Как найти площадь выпуклой трапеции

Приветствую Вас, уважаемые читатели!

В школьном курсе геометрии 7-9 класс, очень много формул площадей различных фигур, которые необходимо знать, для успешного прохождения итоговой аттестации и при обучении в 8-9 классе.

После прочтения, Вы поймете, как эти формулы зависят друг от друга, и какие нужно знать, а какие можно просто вывести из других.

В 8 классе учащиеся начинают знакомится с четырехугольниками (параллелограммом, ромбом, прямоугольником, квадратом, трапецией). Все формулы для этих фигур схожие. Нужно знать только три основные формулы, с помощью которые находят площадь параллелограмма.

Третья формула дается в курсе геометрии 9 класса, а вот вторая формула практически не используется в учебнике геометрии, хотя на нее есть задания в ОГЭ.

От всех формул, которые приведены выше, выводятся все остальные формулы, и легко понять, почему у той или иной фигуры такая формула, а не другая.

Рассмотрим фигуры подробней.

1) Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Значит, все формулы, что есть в параллелограмме, используются для ромба.

Формула нахождения ромба через диагонали, в учебнике не выделена, ее нужно доказать из задачи. Но как вы видите. все формулы, которые есть в ромбе, это формулы параллелограмма.

2) Прямоугольник. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны. Именно поэтому прямоугольник, с которым дети знакомятся еще в младших классах, имеет формулу нахождения площади S=ab.

В 8 классе, учащиеся узнают, что Sin90=1 (синус 90 градусов равен 1), поэтому, взяв третью формулу, мы получаем, что площадь прямоугольника равна S=ab (площадь прямоугольника равна, произведению длин его смежных сторон).

Вторая формула для параллелограмма используется так же и для прямоугольника. Но в прямоугольнике, диагонали равны, поэтому формула упрощается, и мы получаем, что площадь прямоугольника равна половине произведения квадрата диагонали. Эту формулу покажу в квадрате.

3) Квадрат – это параллелограмм у которого все стороны и углы равны.

Если мы проведем диагональ в параллелограмме, прямоугольнике или ромбе, то получим два равных треугольника. Площадь любого треугольника будет равна половине площади параллелограмма, но мы сможем использовать только первую и третью формулу, поскольку диагоналей в треугольнике нет.

Следующая фигура – это трапеция. Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (называются основания), а две другие не параллельны (боковые стороны).

Формулы нахождения площади для трапеции, состоит из двух формул площади треугольника, которые в свою очередь вывели из параллелограмма.

Так же площадь трапеции, можно найти с помощью второй формулы параллелограмма, через диагонали.

Эта формула, универсальная, для любого выпуклого четырехугольника (четырехугольник, все стороны которого лежат по одну сторону от прямой, соединяющий две его соседние вершины)

Это основные формулы, которые могут вам встретить на ОГЭ по математике в 17 и 18 задании.

Видео объяснение этого материала, можешь посмотреть ниже:

Спасибо, что прочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите класс и подпишитесь на мой блог.

Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.

[{Large{text{Произвольная трапеция}}}]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

Теоремы: свойства трапеции

1) Сумма углов при боковой стороне равна (180^circ).

Доказательство

1) Т.к. (ADparallel BC), то углы (angle BAD) и (angle ABC) – односторонние при этих прямых и секущей (AB), следовательно, (angle
BAD
+angle ABC=180^circ).

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

Проведем через точку (M) прямую (MN’parallel AD) ((N’in CD)). Тогда по теореме Фалеса (т.к. (MN’parallel ADparallel BC, AM=MB)) точка (N’) — середина отрезка (CD). Значит, точки (N) и (N’) совпадут.

2) Докажем формулу.

Тогда по теореме Фалеса (M’) и (N’) — середины отрезков (BB’) и (CC’) соответственно. Значит, (MM’) – средняя линия (triangle
ABB’), (NN’) — средняя линия (triangle DCC’). Поэтому: [MM’=dfrac12 AB’, quad NN’=dfrac12 DC’]

Т.к. (MNparallel ADparallel BC) и (BB’, CC’perp AD), то (B’M’N’C’) и (BM’N’C) – прямоугольники. По теореме Фалеса из (MNparallel AD) и (AM=MB) следует, что (B’M’=M’B). Значит, (B’M’N’C’) и (BM’N’C) – равные прямоугольники, следовательно, (M’N’=B’C’=BC).

Таким образом:

[MN=MM’+M’N’+N’N=dfrac12 AB’+B’C’+dfrac12 C’D=] [=dfrac12 left(AB’+B’C’+BC+C’Dright)=dfrac12left(AD+BCright)]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

Проведем прямую (PN) ((P) – точка пересечения продолжений боковых сторон, (N) – середина (BC)). Пусть она пересечет сторону (AD) в точке (M). Докажем, что (M) – середина (AD).

Рассмотрим (triangle BPN) и (triangle APM). Они подобны по двум углам ((angle APM) – общий, (angle PAM=angle PBN) как соответственные при (ADparallel BC) и (AB) секущей). Значит: [dfrac{BN}{AM}=dfrac{PN}{PM}]

Рассмотрим (triangle CPN) и (triangle DPM). Они подобны по двум углам ((angle DPM) – общий, (angle PDM=angle PCN) как соответственные при (ADparallel BC) и (CD) секущей). Значит: [dfrac{CN}{DM}=dfrac{PN}{PM}]

Отсюда (dfrac{BN}{AM}=dfrac{CN}{DM}). Но (BN=NC), следовательно, (AM=DM).

Пусть (N) – середина (BC), (O) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую (NO), она пересечет сторону (AD) в точке (M). Докажем, что (M) – середина (AD).

(triangle BNOsim triangle DMO) по двум углам ((angle OBN=angle
ODM) как накрест лежащие при (BCparallel AD) и (BD) секущей; (angle BON=angle DOM) как вертикальные). Значит: [dfrac{BN}{MD}=dfrac{ON}{OM}]

Аналогично (triangle CONsim triangle AOM). Значит: [dfrac{CN}{MA}=dfrac{ON}{OM}]

Отсюда (dfrac{BN}{MD}=dfrac{CN}{MA}). Но (BN=CN), следовательно, (AM=MD).

[{Large{text{Равнобедренная трапеция}}}]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольные треугольники (ABM) и (CDN). Так как у них равны гипотенузы и катет (BM) равен катету (CN), то эти треугольники равны, следовательно, (angle DAB = angle CDA).

2)

Т.к. (AB=CD, angle A=angle D, AD) – общая, то по первому признаку (triangle ABD=triangle ACD). Следовательно, (AC=BD).

3) Т.к. (triangle ABD=triangle ACD), то (angle BDA=angle CAD). Следовательно, треугольник (triangle AOD) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и (triangle BOC) – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Достроим трапецию до треугольника (AED) как показано на рисунке. Так как (angle 1 = angle 2), то треугольник (AED) равнобедренный и (AE
= ED). Углы (1) и (3) равны как соответственные при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (AB). Аналогично равны углы (2) и (4), но (angle 1 = angle 2), тогда (angle 3 = angle 1 = angle 2 =
angle 4), следовательно, треугольник (BEC) тоже равнобедренный и (BE = EC).

В итоге (AB = AE – BE = DE – CE = CD), то есть (AB = CD), что и требовалось доказать.

Т.к. (AC=BD), то (x+kx=y+ky Rightarrow x=y). Значит (triangle AOD) – равнобедренный и (angle OAD=angle ODA).

Таким образом, по первому признаку (triangle ABD=triangle ACD) ((AC=BD, angle OAD=angle ODA, AD) – общая). Значит, (AB=CD), чтд.