Как найти площадь закрашенных фигур на чертежах

Будучи школьником, когда ещё не было этих ваших интернетов, а я готовился к поступлению, мне позарез нужны были хорошие задачники и учебники, где всё коротко и по делу. И мало кто мог посоветовать что-то стоящее. Если у вас та же проблема, то рекомендую Галицкого по алгебре, Гордина по геометрии.

А ещё есть замечательный автор — Эдуард Николаевич Балаян. Он создал ни одну хорошую книгу для школьников. В том числе и для подготовки к олимпиадам. Полезно порешать и тем, кто претендует на 100 баллов по ЕГЭ. Причем начинать заниматься можно уже с 7 класса.

Сегодня хочу показать одну из последних задач для 9 класса из его книги “Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ” (для 7-9 классов). Нам нужно найти площадь заштрихованной фигуры. Все данные на рисунке.

Всё, что у нас есть — равносторонний треугольник со стороной 15. Найти надо площадь заштрихованного трёхлистника.

Почти никто из девятиклассников эту задачу не решил за отведенное время. В школьных учебниках такие редко встречаются. А задача интересная и в приницпе несложная, надо только немного подумать, что-то достроить и все решится почти само. Сложных формул здесь нет.

Для тех, кто уже всё решил, вот ответ для сверки: S=75•(π-1,5√3)=112,5√3. Тех, кто не понимает, как получился этот ответ, приглашаю читать дальше.

Решение

Раз у нас равносторонний треугольник, понятно, что дуги окружностей одинаковые и наш трехлистник полностью симметричен относительно любой из высот треугольника. А ещё вспоминаем о том, что высоты в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка, к слову, является точкой пересечения всех трех дуг и по совместительству центром описанной возле треугольника окружности. Добавьте к этому формулу площади круга S=π•R² и получите всё, что нужно знать для решения этой задачи.

Пусть сторона правильного треугольника а=15. Тогда радиус окружности, описанной вокруг треугольника равен R=a/√3, а её площадь равна Sокр=π•a²/3. А площадь самого треугольника (эта формула дается в школе как самостоятельная, но её несложно вывести) равна S▲=(a²•√3)/4.

Теперь самое время заметить, что круг состоит из треугольника и трех жёлтых фрагментов за его пределами. Sокр=S▲+Sж, откуда Sж=Sокр-S▲.

Но если мы раскрасим три эти фрагмента в разные цвета и “загнем” внутрь треугольника, обнаружится, что их площадь в сумме (Sж) дает площадь треугольника (S▲) плюс площадь искомого трехлистника (S). Sж=S▲+S. Откуда искомая площадь S=Sж-S▲.

Учитывая ранее выведенное равенство Sж=Sокр-S▲, получаем, что искомая площадь находится через площадь описанной окружности и площадь треугольника S=Sокр-2•S▲=π•a²/3 – (a²•√3)/2 = π•15²/3 – 15²√3/2 = 15²/6•(2π-3√3) = 37,5•(2π-3√3) = 70•(π-1,5√3) = 112,5√3.

Как вам задача? Если понравилась, то, где найти похожие, вы знаете. Можете не благодарить, поставьте лайк, подпишитесь на канал и велком на мои каналы в Ютубе, Инстаграме и ТикТоке.

Ещё интересно: Где искать репетитора ребенку и как развить у него логику и нестандартное мышление

Задача про яблоки, которая вынесла почти всех

Легендарная задача, которая сбила с толку половину моих одноклассников и до сих путает учеников и родителей