Будучи школьником, когда ещё не было этих ваших интернетов, а я готовился к поступлению, мне позарез нужны были хорошие задачники и учебники, где всё коротко и по делу. И мало кто мог посоветовать что-то стоящее. Если у вас та же проблема, то рекомендую Галицкого по алгебре, Гордина по геометрии.
А ещё есть замечательный автор — Эдуард Николаевич Балаян. Он создал ни одну хорошую книгу для школьников. В том числе и для подготовки к олимпиадам. Полезно порешать и тем, кто претендует на 100 баллов по ЕГЭ. Причем начинать заниматься можно уже с 7 класса.
Сегодня хочу показать одну из последних задач для 9 класса из его книги “Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ” (для 7-9 классов). Нам нужно найти площадь заштрихованной фигуры. Все данные на рисунке.
Всё, что у нас есть — равносторонний треугольник со стороной 15. Найти надо площадь заштрихованного трёхлистника.
Почти никто из девятиклассников эту задачу не решил за отведенное время. В школьных учебниках такие редко встречаются. А задача интересная и в приницпе несложная, надо только немного подумать, что-то достроить и все решится почти само. Сложных формул здесь нет.
Для тех, кто уже всё решил, вот ответ для сверки: S=75•(π-1,5√3)=112,5√3. Тех, кто не понимает, как получился этот ответ, приглашаю читать дальше.
Решение
Раз у нас равносторонний треугольник, понятно, что дуги окружностей одинаковые и наш трехлистник полностью симметричен относительно любой из высот треугольника. А ещё вспоминаем о том, что высоты в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка, к слову, является точкой пересечения всех трех дуг и по совместительству центром описанной возле треугольника окружности. Добавьте к этому формулу площади круга S=π•R² и получите всё, что нужно знать для решения этой задачи.
Пусть сторона правильного треугольника а=15. Тогда радиус окружности, описанной вокруг треугольника равен R=a/√3, а её площадь равна Sокр=π•a²/3. А площадь самого треугольника (эта формула дается в школе как самостоятельная, но её несложно вывести) равна S▲=(a²•√3)/4.
Теперь самое время заметить, что круг состоит из треугольника и трех жёлтых фрагментов за его пределами. Sокр=S▲+Sж, откуда Sж=Sокр-S▲.
Но если мы раскрасим три эти фрагмента в разные цвета и “загнем” внутрь треугольника, обнаружится, что их площадь в сумме (Sж) дает площадь треугольника (S▲) плюс площадь искомого трехлистника (S). Sж=S▲+S. Откуда искомая площадь S=Sж-S▲.
Учитывая ранее выведенное равенство Sж=Sокр-S▲, получаем, что искомая площадь находится через площадь описанной окружности и площадь треугольника S=Sокр-2•S▲=π•a²/3 – (a²•√3)/2 = π•15²/3 – 15²√3/2 = 15²/6•(2π-3√3) = 37,5•(2π-3√3) = 70•(π-1,5√3) = 112,5√3.
Как вам задача? Если понравилась, то, где найти похожие, вы знаете. Можете не благодарить, поставьте лайк, подпишитесь на канал и велком на мои каналы в Ютубе, Инстаграме и ТикТоке.
Ещё интересно: Где искать репетитора ребенку и как развить у него логику и нестандартное мышление
Задача про яблоки, которая вынесла почти всех
Легендарная задача, которая сбила с толку половину моих одноклассников и до сих путает учеников и родителей
|
Площадь круга S=Pi*R^2. В примере 1 заштрихованная площадь сегмента окружности Sсг, его площадь равна площади сектора АОВ минус площадь равнобедренного треугольника ОАВ. Площадь сектора Sс=S*β/360, где β угол АОВ в градусах, площадь треугольника ОАВ Sт=R^2*Sin(β/2)*Cos(β/2), R=12. Sсг=144*3,14*β/360-144*Sin(β/2)*Cos(β/2). В этом примере не задан не угол β, не длина АВ,поэтому вычислить Sсг нельзя. В примере 2 радиус R=20, длина хорды MN=12,тогда угол β/2= arc Sin(MN/2R)=17,45°, β=34,9°. Sсг=400*3,14*34,9/360-400*0,3*0,95= 121,8 – 113,9=7,8. Остальные примеры решаются аналогично. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Знаете ответ? |
Содержание:
1. Модуль
1: Основные формулы площадей.
2. Модуль
2: Методы нахождения площадей.
3. Модуль
3: Задачи с решением.
4. Модуль
4: Задачи для закрепления.
5. Модуль
5: Задачи для самостоятельной работы и зачета.
Модуль
1. Теоретическая часть
1.1.Основные
определения и формулы для площадей фигур.
Прямоугольник.
Прямоугольником
называется четырехугольник, у которого все углы равны. Все углы в
прямоугольнике прямые, т.е. составляют 90°.Площадь прямоугольника равна
произведению его сторон .
Квадрат.
Квадратом
называется параллелограмм с
прямыми углами и равными сторонами. Квадрат есть частный вид прямоугольника, а
также частный вид ромба. См. также площадь ромба.
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Или половине квадрата
диагонали.
; 
Трапеция.
Трапецией называется
четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не
параллельны. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее
оснований на высоту.
Площадь трапеции равна произведению её средней
линии на высоту.
Параллелограмм.
Параллелограммом называется
четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно
параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его
основания на высоту.
Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его
сторон на синус угла между ними.
Правильный многоугольник.
Для
того чтобы вычислить площадь правильного многоугольника его разбивают
на равные треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности. А
площадь правильного многоугольника равна произведению его полупериметра
на радиус вписанной окружности правильного
многоугольника.
Выпуклый четырёхугольник.
Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения
его диагоналей на синус угла между ними.
Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, равна корню
квадратному из произведения разностей полупериметра этого четырёхугольника и
всех его сторон
Ромб.
Ромбом называется параллелограмм с
равными сторонами. Квадрат есть частный вид ромба. У квадрата диагонали равны.
См. также площадь квадрата. Площадь
ромба равна половине произведения его диагоналей.
Площадь ромба равна произведению
квадрата его стороны на синус одного из его углов.
Сектор.
Сектор
круга, окружности — это часть круга, окружности ограниченная
дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги. Площадь сектора
круга равна произведению половины длины дуги
сектора на радиус круга.
Площадь кругового сектора равна произведению площади единичного
сектора (сектор, соответствующий центральному углу с мерой равной единице) на
меру центрального угла, соответствующего данному сектору ( формулы для случаев градусной и радианной мер центральных
углов).
Окружность.
Окружность есть
геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки. Равные
отрезки, соединяющие центр с точками окружности, называются радиусами. Круг
есть часть плоскости, лежащая внутри окружности. Площадь круга равна
произведению полуокружности на радиус.
Площадь
сегмента круга, окружности.
Сегмент круга, окружности — это
часть круга, окружности,
ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.
Площадь сегмента круга, окружности
находится, как разность площади сектора и площади равнобедренного треугольника выраженную через угол.
Площадь кольца.
Площадь
кольца через радиусы находится как произведение числаπ на разность
квадратов внешнего и внутреннего радиусов кольца.
Площадь кольца через
диаметры находится как произведение одной четвертой числа π на
разность квадратов внешнего и внутреннего диаметров кольца.
Площадь кругового кольца равна удвоенному произведению числа
“пи”, среднего радиуса кольца и его ширины.
Площадь сектора кольца.
Сектор
кольца — это часть круга, окружности ограниченная дугами разных радиусов и
двумя линиями радиусами, проведенными к концам дуги большего радиуса.
Площадь сектора кольца вычисляется
как разность площадей большего и меньшего секторов круга.
Площадь сектора кольца если угол в
градусах, вычисляется как произведение числа π на отношение угла
сектора к углу полной окружности 360° и на разность квадратов большего и
меньшего радиусов.
Площадь треугольника.
Треугольник образуется
соединением отрезками трех точек, не лежащих на одной прямой. При этом точки
называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами. Площадь
треугольника равна произведению половины основания треугольника на его
высоту.
Площадь треугольника по формуле
Герона равна корню из произведения разностей полупериметра треугольника
(p) и каждой из его сторон.
Если
известно две стороны треугольника и угол
между ними, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина
произведения этих сторон умноженная на синус угла между ними.
Если
один из углов прямой, то треугольник – прямоугольный. Площадь прямоугольного
треугольника равна половине произведения катетов треугольника.
Площадь равнобедренного треугольника
вычисляется по классической формуле площади
треугольника — произведение половины
основания треугольника на его высоту. Высоту мы подставим в эту формулу
из формулы высоты равнобедренного
треугольника.
Площадь
равностороннего треугольника вычисляется по классической формуле площади
треугольника — произведение половины
основания треугольника на его высоту. Высоту мы подставим в эту формулу
из формулы высоты равностороннего
треугольника
Площадь треугольника равна отношению произведения
квадрата его стороны на синусы прилежащих углов к удвоенному синусу
противолежащего угла.
Площадь треугольника равна отношению произведения
квадрата его высоты на синус угла, из вершины которого проведена эта высота, к
удвоенному произведению синусов двух других углов.
Площадь треугольника равна произведению квадрата
его полупериметра на тангенсы половин всех углов треугольника.
Площадь
треугольника равна отношению произведения всех его сторон к четырём радиусам,
описанной около него окружности.
Площадь треугольника равна удвоенному
произведению квадрата радиуса, описанной около него окружности, и синусов всех
его углов.
Площадь треугольника (многоугольника) равна
произведению его полупериметра и радиуса окружности, вписанной в этот
треугольник (многоугольник).
Площадь треугольника равна произведению квадрата
радиуса вписанной окружности на котангенсы половин всех углов треугольника.
Шар и сфера.
Шаровой,
или сферической поверхностью (иногда просто сферой) называется геометрическое
место точек пространства, равноудаленных от одной точки – центра шара. Площадь
поверхности сферы равна учетверенной площади большого круга:
Куб.
Прямоугольный параллелепипед,
все грани которого – квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны,
а площадь поверхности куба равна сумме площадей шести его граней, т.е.площади квадрата со
стороной H умноженной на шесть. Площадь поверхности куба равна.
Конус.
Круглый конус может
быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг
одного из его катетов, поэтому круглый конус называют также конусом вращения.
Боковая площадь поверхности круглого
конуса равна произведению половины окружности основания на образующую.
Цилиндр.
Цилиндрической
поверхностью называется поверхность, образуемая прямой, сохраняющей одно и тоже
направление и пересекающей направляющую линию. Цилиндр —
круговой если в основании его лежит круг. Площадь боковой поверхности круглого
цилиндра равна произведению длины окружности основания
на высоту.
Прямоугольный параллелепипед.
Параллелепипедом
называется призма, основание которой параллелограмм. Параллелепипед
имеет шесть граней, и все они — параллелограммы. Параллелепипед, четыре боковые
грани которого — прямоугольники, называется прямым. Прямой параллелепипед у
которого все шесть граней прямоугольники, называется
прямоугольным. Площадь поверхности прямоугольного
параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трех граней этого
параллелепипеда.
Усеченный конус.
Усеченный
конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию.
Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса
называется усеченным конусом. Боковая площадь поверхности усеченного
конуса вычисляется по формуле.
Шаровой сегмент.
Часть
шара, осекаемая от него какой-нибудь плоскостью, называется шаровым или
сферическим сегментом. Основанием шарового сегмента называется круг ABCD.
Высотой шарового сегмента называется отрезок NM, т.е. длина перпендикуляра,
восстановленного из центра N основания до пересечения с поверхностью
шара. Точка M называется вершиной шарового сегмента. Площадь
поверхности шарового сегмента равняется произведению его высоты на
окружность большого круга шара.
Шаровой
слой.
Шаровой слой — это часть шара,
заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями. Шаровой пояс или Шаровая
зона — это кривая поверхность шарового слоя. Круги ABC и DEF это основания
шарового пояса. Расстояние между основаниями это высота шарового слоя. Кривая
поверхность шарового слоя равна произведению его высоты на окружность
большого круга шара.
Шаровой сектор.
Шаровой
сектор — это часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового
сегмента и конической поверхностью основанием которой служит основание
сегмента, а вершиной — центр шара. Поверхность шарового сектора складывается из
кривых поверхностей шарового сегмента и конуса. Зная радиус основания сегмента
и конуса r при помощи теоремы Пифагора и прямоугольного треугольника
получим высоты сегмента и конуса:
1.2.Справочные
таблицы «Площади плоских фигур, площади поверхности и объема тел вращения»
Модуль
2. Методы нахождения площади плоских фигур.
Рассмотрим несколько способов нахождения
площади плоских фигур:
·
формула Пика,
·
метод обводки.
1.1
Формула Пика.
Формула, при помощи которой можно находить площадь фигуры
построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник,
многоугольник). Об этой формуле обычно рассказывается применительно к
нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.
Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:
М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и
вершинах)
N – количество узлов внутри треугольника
*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.
Найдём
площадь треугольника: Отметим узлы:
1 клетка = 1 см
M = 15 (обозначены красным)
N = 34 (обозначены синим)
Пример 1. Найдём площадь параллелограмма:
Отметим узлы:
M = 18 (обозначены красным)
N = 20 (обозначены синим)
Пример 2. Найдём площадь трапеции: Отметим
узлы:
M = 24 (обозначены красным)
N = 25 (обозначены синим)
Пример 3. Найдём площадь многоугольника:
Отметим узлы:
M = 14 (обозначены красным)
N = 43 (обозначены синим)
Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма,
треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур.
Но знайте, что можно это делать и таким образом. А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта
формула работает хорошо.
Теперь взгляните на следующие фигуры:
Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их
площади. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например,
найдём площадь фигуры:
M = 11 (обозначены красным)
N = 5 (обозначены синим)
Ответ: 9,5
1.2 Метод обводки.
- Достроить
искомую фигуру до прямоугольника. - Найти
площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого
прямоугольника. - Из
площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.
Бывает,
что не так-то просто рассчитать, сколько клеток в нужном отрезке. Вот смотри, треугольник:
Вроде бы даже прямоугольный и S=12⋅abS=21⋅ab, но чему
тут равно aa, и чему
равно bb? Как узнать?
Применим для полной ясности оба способа
I способ.
Найдем 
по
теореме Пифагора из ΔADC а 
по
теореме Пифагора из ΔBCE.
На листе в клетку легко посчитать длину катетов.
Итак:
Значит, 
Теперь 
Значит, 
Подставляем в формулу:
Значит, 
II способ
Нужно окружить нашу фигуру прямоугольником. Вот
так:
Получился
один (нужный) треугольник внутри и три ненужных треугольника снаружи. Но
площади этих ненужных треугольников легко считаются на листе в клетку. Посчитаем
их, а потом просто вычтем из целого прямоугольника.
Итак, 
Почему же этот способ лучше? Потому что он работает
и для любых фигур. К примеру, нужно посчитать площадь такой фигуры:
Окружаем
ее прямоугольником и снова получаем одну нужную, но сложную площадь и много
ненужных, но простых.
А теперь чтобы найти
площадь 
просто находим площадь прямоугольника и вычитаем из него оставшуюся
площадь фигур на клетчатой бумаге.
Значит,
Вот и ответ: 
Модуль
3: Задачи с решением.
1. 
Найдите площадь четырёхугольника, изображённого
на клетчатой бумаге
с размером клетки 1 см * 1 см. Ответ
дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
Разобьём четырёхугольник
диагональю РС на два треугольника. Диагональ эта хороша тем, что идёт под
углом 45° к горизонту. Проведём через точки А и В прямые, параллельные диагонали.
Если на верхней прямой взять любую точку Т, то площадь треугольника РТС окажется равной площади треугольника РАС, т.к. основание РС у них общее,
а высоты, проведённые к РС, равны. Такие же рассуждения
о точке К.
Таким образом, если удачно разместить точки Т и К, как на рисунке
выше, то
SACBP = SPAC + SPBC = SPTC + SPKC = STKP = 0,5·6·3 = 9
Ответ: 9
Возможны и другие варианты
расположения точек Т и
К:
2. 
Найдите
площадь фигуры, изображенной на рисунке, считая стороны квадратных клеток
равными единице.
Решение:
Отрежем у данной фигуры все полукруглые части (выпуклости),
которые выходят за рамки квадрата 4·4, и аккуратно упакуем их
на свободные в квадрате места.
Площадь данной причудливой фигуры просто равна площади квадрата 4·4 =
16.
Ответ: 16
3.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см * 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
Опишем около неё прямоугольник.
Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем
площади полученных простых фигур:
Ответ: 4,5
4. 
Найдите
площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки
1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
5. Найдите
площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки
1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
6. На
клетчатой бумаге нарисован круг площадью 93. Найдите площадь заштрихованного
сектора.
7. На
клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 9.
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
8. Найдите
(в см2) площадь S
фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с разме
ром
клетки 1см×1см. В ответе запишите S/π.
9. 
Найдите
площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки
1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
 |
||
 |
Модуль
4. Задачи для закрепления.
 |
1.
Найдите площадь треугольника ABC,
считая стороны квадратных клеток равными 1.
 |
2.
Найдите площадь треугольника ABC,
считая стороны квадратных клеток равными 1.
 |
3.
Найдите площадь прямоугольника ABCD,
считая стороны квадратных клеток равными 1.
 |
4.
Найдите площадь ромба ABCD,
считая стороны квадратных клеток равными 1.
 |
5.
Найдите площадь трапеции ABCD,
считая стороны квадратных клеток равными 1.
 |
6.
Найдите площадь трапеции ABCD,
считая стороны квадратных клеток равными 1.
 |
7.
Найдите площадь четырехугольника ABCD,
считая стороны квадратных клеток равными 1.
8.
Найдите площадь четырехугольника ABCD,
считая стороны квадратных клеток равными 1.
 |
 |
9.
Найдите площадь S сектора,
считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите 
.
 |
10.
Найдите площадь S кольца,
считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .
 |
11. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют
координаты (1, 1), (4,4), (5, 1).
 |
12.
Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1, 0), (0,
2), (4, 4), (5, 2).
13. Найдите площадь S круга,
изображенного на рисунке. В ответе укажите 
. Размер каждой клетки 1
см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
14. Найдите площадь S круга,
описанного около прямоугольника ABCD. Размер каждой клетки на чертеже
равен 1см *1см. В ответе укажите (в кв. см).
15. В ромб ABCD, площадь которого
равна 
, вписан круг. Найдите
площадь круга, если размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см.
16.Найдите площадь S круга,
описанного около прямоугольника ABCD. Размер каждой клетки на чертеже
равен 1см *1см. В ответе укажите (в кв. см).
17. Найдите площадь круга, описанного
около прямоугольного треугольника АВС. Размер каждой клетки на чертеже
равен 1см *1см. В ответе укажите ( в кв. см).
18. Найдите площадь круга, описанного
около прямоугольного треугольника АВС. Размер каждой клетки на чертеже
равен 1см*1см. В ответе укажите (в кв. см).
19. Найдите площадь S круга,
описанного около четырехугольника, изображенного на рисунке. В ответе укажите . Размер каждой клетки 1
см × 1 см. Ответ дайте в сантиметрах.
20. Найдите площадь S круга,
описанного около четырехугольника, изображенного на рисунке. В ответе укажите . Размер каждой клетки 1
см × 1 см. Ответ дайте в сантиметрах.
21. Найдите площадь S круга,
изображенного на рисунке. В ответе укажите . Размер каждой клетки 1
см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
22. Найдите площадь S сектора. В
ответе укажите . Размер каждой клетки 1
см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
23. Найдите площадь S заштрихованной
части кругового сектора АОВ. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см.
В ответе укажите (в кв. см).
24.Найдите площадь круга, описанного около
прямоугольника АВСD. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см 1см.
В ответе укажите (в кв. см).
25. Два одинаковых круга касаются друг
друга и сторон прямоугольника ABCD. Найдите площадь одного круга, если площадь
прямоугольника равна 
.
26. Две одинаковых окружности касаются
друг друга и сторон прямоугольника ABCD. Найдите периметр прямоугольника, если
длина каждой окружности равна 3,6
27. Диаметр полукруга совпадает со
стороной прямоугольника ABCD, а 3 другие стороны прямоугольника касаются
полукруга. Найдите длину полуокружности, если периметр прямоугольника равен 
.
Модуль
5. Задачи для самостоятельных и зачетных работ.
1. На клетчатой
бумаге с клетками размером 1 см 
1 см
изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных
сантиметрах.
2. Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных
клеток равными 1.
3. Найдите площадь квадрата, вершины которого
имеют координаты (4;3), (10;3), (10;9), (4;9).
4. Во сколько раз площадь квадрата, описанного
около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?
5. В прямоугольнике расстояние от точки пересечения
диагоналей до меньшей стороны на 1 больше, чем расстояние от нее до
большей стороны. Периметр прямоугольника равен 28. Найдите меньшую
сторону прямоугольника.
6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 
1 см изображен параллелограмм (см. рисунок).
Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
7. Найдите площадь параллелограмма, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
9. Найдите периметр четырехугольника 
, если стороны квадратных клеток равны 
.
10. На клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображена трапеция (см. рисунок).
Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
11. На клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображена трапеция (см. рисунок).
Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
12. Найдите площадь трапеции, вершины которой
имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6).
13. Найдите высоту трапеции 
, опущенную из вершины 
, если стороны квадратных клеток равны 
.
14. На клетчатой бумаге с клетками размером
1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок).
Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
15.
Найдите площадь четырехугольника,
вершины которого имеют координаты (8;0), (10;8), (2;10), (0;2).
16. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
17. Найдите
площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером
клетки 1 см 1
см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
18. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
19.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1
см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
20. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах
21. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён
треугольник. Найдите радиус описаной около него окружности.
22. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь
внутреннего круга равна 11. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
23.
Найдите площадь четырехугольника, вершины
которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9).
24. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной
плоскости.
25. Точки O(0;
0), A(10; 0), B(8; 6), C(2; 6) являются вершинами
трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.
26. Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры,
изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 
1 см (см. рис.). В ответе запишите 
.
27. Найдите площадь сектора круга радиуса 
, центральный угол которого равен 90°
28. . Найдите
центральный угол сектора круга радиуса 
, площадь которого равна 
. Ответ дайте в градусах.
29. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь
внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
30. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь
внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Зачет
№1
Найдите площадь окрашенной фигуры,
изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см *1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
№2
Найдите площадь окрашенной фигуры,
изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см *1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
№3
В детском саду дети делали аппликации
родителям в подарок. Найдите площадь аппликации (окрашенной фигуры),
изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см*1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
1.
2.
3.
4.
5.
№4 В детском саду дети делали фото- рамки
родителям в подарок. Найдите площадь фото-рамки (окрашенной фигуры),
изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см *1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
6.
7.
8.
9.
10
The area of the shaded region is the difference between two geometrical shapes which are combined together. By subtracting the area of the smaller geometrical shape from the area of the larger geometrical shape, we will get the area of the shaded region. Or subtract the area of the unshaded region from the area of the entire region that is also called an area of the shaded region.
Area of the shaded region = Area of the large geometrical shape (entire region) – area of the small geometrical shape (shaded region).
Do Refer:
- Area of a Square
- Areas of Irregular Figures
- Area of a Polygon
Follow the below steps and know the process to find out the Area of the Shaded Region. We have given clear details along with the solved examples below.
- Firstly, find out the area of the large geometrical shape or outer region.
- Then, find the area of the small geometrical shape or inner region of the image.
- Finally, subtract an area of the small geometrical shape (entire region) from the large area of the small geometrical shape (shaded region).
- The resultant value is considered as the area of the shaded region.
Area of the Shaded Region Examples
Problem 1.
A regular hexagon is inscribed in a circle with a radius of 21cm. Find out the area of the shaded region?
Solution:
As per the given information,
Hexagon is inscribed in a circle.
Radius of the circle = 21cm.
Area of the circle = A=πr².
Substituting the radius (r) value in the above equation, we will get
A = π(21)².
A = 22 / 7(21 * 21).
A = 22(3*21).
A = 1386.
Area of the circle (A) = 1386 cm².
Area of the hexagon = 3√3/ 2 r².
Substitute the radius value in the above equation, we will get
A = 3√3/ 2 (21)².
A = 3√3/ 2 (441).
A = 1145.75
The area of the hexagon is equal to 1145 cm².
Area of the shaded region = Area of the large geometrical shape – Area of the small geometrical shape.
Area of the shaded region = 1386 – 1145 = 241 cm².
Therefore, the area of the shaded region is equal to 241 cm².
Problem 2.
The square is inscribed in a rectangle. The side of the square is 2cm. The length and breadth of the rectangle is 4cm and 5cm. Find out the area of the shaded region?
Solution:
As per the given details,
The Square is inscribed in a rectangle.
Side of the square a = 2cm.
Length of the rectangle (l) = 4cm and breadth of the rectangle (b) =5cm.
Area of the square (A) = a²
Substitute the ‘a’ value in the above equation, we will get
Area of the square (A) = (2)² = 4cm².
Area of the rectangle (A) = l * b
Substitute the length and breadth values in the above equation, we will get
Area of the rectangle (A) = 4cm * 5cm = 20 cm².
Area of the shaded region = Area of the large geometrical shape – area of the small geometrical shape.
Area of the shaded region = 20 – 4 = 16 cm².
Therefore, the Area of the shaded region is equal to 16cm².
Problem 3.
A Triangle is inscribed in a Square. The side of the square is 20cm and the radius of the triangle is 7cm. Calculate the area of the shaded region?
Solution:
As per the given information,
A triangle is inscribed in a square.
Side of the square (a) = 20cm.
Radius of the triangle (r) = 7cm.
Area of the square (A) = a².
Substitute the ‘a’ value in the above equation, we will get
Area of the square (A) = (20)² = 400cm².
Area of the triangle (A)=πr².
Substitute the radius value in the above equation. Then we will get,
A = 22 / 7 (7)².
A = 22 * 7 =154.
The area of the triangle is equal to 154 cm².
Area of the shaded region = Area of the large geometrical shape – area of the small geometrical shape.
Area of the shaded region = 400 – 154 = 246 cm².
Therefore, the Area of the shaded region is equal to 246 cm².
Problem 4.
A semi-circle is inscribed in a square with a radius of 14cm. The side of the square is 25cm. Calculate the area of the shaded region?
Solution:
As per the given details,
A semi-circle is inscribed in a square.
Radius of the semi-circle (r) = 14cm.
Side of the square (a) = 25cm.
Area of the square (A) = a².
Substitute the ‘a’ value in the above equation, we will get
Area of the square (A) = (25)² = 625 cm².
Area of the Semi – circle (A) = πr² / 2.
Substitute the radius of the semi-circle in the above equation, we will get
A = 22 / 7 (14)² / 2.
A = 22 / 7 (14 * 14) / 2.
A = 22 (2 * 14) / 2.
A = 22 * 14 = 308.
The area of the semi-circle is equal to 308 cm².
Area of the shaded region = Area of the large geometrical shape – Area of the small geometrical shape.
Area of the shaded region = 625 – 308 = 317 cm².
So, the Area of the shaded region is equal to 317 cm².
FAQs on finding the Area of a Shaded Region
1. What is the Area of the Shaded Region?
It is the difference between the area of the outer region and the inner region.
2. How to find the Area of the Shaded Region?
There are three steps to find the area of the shaded region. They are
i. Calculate the area of the outer region.
ii. Calculate the area of the inner region.
iii. Subtract the area of the inner region from the outer region.
3. What is the Formula for the Area of the Shaded Region?
The formula for the area of the shaded region is
Area of the shaded region = Area of the large geometrical shape (entire region) – area of the small geometrical shape (shaded region).
Круг на клетчатой бумаге
Рассмотрим задачи, в которых изображён круг на клетчатой бумаге и требуется по известной площади круга найти площадь заштрихованного сектора либо найти площадь круга по данному значению площади сектора.
Для решения обеих задач надо определить величину соответствующего ему центрального угла.
Градусная мера окружности — 360°. Зная центральный угол, найдем, какую часть площадь закрашенного сектора составляет от площади круга.
Самые простые задания этого вида — те, в которых центральный угол — прямой. 90° составляют четверть от 360°. Отсюда, для нахождения площади сектора площадь круга следует разделить на 4. И наоборот, для нахождения площади круга по известной площади сектора площадь сектора умножаем на 4.
Стороны прямого угла, чаще всего, либо проведены по клеточкам (одна сторона — горизонтально, другая — вертикально), либо делят каждую клеточку по диагонали (как диагональ квадрата).
Определить прямой угол можно даже с помощью листа бумаги (приложив его к центру круга).
1) На клетчатой бумаге изображён круг площадью 60.
Найти площадь заштрихованного сектора.
Так как центральный угол, соответствующий данному сектору, равен 90º, то
2) На клетчатой бумаге изображён круг.
Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 17?
Так как стороны угла делят каждую клеточку по диагонали, образуя с горизонтальной прямой, проходящей из вершины угла, углы по 45°, то центральный угол равен 90º.
Следовательно, площадь сектора составляет 1/4 от площади круга: Sкруга=Sсектора:(1/4)=17·4=68.
3) Найти площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 21.
Площадь заштрихованного сектора составляет 3/4 площади круга.
Следовательно, чтобы найти площадь круга, надо площадь сектора разделить на 3/4:
4) Какова площадь круга если известно, что площадь закрашенного сектора равна 11?
Соответствующий центральный угол равен 45° (одно сторона угла проведена по горизонтали, другая делит каждую клеточку по диагонали (является диагональю квадрата).
Так как 45° составляет от 360° 1/8 часть, то
5) На клетчатой бумаге изображен круг площадью 96.
Найдите площадь заштрихованного сектора.
Центральный угол, соответствующий незакрашенной части, равен 45°, то есть составляет 1/8 площади круга.
Sзакрашенного сектора=Sнезакрашенного сектора-Sкруга=96-12=84.
А как определить на клетчатой бумаге центральные углы в 60° и 30°?
Можно рассуждать следующим образом.
Рассмотрим треугольник ABC.
Так как BH — его высота и медиана, то ABC — равнобедренный с основанием AO. Значит, AB=BO.
Но AO=BO (как радиусы).
Следовательно, AB=BO=AO, то есть треугольник ABC — равносторонний. Следовательно, все его углы равны по 60°, в частности, ∠AOB=60°.
6) Найти площадь заштрихованного сектора, если площадь круга равна 30.
Соответствующий центральный угол равен 60°. Значит, площадь сектора составляет 1/6 от площади круга и Sсектора=Sкруга:6=30:6=5.
7) Найти площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 24.
Так как центральный угол заштрихованного сектора равен 30°, то площадь сектора составляет 1/12 часть от площади круга.
8) Найти площадь круга, изображенного на клетчатой бумаге, если площадь заштрихованного сектора равна 60.
Центральный угол, соответствующий незакрашенному сектору, равен 60°. Значит, площадь незакрашенной части составляет 1/6 площади круга.
Следовательно, на площадь закрашенной части приходится 5/6 круга:
В некоторых случаях центральный угол можно найти как сумму или разность других центральных углов.
9) Центральный угол равен 30+45=75°,
площадь заштрихованного сектора составляет
1/12+1/8=5/24 площади круга, то есть
10) Центральный угол равен 180-30=150°,
площадь заштрихованного сектора составляет 1/2-1/12=5/12 площади круга,
11) Центральный угол равен 60-45=15°,
площадь заштрихованного сектора составляет 1/24 площади круга
12) Центральный угол равен 15+90=105°
Как найти площадь заштрихованной фигуры окружность
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён вписанный в окружность угол ABC. Найдите его градусную величину.
Аналоги к заданию № 27890: 26237 27891 509571 Все
На клетчатой бумаге с размером клетки изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Отрежем от закрашенной фигуры сектор, отмеченный синим цветом, и добавим к ней сектор, выделенный красным цветом. Указанные секторы равны, поэтому площадь фигуры не изменилась. Следовательно, она равна трём четвертям площади круга, радиус которого см. Поэтому
см 2 .
Хотелось бы более “научного” доказательства. Аргумент “это видно” не достаточен, так как всем видно разное. Спасибо!
На рисунке ВИДНО, что они равны. Или задайте прямые уравнениями и и найдите угол между ними. Но то, что уравнения именно такие, тоже ВИДНО по рисунку. Задания на работу с рисунками предполагают считывание информации с рисунка.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Треугольник прямоугольный, значит, радиус описанной вокруг него окружности равен половине гипотенузы.
На клетчатой бумаге нарисованы два круга
Здравствуйте, друзья! В состав ЕГЭ по математике входят задачи связанные с нахождением площади круга или его частей (сектора, кольцевых элементов). Фигура задаётся на листе в клетку. В одних задачах масштаб клетки задаётся 1×1 сантиметр, в других он не оговаривается – даётся площадь элемента круга или самого круга.
Задания неглубокие, необходимо помнить формулу площади круга, уметь визуально (по клеткам) определить радиус круга, какую долю от круга составляет выделенный сектор. Кстати, на блоге имеется статья о площади сектора. Её содержание к решению представленных ниже задач отношения не имеет, но для тех, кто хочет вспомнить формулу площади круга и площади сектора будет весьма полезна. Рассмотрим задачи (взяты из открытого банка заданий):
Найдите (в см 2 ) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе запишите S/л.
Для того, чтобы площадь фигуры (кольца) необходимо из площади круга радиусом равным 2 вычесть площадь круга с радиусом 1. Формула площади круга:
Разделим результат на число Пи и запишем ответ.
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Площадь заштрихованной фигуры можно найти вычислив разность между площадью большего круга и площадью меньшего. Определим во сколько раз площадь большего отличается от площади меньшего. Пусть радиус меньшего равен R, тогда его площадь равна:
Радиус большего круга в два раза больше (видно по клеткам). Значит, его площадь равна:
Получили, что его площадь в 4 раза больше.
Следовательно, она равна 51∙4 = 204 см 2
Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 204 – 51 = 153 см 2 .
*Второй способ. Можно было вычислить радиус малого круга, затем определить радиус большего. Далее найти площадь большего и вычислить площадь искомой фигуры.
На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Данная задача по ходу решения практически не отличается от предыдущей, разница состоит лишь в том, что круги имеют разные центры.
Несмотря на то, что видно, что радиус большего круга в 2 раза больше радиуса меньшего, советую вам обозначить размер клетки переменной х (икс).
Так же, как и в предыдущей задаче, определим во сколько раз площадь большего отличается от площади меньшего. Выразим площадь меньшего круга, так как его радиус равен 3х:
Выразим площадь большего круга, так как его радиус равен 6х:
Как видно, площадь большего круга в 4 раза больше.
Следовательно, она равна 1∙4 = 4 см 2
Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 4 – 1 = 3 см 2 .
На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Обозначим размер клетки переменной х (икс).
Определим во сколько раз площадь большего круга отличается от площади меньшего. Выразим площадь меньшего круга. Так как его радиус равен 3 ∙ х, то
Выразим площадь большего круга. Так как его радиус равен 4 ∙ х, то
Разделим площадь большего на площадь меньшего:
То есть, площадь большего круга в 16/9 раза больше площади меньшего, следовательно, она равна:
Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 16 – 9 = 7 см 2 .
Вычислим радиус меньшего круга. Его площадь равна 9, значит,
Найдём размер клетки и затем сможем определить радиус большего круга. Размер клетки равен:
Так как радиус большего круга соответствует 4 клеткам, то его радиус будет равен:
Определяем площадь большего круга:
Находим разность: 16 – 9 = 7 см 2
На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 48. Найдите площадь заштрихованного сектора.
В этой задаче очевидно, что заштрихованная часть составляет половину от площади всего круга, то есть равна 24.
На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?
По рисунку видно, что площадь сектора составляет треть от площади круга. Значит, площадь круга будет равна 32∙3 = 96.
Найдите (в см 2 ) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе запишите S/л.
Найдите площадь S круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите S/л.
В задачах связанных с площадью сектора круга необходимо уметь определять какую долю он составляет от площади круга. Это сделать не сложно, так как в подобных задачах центральный угол сектора кратен 30 либо 45.
В задачах связанных с нахождением площадей кольцевых элементов есть разные пути для решения, оба показаны в решённых заданиях. Способ, в котором размер клетки обозначается через переменную х, и затем определяются радиусы более универсален.
Но самое главное – не запоминать эти способы. Можно найти и третий и четвёртый путь решения. Главное – это знать формулу площади круга и уметь логически рассуждать.
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, автор проекта Александр Крутицких.
[spoiler title=”источники:”]
http://ege.sdamgia.ru/test?theme=123
http://matematikalegko.ru/plocshadi-figur/krug-chasti-kruga-na-liste-v-kletku.html
[/spoiler]
