

    3

    Look for other shapes in the irregular hexagon. If you can’t simply pick apart a few triangles, look through the irregular hexagon to see if you can locate other shapes — maybe a triangle, a rectangle, and/or a square. Once you’ve outlined the other shapes, just find their areas and add them up to get the area of the entire hexagon.[14]

    • One type of irregular hexagon is comprised of two parallelograms. To get the areas of the parallelograms, just multiply their bases times their heights, just as you would do to find the area of a rectangle, and then add up their areas.
  4. Advertisement

Hexagon Area Calculator, Practice Problems, and Answers

Add New Question

  • Question

    I was only given the length of the diagonal. What do I do?

    Community Answer

    1/3rd of the length of the diagonal is the side of the hexagon. Using this, you can calculate the area.

  • Question

    I know the area, nothing else. I need a regular hexagon. What do I do?

    Donagan

    Assuming you’re looking for the length of a side, solve for s using the area formula in Method 1 above. Then plug in the known area.

  • Question

    What is the area of a regular hexagon where the length of each side is 7m?

    Community Answer

    The side is 1/2 of 7 = 3.5. The area of a regular hexagon is (3√3 *3.5^2)/2 =31.82 or 32 cm, approximately.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

Thanks for submitting a tip for review!

About This Article

Article SummaryX

To calculate the area of a hexagon, use the formula a = 3 × square root of 3 × s^2 divided by 2, where a is the area and s is the length of a side of the hexagon. Just plug in the length of one of the sides and then solve the formula to find the area. If you don’t have one of the side lengths but you do have the apothem, you can use the formula a = 1/2 × perimeter × apothem, where a is the area. To learn more, like how to calculate the area of an irregular hexagon, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,403,269 times.

Did this article help you?

Добавить комментарий