В едином государственном экзамене по математике в части B есть задача, где нужно вычислить площадь закрашенной фигуры. Несмотря на свою простоту, в этой задаче часто допускают ошибки. В этой статье вы узнаете, как решить задачу части В, зная всего лишь одну формулу (площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов).
Пример 1
Площадь красного квадрата = 6 х 6 = 36.
Площадь фигуры 1 = (6 х 1) / 2 = 3.
Площадь фигуры 2 = (4 х 1) / 2 = 2
Площадь фигуры 3 = 1 х 1 = 1
Площадь фигуры 4 = (3 х 1) / 2 = 1,5
Площадь фигуры 5 = (2 х 6) / 2 = 6
Площадь закрашенной фигуры = 36 – (3 + 2 + 1 + 1,5 + 6) = 36 – 13,5 = 22,5
Пример 2
Площадь закрашенного треугольника в прямоугольнике 1 = (6 х 4) / 2 = 12
Площадь закрашенного треугольника в прямоугольнике 2 = (6 х 2) / 2 = 6
Площадь закрашенной фигуры = 12 + 6 = 18
Пример 3
Площадь красного прямоугольника = (7 – 3) х (9 – 1) = 4 х 8 = 32
Площадь фигуры 1 = (7 – 3) х (3 -1) / 2 = 4 х 2 / 2 = 4
Площадь фигуры 3 = (7 – 3) х (9 – 5) / 2 = 4 х 4 / 2 = 8
Площадь закрашенной фигуры (фигуры 2) = 32 – 4 – 8 = 20
Пример 4
Площадь закрашенной фигуры = (10 – 4) х (9 -1) = 6 х 8 = 48
Пример 5
Диагональ большого квадрата = 16
Диагональ малого (внутреннего) квадрата = 8
Площадь большого квадрата = 1 / 2 * 16² = 1/2 * 256 = 128
Площадь малого квадрата = 1 / 2 * 8² = 1/2 * 64 = 32
Площадь закрашенной фигуры = 128 – 32 = 96
Если забыли как найти площадь квадрата, зная диагональ, то можно разложить эту фигуру на прямые треугольники и вычислить площадь, как в примерах выше.
Понравилась статья? Ставь лайк и подписывайся на Математику. Впереди много интересного.
Найди способ вычисления площади закрашенного треугольника. Выполни вычисления.
reshalka.com
ГДЗ учебник по математике 3 класс (часть 1) Рудницкая. Произведение трех и более множителей. Номер №27
Решение
Задание выполняется по следующему плану.
1) Измеряем длины сторон прямоугольника и квадрата.
2) Вычисляем площадь каждой фигуры.
3) Значение площади прямоугольника делим пополам, а значение площади квадрата делим на 4.
Решение:
1) 3 * 2 =
6
с
м
2
− площадь всего прямоугольника.
2) 6 : 2 =
3
с
м
2
− площадь закрашенного треугольника.
Ответ:
3
с
м
2
Решение:
1) 4 * 4 =
16
с
м
2
− площадь всего квадрата.
2) 16 : 4 =
4
с
м
2
− площадь закрашенного треугольника.
Ответ:
4
с
м
2
Подскажите пожалуйста ” Как найти площадь закрашенного треугольника” (Фото есть)
Знаток
(488),
закрыт
11 лет назад
Светлана Носова
Оракул
(75241)
11 лет назад
Общая площадь 4-х угольника 6*7=42.
Теперь вычислим площади 3-х угольников, кот. отсекают закрашенный.
1) 6*4/2=12
2)3*4/2=6
3)2*7/2=7
Сложим: 12+6+7=25
Узнаем площадь закрашенного 3-ка: 42-25=17 (квадратов).
Naumenko
Высший разум
(856086)
11 лет назад
посчитать клеточки – длины сторон 2-х соседних – прямоугольника и вычислить его площадь.
таким же образом найти длины катетов 3-х прямоугольных тр-ков и найти половину произведения их – это будут площади незакрашенных частей.
из площади всего прямоугольника вычесть площадь трех тр-ков – вот и ответ.
Сергей Нуждин
Просветленный
(43192)
11 лет назад
Выше даны точные ответы. А если надо приближённый – то алгоритм такой:
Считаем сумму всех целых квадратов внутри треугольника и добавляем половину суммы нецелых квадратов
Целых квадратов 8
Нецелых 18
Итого 8+18/2=17 квадратов
Что совпадает с ответом Светланы ))
3 октября 2013
В этом коротком уроке мы научимся считать площади фигур без координатной сетки. Здесь не будет никаких клеточек, никаких пересечений и узлов. Будет только система координат и несколько отмеченных чисел.
Как решать такие задачи? В первую очередь, следует отметить, что у нас все-таки есть линии разметки, а точнее проекции точек на оси координат. И именно они потребуются нам для решения задачи. Причем схема будет даже чуть проще, чем при вычислении площадей методом обводки на координатной сетке. Взгляните на задачу:
Задача B5. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.
Итак, первый шаг: чертим описанный прямоугольник. Для этого продолжаем линии разметки таким образом, чтобы получилась замкнутая фигура. Это и будет искомый описанный прямоугольник, причем вершины искомой фигуры будут высекать на сторонах этого прямоугольника отдельные отрезки. А значит нам снова нужна формула площади треугольника:
S = 0,5ab
где a и b — катеты (разумеется, речь идет только о прямоугольном треугольнике). А так же пригодится площадь прямоугольника:
S = ab
где a и b — смежные стороны.
В нашем случае таких треугольников получилось три. Обозначим их S1, S2 и S3. Чтобы сосчитать их площади, нужно сначала найти длину каждого катета. Например, наибольший катер в треугольнике S1 равен a = 8 − 1 = 7, а меньший катет b = 3 − 2 = 1.
Обратите внимание: мы всегда вычитаем из большей абсциссы меньшую, а также из большей ординаты меньшую. Для треугольника S2 верхний катет будет равен a = 5 − 3 = 2, а боковой катет равен b = 8 − 2 = 6. Наконец, для треугольника S3 больший катет будет равен a = 5 − 2 = 3, а меньший катет равен b = 2 − 1 = 1.
Находим площади полученных треугольников:
S1 = 0,5 · 1 · 7 = 3,5;
S2 = 0,5 · 2 · 6 = 6;
S3 = 0,5 · 1 · 3 = 1,5.
Кроме того, нам нужно найти общую площадь описанного прямоугольника. Его стороны равны 7 и 3, а значит площадь равна:
S0 = 7 · 3 = 21.
Осталось выполнить последний шаг. Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из общей площади вычесть площадь дополнительных треугольников, которые мы получили, когда описывали прямоугольник. Получим:
S = S0 − (S1 + S2 + S3) = 21 − (3,5 + 6 + 1,5) = 21 − 11 = 10
Это и является ответом. Площадь закрашенного треугольника равна 10. Как видите, общая схема решения и объем вычислений ничем не отличается от стандартных задач B5 из ЕГЭ по математике, в которых присутствует координатная сетка. Достаточно небольшой тренировки — и вы будете решать эти задачи почти устно.
Смотрите также:
- Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат
- Опасные ошибки в задачах на площади
- Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
- Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
- Упрощаем решение задач с помощью замены переменной
- Задача B4: расчет времени в пути
$begingroup$
In rectangle $ABCD$, $ P$ is the mid point of $AB$. $S$ and $T$ are the points of trisection
of $DC$. If area of the rectangle is $70$ square units, with reference to the figure find area
of shaded region.
Let $DS=x$ , and $AD=y$.
So $3xy=70$.
Now I’ve no idea how to calculate the area of shaded triangle. We don’t know any of its side or altitudes.
I’m thinking that it is probably similar to some other triangle , But I can’t find it.
Please help.
asked Apr 4, 2014 at 18:49
$endgroup$
$begingroup$
Let $d(Q,DC)$ the distance between point $Q$ and the line defined by $DC$, and $d(R,DC)$ the distance between point $R$ and the line defined by $DC$.
Note that: $triangle DQS sim triangle BQP$ and $triangle BRP sim triangle DRT$, hence:
$$frac{d(Q,DC)}{d(Q,AB)}= frac{1x}{frac{3}{2}x}= frac{2}{3} quad(1)$$
and
$$frac{d(R,DC)}{d(R,AB)}= frac{2x}{frac{3}{2}x}= frac{4}{3}. quad(2)$$
From $(1)$ and $(2)$ we get:
$$d(Q,AB)=frac{3}{5}y quad(3)$$
and
$$d(R,AB)=frac{3}{7}y, quad(4)$$
which are the heights of triangles $triangle BQP$ and $triangle BRP$.
We can get the area of $triangle PQR$ from:
$$A_{triangle PQR}= A_{triangle PQB}- A_{triangle PRB}$$
Therefore
$$A_{triangle PQR}= frac{9}{70}xy=3.$$
answered Apr 4, 2014 at 20:39
RicardoCruzRicardoCruz
3,67316 silver badges22 bronze badges
$endgroup$
$begingroup$
We first observe that $frac{|PB|}{|DT|} = frac{3}{4}$. So, $frac{S(PRB)}{S(DRT)} = frac{9}{16}$, where $S$ denotes the area. We can assume actually $S(PRB) = 9$ and $S(DRT) = 16$ (we will do the renormalization later). I thus write $9$ for the area of $PRB$ on the figure. This makes $S(SRT) = 8$ as $|DS| = |ST|$. Also $frac{|PR|}{|RT|} = frac{3}{4}$, and this gives $S(PSR) = 6$ as we knew $S(SRT) = 8$. So, $S(PST) = 6+8 = 14$, which means $S(DSP) = 14$ as well. Now, we note that $frac{|PQ|}{|QS|} = frac{3}{2}$, which means $S(DQS) = frac{28}{5}$. Since $S(DSR) = 8$, we get $S(QSR) = 8-frac{28}{5}$, and finally $S(PQR) = 6-(8-frac{28}{5}) = 3.6$. The area of the entire rectangle is on the other hand (from $PST$), $14times 3times 2 = 84$. Finally, we solve $frac{3.6}{84} = frac{x}{70}$, which gives $x=S(PQR) = 3$.
So, the general idea is to dissect like crazy, and try to identify the normalized area of each piece one by one. You can see my failed attempt as I also unnecessarily calculated the areas of $BRT$ and $BTC$.
answered Apr 4, 2014 at 19:29
Lord SothLord Soth
7,54019 silver badges37 bronze badges
$endgroup$
5
You must log in to answer this question.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
