Как найти площадь заштрихованной фигуры прямоугольник

Найди площадь заштрихованной фигуры:

В едином государственном экзамене по математике в части B есть задача, где нужно вычислить площадь закрашенной фигуры. Несмотря на свою простоту, в этой задаче часто допускают ошибки. В этой статье вы узнаете, как решить задачу части В, зная всего лишь одну формулу (площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов).

Пример 1

Площадь красного квадрата = 6 х 6 = 36.

Площадь фигуры 1 = (6 х 1) / 2 = 3.

Площадь фигуры 2 = (4 х 1) / 2 = 2

Площадь фигуры 3 = 1 х 1 = 1

Площадь фигуры 4 = (3 х 1) / 2 = 1,5

Площадь фигуры 5 = (2 х 6) / 2 = 6

Площадь закрашенной фигуры = 36 – (3 + 2 + 1 + 1,5 + 6) = 36 – 13,5 = 22,5

Пример 2

Площадь закрашенного треугольника в прямоугольнике 1 = (6 х 4) / 2 = 12

Площадь закрашенного треугольника в прямоугольнике 2 = (6 х 2) / 2 = 6

Площадь закрашенной фигуры = 12 + 6 = 18

Пример 3

Площадь красного прямоугольника = (7 – 3) х (9 – 1) = 4 х 8 = 32

Площадь фигуры 1 = (7 – 3) х (3 -1) / 2 = 4 х 2 / 2 = 4

Площадь фигуры 3 = (7 – 3) х (9 – 5) / 2 = 4 х 4 / 2 = 8

Площадь закрашенной фигуры (фигуры 2) = 32 – 4 – 8 = 20

Пример 4

Площадь закрашенной фигуры = (10 – 4) х (9 -1) = 6 х 8 = 48

Пример 5

Диагональ большого квадрата = 16

Диагональ малого (внутреннего) квадрата = 8

Площадь большого квадрата = 1 / 2 * 16² = 1/2 * 256 = 128

Площадь малого квадрата = 1 / 2 * 8² = 1/2 * 64 = 32

Площадь закрашенной фигуры = 128 – 32 = 96

Если забыли как найти площадь квадрата, зная диагональ, то можно разложить эту фигуру на прямые треугольники и вычислить площадь, как в примерах выше.

Понравилась статья? Ставь лайк и подписывайся на Математику. Впереди много интересного.

Для начала добавим точки G и H на чертёж, чтобы потом было проще объяснить процесс решения:

Теперь площадь закрашенной фигуры AGCE можно найти, как разность площади целого прямоугольника ABCD и площадей трёх фигур, которые остались не закрашенными, а именно прямоугольной трапеции ABHG, прямоугольного треугольника CGH и прямоугольного треугольника CDE ( впрочем, возможны и другие варианты трапеций и треугольников ).

Площадь прямоугольника ABCD равна произведению длин его сторон:

S(ABCD) = AB * AD = ( AF + BF ) * ( AE + DE ) =

= ( 3 + 2 ) * ( 2 + 2 ) = 5 * 4 = 20 см²

Площадь прямоугольной трапеции ABHG равна половине произведения суммы длин её оснований и её же высоты:

S(ABHG) = ( AB + GH ) * BH / 2 =

= ( AF + FB + FB ) * AE / 2 =

= ( 3 + 2 + 2 ) * 2 / 2 = 7 см²

Площадь прямоугольного треугольника CGH равна половине произведения его катетов CH и GH:

S(CGH) = CH * GH / 2 =

= ED * FB / 2 = 2 * 2 / 2 = 2 см²

Площадь прямоугольного треугольника CDE равна половине произведения его катетов ED и CD:

S(CDE) = ED * DC / 2 =

= ED * ( AF + FB ) / 2 =

= 2 * ( 3 + 2 ) / 2 = 5 см²

Ну, и наконец можно найти площадь закрашенной фигуры AGCE:

S(AGCE) = S(ABCD) – S(ABHG) -S(CGH) – S(CDE) =

= 20 – 7 – 2 – 5 = 6 см²

Ответ: площадь закрашенной фигуры равна В) 6 см²

Так как площадь прямоугольника находится по формуле:

То найдём площадь обеих фигур


Для того чтобы найти площадь заштрихованной фигуры, нужно

Ответ: 58 см² — площадь заштрихованной фигуры

3 октября 2013

В этом коротком уроке мы научимся считать площади фигур без координатной сетки. Здесь не будет никаких клеточек, никаких пересечений и узлов. Будет только система координат и несколько отмеченных чисел.

Как решать такие задачи? В первую очередь, следует отметить, что у нас все-таки есть линии разметки, а точнее проекции точек на оси координат. И именно они потребуются нам для решения задачи. Причем схема будет даже чуть проще, чем при вычислении площадей методом обводки на координатной сетке. Взгляните на задачу:

Задача B5. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

Итак, первый шаг: чертим описанный прямоугольник. Для этого продолжаем линии разметки таким образом, чтобы получилась замкнутая фигура. Это и будет искомый описанный прямоугольник, причем вершины искомой фигуры будут высекать на сторонах этого прямоугольника отдельные отрезки. А значит нам снова нужна формула площади треугольника:

S = 0,5ab

где a и b — катеты (разумеется, речь идет только о прямоугольном треугольнике). А так же пригодится площадь прямоугольника:

S = ab

где a и b — смежные стороны.

В нашем случае таких треугольников получилось три. Обозначим их S₁, S₂ и S₃. Чтобы сосчитать их площади, нужно сначала найти длину каждого катета. Например, наибольший катер в треугольнике S₁ равен a = 8 − 1 = 7, а меньший катет b = 3 − 2 = 1.

Обратите внимание: мы всегда вычитаем из большей абсциссы меньшую, а также из большей ординаты меньшую. Для треугольника S₂ верхний катет будет равен a = 5 − 3 = 2, а боковой катет равен b = 8 − 2 = 6. Наконец, для треугольника S₃ больший катет будет равен a = 5 − 2 = 3, а меньший катет равен b = 2 − 1 = 1.

Находим площади полученных треугольников:

S₁ = 0,5 · 1 · 7 = 3,5;
S₂ = 0,5 · 2 · 6 = 6;
S₃ = 0,5 · 1 · 3 = 1,5.

Кроме того, нам нужно найти общую площадь описанного прямоугольника. Его стороны равны 7 и 3, а значит площадь равна:

S₀ = 7 · 3 = 21.

Осталось выполнить последний шаг. Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из общей площади вычесть площадь дополнительных треугольников, которые мы получили, когда описывали прямоугольник. Получим:

S = S₀ − (S₁ + S₂ + S₃) = 21 − (3,5 + 6 + 1,5) = 21 − 11 = 10

Это и является ответом. Площадь закрашенного треугольника равна 10. Как видите, общая схема решения и объем вычислений ничем не отличается от стандартных задач B5 из ЕГЭ по математике, в которых присутствует координатная сетка. Достаточно небольшой тренировки — и вы будете решать эти задачи почти устно.

Смотрите также:

1. Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат
2. Опасные ошибки в задачах на площади
3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
5. Упрощаем решение задач с помощью замены переменной
6. Задача B4: расчет времени в пути