Площадь сегмента круга
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Площадь сегмента круга
Чтобы посчитать площадь сегмента круга воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
По углу и радиусу
Угол α =
Радиус r =
Площадь сегмента круга
Sск =
0
Округление ответа: Округление числа π:
По длине хорды и высоте сегмента
Хорда c =
Высота сегмента h =
Площадь сегмента круга
Sск =
0
Округление ответа:
По высоте и радиусу (или диаметру)
=
Высота сегмента h =
Площадь сегмента круга
Sск =
0
Округление ответа:
Просто введите данные и получите ответ.
Теория
Площадь сегмента окружности через угол и радиус
Чему равна площадь сегмента окружности Sск, если её радиус r, а угол сегмента α ?
Формула
В градусах:
Sск = r²2 ⋅ (π ⋅ α180° – sin α)
В радианах:
Sск = r²2 ⋅ (α – sin α)
Пример
К примеру, посчитаем площадь сегмента круга, имеющего радиус r = 2 см, а угол сегмента ∠α = 45°:
Sск = 2²2 ⋅ (3.14 ⋅ 45180 – sin 45) = 2 ⋅ (0.785 – 0.707) = 0.156 см²
Площадь сегмента окружности через хорду и высоту сегмента
Чему равна площадь сегмента окружности Sск, если длина хорды c, а высота сегмента h ?
Чтобы посчитать площадь сегмента, нам для начала потребуется вычислить радиус окружности r и угол сегмента α. А затем воспользоваться формулой площади сегмента из предыдущего параграфа.
Формула
Радиус круга:
r = c² + 4h²8h
Угол сегмента:
∠α = 2 ⋅ arcsinc2r
Пример
К примеру, посчитаем площадь сегмента круга, имеющего высоту h = 2 см и длину хорды c = 5 см:
r = 5² + 4⋅2²8⋅2 = 25 + 1616 = 2.5625 см∠α = 2 ⋅ arcsin52 ⋅ 2.5625 = 2 ⋅ arcsin 0.9756 ≈ 2.7 radSск = 2.5625²2 ⋅ (2.7 – sin 2.7) = 3.2832 ⋅ (2.7 – 0,427) = 7.46 см²
Площадь сегмента окружности через высоту и радиус (или диаметр)
Чему равна площадь сегмента окружности Sск, если его высота h, а радиус r ?
Если нам известен не радиус, а диаметр, то делим его на 2 и получаем радиус (r = d ÷ 2).
Далее нам остаётся определить угол сегмента α. А затем воспользоваться формулой площади сегмента, описанной выше.
Формула
Угол сегмента:
∠α = 2 ⋅ arccosr – hr
Пример
К примеру, посчитаем площадь сегмента круга, имеющего высоту h = 1 см, а диаметр окружности d = 4 см:
r = 4 ÷ 2 = 2 см
∠α = 2 ⋅ arccos2 – 12 = 2 ⋅ arccos 0.5 = 2.094 radSск = 2²2 ⋅ (2.094 – sin 2.094) = 2 ⋅ (2.094 – 0.866) = 2.456 см²
См. также
Сегмент — это геометрическая фигура, которая получается путем отсечение части круга хордой.
Онлайн-калькулятор площади сегмента круга
Находится эта фигура между хордой и дугой круга.
Это отрезок, лежащий внутри круга и соединяющий две произвольно выбранные точки на нем.
При отсечении части круга хордой можно рассмотреть две фигуры: это наш сегмент и равнобедренный треугольник, боковые стороны которого – радиусы круга.
Площадь сегмента можно найти как разность площадей сектора круга и этого равнобедренного треугольника.
Площадь сегмента можно найти несколькими способами. Остановимся на них более подробно.
Формула площади сегмента круга через радиус и длину дуги круга, высоту и основание треугольника
S=12⋅R⋅s−12⋅h⋅aS=frac{1}{2}cdot Rcdot s-frac{1}{2}cdot hcdot a
RR — радиус круга;
ss — длина дуги;
hh — высота равнобедренного треугольника;
aa — длина основания этого треугольника.
Дан круг, его радиус, численно равный 5 (см.), высота, которая проведена к основанию треугольника, равная 2 (см.), длина дуги 10 (см.). Найти площадь сегмента круга.
Решение
R=5R=5
h=2h=2
s=10s=10
Для вычисления площади нам не хватает только основания треугольника. Найдем его по формуле:
a=2⋅h⋅(2⋅R−h)=2⋅2⋅(2⋅5−2)=8a=2cdotsqrt{hcdot(2cdot R-h)}=2cdotsqrt{2cdot(2cdot 5-2)}=8
Теперь можно вычислить площадь сегмента:
S=12⋅R⋅s−12⋅h⋅a=12⋅5⋅10−12⋅2⋅8=17S=frac{1}{2}cdot Rcdot s-frac{1}{2}cdot hcdot a=frac{1}{2}cdot 5cdot 10-frac{1}{2}cdot 2cdot 8=17 (см. кв.)
Ответ: 17 см. кв.
Формула площади сегмента круга по радиусу круга и центральном углу
S=R22⋅(α−sin(α))S=frac{R^2}{2}cdot(alpha-sin(alpha))
RR — радиус круга;
αalpha — центральный угол между двумя радиусами, стягивающий хорду, измеряющийся в радианах.
Найти площадь сегмента круга, если радиус круга равен 7 (см.), а центральный угол 30 градусов.
Решение
R=7R=7
α=30∘alpha=30^{circ}
Переведем сначала угол в градусах в радианы. Поскольку πpi радиан равен 180 градусов, то:
30∘=30∘⋅π180∘=π630^{circ}=30^{circ}cdotfrac{pi}{180^{circ}}=frac{pi}{6} радиан. Тогда площадь сегмента:
S=R22⋅(α−sin(α))=492⋅(π6−sin(π6))≈0.57S=frac{R^2}{2}cdot(alpha-sin(alpha))=frac{49}{2}cdotBig(frac{pi}{6}-sinBig(frac{pi}{6}Big)Big)approx0.57 (см. кв.)
Ответ: 0.57 см. кв.
Не знаете, как выполнить работу с нахождением площади сегмента круга? Наши эксперты помогут вам решить контрольную по геометрии онлайн!
Тест по теме «Площадь сегмента круга»
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Длина хорды:
Высота сегмента:
Сегмент
Угол в градусах, образуемый радиусами сектора
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:
Параметры сегмента по хорде и высоте
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:
Далее, зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле:
Остальные параметры сегмента вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи.
Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:
Площадь сегмента круга по радиусу и высоте
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Этот калькулятор вычисляет угол из высоты и радиуса по следующей формуле:
далее используется формула [1] для получения площади.
15 вычислений по сегменту круга в одной программе
Последний калькулятор включает в себя все оставшиеся вычисления параметров кругового сегмента:
- длина дуги
- угол
- хорда
- высота
- радиус
- площадь
Выберите два известных аргумента и калькулятор выдаст вам все оставшиеся.
Круговой сегмент – все варианты расчета
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
В данной публикации мы рассмотрим определение сегмента круга и формулы, с помощью которых можно вычислить его площадь (через радиус и центральный угол кругового сектора). Также разберем примеры решения задач для демонстрации практического применения формул.
- Определение сегмента круга
-
Формулы нахождения площади кругового сегмента
-
Через радиус и центральный угол в градусах
- Через радиус и угол сектора в радианах
-
Через радиус и центральный угол в градусах
- Примеры задачи
Определение сегмента круга
Сегмент круга – это часть круга, которая ограничена дугой окружности и ее хордой.
Хорда – это часть прямой (секущей), которая пересекает круг. Концы хорды соединяются с центром круга, в результате чего образуется равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются радиусом окружности. Если к этом треугольнику добавить сегмент, получится сектор.
На рисунке выше:
- сегмент круга закрашен зеленым цветом;
- отрезок AB – это хорда;
- часть окружности между точками AB – дуга окружности;
- R – радиус круга;
- α – угол сектора.
Формулы нахождения площади кругового сегмента
Через радиус и центральный угол в градусах
α° – угол в градусах.
Примечание: в расчетах используется значение π, приблизительное равное числу 3,14.
Через радиус и угол сектора в радианах
αрад – угол в радианах.
Примеры задачи
Задание 1
Найдите площадь сегмента круга, если его радиус равен 8 см, а центральный угол сектора, стягивающего сегмент, составляет 45 градусов.
Решение
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее известные значения:
Задание 2
Площадь кругового сегмента составляет 24 см2, а центральный угол сектора круга, частью которого является сегмент, равняется 1 радиану. Найдите радиус круга.
Решение
В данном случае мы можем получить радиус из формулы, в которой задействован угол в радианах:
Решение:
Обрати внимание, что общая часть кругов состоит из двух сегментов: красного и голубого.
Найдем площадь голубого сегмента.
Для этого нужно посмотреть на окружность с центром ( displaystyle {{O}_{1}}).
( displaystyle Delta A{{O}_{1}}B) — правильный ( displaystyle quad Rightarrow angle A{{O}_{1}}B=frac{pi }{3},, ({{60}^{circ }})).
Значит,
( displaystyle {{S}_{голубого, сегм.}}=frac{pi }{6}cdot {{2}^{2}}-frac{{2}^{2}sqrt{3}}{4} )
(это по формуле ( displaystyle {{S}_{сегм.}}={{S}_{сектора}}-{{S}_{Delta A{{O}_{1}}B}}) ).
Если не помнишь, как считается площадь правильного треугольника, загляни в тему «Равносторонний треугольник».
Итак, ( displaystyle {{S}_{голубого, сегм.}}=frac{2}{3}pi -sqrt{3})
( displaystyle {{S}_{красного, сегм.}}={{S}_{сектора A{{O}_{2}}B}}-{{S}_{Delta A{{O}_{2}}B}})
( displaystyle {{S}_{Delta A{{O}_{2}}B}}=frac{1}{2}{O}_{2}Kcdot AB)
( displaystyle {O}_{2}K=sqrt{A{O}_{2}^{2}-A{K}^{2}}=sqrt{16-1}=sqrt{15})
( displaystyle {{S}_{A{{O}_{2}}B}}=frac{1}{2}cdot sqrt{15}cdot 2=sqrt{15}.)
А вот найти ( displaystyle angle A{{O}_{2}}B) уже сложнее.
Придется применять теорему косинусов!
( displaystyle A{{B}^{2}}=A{{O}_{2}}^{2}+{{O}_{2}}{{B}^{2}}-2A{{O}_{2}}cdot {{O}_{2}}Bcdot cos angle A{{O}_{2}}B.)
( displaystyle cos angle A{{O}_{2}}B=frac{A{{O}_{2}}^{2}+{{O}_{2}}{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2A{{O}_{2}}cdot {{O}_{2}}B}=frac{16+16-4}{2cdot 16}=frac{7}{8}.)
( displaystyle Rightarrow angle A{{O}_{2}}B=arccos frac{7}{8}.)
Подставляем:
( displaystyle {{S}_{кр.}}=frac{arccos frac{7}{8}}{2}cdot {{4}^{2}}-sqrt{15}=8cdot arccos frac{7}{8}-sqrt{15})
И теперь
( displaystyle S={{S}_{гол.}}+{{S}_{кр.}}=frac{2}{3}cdot pi +8cdot arccos frac{7}{8}-sqrt{3}-sqrt{15}.)
Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
Перед вами вебинары, связанные с окружностями и 16 заданием ЕГЭ.
ЕГЭ 16 математика. Метод вспомогательной окружности. Из реального ЕГЭ 2016 года
Метод вспомогательной окружности — это очень классный метод, но, к сожалению, он не всегда очевиден.
Иногда в задаче нет даже намёка ни на какие окружности, но тем не менее, если догадаться её на рисунке достроить, решение становится в разы проще!
Как минимум, сразу же становятся равными друг другу очень неочевидные углы — те, которые опираются на одну дугу, но без окружности увидеть это было бы нереально сложно. Либо произведения отрезков хорд равны друг другу.
Это очень крутой и удобный метод — но нужно понимать, в каких ситуациях он применяется, ведь далеко не всегда нужно на и без того сложный рисунок лепить ещё и окружность.
ЕГЭ 16 Планиметрия Статград март 2021
Задача №16 из мартовского статграда на планиметрию ничем не удивляет: снова окружность и пропорциональные отрезки в ней, прямоугольные треугольники, вот это всё.
Скучно… Раз-два, и ответ готов!
Но погодите-ка, а почему у нас с вами ответ получился разный? И вроде бы оба делаем всё правильно…
На уроках нашего курса я рассказывал о таких задачах, но их уже давненько не попадалось на ЕГЭ, и все уж думали, что ушла эпоха. Конечно, никакого парадокса в этой задаче нет, нужно всего лишь (ха-ха) быть очень внимательными:)
Смотрите видео, и узнаете, в чём же особенность этой задачи, как её правильно решать и оформлять, а также – как ничего не упустить на экзамене и не потерять баллы!
ЕГЭ 16. Планиметрия. Окружности. Задача из олимпиады Физтеха 2020
Планиметрия и окружности! Куда же деться от них в 16 задаче на ЕГЭ?
Те, кто ходил на наш курс подготовки, посвященный 16 задаче, знают, что окружности в задачах на планиметрию попадаются чаще всего.
Иногда вписанные. Иногда описанные. С разными вписанными или описанными фигурами. Иногда одна окружность . Иногда две. Они касаются друг друга или пересекаются друг с другом.
Никуда не деться от окружностей — остается только научится их решать и получать удовольствие от красивых задач!
В этом видео мы разберём, что бы вы думали? Задачу 16 из ЕГЭ?
Нет! Пойдём дальше — разберём задачу из олимпиады Физтеха прошлого года.
Стойте, не разбегайтесь! Олимпиады далеко не всегда бывают сложными (особенно, если вы прошли наш курс по 16-й задаче).
Эта задача вполне себе ЕГЭ-шного уровня. Про окружности и прямоугольные треугольники. Готовьтесь и “разминайте” свои теоремы Пифагора, теорему синусов и прочих косинусов.
