Как найти площадь замкнутой ломаной - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Лек ция 16

Площадь
многоугольника в евклидовой геометрии.
Теоремы существования измерения площади
фигуры.

Теорема
единственности.

Определение
16.1. Ломаной

называется фигура, состоящая n-1
отрезков
–
звеньев ломаной.

Определение
16.2. Ломаная
называется простой, если смежные звенья
(А₁А₂
и А₂А₃,
А₃А₄
и А₄А₅)
не лежат на одной прямой и несмежные
звенья не имеют общих точек.

Определение
16.3. Ломаная
называется замкнутой, если ее концы
совпадают (.

Определение
16.4. Объединение
замкнутой ломаной и её внутренней
области называется многоугольником.
Замкнутая ломаная, ограничивающая
многоугольник, является его границей.

Определение
16.5. Многоугольник
называется ориентированным, если указан
порядок обхода его вершин, т.е.
.

Пусть
.
Введем на многоугольниках
ориентации
так, чтобы общие вершины

и
,

и

следовали друг за другом в одном и том
же порядке. В этом случае говорят, что
ориентации этих многоугольников
согласованы и
.

Пусть
–
евклидова плоскость, М
– множество всех многоугольников данной
плоскости,
–
единичный вектор, перпендикулярный
плоскости
,

и

– произвольные векторы, параллельные
плоскости
.

Смешанное
произведение

обозначим
.

Выберем на плоскости
ортонормированный базис

так, чтобы
.

Если в данном
базисе

Пусть

ориентированный n-угольник,
а точка О – произвольная точка
.

Определение
16.6. Число
,
где

и

называется характеристикой многоугольника
F.

Если в прямоугольной
системе координат

плоскости

вершины многоугольника

имеют координаты
где
i=
1,2…n,
то характеристику многоугольника можно
записать в виде:

()

Свойства
характеристики многоугольника

1). Характеристика
многоугольника

не зависит от выбора точки О на плоскости
;

2). Если
,
то
>
и
>;

3). Если

– произвольный многоугольник, то
,
поэтому
>0
;

4). При замене
ориентации многоугольника характеристика
меняет знак на противоположный, но
абсолютная величина характеристики не
меняется.

5). Любой многоугольник
можно ориентировать так, чтобы его
характеристика была положительной.

Рассмотрим множество
М
всех многоугольников на евклидовой
плоскости. Говорят, что установлено
измерение площадей многоугольников
если определено отображение:
,
удовлетворяет следующим аксиомам:

1). Если
,то

;

2). Если
F=F₁+F_2,то
S(F)=S(F₁)+S(F₂);

3). Если S(P₀)=1.
где Р₀
– квадрат, построенный на единичном
отрезке как на стороне.

Определение
16.7. Положительное
число S(F)
называется мерой или площадью
многоугольника F,
а квадрат P₀–
единичный квадрат.

Теорема 16.8.
(теорема существования) Отображение

по закону

удовлетворяет аксиомам 1, 2, 3 измерения
площадей.

Доказательство:

Докажем, что если
F=F’,
то S(F)=
S(F’)
.

Так как F=F’,
то существует движение, которое
многоугольник

переводит в многоугольник
.
Данное движение может быть заданно
двумя ортонормированными реперами

и
.
Если
–
вершины многоугольника

в репере
,
то
–
вершины многоугольника

в репере
.
Поэтому по формуле ()
получаем
,
а значит, S(F)=
S(F’).

2) Докажем что если
F=F₁+F₂
, то S(F)=
S(F₁)+
S(F₂)
многоугольник.

Многоугольник F
ориентирован так, чтобы
>0.
Введем на F₁и F₂ориентации,
согласованные с ориентацией многоугольника
.
Тогда
.
Докажем, что
.

Пусть М₀……М_к
– ломаная, которая разбивает многоугольник
F
на многоугольники F₁
и F₂,
а
– радиус–векторы вершин этой ломаной,

радиус-векторы
вершин многоугольника А_1….А_n_.

Сложив эти равенства
и учитывая второе свойство характеристики,
имеем

Так
как точка М₀– точка
отрезка А₁А_n,
то
,
поэтому
.

Аналогично
.
Значит,
=

S(F)=
S(F₁)+
S(F₂)

3) Пусть

– квадрат, построенный на единичном
отрезке. В системе координат

его вершины имеют координаты О(0,0),
А₁(1,0),
А₂(0,1),
А₃(1,1).
Высчитав
характеристику, имеем:
.

Для её доказательства
теоремы единственности необходимо
следующие теоремы.

Теорема 16.9.
Если

– отображение, удовлетворяющее аксиомам
1,2,3, то
,
где
– прямоугольник, стороны которые равны

и
.

Теорема 16.10.
Если

– отображение, удовлетворяющее аксиомам
1,2,3, то
,
где Р–
треугольник,
–
одна из его сторон, а
–
соответствующая высота.

Теорема 16.11.
(теорема
единственности площади)

Если выбран
единичный отрезок, то существует не
более одного отображения

удовлетворяющего аксиомам 1,2,3.

Доказательство:
(методом от противного).

1). Пусть существуют
два отображения

и

которые удовлетворяют аксиомам 1,2,3, при
одном и том же выборе единичного отрезка.

2). Возьмем
произвольный многоугольник F
и разложим
его на конечное множество треугольников:
.
По аксиоме 2 имеем:

при
.
Полученное равенство справедливо для
любого многоугольника, следовательно,
допущение неверно и , значит, отображения
.

Следствие16.11.1.
При любом способе разложения многоугольника
на конечное множество треугольников
сумма площадей этих треугольников одна
и та же.

Следствие 16.11.2.
Если вершины многоугольника А₁…А_n в прямоугольной
системе координат заданы своими
координатами, то

Определение
16.12. Два
многоугольника называются равновеликими,
если их площади равны.

Определение
16.13. Два
многоугольника называются равносоставленными,
если их можно разложить на одно и то же
число равных многоугольников.

Если 2 многоугольника
равносоставлены, то они и равновелики.

Соседние файлы в папке вопрос 13

Источник

Площадь многоугольника

На чтение 2 мин Просмотров 3.2к. Опубликовано 22 января, 2021

Одна из прикладных задач, которые решает геометрия — вычисление площадей многоугольников. Это необходимо строителям, земледельцам, конструкторам, летчикам, геологам. Даже в повседневной жизни знание формул, показывающих, как узнать площадь многоугольника, часто выручает при ремонте квартиры или дома.

Сначала определимся, что такое многоугольник, и что такое площадь. В геометрии многоугольником называют фигуру на плоскости, образованную замкнутой ломаной линией с количеством звеньев более 2-х. Это все известные и неизвестные нам фигуры, начиная от треугольника — квадрат, трапеция, ромб, шестиугольник, восьмиугольник и т.д. Готовые формулы, как найти площадь многоугольника созданы практически для каждой правильной фигуры с конечным количеством сторон. А вот что делать с неправильными?

Площади самых распространенных многоугольников можно найти по готовым формулам:

площадь многоугольника формула

Правильным многоугольником называется фигура, у которой все стороны равны, а смежные углы одинаковые. Площадь — часть плоскости, в которой лежит фигура, заключенная между ее сторонами. Если многоугольник нарисован в тетради в клеточку, то площадь — это количество квадратиков внутри фигуры. За единицу площади принят квадратный метр (м²), или квадратный сантиметр (см²), в зависимости от размеров многоугольника.

Квадратный метр — площадь квадрата со сторонами длиной в 1 м;
Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см.
В одном м² помещается 10000 см²_;
1 см² = 1 ∙ 10^-4см.

Площадь многоугольника не обязательно равна целому числу квадратных единиц. Если у вас получится площадь, например, 22, 3 см², расстраиваться не нужно. Есть еще квадратные миллиметры и более мелкие единицы.

Универсальный способ вычисления площади правильного многоугольника

Чтобы не запоминать десятки готовых формул, можно выучить только одну — как найти площадь многоугольника через периметр. Способ этот простой и не требует большого объема вычислений. Для работы нужны только линейка и карандаш.

Источник

Площади многоугольников на координатной сетке

5 февраля 2011

Многоугольники на координатной сетке — это самые простые задачи B5. Существует сразу несколько методов решения таких задачи, в том числе универсальный, описанный ниже. Для начала определимся с терминологией:

Многоугольник — фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Большинство многоугольников, встречающихся в ЕГЭ, являются выпуклыми, т.е. не имеют внутренних углов размером больше 180°, а все вершины многоугольника лежат в узлах координатной сетки. Кроме того, ломаная, ограничивающая многоугольник, не имеет самопересечений. Все это значительно упрощает задачу.

Для решения всех задач этого типа достаточно выполнить четыре простых шага:

Описать вокруг многоугольника прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат (линиям сетки). При этом желательно, чтобы на каждой стороне прямоугольника присутствовала хотя бы одна вершина исходной фигуры;
Разбить внутреннее пространство прямоугольника, не занятое исходной фигурой, на квадраты и треугольники. Лучше, если все линии разбиения будут параллельны осям координат;
Найти площадь каждого элемента разбиения. Сложив эти площади, получим площадь всего разбиения;
Наконец, из площади прямоугольника вычесть площадь разбиения — это и будет площадью исходной фигуры.

Несмотря на большое количество элементов разбиения, вычисление его площади — достаточно тривиальная задача.

Проиллюстрируем каждый шаг решения:

Последним шагом найдем площадь исходной фигуры: S_исх = S − (S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + S₅), где S — площадь описанного прямоугольника. Осталось вычислить площадь большого прямоугольника и элементов разбиения. Эти несложные расчеты предлагается выполнить читателю в качестве упражнения.