Как найти площадь закрашенных фигур у прямоугольников

Друзья, я знаю, что вы любите задачка с нахождением площади закрашенной области 🙂 В этой заметке разберем очередную такую задачку.

Задача

Дан прямоугольник со сторонами 20 и 10, в который вписано две окружности, которые касаются друг друга. Проведена также диагональ прямоугольника. Найти площадь закрашенной области.

Остановитесь на этом моменте, возьмите карандаш с черновиком, и попробуйте сделать задачу самостоятельно.

Решение:

Изначально можно предположить, что нам понадобится общая формула для площадей сегментов круга. Выведем её из элементарной геометрии:

Если мы начнем применять эту формулу к нашей задаче, сможем выразить площадь желтых сегментов следующим образом:

И дальнейшими манипуляциями сможем дойти до конца… НО, если немного подумать, то такие усложнения не нужны. Потому что диагональю окружности делятся на попарно одинаковые сегменты. А потом из треугольника откусываются два сегмента, которые суммарно составляют цельную одну окружность:

То есть нужно из площади половины прямоугольника (площади прямоугольного треугольника) отнять площадь одного круга. И мы получим площадь закрашенной красным цветом области: 100 – 25π

Задача решена.

Понравилась задачка? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно 🙂

Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK

Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram

Для начала добавим точки G и H на чертёж, чтобы потом было проще объяснить процесс решения:

Теперь площадь закрашенной фигуры AGCE можно найти, как разность площади целого прямоугольника ABCD и площадей трёх фигур, которые остались не закрашенными, а именно прямоугольной трапеции ABHG, прямоугольного треугольника CGH и прямоугольного треугольника CDE ( впрочем, возможны и другие варианты трапеций и треугольников ).

Площадь прямоугольника ABCD равна произведению длин его сторон:

S(ABCD) = AB * AD = ( AF + BF ) * ( AE + DE ) =

= ( 3 + 2 ) * ( 2 + 2 ) = 5 * 4 = 20 см²

Площадь прямоугольной трапеции ABHG равна половине произведения суммы длин её оснований и её же высоты:

S(ABHG) = ( AB + GH ) * BH / 2 =

= ( AF + FB + FB ) * AE / 2 =

= ( 3 + 2 + 2 ) * 2 / 2 = 7 см²

Площадь прямоугольного треугольника CGH равна половине произведения его катетов CH и GH:

S(CGH) = CH * GH / 2 =

= ED * FB / 2 = 2 * 2 / 2 = 2 см²

Площадь прямоугольного треугольника CDE равна половине произведения его катетов ED и CD:

S(CDE) = ED * DC / 2 =

= ED * ( AF + FB ) / 2 =

= 2 * ( 3 + 2 ) / 2 = 5 см²

Ну, и наконец можно найти площадь закрашенной фигуры AGCE:

S(AGCE) = S(ABCD) – S(ABHG) -S(CGH) – S(CDE) =

= 20 – 7 – 2 – 5 = 6 см²

Ответ: площадь закрашенной фигуры равна В) 6 см²

• 08
  

  Дек 17

• 

Найди площадь закрашенных фигур:

3 октября 2013

В этом коротком уроке мы научимся считать площади фигур без координатной сетки. Здесь не будет никаких клеточек, никаких пересечений и узлов. Будет только система координат и несколько отмеченных чисел.

Как решать такие задачи? В первую очередь, следует отметить, что у нас все-таки есть линии разметки, а точнее проекции точек на оси координат. И именно они потребуются нам для решения задачи. Причем схема будет даже чуть проще, чем при вычислении площадей методом обводки на координатной сетке. Взгляните на задачу:

Задача B5. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

Итак, первый шаг: чертим описанный прямоугольник. Для этого продолжаем линии разметки таким образом, чтобы получилась замкнутая фигура. Это и будет искомый описанный прямоугольник, причем вершины искомой фигуры будут высекать на сторонах этого прямоугольника отдельные отрезки. А значит нам снова нужна формула площади треугольника:

S = 0,5ab

где a и b — катеты (разумеется, речь идет только о прямоугольном треугольнике). А так же пригодится площадь прямоугольника:

S = ab

где a и b — смежные стороны.

В нашем случае таких треугольников получилось три. Обозначим их S₁, S₂ и S₃. Чтобы сосчитать их площади, нужно сначала найти длину каждого катета. Например, наибольший катер в треугольнике S₁ равен a = 8 − 1 = 7, а меньший катет b = 3 − 2 = 1.

Обратите внимание: мы всегда вычитаем из большей абсциссы меньшую, а также из большей ординаты меньшую. Для треугольника S₂ верхний катет будет равен a = 5 − 3 = 2, а боковой катет равен b = 8 − 2 = 6. Наконец, для треугольника S₃ больший катет будет равен a = 5 − 2 = 3, а меньший катет равен b = 2 − 1 = 1.

Находим площади полученных треугольников:

S₁ = 0,5 · 1 · 7 = 3,5;
S₂ = 0,5 · 2 · 6 = 6;
S₃ = 0,5 · 1 · 3 = 1,5.

Кроме того, нам нужно найти общую площадь описанного прямоугольника. Его стороны равны 7 и 3, а значит площадь равна:

S₀ = 7 · 3 = 21.

Осталось выполнить последний шаг. Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из общей площади вычесть площадь дополнительных треугольников, которые мы получили, когда описывали прямоугольник. Получим:

S = S₀ − (S₁ + S₂ + S₃) = 21 − (3,5 + 6 + 1,5) = 21 − 11 = 10

Это и является ответом. Площадь закрашенного треугольника равна 10. Как видите, общая схема решения и объем вычислений ничем не отличается от стандартных задач B5 из ЕГЭ по математике, в которых присутствует координатная сетка. Достаточно небольшой тренировки — и вы будете решать эти задачи почти устно.

Смотрите также:

1. Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат
2. Опасные ошибки в задачах на площади
3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
5. Упрощаем решение задач с помощью замены переменной
6. Задача B4: расчет времени в пути