Формулы площади геометрических фигур
Площадь геометрической фигуры – численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.
Формулы площади треугольника
-
Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты -
Формула площади треугольника по трем сторонам
Формула Герона
S = √p(p – a)(p – b)(p – c)
-
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними. -
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
-
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.где S – площадь треугольника,
a, b, c – длины сторон треугольника,
h – высота треугольника,
γ – угол между сторонами a и b,
r – радиус вписанной окружности,
R – радиус описанной окружности,p = a + b + c – полупериметр треугольника. 2
Формулы площади квадрата
-
Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.S = a2
-
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.где S – площадь квадрата,
a – длина стороны квадрата,
d – длина диагонали квадрата.
Формула площади прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон
S = a · b
где S – Площадь прямоугольника,
a, b – длины сторон прямоугольника.
Формулы площади параллелограмма
-
Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.S = a · h
-
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.S = a · b · sin α
-
Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.где S – Площадь параллелограмма,
a, b – длины сторон параллелограмма,
h – длина высоты параллелограмма,
d1, d2 – длины диагоналей параллелограмма,
α – угол между сторонами параллелограмма,
γ – угол между диагоналями параллелограмма.
Формулы площади ромба
-
Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.S = a · h
-
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.S = a2 · sin α
-
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.где S – Площадь ромба,
a – длина стороны ромба,
h – длина высоты ромба,
α – угол между сторонами ромба,
d1, d2 – длины диагоналей.
Формулы площади трапеции
-
Формула Герона для трапеции
S = a + b √(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d) |a – b| -
Формула площади трапеции по длине основ и высоте
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высотугде S – площадь трапеции,
a, b – длины основ трапеции,
c, d – длины боковых сторон трапеции,p = a + b + c + d – полупериметр трапеции. 2
Формулы площади выпуклого четырехугольника
-
Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:
где S – площадь четырехугольника,
d1, d2 – длины диагоналей четырехугольника,
α – угол между диагоналями четырехугольника. -
Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)
Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности
S = p · r
-
Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов
S = √(p – a)(p – b)(p – c)(p – d) – abcd cos2θ
где S – площадь четырехугольника,
a, b, c, d – длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d2 – полупериметр четырехугольника,
θ = α + β2 – полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
-
Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность
S = √(p – a)(p – b)(p – c)(p – d)
Формулы площади круга
-
Формула площади круга через радиус
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.S = π r2
-
Формула площади круга через диаметр
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.где S – Площадь круга,
r – длина радиуса круга,
d – длина диаметра круга.
Формулы площади эллипса
Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.
S = π · a · b
где S – Площадь эллипса,
a – длина большей полуоси эллипса,
b – длина меньшей полуоси эллипса.
Площади фигур. Основные формулы.
Площадь треугольника.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
а – основание, h – высота, проведенная к этому основанию. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b – стороны, α – угол между этими сторонами. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b, с – стороны, р – полупериметр (сумма трех сторон, деленная пополам). Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
r – радиус вписанной в треугольник окружности, р – полупериметр (сумма трех сторон, деленная пополам). Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b, с – стороны, R – радиус описанной около треугольника окружности, d – диаметр описанной окружности. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
R – радиус описанной около треугольника окружности, α, β, γ – углы треугольника. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b – катеты. Формула применима для прямоугольного треугольника. |
 |
 |
a – сторона. Формула применима для равностороннего (правильного) треугольника. |
Площадь квадрата и прямоугольника.
Площадь параллелограмма и ромба.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
а – одна из сторон параллелограмма, h – высота, проведенная к этой стороне |
 |
 |
а, b – стороны параллелограмма, α – угол между этими сторонами |
 |
 |
d1, d2 – диагонали, α – угол между диагоналями (можно брать любой угол, т.к. синусы смежных углов равны) |
 |
 |
а – сторона ромба, h – высота, проведенная к этой стороне |
 |
 |
а – сторона ромба, α – угол между этими сторонами |
 |
 |
d1, d2 – диагонали ромба |
Площадь трапеции.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
а, b – основания трапеции, h – высота. Формула применима для любой* трапеции. |
 |
 |
m – средняя линия трапеции, h – высота. Формула применима для любой трапеции. |
 |
 |
d1, d2 – диагонали трапеции, α – угол между диагоналями (можно брать любой угол, т.к. синусы смежных углов равны). Формула применима для любой трапеции. |
*Любая трапеция – это и равнобедренная, и прямоугольная, и тупоугольная, и произвольная 🙂
Площадь круга и кругового сектора.
Площадь многоугольника.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
р – полупериметр (сумма всех сторон многоугольника, деланная на 2), r – радиус вписанной в этот многоугольник окружности. *Пятиугольник нарисован для примера. Формула работает как для правильного, так и для произвольного многоугольника, главное, чтобы в него можно было вписать окружность. |
Необходимо определить, что такое высота параллелограмма.
Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.
Высота (BE), проведённая между длинными сторонами, короче высоты (BF), проведённой между короткими сторонами.
Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы: (BE = BF).
Площадь произвольного параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.
Проведём высоты из двух вершин (B) и (C) к стороне (AD) .
Прямоугольные треугольники (ABE) и (DCF) равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).
Параллелограмм (ABCD) и прямоугольник (EBCF) — равновеликие, так как состоят из равных фигур:
SABCD=SABE+SEBCD;SEBCF=SEBCD+SDCF.
Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:
SEBCF=BE⋅BC;SABCD=BE⋅BC=BE⋅AD.
Если обозначить сторону через (a), высоту — через (h), то:
Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
.
Формула определения площади ромба:
Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.
Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:
Площадь произвольного треугольника
Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.
, где (h) — высота (на рисунке — (BE)), проведённая к стороне (a) (на рисунке — (AD)).
Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.
Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.
SΔ=pp−ap−bp−c;p=a+b+c2
— формула Герона, где (a), (b) и (c) — стороны треугольника, (p) — полупериметр треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника
Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:
S=a⋅b2, где (a) и (b) — катеты.
Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.
Пример:
1. вычислим площадь треугольника со сторонами (17) см, (39) см, (44) см.
Решение:
p=17+39+442=50;SΔ=50⋅50−17⋅50−39⋅50−44=50⋅33⋅11⋅6==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3=5⋅2⋅3⋅11=330см2.
Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители:
a⋅a=a
.
Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.
Пример:
2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны (15) см, (13) см, (4) см.
Решение:
используем две формулы вычисления площади:
SΔ=aha2
и
SΔ=pp−ap−bp−c
.
Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому (a =) (15) см.
.
15⋅h2=24⋅215⋅h=48;h=4815=3,2(см).
Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.
Пример:
3. дан параллелограмм со сторонами (17) см и (39) см, длина диагонали равна (44) см. Вычислим площадь параллелограмма.
Решение:
диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:
.
Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.
Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.
Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.
SABCD=SABD+SDBC;SABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==AD+BC⋅BE2.
Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через (a) и (b), высоту через (h), то:
Обрати внимание!
Важные следствия:
1. если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.
2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.
3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
b – верхнее основание
a – нижнее основание
c – равные боковые стороны
α – угол при нижнем основании
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):
2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности
R – радиус вписанной окружности
D – диаметр вписанной окружности
O – центр вписанной окружности
H – высота трапеции
α, β – углы трапеции
Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
d – диагональ трапеции
α, β – углы между диагоналями
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
m – средняя линия трапеции
c – боковая сторона
α, β – углы при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
b – верхнее основание
a – нижнее основание
h – высота трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):
Приветствую Вас, уважаемые читатели!
В школьном курсе геометрии 7-9 класс, очень много формул площадей различных фигур, которые необходимо знать, для успешного прохождения итоговой аттестации и при обучении в 8-9 классе.
После прочтения, Вы поймете, как эти формулы зависят друг от друга, и какие нужно знать, а какие можно просто вывести из других.
В 8 классе учащиеся начинают знакомится с четырехугольниками (параллелограммом, ромбом, прямоугольником, квадратом, трапецией). Все формулы для этих фигур схожие. Нужно знать только три основные формулы, с помощью которые находят площадь параллелограмма.
Третья формула дается в курсе геометрии 9 класса, а вот вторая формула практически не используется в учебнике геометрии, хотя на нее есть задания в ОГЭ.
От всех формул, которые приведены выше, выводятся все остальные формулы, и легко понять, почему у той или иной фигуры такая формула, а не другая.
Рассмотрим фигуры подробней.
1) Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Значит, все формулы, что есть в параллелограмме, используются для ромба.
Формула нахождения ромба через диагонали, в учебнике не выделена, ее нужно доказать из задачи. Но как вы видите. все формулы, которые есть в ромбе, это формулы параллелограмма.
2) Прямоугольник. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны. Именно поэтому прямоугольник, с которым дети знакомятся еще в младших классах, имеет формулу нахождения площади S=ab.
В 8 классе, учащиеся узнают, что Sin90=1 (синус 90 градусов равен 1), поэтому, взяв третью формулу, мы получаем, что площадь прямоугольника равна S=ab (площадь прямоугольника равна, произведению длин его смежных сторон).
Вторая формула для параллелограмма используется так же и для прямоугольника. Но в прямоугольнике, диагонали равны, поэтому формула упрощается, и мы получаем, что площадь прямоугольника равна половине произведения квадрата диагонали. Эту формулу покажу в квадрате.
3) Квадрат – это параллелограмм у которого все стороны и углы равны.
Если мы проведем диагональ в параллелограмме, прямоугольнике или ромбе, то получим два равных треугольника. Площадь любого треугольника будет равна половине площади параллелограмма, но мы сможем использовать только первую и третью формулу, поскольку диагоналей в треугольнике нет.
Следующая фигура – это трапеция. Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (называются основания), а две другие не параллельны (боковые стороны).
Формулы нахождения площади для трапеции, состоит из двух формул площади треугольника, которые в свою очередь вывели из параллелограмма.
Так же площадь трапеции, можно найти с помощью второй формулы параллелограмма, через диагонали.
Эта формула, универсальная, для любого выпуклого четырехугольника (четырехугольник, все стороны которого лежат по одну сторону от прямой, соединяющий две его соседние вершины)
Это основные формулы, которые могут вам встретить на ОГЭ по математике в 17 и 18 задании.
Видео объяснение этого материала, можешь посмотреть ниже:
Спасибо, что прочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите класс и подпишитесь на мой блог.
