Как найти площадь закрашенной фигуры графика функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Решение:

Площадь под графиком функции f(x) на отрезке [a; b] равна разности первообразных:

S = F(b) – F(a)

Нам необходимо найти площадь закрашенной фигуры на отрезке [-8; -6], то есть a = -8; b = -6. Значит S = F(-6) – F(-8).

Найдем F(-8):

F(-8) = (-8)³ + 21⋅(-8)² +151⋅(-8) – 1

F(-8) = – 512 + 21⋅64 – 151⋅8 – 1

F(-8) = – 512 + 1344 – 1208 – 1

F(-8) = – 513 + 136

F(-8) = -377

Найдем F(-6):

F(-6) = (-6)³ + 21⋅(-6)² +151⋅(-6) – 1

F(-6) = – 216 + 21⋅36 – 151⋅6 – 1

F(-6) = – 216 + 756 – 906 – 1

F(-6) = – 217 – 150

F(-6) = -367

Тогда площадь закрашенной фигуры равна:

S = F(-6) – F(-8) = -367 – (-377) = -367 + 377 = 10

Ответ: 10

Источник

СДАМ ГИА:

РЕШУ ЕГЭ

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

≡ Математика

Базовый уровень

Профильный уровень

Информатика

Русский язык

Английский язык

Немецкий язык

Французский язык

Испанский язык

Физика

Химия

Биология

География

Обществознание

Литература

История

Сайты, меню, вход, новости

СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ

Об экзамене

Каталог заданий

Варианты

Ученику

Учителю

Школа

Эксперту

Справочник

Карточки

Теория

Сказать спасибо

Вопрос — ответ

Чужой компьютер

Зарегистрироваться

Восстановить пароль

Войти через ВКонтакте

Играть в ЕГЭ-игрушку

Новости

1 мая

Новый сервис: можно исправить ошибки!

1 мая

Бесплатные курсы подготовки к ЕГЭ и ОГЭ

29 апреля

Разместили актуальные шкалы ЕГЭ  — 2023

24 апреля

Учителю: обновленный классный журнал

7 апреля

Новый сервис: ссылка, чтобы записаться к учителю

30 марта

Решения досрочных ЕГЭ по математике

31 октября

Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР

НАШИ БОТЫ

Все новости

ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!

Экзамер из Таганрога

10 апреля

Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ

Наша группа

Поиск

было в ЕГЭ

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория

Атрибут

Всего: 9 1–9

Добавить в вариант

Тип 7 № 323079

На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция   — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Аналоги к заданию № 323079: 323283 323373 323375 … Все

Решение

Видеокурс

Помощь

Тип 7 № 323080

На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция   — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Аналоги к заданию № 323080: 323383 323475 323477 … Все

Решение

3 комментария

Видеокурс

Помощь

Тип 7 № 323283

На рисунке изображён график некоторой функции Функция   — одна из первообразных функции  Найдите площадь закрашенной фигуры.

Аналоги к заданию № 323079: 323283 323373 323375 … Все

Решение

Прототип задания

Видеокурс

Помощь

Тип 7 № 323373

Аналоги к заданию № 323079: 323283 323373 323375 … Все

Решение

Прототип задания

Видеокурс

Помощь

Тип 7 № 323375

Аналоги к заданию № 323079: 323283 323373 323375 … Все

Решение

Прототип задания

Видеокурс

Помощь

Тип 7 № 323379

На рисунке изображён график функции Функция   — одна из первообразных функции  Найдите площадь закрашенной фигуры.

Аналоги к заданию № 323079: 323283 323373 323375 … Все

Решение

Прототип задания

Видеокурс

Помощь

Тип 7 № 323383

Аналоги к заданию № 323080: 323383 323475 323477 … Все

Решение

Прототип задания

Видеокурс

Помощь

Тип 7 № 323475

Аналоги к заданию № 323080: 323383 323475 323477 … Все

Решение

Прототип задания

Видеокурс

Помощь

Тип 7 № 323477

Аналоги к заданию № 323080: 323383 323475 323477 … Все

Решение

Прототип задания

Видеокурс

Помощь

Всего: 9 1–9

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе

Источник

Урок 1	Геометрический смысл производной	–
Задание 1	Справочный материал: геометрический смысл производной
Задание 2	Прямая y = 7x – 5 параллельна касательной к графику функции. Найти абсциссу точки касания – Предварительный просмотр
Задание 3	Прямая ?=−4?−11 является касательной к графику квадратичной функции. Найти абсциссу точки касания
Задание 4	Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.
Задание 5	На рисунке изображен график производной функции . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = – 2x – 11 или совпадает с ней.
Задание 6	Как найти значение производной в данной точке, если к графику функции проведена касательная
Задание 7	Найдите значение производной функции в точке ?_0=8.
Задание 8	На рисунке изображен график производной функции f(x)
Урок 2	Признаки возрастания и убывания функции. Точки экстремума.	–
Задание 1	Справочный материал: признаки возрастания и убывания функции, точки экстремума
Задание 2	В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение
Задание 3	В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение
Задание 4	Найдите сумму точек экстремума
Задание 5	Найти количество точек максимума функции по графику производной
Задание 6	Найти сумму целых целых точек на промежутках возрастания функции по графику производной
Задание 7	Найти длину наибольшего промежутка возрастания функции
Задание 8	Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Задание 9	Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.
Задание 10	Найти количество точек минимума функции по графику производной
Задание 11	Найти количество точек максимума функции по графику производной
Задание 12	По графику производной найти точку экстремума функции
Задание 13	По графику производной найти количество точек экстремума
Задание 14	В скольких точках производная функции отрицательна?
Задание 15	В скольких точках производная функции положительна?
Задание 16	По графику производной определить, в скольких точках функция возрастает
Задание 17	По графику производной определить, в скольких точках функция убывает
Задание 18	Определить по графику функции, в какой точке значение производной наибольшее
Задание 19	Определить по графику функции, в какой точке значение производной наименьшее
Урок 3	Физический смысл производной	–
Задание 1	Физический смысл производной
Задание 2	По уравнению координаты найти скорость точки
Задание 3	По уравнению координаты найти время движения точки
Задание 4	Сколько раз скорость точки обращалась в ноль
Урок 4	Первообразная	–
Задание 1	По графику y=F(x) найти количество решений уравнения f(x)=0
Задание 2	Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2)
Задание 3	По графику функции найти площадь закрашенной фигуры.

Источник

Конспект урока: Вычисление площадей с помощью интегралов

Интеграл

Вычисление площадей с помощью интегралов

План урока

Вычисление площади криволинейной трапеции
Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций

Цели урока

Уметь изображать на схематическом рисунке фигуру, ограниченную заданными линиями
Знать формулу для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций
Уметь вычислять площадь криволинейной трапеции

Разминка

Что такое криволинейная трапеция?
Как связана площадь криволинейной трапеции с определённым интегралом
Запишите формулу Ньютона-Лейбница
Вычислите ∫-13x3dx

Вычисление площади криволинейной трапеции

Как показывалось ранее, площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле S=∫abf(x)dx. Рассмотрим пример вычисления площади криволинейной трапеции.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми x=-π4, x=π4, осью Ox и графиком функции y=cos x.

Решение

Рис. 1.

Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рисунке 1. Она представляет собой криволинейную трапецию. Поэтому воспользуемся формулой

S=∫abf(x)dx

S=∫-π4π4cos xdx=sin x-π4π4=sinπ4-sin -π4=22+22=2.

Ответ: 2.

Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций

Рис. 2.

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций вида, представленного на рисунке 2, но и плоских фигур более сложного вида.

Рис. 3.

Рассмотрим фигуру, ограниченную прямыми x=a, x=b и графиками непрерывных функций y=f(x), y=g(x) такими, что на отрезке [a; b] выполняется условие g(x)≤f(x) (рис. 3а).

Выполним параллельный перенос данной фигуры на m единиц вверх
(m>0) так, чтобы данная фигура оказалась расположенной в координатной плоскости выше оси абсцисс (рис. 3б).

Теперь эта фигура ограничена сверху и снизу графиками функций y=f(x)+m и y=g(x)+m соответственно. При этом обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке [a; b]. Найдём площадь этой фигуры:

S=SABCD=SaDCb-SaABb=∫ab(f(x)+m)dx-∫ab(g(x)+m)dx=

=∫ab((f(x)+m)-(g(x)+m))dx=∫ab(f(x)-g(x))dx.

Таким образом, получили следующее правило: площадь S фигуры, ограниченной прямыми x=a, x=b и графиками функций y=f(x), y=g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для всех x из отрезка [a; b] выполняется неравенство g(x)≤f(x), вычисляется по формуле

S=∫ab(f(x)-g(x))dx.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями x=-1, x=1, y=x3, y=-12x+2.

Решение

Рис. 4.

Построим данную фигуру (рис. 4).

Воспользуемся формулой

S=∫ab(f(x)-g(x))dx

S=∫-11-12x+2-x3dx=

=∫-11-x3-12x+2dx=-x44-x24+2x-11=

=-144-124+2·1–(-1)44-(-1)24+2·(-1)=

=-14-14+2+14+14+2=4.

Ответ: 4.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2+2x-3, y=-x2+2x+5.

Решение

Рис. 5.

Построим данную фигуру (рис. 5) и найдём точки пересечения графиков функции, решив уравнение

x2+2x-3=-x2+2x+5

2×2=8

x2=4

x1=-2; x2=2.

Воспользуемся формулой

S=∫ab(f(x)-g(x))dx

S=∫-22-x2+2x+5-x2+2x-3dx=∫-22-2×2+8dx=

=-2×33+8x-22=-2·233+8·2–2·(-2)33+8·(-2)=

=-163+16-163+16=643=2113.

Ответ: 2113.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми x=-π2, x=π2 осью Ox и графиком функции y=1+12 cos x.

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями x=-2, x=1, y=-x, y=3-x4.

Рис. 6.

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2-4x+3, y=-x2+6x-5.

4. На рисунке 6 изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F(x)=-x3-27×2-240x-8  — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Контрольные вопросы

Запишите формулу площади криволинейной трапеции.
Запишите формулу площади фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций.

Предыдущий урок

Первообразная

Интеграл

Следующий урок

Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций

Тригонометрия

Источник

10
Авг 2013

Категория: 07 Производная, ПО

07. Первообразная

2013-08-10
2022-09-11

Задача 1. На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите , где — одна из первообразных функции .

Решение: + показать

Задача 2. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение: + показать

Задача 3. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция $F(x)=-frac{4}{9}x^3-frac{34}{3}x^2-frac{280}{3}x-frac{18}{5}$ — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение: + показать

Задача 4. На рисунке изображён график функции – одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале . Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке .