Как найти площадь закрашенной трапеции

Как найти площадь закрашенной трапеции

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции

  1. Теорема о площади криволинейной трапеции
  2. Формула Ньютона-Лейбница
  3. Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем
  4. Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми
  5. Примеры

п.1. Теорема о площади криволинейной трапеции

Фигуру, ограниченную прямыми (x=a, x=b), осью абсцисс (y=0) и графиком функции (y=f(x)) называют криволинейной трапецией.

Теорема о площади криволинейной трапеции

Теорема
Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции (y=f(x)) на интервале [a;b], равна (F(b)-F(a)), где (F(x)) – первообразная функции (f(x)) на [a;b].

Теорема о площади криволинейной трапеции

Доказательство:
Выберем на интервале (xin [a;b]). Площадь соответствующей криволинейной трапеции (S(x)) является функцией от (x). Дадим переменной (x) приращение (triangle x).
Площадь криволинейной трапеции на интервале (left[a;x+triangle xright]) равна сумме
(S(x+triangle x)=S(x)+S(triangle x)). Откуда приращение площади: $$ triangle S=S(triangle x)=S(x+triangle x)-S(x) $$ По теореме о среднем (см. ниже в этом параграфе) между (x) и (x+triangle x) всегда найдется такое (t), что приращение площади равно произведению: $$ triangle S=f(t)cdot (x+triangle x-x)=f(t)cdot triangle x $$ Если (triangle xrightarrow 0), то (trightarrow x), и в пределе получаем: begin{gather*} S'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle S}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0} frac{f(t)cdot triangle x}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}f(t)=f(x) end{gather*} Т.е. (S(x)) является первообразной для (f(x)) на [a;b]. В общем виде: $$ S(x)=F(x)+C $$ Найдем C. В точке a: $$ S(a)=0=F(a)+CRightarrow C=-F(a) $$ Тогда вся площадь: $$ S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a) $$ Что и требовалось доказать.

п.2. Формула Ньютона-Лейбница

Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции (y=f(x)) на интервале [a;b] записывают в виде определенного интеграла: $$ S=int_{a}^{b}f(x)dx $$ По формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл равен: $$ int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|_a^b=F(a)-F(b) $$

Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $$ y=3-2x-x^2 $$

Формула Ньютона-Лейбница Построим график
(см. §28 справочника для 8 класса).
Это парабола. (alt 0) – ветки вниз.
Координаты вершины: begin{gather*} x_0=-frac{b}{2a}=-frac{-2}{2cdot (-1)}=-1,\ y_0=3+2-1=4 end{gather*} Точки пересечения с осью OX: begin{gather*} 3-2x-x^2=0Rightarrow x^2+2x-3=0\ (x+3)(x-1)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=-3,\ x=1 end{array} right. end{gather*} Точка пересечения с осью OY: $$ x=0, y=3 $$

Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция: (f(x)=3-2x-x^2)
Пределы интегрирования: (a=-3, b=1) begin{gather*} S=int_{-3}^{1}(3-2x-x^2)dx=left(3x-2cdotfrac{x^2}{2}-frac{x^3}{3}right)|_{1}^{-3}=left(3x-x^2-frac{x^3}{3}right)|_{1}^{-3}=\ =left(3-cdot 1-1^2-frac{1^3}{3}right)-left(3cdot(-3)-(-3)^2-frac{(-3)^3}{3}right)=2-frac13+9=10frac23 end{gather*} Ответ: (10frac23)

п.3. Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем

Теорема Лагранжа о среднем
Если функция (F(x)) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то существует такая точка (muin(a;b)), что $$ F(b)-F(a)=F'(mu)(a-b) $$ Пусть (F'(x)=f(x)), т.е. функция (F(x)) является первообразной для (f(x)). Тогда: $$ F(b)-F(a)=int_{a}^{b}f(x)dx=f(mu)(b-a) $$

Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем

Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем в интегральной форме заключается в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием (d=b-a) и высотой (h=f(mu)), где (aleqmuleq b).
Теорема о среднем используется при доказательстве многих формул, связанных с использованием определенных интегралов (центра тяжести тела, площади поверхности и т.д.).

п.4. Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми

Площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми (x=a, x=b, alt b) и кривыми (y=f(x), y=g(x)), причем (f(x)geq g(x)) для любого (xin [a;b]), равна: $$ S=int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx $$

Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной двумя параболами (y=x^2) и (y=4x-x^2).

Найдем точки пересечения парабол: $$ x^2=4x-x^2Rightarrow 2x^2-4x=0Rightarrow 2x(x-2)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x=2 end{array} right. $$ Строим графики.
Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми
Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция сверху: (f(x)=4x-x^2)
Функция снизу: (g(x)=x^2)
Пределы интегрирования: (a=0, b=2) begin{gather*} S=int_{0}^{2}left((4x-x^2)-x^2right)dx=int_{0}^{2}(4x-2x^2)dx=left(4cdotfrac{x^2}{2}-2cdotfrac{x^3}{3}right)|_0^2=\ =left(2x^2-frac23 x^3right)|_0^2=2cdot 2^2-frac23cdot 2^3-0=8-frac{16}{3}=frac83=2frac23 end{gather*} Ответ: (2frac23)

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите определенный интеграл:
a) (int_{-2}^{3}x^2dx) $$ int_{-2}^{3}x^2dx=frac{x^3}{3}|_{-2}^{3}=frac{3^3}{3}-frac{(-2)^3}{3}=9-frac83=frac{19}{3}=6frac13 $$
б) (int_{0}^{fracpi 3}sinxdx) $$ int_{0}^{fracpi 3}sinxdx=(-cosx)|_{0}^{fracpi 3}=-cosfracpi 3+cos0=-frac12+1=frac12 $$
в) (int_{1}^{2}left(e^x+frac 1xright)dx) $$ int_{1}^{2}left(e^x+frac 1xright)dx=(e^x+ln|x|)|_{1}^{2}=e^2+ln 2-e^1-underbrace{ln 1}_{=0}=e(e-1)+ln 2 $$
г) (int_{2}^{3}(2x-1)^2 dx) begin{gather*} int_{2}^{3}(2x-1)^2 dx=frac12cdotfrac{(2x-3)^3}{3}|_{2}^{3}=frac16((2cdot 3-1)^3)-(2cdot 2-1)^3)=frac{5^3-3^3}{6}=\ =frac{125-27}{6}=frac{98}{6}=frac{49}{3}=16frac13 end{gather*}
д) (int_{1}^{3}frac{dx}{3x-2}) begin{gather*} int_{1}^{3}frac{dx}{3x-2}=frac13cdot ln|3x-2| |_{1}^{3}=frac13left(ln 7-underbrace{ln 1}_{=0}right)=frac{ln 7}{3} end{gather*}
e) (int_{-1}^{4}frac{dx}{sqrt{3x+4}}) begin{gather*} int_{-1}^{4}frac{dx}{sqrt{3x+4}}=frac13cdotfrac{(3x+4)^{-frac12+1}}{-frac12+1}|_{-1}^{4}=frac23sqrt{3x+4}|_{-1}^{4}=\ =frac23left(sqrt{3cdot 4+4}-sqrt{3cdot(-1)+4}right)=frac23(4-1)=2 end{gather*}

Пример 2. Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале:
a) (f(x)=x^3+3, xinleft[-1;1right])
Пример 2a $$ S=int_{-1}^{1}(x^3+3)dx=left(frac{x^4}{4}+3xright)|_{-1}^{1}=frac14+3-left(frac14-3right)=6 $$
б) (f(x)=sin2x, xinleft[0;fracpi 2right])
Пример 2б $$ S=int_{0}^{fracpi 2}sin2xdx=-frac12cos2x|_{0}^{fracpi 2}=-frac12left(cosleft(2cdotfracpi 2right)-cos0right)=-frac12(-1-1)=1 $$
в) (f(x)=frac4x+3, xinleft[2;6right])
Пример 2в
(f(x)=frac4x+3) – гипербола с асимптотами (x=0, y=3)
Площадь под кривой: begin{gather*} S=int_{2}^{6}left(frac4x+3right)dx=(4cdot ln|x|+3x)|_{2}^{6}=(4ln 6+18)-(4ln 2+6)=\ =4(ln 6-ln 2)+12=4lnfrac62+12=4ln 3+12=4(ln 3+3) end{gather*}
г) (f(x)=frac{1}{sqrt{x}}, xinleft[1;4right])
Пример 2г $$ S=int_{1}^{4}frac{dx}{sqrt{x}}=frac{x^{-frac12+1}}{-frac12+1}|_{1}^{4}=2sqrt{x}|_{1}^{4}=2(sqrt{4}-sqrt{1})=2 $$

Пример 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) (y=x-2, y=x^2-4x+2)
Найдем точки пересечения прямой и параболы: $$ x-2=x^2-4x+2Rightarrow x^2-5x+4=0Rightarrow (x-1)(x-4)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=1,\ x=4 end{array} right. $$ Пример 3a
Функция сверху: (f(x)=x-2)
Функция снизу: (g(x)=x^2-4x+2)
Пределы интегрирования: (a=1, b=4) begin{gather*} S=int_{1}^{4}left((x-2)-(x^2-4x+2)right)dx=int_{1}^{4}(-x^2+5x-4)dx=\ =left(-frac{x^3}{3}+frac{5x^2}{2}-4xright)|_{1}^{4}=left(-frac{64}{3}+5cdotfrac{16}{2}-4cdot 4right)-left(-frac13+frac52-4right)=\ =-frac{63}{3}+24+1,5=4,5 end{gather*} Ответ: 4,5
б) (y=e^{frac x2}, y=frac1x, x=2, x=3)
Пример 3б
Функция сверху: (f(x)=e^{x/2})
Функция снизу: (g(x)=frac1x)
Пределы интегрирования: (a=2, b=3) begin{gather*} S=int_{2}^{3}left(e^{x/2}-frac1xright)dx=(2e^{x/2}-ln|x|)|_{2}^{3}=left(2e^{frac32}-ln 3right)-(2e-ln 2)=\ =2e^{frac32}-2e-ln 3+ln 2=2e(sqrt{e}-1)+lnfrac23 end{gather*} Ответ: (2e(sqrt{e}-1)+lnfrac23)
в*) (y=3-x^2, y=1+|x|)
Найдем точки пересечения ломаной и параболы: begin{gather*} 3-x^2=1+|x|Rightarrow x^2+|x|-2=0Rightarrow left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ x^2+x-2=0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ x^2-x-2=0 end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ (x+2)(x-1)=0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ (x-2)(x+1)=0 end{cases} end{array} right. Rightarrow \ left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ left[ begin{array}{l} x=-2\ x=1 end{array} right. end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ left[ begin{array}{l} x=2\ x=-1 end{array} right. end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=1\ x=-1 end{array} right. end{gather*} Пример 3в
Функция сверху: (f(x)=3-x^2)
Функция снизу: (g(x)=1+|x|)
Пределы интегрирования: (a=-1, b=1)
Чтобы не раскрывать модуль под интегралом, заметим, что площади на интервалах [-1;0] и [0;1] равны, т.к. обе функции четные и симметричные относительно оси OY. Поэтому можно рассматривать только положительные (xinleft[0;1right]), найти для них интеграл (площадь) и умножить на 2: begin{gather*} S=2int_{0}^{1}left((3-x^2)-(1+x)right)dx=2int_{0}^{1}(-x^2-x+2)dx=2left(-frac{x^3}{3}-frac{x^2}{2}+2xright)|_{0}^{1}=\ =2left(-frac13-frac12+2right)-0=frac73=2frac13 end{gather*} Ответ: (2frac13)
г*) (y=3sinx, y=cosx, x=-frac{5pi}{4}, x=fracpi 4)
Пример 3г
На отрезке (left[-frac{5pi}{4};-frac{3pi}{4}right]) синус над косинусом, далее на (left[-frac{3pi}{4};frac{pi}{4}right]) – косинус над синусом.
Площадь фигуры, закрашенной голубым, в два раза больше площади фигуры, закрашенной сиреневым. Поэтому общая площадь будет равна трем площадям, закрашенным сиреневым: begin{gather*} S=3int_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}(sinx-cosx)dx=3(-cosx-sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}=-3(cosx+sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}} end{gather*} Прибавим полный период, он одинаков для обеих функций:
(-frac{3pi}{4}+2pi=frac{5pi}{4}; -frac{5pi}{4}+2pi=frac{3pi}{4}) begin{gather*} -3(cosx+sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}=-3left(cosleft(frac{5pi}{4}right)+sinleft(frac{5pi}{4}right)-cosleft(frac{3pi}{4}right)-sinleft(frac{3pi}{4}right)right)=\ =-3left(-frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}right)=3sqrt{2} end{gather*} Ответ: (3sqrt{2})

Пример 4*. Пусть (S(k)) – это площадь фигуры, образованной параболой (y=x^2+2x-3) и прямой (y=kx+1). Найдите (S(-1)) и вычислите наименьшее значение (S(k)).

1) Найдем (S(-1)).
(k=-1, y=-x+1 )

Пример 4 Точки пересечения прямой и параболы: begin{gather*} -x+1=x^2+2x-3\ x^2+3x-4=0\ (x+4)(x-1)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=-4,\ x=1 end{array} right. end{gather*} Функция сверху: (y=-x+1)
Функция снизу: (y=x^2+2x-3)
Пределы интегрирования: (a=-4, b=1)

begin{gather*} S(-1)=int_{-4}^{1}left((-x+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_{-4}^{1}(-x-3x+4)dx=\ =left(-frac{x^3}{3}-frac{3x^2}{2}+4xright)|_{-4}^{1}=left(-frac13-frac32+4right)-left(frac{64}{3}-24-16right)=-21frac23+42frac12=20frac56 end{gather*}
2) Решаем в общем виде.
Все прямые (y=kx+1) проходят через точку (0;1) и при образовании фигуры находятся над параболой.
Точки пересечения прямой и параболы: begin{gather*} kx+1=x^2+2x-3Rightarrow x^2+(2-k)x-4=0\ D=(2-k)^2-4cdot (-4)=(k-2)^2+16gt 0 end{gather*} Дискриминант (Dgt 0) при всех (k). Точки пересечения (пределы интегрирования): $$ x_{1,2}=frac{-(2-k)pmsqrt{D}}{2}=frac{k-2pmsqrt{D}}{2} $$ Разность корней: $$ x_2-x_1=sqrt{D}=sqrt{(k-2)^2+16} $$ Минимальное значение разности корней будет при (k=2).
Площадь: begin{gather*} S(k)=int_{x_1}^{x_2}left((kx+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_{x_1}^{x_2}(-x^2+(k-2)x+4)dx=\ =left(-frac{x^3}{3}+frac{(k-2)x^2}{2}+4xright)|_{x_1}^{x_2}=-frac13(x_2^3-x_1^3)+frac{k-2}{2}(x_2^2-x_1^2)+4(x_2-x_1) end{gather*}

Пример 4 begin{gather*} S(k)_{min}=S(2)\ x_{1,2}=pm 2\ S(2)=-frac13cdot(2^3+2^3)+0+4sqrt{16}=\ =-frac{16}{3}+16=frac{32}{3}=10frac23 end{gather*}

Ответ: 1) (S(-1)=20frac56); 2) (S(k)_{min}=S(2)=10frac23)

Пример 5*. Фигура ограничена линиями (y=(x+3)^2, y=0, x=0). Под каким углом к оси OX надо провести прямые через точку (0;9), чтобы они разбивали фигуру на три равновеликие части?

Пример 4 Площадь криволинейной трапеции AOB: begin{gather*} S_0=int_{-3}^{0}(x+3)^2dx=frac{(x+3)^3}{3}|_{-3}^{0}=\ =9-0=9 end{gather*} Площадь каждой части: (S_i=frac13 S_0=3)
Точки (C(x_1; 0)) и (D(x_2; 0)) c (-3lt x_1lt x_2lt 0) такие, что прямые AC и AD отсекают по 1/3 от фигуры.
Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOD): begin{gather*} S_3=frac12|x_2|cdot 9=3Rightarrow |x_2|=frac69=frac23Rightarrow\ x_2=-frac23 end{gather*} Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOC): begin{gather*} S_2+S_3=frac12|x_1|cdot 9=6Rightarrow |x_1|=frac{12}{9}=frac43Rightarrow\ x_1=-frac43 end{gather*}

Находим углы соответствующих прямых.
Для (x_1: tgalpha=frac{9}{|x_1|}=frac{9}{4/3}=frac{27}{4}, alpha=arctgfrac{27}{4})
Для (x_x: tgbeta=frac{9}{|x_2|}=frac{9}{2/3}=frac{27}{2}, beta=arctgfrac{27}{2})

Ответ: (arctgfrac{27}{4}) и (arctgfrac{27}{2})

Источник

Ключевые слова: интеграл, криволинейная
трапеция, площадь фигур, ограниченных лилиями

Оборудование: маркерная доска, компьютер,
мультимедиа-проектор

Тип урока: урок-лекция

Цели урока:

  • воспитательные: формировать культуру
    умственного труда, создавать для каждого ученика
    ситуацию успеха, формировать положительную
    мотивацию к учению; развивать умение говорить и
    слушать других.
  • развивающие: формирование
    самостоятельности мышления ученика по
    применению знаний в различных ситуациях, умения
    анализировать и делать выводы, развитие логики,
    развитие умения правильно ставить вопросы и
    находить на них ответы. Совершенствование
    формирования вычислительных, расчётных навыков,
    развитие мышления учащихся в ходе выполнения
    предложенных заданий, развитие алгоритмической
    культуры.
  • образовательные: сформировать понятия о
    криволинейной трапеции, об интеграле, овладеть
    навыками вычисления площадей плоских фигур

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.

Ход урока

В предыдущих классах мы научились вычислять
площади фигур, границами которых являются
ломаные. В математике существуют методы,
позволяющие вычислять площади фигур,
ограниченных кривыми. Такие фигуры называются
криволинейными трапециями, и вычисляют их
площадь с помощью первообразных.

Криволинейная трапеция (слайд 1)

Криволинейной трапецией называется фигура,
ограниченная графиком функции , (щ.м.), прямыми x
= a и x = b и осью абсцисс

Различные виды криволинейных трапеций (слайд
2)

Рассматриваем различные виды криволинейных
трапеций и замечаем: одна из прямых вырождена в
точку, роль ограничивающей функции играет прямая

Площадь криволинейной трапеции (слайд 3)

Зафиксируем левый конец промежутка а, а
правый х будем менять, т. е., мы двигаем правую
стенку криволинейной трапеции и получаем
меняющуюся фигуру. Площадь переменной
криволинейной трапеции, ограниченной графиком
функции , является первообразной F для
функции f

И на отрезке [a; b] площадь криволинейной
трапеции, образованной функцией f, равна
приращению первообразной этой функции:

S к. т.

Задание 1:

Найти площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции: f(x) = х2 и
прямыми у = 0, х = 1, х = 2.

Решение: (по алгоритму слайд 3)

Начертим график функции и прямые

Найдём одну из первообразных функции f(x) = х2
:

F(x) =
,

Значит

Самопроверка по слайду

Интеграл

Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную
функцией f на отрезке [a; b]. Разобьём этот
отрезок на несколько частей. Площадь всей
трапеции разобьётся на сумму площадей более
мелких криволинейных трапеций. (слайд 5).
Каждую такую трапецию можно приближённо считать
прямоугольником. Сумма площадей этих
прямоугольников даёт приближённое
представление о всей площади криволинейной
трапеции. Чем мельче мы разобьём отрезок [a; b],
тем точнее вычислим площадь.

Запишем эти рассуждения в виде формул.

Разделим отрезок [a; b] на n частей точками х0
=а, х1,… ,хn = b. Длину k-го обозначим через хk = xk – xk-1. Составим сумму

Геометрически эта сумма представляет собой
площадь фигуры, заштрихованной на рисунке (щ.м.)

Суммы вида
называются интегральными суммами для функции f.
(щ.м.)

Интегральные суммы дают приближённое значение
площади. Точное значение получается при помощи
предельного перехода. Представим, что мы
измельчаем разбиение отрезка [a; b] так, что
длины всех маленьких отрезков стремятся к нулю.
Тогда площадь составленной фигуры будет
приближаться к площади криволинейной трапеции.
Можно сказать, что площадь криволинейной
трапеции равна пределу интегральных сумм, Sк.т.
(щ.м.) или
интегралу, т. е.,

Определение:

Интегралом функции f (х) от a до b
называется предел интегральных сумм

= (щ.м.)

Формула Ньютона- Лейбница.

Помним, что предел интегральных сумм равен
площади криволинейной трапеции, значит можно
записать:

Sк.т. = (щ.м.)

С другой стороны, площадь криволинейной
трапеции вычисляется по формуле

S к. т. (щ.м.)

Сравнивая эти формулы, получим:

= (щ.м.)

Это равенство называется формулой Ньютона-
Лейбница.

Для удобства вычислений формулу записывают в
виде:

= = (щ.м.)

Задания: (щ.м.)

1. Вычислить интеграл по формуле Ньютона-
Лейбница: (проверяем по слайду 5)

2. Составить интегралы по чертежу (проверяем
по слайду 6)

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у
= х3, у = 0, х = 1, х = 2. (Слайд 7)

Нахождение площадей плоских фигур (слайд 8)

Как найти площадь фигур, которые не являются
криволинейными трапециями?

Пусть даны две функции, графики которых вы
видите на слайде. (щ.м.) Необходимо найти
площадь закрашенной фигуры. (щ.м.). Фигура, о
которой идёт речь, является криволинейной
трапецией? А как можно найти её площадь,
пользуясь свойством аддитивности площади?
Рассмотреть две криволинейные трапеции и из
площади одной из них вычесть площадь другой (щ.м.)

Составим алгоритм нахождения площади по
анимации на слайде:

  1. Построить графики функций
  2. Спроецировать точки пересечения графиков на
    ось абсцисс
  3. Заштриховать фигуру, полученную при
    пересечении графиков
  4. Найти криволинейные трапеции, пересечение или
    объединение которых есть данная фигура.
  5. Вычислить площадь каждой из них
  6. Найти разность или сумму площадей

Устное задание: Как получить площадь
заштрихованной фигуры (рассказать при помощи
анимации, слайд 8 и 9)

Домашнее задание: Проработать
конспект, №353 (а), № 364 (а).

Список литературы

  1. Алгебра и начала анализа: учебник для 9-11 классов
    вечерней (сменной) школы/ под ред. Г.Д. Глейзера. –
    М: Просвещение, 1983.
  2. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учебное
    пособие для 10-11 кл.сред.шк./ Башмаков М.И. – М:
    Просвещение, 1991.
  3. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений
    нач. и сред. проф. образования/ М.И. Башмаков. – М:
    Академия, 2010.
  4. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа:
    учебник для 10-11 кл. общеобразовательных
    учреждений/ А.Н.Колмогоров. – М: Просвещение, 2010.
  5. Островский С.Л. Как сделать презентацию к уроку?/
    C.Л. Островский. – М.: Первое сентября, 2010.

Источник

10
Авг 2013

Категория: 07 Производная, ПО

07. Первообразная

2013-08-10
2022-09-11

Задача 1. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x)  (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2), где F(x)  — одна из первообразных функции f(x).

у

Решение: + показать


Задача 2. На рисунке изображён график некоторой функции  y=f(x). Функция F(x)=x^3+12x^2+51x-3 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

ed

Решение: + показать


Задача 3. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-frac{4}{9}x^3-frac{34}{3}x^2-frac{280}{3}x-frac{18}{5} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

u

Решение: + показать


Задача 4. На рисунке изображён график функции y=F(x) – одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-2;4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0  на отрезке [-1;3].

r

Решение: + показать


колоЗагляните –> + показать

тест

Вы можете пройти тест «Первообразная»

Автор: egeMax |

комментариев 7

Источник

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Задание 7

В этой статье мы будем учиться решать задачи на нахождение площади криволинейной трапеции.

Как всегда, начнем с теории. Как вы помните, неопределенный интеграл  от функции –  это множество всех первообразных F(x):

∫{f(x)dx}=F(x)+C

В неопределенном интеграле не заданы границы интегрирования, и в результате нахождения неопределенного интеграла от функции f(x) мы получаем множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину С.

Если заданы границы интегрирования, то мы получаем определенный интеграл:

int{a}{b}{f(x)dx}

Здесь число a  – нижний предел интегрирования, число b – верхний предел интегрирования. Определенный интеграл – это ЧИСЛО, значение которого вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:

int{a}{b}{f(x)dx} = F(b)-F(a).

F(a) – это значение первообразной функции f(x) в точке a, и, соответственно, F(b) – это значение первообразной функции f(x) в точке b.

Для нас с точки зрения решения задач важное значение имеет геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке:

Зеленая фигура, ограниченая сверху графиком функции y=f(x), слева прямой x=a, справа прямой x=b, и снизу осью ОХ называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл int{a}{b}{f(x)dx} – это число, равное площади криволинейной трапеции – фигуры, ограниченой сверху графиком положительной на отрезке  [a;b] функции y=f(x), слева прямой x=a, справа прямой x=b, и снизу осью ОХ.

Решим задачу из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике. 

Прототип Задания 7 (№ 323080)

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3-27x^2-240x-8 — одна из первообразных функции f(x) . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Закрашенная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), слева прямой x=-10, справа прямой x=-8, и снизу осью ОХ.

Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

S=int{-10}{-8}{f(x)dx} = F(-8)-F(-10), где F(x) – первообразная функции f(x).

По условию задачи F(x)=-x^3-27x^2-240x-8, поэтому, чтобы найти площадь фигуры, нам нужно найти значение первообразной в точке -8, в точке -10, и затем из первого вычесть второе.

Замечу, что в этих задачах очень часто возникают ошибки именно в вычислениях, поэтому советую аккуратно и подробно их записывать, и ничего не считать “в уме”.

F(-8)= -(-8)^3-27(-8)^2-240(-8)-8 =512-1728+1920-8=696

F(-10)=-(-10)^3-27(-10)^2-240(-10)-8=1000-2700+2400-8=692

F(-8)-F(-10)=696-692=4 

Ответ: 4

Посмотрите небольшую видеолекцию,  в которой решены все типы задач на первообразную:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

 

Источник

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам 

1. На клетчатой бумаге с размером клетки  изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: frac{AD+BC}{2}=frac{4+2}{2}=3.

Ответ: 3.

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла alpha равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна {90}^{circ}. Тогда angle alpha =frac{{90}^{circ}}{2}={45}^{circ}.

Ответ: 45.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на frac{sqrt{5}}{2}.

Решение:

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

OB=sqrt{16+4}=sqrt{20}=2sqrt{5}

{sin alpha }={sin angle AOB}=frac{4}{2sqrt{5}}=frac{2}{sqrt{5}}. Осталось умножить найденное значение синуса на frac{sqrt{5}}{2}.

frac{2}{sqrt{5}}cdot frac{sqrt{5}}{2}=1

Ответ: 1.

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

 , где d_1 и d_2 — диагонали.

Получим: 

Ответ: 12.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Ответ: 18.

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным 5. Высоты этих треугольников равны 2 и 3. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: S = 5 + 7,5 = 12,5.

Ответ: 12,5.

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной 5 и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: S=25-5-5-4,5=10,5.

Ответ: 10,5.

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 – 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки  

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером 4times 4 отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна frac{1}{2}cdot 3cdot 2=3.

Площадь каждого из маленьких треугольников равна frac{1}{2}cdot 1cdot 2=1.

Тогда площадь четырехугольника S= 16 - 2 - 2 - 1 - 1 - 3 - 3 = 4.

9. Авторская задача.  Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 

Решение:

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 – 4 = 32.

Ответ: 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга 

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна pi R^2=pi, так как R=1. Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна 2pi R=2pi (так как R=1), а длина дуги данного сектора равна 2, следовательно, длина дуги в pi раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в pi раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в pi раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: 1.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще frac{1}{8} круга, то есть frac{3}{8} круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на frac{3}{8}. Получим:

frac{3}{8}cdot 2,8 =1,05

Ответ: 1,05.

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна pi R^2, то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в {frac{4}{3}}^2 = frac{16}{9} раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 – 9 = 7.

Ответ: 7.

Задачи на координатной плоскости 

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда a^2=S=20.

Ответ: 20

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты left(1;7right),left(9;2right),left(9;4right),left(1;9right).

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Ответ: 16.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Геометрия. Применение формул. Задача 1 Базового ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Добавить комментарий