Как найти площадь звезды

Существует ли формула, позволяющая найти площадь правильной пятиконечной звезды?

Андрей Козлов

Искусственный Интеллект

(146960),
закрыт

2 года назад

Я пытался найти её сам, но постоянно что-то не получалось

То, как найти площадь n-угольной (и любой правильной) звезды, придумала педагог из Назрановской гимназии № 1 Лейла Сапралиева. И теперь другим уже не придется применять сложные математические расчеты.

– В школьном курсе геометрии в основном изучаются выпуклые фигуры – треугольники, ромбы, параллелограммы, окружности. Меня заинтересовали, наоборот, невыпуклые, как, например, звезда, – поясняет Лейла. – Чтобы ее построить, надо начертить окружность. Зная радиус круга, можно вычислить площадь. Эту формулу можно применить к любой звезде. Причем даже той, что на небе, только если она правильной формы.

До сих пор площадь звезд находили с помощью нескольких сложных математических действий: сначала рассчитывалась площадь n-угольника, потом – треугольников, которые его ограничивают. По формуле Сапралиевой расчеты делаются гораздо проще.

Коллеги Лейлы и ее ученики первыми опробовали новую формулу. Вскоре на педагогическом форуме в Санкт-Петербурге, в котором участвовали преподаватели из 72 регионов страны, она была рекомендована для использования в школьной программе.

Математик с почти 30-летним стажем, Лейла Сапралиева занимается исследовательской работой уже давно. Сначала ее заинтересовали кубические уравнения.

– Применялись разные методы их решения, и единой формулы не существовало, – продолжает собеседница. – Например, сначала находим один корень методом подбора, потом применяем теорему Безу. У меня возникла мысль: можно ли вывести формулу, которая бы позволяла сразу, если известен один корень кубического уравнения, подставить его и найти другие корни? И удалось ее вывести.

Правда, когда математическую разработку отправили на рецензию в Ингушский государственный университет, оттуда пришел неожиданный ответ: мол, она… не представляет никакого интереса.

Прямо противоположно оценили формулу школьного учителя на Всероссийском конкурсе «Педагогические новации», где за это открытие Лейлу Сапралиеву наградили дипломом и медалью за вклад в российское образование.

Разработка ингушского педагога «Нетрадиционные приемы решения некоторых кубических уравнений» опубликована в книге «Золотые уроки. Медиатека опыта лучших школ и учителей».

По формулам Лейлы Сапралиевой математические задачи решают школьники не только в самой Ингушетии, но и в других регионах страны.

Алена ЛаринаРоссийская газета 

Для понимания решения перерисуем рисунок с обозначением некоторых точек

Из условия становится ясно, что сторона квадрата равна 60 см, а половина стороны квадрата равна 30 см

1) Рассмотрим прямоугольник AMND. У него стороны MN = AD = 60 см и AM = ND = 30 см

Площадь AMND = 30•60

AN и MD – диагонали этого прямоугольника и пересекутся в точке G (середина). Будут образованы этими диагоналями 4 треугольника равные по площади. Но нас интересуют только ∆MGN и ∆AGD – эти зеленые треугольники равны и их площадь S₁ = (1/4)• 30•60 = 450 см² (четверть площади прямоугольника AMND

(Можно по другому площадь треугольника половина стороны на высоту: S₁ = AD•FG/2 = 60•15/2 = 450)

2) Но если S∆MNG = 450, то 2 лепестка: ∆MPR и ∆NQS будут составлять площадь S₁ – 5 см² = 445 см²

3) Теперь рассмотрим бирюзовый ∆AED, его площадь равна произведению половины стороны AD на высоту EF: S₂ = 60•60 / 2 = 1800 см²

Тогда суммарная площадь трех лепестков: ∆PEQ и ∆RAG и ∆GDS равна S₂ – S∆AGD – S(RPQSG)

и равна S₂ – S₁ – 5 = 1800 – 450 – 5 = 1345 см²

4) Итого суммарно площадь пяти лепестков = 1345 + 445 = 1790 см²

Ответ: 1790 см² – это верный ответ на данную задачу, но неправильный ответ фактически.

Почему? Да потому что изначально дано неверное противоречивое условие. Не может при таком построении площадь внутреннего пятиугольника звезды равняться 5 см²

Поэтому из ложного условия следует какой угодно ответ в том числе и этот.

Но давайте посчитаем чему все же равна площадь пятиугольника RPQSG при этих условиях

Здесь подсчет будет чуть сложнее

Например от S₂ отнимем S∆PEQ = 30•30 / 2 = 450 Получим 1800 – 450 = 1350

Далее надо отнять S∆AGD = S₁ = 450. Получим 1350 – 450 = 900

Далее надо отнять две S∆ARG, которую надо посчитать

Не буду загромождать расчетами, но ∆ARG – прямоугольный с катетами AR = 12√5 и RG = 9√5

И площадь S∆ARG = 12•√5•9•√5 / 2 = 270 Два таких треугольника по площади будут 540

Получаем S(RPQSG) = 900 – 540 = 360 см²

И реально площадь лепестков тогда будет:

Сумма (450 – 360 = 90 см²) и (1800 – 450 – 360 = 990 см²) = 90 + 990 = 1080 см²

Правильный Ответ: 1080 см², так как площадь пятиугольника звезды = 360 см², а не 5 см²