Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 492.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 492.
В 5 классе в курсе математики изучается тема прямоугольного параллелепипеда. Сегодня мы поговорим о формулах для нахождения площади боковой поверхности и площади полной поверхности этой фигуры, которые наиболее часто вызывают затруднения у учеников.
Материал подготовлен совместно с учителем первой категории Камушковой Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики – 27 лет.
Определения
Параллелепипед – это фигура в пространстве, которая состоит из шести четырехугольников.
Каждый четырехугольник – это грань параллелепипеда. Среди граней различают четыре боковые и два основания. Если в основании фигуры находится прямоугольник, то многогранник называется прямоугольным параллелепипедом.
Стороны граней – это ребра. У параллелепипеда всего 12 ребер.
Параллелепипед имеет 8 вершин, для их обозначения используют заглавные латинские буквы.
Если две грани не имеют общего ребра, то они называются противоположными. Так как каждая грань прямоугольного параллелепипеда – это прямоугольник, у которого противоположные стороны равны, то и противоположные грани прямоугольного параллелепипеда также равны.
Длина ребер определяет основные характеристики прямоугольного параллелепипеда: площадь, периметр, объем.
Примеры таких фигур мы часто встречаем в нашей жизни: кирпич, коробка, системный блок компьютера.
Математическая фигура – прямоугольный параллелепипед активно используется в искусстве, архитектуре и прочих областях.
Различают несколько видов параллелепипедов, с основанием в виде квадрата, параллелограмма или прямоугольника.
Формула для нахождения площади
Для того, чтобы найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, необходимо вычислить по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем просуммировать получившиеся значения.
$S = ab$;
$S = ac$; где a, b, c – стороны фигуры.
А так как противоположные грани равны, то есть $AMPD = BNKC$, $AMNB = DPKC$, их сумма и будет площадью боковой поверхности многоугольника.
$S= 2(ab + ac)$
Соответственно, чтобы вычислить площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда необходимо сложить площадь боковой поверхности и две площади основания. В итоге получится формула площади прямоугольного параллелепипеда.
$S = 2(ab + ac) + 2 bc = 2(ab + ac + bc)$
Иногда для уточнения возле знака площади пишут краткое обозначение например, S п.п. – площадь полной поверхности, либо S б.п. – площадь боковой поверхности. Это помогает во время выполнения задания не перепутать нужные данные.
Пример задания
Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина и ширина основания 4 см и 3 см соответственно, а высота равна 2 см.
Решение:
S п.п. = 2(ab + ac + bc)
S п.п. = 2(4*3 + 4*2 + 3*2) = 52 см2
Таким образом, S п.п. = 52 см2.
Для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда используют те же единицы измерения, в которых были приведены длины ребер. Если длины ребер прямоугольного параллелепипеда даны в разных единицах измерения, то их нужно перевести в одинаковые.
Что мы узнали?
Мы познакомились с элементами прямоугольного параллелепипеда: грани, ребра, основание. А также ознакомились с формулами для нахождения площади его боковой и полной поверхности, которые можно использовать для решения заданий.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
-
Марина Яговцева
8/10
-
Розочка Ангелиночка
10/10
-
Слава Сироткин
10/10
-
Тома Зимина
7/10
-
Artem Sevastanov
10/10
-
Влад Чибиряев
10/10
-
Александр Селезнев
10/10
-
Акрам Сафарбеков
10/10
-
Вера Машковцева
10/10
-
Александр Семёнов
9/10
Оценка статьи
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 492.
А какая ваша оценка?
{S_{полн} = 2(ab+bc+ac)}
Чтобы найти площадь поверхности параллелепипеда необходимо знать длины трех его ребер. Для вычисления площади поверхности прямоугольного параллелепипеда используется формула, в которой сумма попарных произведений ребер параллелепипеда умножается на 2. По другому формулу можно трактовать как произведение площадей трех граней параллелепипеда (так как произведение ребер – это площадь грани). Кроме того на странице вы найдете калькулятор, с помощью которого в режиме онлайн можно найти площадь полной и боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда.
В дополнение на сайте можно найти объем параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
Ребро — сторона прямоугольного параллелепипеда. Длина, ширина и высота – это ребра прямоугольного параллелепипеда.
Содержание:
- калькулятор площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
- формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
- формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
- примеры задач
Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
{S_{полн} = 2(ab+bc+ac)}
a – длина прямоугольного параллелепипеда
b – ширина прямоугольного параллелепипеда
c – высота прямоугольного параллелепипеда
Формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
{S_{бок} = 2(ac+bc)}
a – длина прямоугольного параллелепипеда
b – ширина прямоугольного параллелепипеда
c – высота прямоугольного параллелепипеда
Примеры задач на нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
Задача 1
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда измерения которого равны 2 4 и 5.
Решение
Для нахождения площади поверхности воспользуемся первой формулой. Подставим в нее значения длины, ширины и высоты параллелепипеда и произведем вычисления.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(2 cdot 4 + 4 cdot 5 + 2 cdot 5) = 2(8 + 20 + 10) = 2(38) = 76 : см^2
Ответ: 76 см²
Проверим ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 3см 5см и 6см.
Решение
Задача аналогична предыдущей, поэтому повторим действия, подставив новые значения измерений параллелепипеда.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(3 cdot 5 + 5 cdot 6 + 3 cdot 6) = 2(15 + 30 + 18) = 2(63) = 126 : см^2
Ответ: 126 см²
Для проверки ответа используем калькулятор .
Задача 3
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда измерения которого равны 9м 24м 11м.
Решение
Еще одна типовая задача. Для ее решения также воспользуемся первой формулой.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(9 cdot 24 + 24 cdot 11 + 9 cdot 11) = 2(216 + 264 + 99) = 2(579) = 1158 : см^2
Ответ: 1158 см²
Проверка .
Задача 4
Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда у которого a=4см, b=5см, c=7см.
Решение
В этой задаче нам необхожимо найти площадь боковой поверхности. Поэтому мы будем использовать для ее решения вторую формулу.
S_{бок} = 2(ac+bc) = 2(4 cdot 7 + 5 cdot 7) = 2(28 + 35) = 2(63) = 126 : см^2
Ответ: 126 см²
Как всегда ответ можно проверить с помощью калькулятора .
В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда и разберем пример решения задачи для закрепления материала.
- Формула вычисления площади
- Пример задачи
Формула вычисления площади
Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:
S = 2 (ab + bc + ac)
Формула получена следующим образом:
- Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
- два основания: со сторонами a и b;
- четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
- Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).
Пример задачи
Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.
Решение:
Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см2.
Прямоугольным параллелепипедом называется трехмерное тело, у которого противоположные грани параллельны и являются прямоугольниками. Проще говоря, прямоугольный параллелепипед представляет собой вытянутый куб.
Онлайн-калькулятор площади поверхности параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед можно охарактеризовать тремя числами — длинами его сторон: aa, bb, cc.
Формула площади поверхности параллелепипеда
Чтобы найти полную площадь поверхности параллелепипеда, нужно сложить площади всех его граней. Граней у параллелепипеда шесть, поэтому:
S=S1+S2+S3+S4+S5+S6S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6
Но так как противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны между собой, то: S1=S2S_1=S_2, S3=S4S_3=S_4, S5=S6S_5=S_6.
Поскольку гранями данного параллелепипеда являются прямоугольники, то их площади равны соответственно:
S1=S2=abS_1=S_2=ab
S3=S4=bcS_3=S_4=bc
S5=S6=acS_5=S_6=ac
Итак, полная площадь поверхности параллелепипеда:
S=2(ab+bc+ac)S=2(ab+bc+ac)
Из этой формулы следует, что если a=b=ca=b=c, то получим: S=6a2S=6a^2. Это и есть формула для площади поверхности куба со стороной aa.
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 2 см.2text{ см.}, 4 см.4text{ см.}, 6 см.6text{ см.}
Решение
a=2a=2
b=4b=4
c=6c=6
S=2(ab+bc+ac)=2(2⋅4+4⋅6+2⋅6)=88 (см. кв.)S=2(ab+bc+ac)=2(2cdot4+4cdot6+2cdot6)=88text{ (см. кв.)}
Ответ: 88 см. кв.88text{ см. кв.}
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда высотой 3 см.3text{ см.}, в основании которого лежит квадрат со стороной 1 см.1text{ см.}
Решение
a=b=1a=b=1
c=3c=3
S=2(ab+bc+ac)=2(1+3+3)=14 (см. кв.)S=2(ab+bc+ac)=2(1+3+3)=14text{ (см. кв.)}
Ответ: 14 см. кв.14text{ см. кв.}
Не знаете, где заказать задачу по геометрии? Обратитесь к нашим экспертам в данной области!
Тест по теме «Площадь поверхности параллелепипеда»
В 5 классе в курсе математики изучается тема прямоугольного параллелепипеда. Сегодня мы поговорим о формулах для нахождения площади прямоугольного параллелепипеда боковой поверхности и площади полной поверхности этой фигуры, которые наиболее часто вызывают затруднение у учеников при изучении этой темы.
Определения
Параллелепипед – это фигура, который состоит из шести четырехугольников. Если в основании этой фигуры находится прямоугольник, то многогранник называется прямоугольным параллелепипедом.
Прямоугольный параллелепипед имеет четыре боковые грани. Две из них называются основанием многогранника. Для обозначения вершин фигуры используют большие латинские буквы.
Если две грани не имеют общего ребра, то они называются противоположными. Так как каждая грань является прямоугольником, где противоположные стороны равны, то и противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны.
Стороны граней – это ребра, фигура имеет 12 ребер. Длина ребер определяет основные характеристики прямоугольного параллелепипеда: площадь, периметр, объем.
Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед
Примеры таких фигур мы часто встречаем в нашей жизни: кирпич, коробка, системный блок компьютера.
Математическая фигура – прямоугольный параллелепипед активно используется в искусстве, архитектуре и прочих областях.
Различают несколько видов параллелепипедов, с основанием в виде квадрата, параллелограмма или прямоугольника.
Формула для нахождения площади
Для того, чтобы найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, необходимо вычислить по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем просуммировать получившиеся значения.
$S = ab$;
$S = ac, a, b, c$ – стороны фигуры.
Рис. 2. Прямоугольный параллелепипед
А так как противоположные грани равны, то есть $AMPD = BNKC$, $AMNB = DPKC$, их сумма и будет площадью боковой поверхности многоугольника.
$S= 2(ab + ac)$
Соответственно, чтобы вычислить площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда необходимо сложить площадь боковой поверхности и две площади основания. В итоге получится формула площади прямоугольного параллелепипеда.
$S = 2(ab + ac) + 2 bc = 2(ab + ac + bc)$
Иногда для уточнения возле знака площади пишут краткое обозначение например, S п.п – площадь полной поверхности, либо S б.п – площадь боковой поверхности. Это помогает вовремя выполнения задание не перепутать нужные данные.
Пример задания
Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина и ширина основания 4 см и 3 см соответственно, а высота равна 2 см.
Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b, c
Решение:
S п.п. = 2(ab + ac + bc)
S п.п. = 2(4 * 3 + 4*2 + 3*2) = 52 см2
Таким образом, S п.п. = 52 см2.
Для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда используют те же единицы измерения, в которых были приведены длины ребер. При необходимости их нужно перевести в единую систему измерения.
Что мы узнали?
Мы познакомились с элементами прямоугольного параллелепипеда: грани, ребра, основание. А также ознакомились с формулами для нахождения площади боковой и полной поверхности многоугольника, которые можно использовать для решения заданий.
Предыдущая
МатематикаПлощадь (математика, 5 класс) – что такое, правило обозначения и понятие
Следующая
МатематикаПлощадь прямоугольника – формула нахождения через диагональ и периметр (5 класс, математика)
