Как найти площади треугольников через все медианы - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

§2. Площадь треугольника. Метод площадей

В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.

Пусть `A`, `B` и `C` – углы треугольника`ABC`; `a`, `b` и `c` – противолежащие этим углам стороны; `h_a`, `h_b` и `h_c` – высоты к этим сторонам; `r` – радиус вписанной окружности;`R` – радиус описанной окружности; `2p=(a+b+c)` – периметр треугольника; `S` – площадь треугольника

`S=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c`,	(1)
`S=1/2 ab sinC=1/2acsinB=1/2bcsinA`,	(2)
`S=pr`,	(3)
``S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))` – формула Герона,	(4)
`S=(abc)/(4R)`.	(5)

При вычислении площади из этих формул следует выбрать ту, которая в условиях конкретной задачи приводит к более простому решению.

Для примера, рассмотрим два треугольника:

`DeltaABC:` `AB=13`, `BC=14`, `AC=15`;

`DeltaKML:` `KL=sqrt(13)`, `LM=sqrt(14)`, `KM=sqrt(15)`;

Надо найти площадь и радиус описанной окружности.

Для треугольника `ABC` удобен ход решения такой:

`p=1/2(AB+BC+AC)=21`, по формуле Герона

`S_(ABC)=sqrt(21*6*7*8)= ul(84)` и по формуле (5)

`R=(abc)/(4S)=(13*14*15)/(4*84)=65/8=ul(8,125)`.

Для треугольника `KLM` вычисленная по формуле Герона затруднительны, более простой путь – найти косинус, например, угла `M`. По теореме косинусов

`13=14+15-2sqrt(14)*sqrt(15)cosM iffcosM=8/(sqrt(14)*sqrt(15))`,

тогда `sinM=sqrt(1-64/(210))=(sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))` и по формуле (2):

`S_(KML)=1/2KM*LMsinM=1/2*(sqrt(14)*sqrt(15)*sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))=(sqrt(146))/2`,

тогда `R=(KL)/(2sinM)=ul((sqrt(13)*sqrt(14)*sqrt(15))/(2*sqrt(146)))=(sqrt(13)*sqrt7*sqrt(15))/(2*sqrt(73))` (точно также по формуле 5).

Сравнение площадей треугольников обычно опирается на одно из следующих утверждений:

$$ 2.{1}^{○}$$. Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как длины соответствующих оснований. В частности, если точка `D` лежит на основании `AC` (рис. 6а), то

`(S_(DBC))/(S_(ABC))=(DC)/(AC)`.

$$ 2.{2}^{○}$$. Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (см. рис. 6б):

`(S_(KBL))/(S_(ABC))=(BK*BL)/(BA*BC)`.

$$ 2.{3}^{○}$$. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их

сходственных сторон, т. е. если `Delta ABC~DeltaA_1B_1C_1`, то `(S_(A_1B_1C_1))/(S_(ABC))=((A_1B_1)/(AB))^2`.

Все эти утверждения легко доказываются с использованием соответственно формул площади (1) и (2).

Обратим внимание на важное свойство медиан треугольника.

Три медианы треугольника разбивают его на `6` треугольников с общей вершиной и равными площадями.

Известно, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении `2:1`, считая от вершины. Пусть `O` – точка пересечения медиан треугольника `DeltaABC` площади `S` (рис. 7а). Надо доказать, что площади всех шести треугольников с верш иной в точке `O`, составляющих треугольник `ABC`, равны между собой, т. е. равны `1/6S`.

Докажем, например, для треугольника `BOM`, что `S_(BOM)=1/6S_(ABC)`.

Точка `M` – середина стороны `BC` (рис. 7б), по утверждению $$ 2.{1}^{○}$$ о сравнении площадей `S_(ABM)=1/2S`. Медиана `BN`, пересекая медиану `AM` в точке `O` (рис. 7в), делит её в отношении `AO:OM=2:1`, т. е. `OM=1/3AM`. По тому же утверждению $$ 2.{1}^{○}$$ площадь треугольника `BOM` составляет `1//3` площади треугольника `ABM`, т. е.

`S_(BOM)=1/3(1/2S)=1/6S`.

Дан треугольник `ABC`. Точка `D` лежит на стороне `AB`, `AD:DB=1:2`, точка `K` лежит на стороне `BC`, `BK:KC=3:2` (рис. 8а). Отрезки `AK` и `CD` пересекаются в точке `O`. Найти отношение площади четырёхугольника `DBKO` к площади треугольника `ABC`.

1. Обозначим `S_(ABC)=S`, `S_(DBKO)=sigma` и `S_(ADO)=a`. По утверждению $$ 2.{1}^{○}$$ имеем `S_(ABK)=a+sigma=3/5S` (так как `BK:BC=3:5`). Площадь `a` треугольника `ADO` найдём как часть площади треугольника `ADC`, зная, что `S_(ADC)=1/3S` (так как `AD:AB=1:3`).

2. Через точку `D` проведём прямую `DL“||“AK`. По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми (`/_ABC`, `DL“||“AK`) имеем `(BL)/(LK)=(BD)/(AD)`, откуда `LK=y`.

По той же теореме (`/_DCB`, `OK“||“DL`) получим `(DO)/(DC)=(LK)/(LC)`, `DO=1/3DC`.

3. Теперь находим `S_(ADO):S_(ADC)=DO:DC`, `a=1/3(1/3S)=1/9S`.

(Можно по теореме Менелая для треугольника `BCD` и секущей `CD:`

`(BK)/(KC)*(CO)/(OD)*(DA)/(AB)=1 iff 3/2*(CO)/(OD)*1/3=1 iff CO=2OD=>OD=1/3DC`).

Находим площадь: `sigma=3/5S-a=(3/5-1/9)S=22/45S`.

`22/45`.

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны `3` и `7`, а медиана к третьей стороне равна `4` (рис. 9).

Пусть `AB=3`, `BC=7`, `AM=MC` и `BM=4`. Достроим треугольник `ABC` до параллелограмма, для этого на прямой `BM` отложим отрезок `MD=BM` и соединим точки: `A` с `D` и `C` с `D`. Противоположные стороны параллелограмма равны: `(DC=AB)` и равны площади треугольников `ABC` и `DBC` (общее основание `BC` и равные высоты из вершин `A` и `D`).

В треугольнике `DBC` известны все три стороны: `BC=7`, `DC=3`, `BD=2BM=8`.

Находим его площадь по формуле Герона: `p=9`, `S_(BCD)=6sqrt3`.

Значит и `S_(ABC)=6sqrt3`.

В решении этой задачи дополнительным построением получен треугольник, площадь которого равна площади заданного и легко вычисляется по данным задачи. Приведём ещё одну задачу, где сначала вычисляется площадь дополнительно построенной фигуры, а затем легко находится искомая площадь.

Найти площадь треугольника, если его медианы равны `3`, `4` и `5`.

Пусть `O` – точка пересечения медиан треугольника `ABC` (рис. 10) и пусть `m_a=AM=3`, `m_b=BN=4` и `m_c=CP=5`.

По свойству медиан `AO=2/3m_a`, `CO=2/3m_c` и `ON=1/3m_b`. В треугольнике `AOC` известны две стороны `AO` и `CO` и медиана третьей стороны `ON`. Площадь этого треугольника найдём как в предыдущей задаче.

Достроим треугольник `AOC` до параллелограмма `AOCD`, `S_(AOC)=S_(DOC)`, в треугольнике `DOC` известны три стороны:

`DO=2ON=2/3m_b`, `OC=2/3m_c`, `DC=AO=2/3m_a`.

Площадь треугольника `DOC` вычисляем по формуле Герона `S_1=S_(AOC)=S_(DOC)=8/3`. Сравним теперь площадь треугольника `ABC` (обозначим её `S`) с площадью треугольника `AOC`. Из теоремы 2 о медианах и площадях следует `S_(AOC)=S_(AON)+S_(NOC)=2*1/6S=1/3S`.

Итак, `S=3`, `S_1=8`.

В следующей задаче докажем лемму об отношении площади треугольника к площади другого треугольника, построенного из медиан первого.

Найти отношение площади `S` треугольника к площади `S_0` треугольника, составленного из медиан первого.

Рассмотрим рис. 10. В построенном треугольнике `OCD` стороны таковы: `OC=2/3m_c`, `OD=2/3m_b`, `CD=2/3m_a`. Очевидно, что треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c` подобен (по третьему признаку) треугольнику со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`.

Из решения предыдущей задачи следует, что `S_(OCD)=S_1=1/3S` (здесь `S` – площадь треугольника `ABC`). Кроме того, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому `(S_1)/(S_0)=(2/3)^2`. Таким образом, имеем `S_0=9/4S_1=3/4S`, т. е.

`S_(m_am_bm_c)=3/4S_(abc)`.

Из рассуждений в решении Примера 9 следует, что всегда существует треугольник со сторонами, равными медианам данного треугольника, поскольку всегда существует подобный ему треугольник со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`. Кроме того, становится ясным план построения треугольника по трём отрезкам, равным его медианам: сначала строится треугольник `OCD` (см. рис. 10) со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`, затем точка `N` – середина отрезка `OD`, потом точка `A` (из `AN=NC`) и точка `B` (из `OB=OD`). Это построение осуществимо, если существует треугольник `OCD`, т. е. если существует треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c`. Итак, вывод: три отрезка могут быть медианами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда из них можно составить треугольник.

Около окружности радиуса `sqrt3` описан треугольник. Найти его площадь, если одна из его сторон точкой касания делится на отрезки `9` и `5`.

Пусть `AP=9`, `PC=5` (рис. 11) и пусть `BM=x`. По свойству касательных `AM=AP`, `CN=CP` и `BN=BM`, поэтому стороны треугольника таковы: `AC=14`, `AB=9+x`, `BC=5+x`, тогда `p=14+x`. (Заметим, что `p=AC+BM`!). По формулам площади (3) и (4) имеем: `S=pr=(14+x)sqrt3` и `S=sqrt((14+x)x*5*9)`. Приравниваем правые части, возводим в квадрат, приводим подобные члены, получаем `x=1`. Вычисляем площадь треугольника:

`S=pr=(14+1)*sqrt3=15sqrt3`.

Приём, применённый в решении этой задачи, когда площадь фигуры выражается двумя различными способами, часто используется в задачах на доказательство.

Проведём два примера, в каждом выведем полезную формулу.

В треугольнике `ABC` угол `C` равен `varphi`, `AC=b`, `BC=a` (рис. 12). Доказать, что биссектриса `CD` равна `(2ab)/(a+b) cos varphi/2`.

Обозначим `CD=x`. Очевидно, что `S_(ABC)=S_(ACD)+S_(DCB)`. По формуле (2) `S_(ABC)=1/2 ab sin varphi`, `S_(ACD)=1/2 bx sin varphi/2`, `S_(BDC)=1/2 ax sin varphi/2`. Таким образом, имеем: `1/2 ab sin varphi=1/2(a+b)x sin varphi/2`. Используем формулу синуса двойного угла `sin varphi=2sin varphi/2 cos varphi/2`, получим:

`x=(2ab)/(a+b)cos varphi/2`.

называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Таких окружностей, очевидно, три (рис. 13). Их радиусы обычно обозначаются `r_a`, `r_b`, `r_c` в зависимости от того, какой стороны окружность касается.

Вневписанная окружность касается стороны `a=BC` треугольника `ABC` (рис. 14). Доказать, что `S_(ABC)=r_a(p-a)`, где `2p=a+b+c`.

Центр окружности `I_a` лежит на пересечении биссектрисы угла `A` и биссектрис внешних углов при вершинах `B` и `C`. Легко видеть, что если `D`, `F` и `E` – точки касания, то `I_aD=I_aF=I_aE=r_a`.

Считаем площадь `S_0` четырёхугольника `ABI_aC`:

`S_0=S_(ABC)+S_(BCI_a)` и `S_0=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)`, откуда

`S_(ABC)=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)-S_(BCI_a)=1/2 cr_a+1/2br_a-1/2ar_a=`

`=r_a (c+b-a)/2=r_a(2p-2a)/2=r_a(p-a)`.

Итак,

Источник

Геометрия 8 класса – это, в основном, площади фигур. Во многих задачах фигурирует треугольник, некоторые элементы которого известны, и требуется найти площадь.

Здесь мы систематизируем формулы площади треугольника, грамотно применяя которые вы сможете решить любую задачу 8 класса по геометрии, а то и олимпиадную геометрическую задачу в 8, 9 или 10 классе.

1. Формула площади треугольника по основанию и высоте

Если в треугольнике известны основание a и проведённая к нему высота h_a, то площадь его будет равна полупроизведению основания на высоту.

$S=frac{1}{2}a h_a$

2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Если в треугольнике известны две стороны a и b и угол между ними $alpha$, то его площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними.

$S=frac{1}{2}absinalpha$

3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)

Если в треугольнике известны три стороны, a, b, c то для определения площади у него нужно найти полупериметр $p=frac{a+b+c}{2}$ и вычислить площадь по формуле Герона:

$S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Иногда формулу Герона ещё записывают так:
$S=frac{1}{4}sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))$

Кстати, сущесвтует и формула Герона для четырёхугольника.

4. Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам

Если треугольник прямоугольный и в нём известны два катета, a и b, то площадь треугольника вычисляется как полупроизведение катетов.

$S=frac{1}{2}ab$

5. Формула площади прямоугольного треугольника по одному катету и прилежащему углу

Если треугольник прямоугольный и в нём известен катет a и прилежащий угол $beta$, то площадь треугольника вычисляется как полупроизведение квадрата этого катета на тангенс прилежащего угла.

$S=frac{1}{2}a^2 tg beta$

Если же известен противолежащий угол, то площадь треугольника можно вычислить как полупроизведение квадрата этого катета на котангенс противолежащего угла.
$S=frac{1}{2}a^2 ctg alpha$

6. Формула площади равностороннего треугольника по его стороне

Если дан равносторонний треугольник со стороной a, то площадь его равна квадрату сторону, умноженному на корень из трёх и раделённому на 4.

$S=frac{a^2sqrt{3}}{4}$

7. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности

Если дополнительно к сторонам a, b, c треугольника известен и его радиус описанной окружности R, то площадь можно найти без формулы Герона, просто разделив произведение сторон на четыре радиуса описанной окружности.

$S=frac{abc}{4R}$

8. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности

Если у треугольника известны все стороны и ещё радиус вписанной окружности, то снова формула Герона будет не нужна. Площадь будет равна полупоризведению радиуса списанной окружности на пеример (ну или полупериметра на радиус описанной окружности).

$S=frac{(a+b+c)r}{2}=pr$

9. Формула площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Бывает, что в треугольнике известна только одна строна a, зато два прилежащих к ней угла: $beta$ и $gamma$. В этом случае площадь находится как половина квадрата стороны на произведение синусов прилежащих углов, делённое на синус суммы этих углов.

$S=frac{1}{2}a^2frac{sinbetasingamma}{sin(beta+gamma)}$

10. Формула площади равнобедренного треугольника

Если в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны по a, а основание равно b, то его площадь можно вычислить по следующей формуле:

$S=frac{b}{4}sqrt{4a^2-b^2}$

11. Формула площади треугольника, который задан координатами своих вершин на плоскости

Если треугольник задан на плоскости координатами своих вершин: $(x_0; y_0)$, $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить как определитель матрицы:

$S=frac{1}{2}begin{vmatrix}x_0&y_0&1\x_1&y_1&1\x_2&y_2&1end{vmatrix}$

При этом если точки взяты по часовой стрелке, результат будет положительным, а если против часовой – отрицательным.

12. Формула площади треугольника, стороны которого заданы векторами

Если две стороны треугольника заданы векторами с общим началом и координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить по формуле:

$frac{1}{2}|x_1 y_2 – x_2 y_1|$

13. Формула площади треугольника по трём медианам

Если у треугольника известны все медианы $m_a$, $m_b$, $m_c$, то его площадь можно найти по формуле, аналогичной формуле Герона:

$S = frac{4}{3} sqrt{sigma (sigma – m_a)(sigma – m_b)(sigma – m_c)}$,
где $sigma$ – полусумма медиан.

14. Формула площади треугольника по трём высотам

Если у треугольника известны все высоты $h_a$, $h_b$, $h_c$, то можно сначала найти величину $H = frac{frac{1}{h_a}+frac{1}{h_b}+frac{1}{h_c}}{2}$ (она в полтора раза больше среднего гармонического высот), а затем найти площадь по формуле:

$S=frac{1}{4 sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}}$

15. Формула площади треугольника по радиусу описанной окружности и всем углам

Если у треугольника известны все углы $alpha$, $beta$, $gamma$ и радуис описанной окружности R, то площадь треугольника можно найти как одну восьмую произведения квадрата радиуса вписанной окружности на произведение синусов углов.

$S = frac{1}{8}R^{2} sin alpha sin betasin gamma$

16. Формула площади треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге

Если треугольник нарисован на клетчатой бумаге и все его вершины находятся в углах сетки, то площадь его можно вычисляить по формуле Пика:
S = В+Г/2-1,
где В – количество узлов сетки, находящихся внутри треугольника,
Г – количество узлов сетки, находящихся на границе треугольника.

Источник

По каким формулам можно вычислить площадь треугольника
- - - 1. Формула площади треугольника по основанию и высоте
    - 2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
    - 3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)
    - 4. Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам
    - 5. Формула площади прямоугольного треугольника по одному катету и прилежащему углу
    - 7. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности
    - 8. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности
    - 9. Формула площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
    - 11. Формула площади треугольника, который задан координатами своих вершин на плоскости
    - 12. Формула площади треугольника, стороны которого заданы векторами
    - 13. Формула площади треугольника по трём медианам
    - 16. Формула площади треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге
Даны медианы треугольника найти площадь треугольника
- - рПДУЛБЪЛБ
  - тЕЫЕОЙЕ
  - УСЛОВИЕ:
  - РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ
Медиана треугольника. Теорема равнобедренного треугольника.
Площадь треугольника онлайн расчет
- Площадь через высоту и основание
- площадь через стороны треугольника
- Площадь через координаты вершин
- Площадь через две стороны и угол между ними
- Площадь через сторону и два угла
- Площадь через медианы треугольника
- Площадь через высоты треугольника
Ошибка 404 — Страница не найдена
- Архивы
- Рубрики
- Страницы
Медианы треугольника пересекаются в отношении
- - Другие свойства [ править | править код ]
- 2 Comments
Все о медианах
- - Элементарная геометрия
  - Векторная алгебра
  - Барицентрические координаты
  - Теорема Чева
  - Комплексные номера
  - Аффинная геометрия
Центроид треугольника | Brilliant Math & Science Wiki
- - - Содержимое
Центроид делит площадь треугольника на 3 или 6 равных частей
- Как три медианы, сходящиеся в центроиде, делят площадь треугольника на 3 и 6 равных частей и свойства чевиан
  - Медиана делит треугольник на 2 части равной площади
  - Концепция соотношения площади к основанию
    - Доказательство концепции отношения площади к основанию
  - Все три медианы вместе делят треугольник на 6 равных частей, доказательство
  - Три отрезка от вершины к центроиду делят треугольник на 3 равные части
  - Подобие треугольника, богатая концепция, механизм
    - Первичная форма концепции, богатой сходством треугольника
  - Концепция отношения площади к сегменту Cevian, доказательство
    - Частный случай центроида как чевианской точки на медиане, в данном случае чевиана
  - Дополнительные полезные отношения между площадями треугольников, образованных медианами в центре тяжести
    - Площадь $треугольника GFP$ относительно площади $треугольника GFE$
    - Площадь $треугольника GFE$ относительно площади $треугольника ABC$
    - Вертикальное отражение $треугольника GFP$ с перемещением вершины вдоль медианы
  - Площадь треугольника, полученная из длин его медиан, доказательство
    - Построение медианного треугольника
  - Площадь равностороннего треугольника по его сторонам и медианам 92$, где $a$ — длина стороны равностороннего $треугольника ABC$, а $m$ — длина всех трех его медиан.
  - Пошаговая помощь по геометрии в Suresolv
Расчет площади | SkillsYouNeed
- - Вычисление площади с использованием метода сетки
- Площади простых четырехугольников:
- Вычисление площади треугольников
2 треугольная часть стены: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64 м
- Площади кругов
  - Заключительный пример
Медиана треугольника, Указатель теорем и задач. Электронное обучение, геометрия колледжа онлайн.

По каким формулам можно вычислить площадь треугольника

Геометрия 8 класса — это, в основном, площади фигур. Во многих задачах фигурирует треугольник, некоторые элементы которого известны, и требуется найти площадь.

1. Формула площади треугольника по основанию и высоте

$S=frac{1}{2}a h_a$

2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

$S=frac{1}{2}absinalpha$

3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)

$S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Иногда формулу Герона ещё записывают так:
$S=frac{1}{4}sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))$

Кстати, сущесвтует и формула Герона для четырёхугольника.

4. Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам

$S=frac{1}{2}ab$

5. Формула площади прямоугольного треугольника по одному катету и прилежащему углу

2sqrt{3}}{4}$

7. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности

$S=frac{abc}{4R}$

8. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности

$S=frac{(a+b+c)r}{2}=pr$

9. Формула площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Бывает, что в треугольнике известна только одна строна a, зато два прилежащих к ней угла: $beta$ и $gamma$. 2}$

11. Формула площади треугольника, который задан координатами своих вершин на плоскости

$S=frac{1}{2}begin{vmatrix}x_0&y_0&1\x_1&y_1&1\x_2&y_2&1end{vmatrix}$

При этом если точки взяты по часовой стрелке, результат будет положительным, а если против часовой — отрицательным.

12. Формула площади треугольника, стороны которого заданы векторами

$frac{1}{2}|x_1 y_2 — x_2 y_1|$

13. Формула площади треугольника по трём медианам

$S = frac{4}{3} sqrt{sigma (sigma — m_a)(sigma — m_b)(sigma — m_c)}$,
где $sigma$ — полусумма медиан. {2} sin alpha sin betasin gamma$

16. Формула площади треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге

Если треугольник нарисован на клетчатой бумаге и все его вершины находятся в углах сетки, то площадь его можно вычисляить по формуле Пика:
S = В+Г/2-1,
где В — количество узлов сетки, находящихся внутри треугольника,

Г — количество узлов сетки, находящихся на границе треугольника.

Даны медианы треугольника найти площадь треугольника

нЕДЙБОЩ ФТЕХЗПМШОЙЛБ ТБЧОЩ 3, 4 Й 5. оБКДЙФЕ РМПЭБДШ ФТЕХЗПМШОЙЛБ.

рПДУЛБЪЛБ

дПЛБЦЙФЕ, ЮФП РМПЭБДШ ФТЕХЗПМШОЙЛБ, ПВТБЪПЧБООПЗП НЕДЙБОБНЙ ДБООПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ, УПУФБЧМСЕФ РМПЭБДЙ ДБООПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ.

тЕЫЕОЙЕ

рХУФШ B 1 — УЕТЕДЙОБ УФПТПОЩ AC ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC , M — ФПЮЛБ РЕТЕУЕЮЕОЙС ЕЗП НЕДЙБО. оБ РТПДПМЦЕОЙЙ НЕДЙБОЩ BB 1 ЪБ ФПЮЛХ B 1 ПФМПЦЙН ПФТЕЪПЛ B 1 K , ТБЧОЩК MB 1 . фПЗДБ AMCK — РБТБММЕМПЗТБНН, CK = AM .

уФПТПОЩ ФТЕХЗПМШОЙЛБ KMC УПУФБЧМСАФ УППФЧЕФУФЧХАЭЙИ НЕДЙБО ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC . рПЬФПНХ ФТЕХЗПМШОЙЛ KMC РПДПВЕО ФТЕХЗПМШОЙЛХ, УФПТПОЩ ЛПФПТПЗП ТБЧОЩ НЕДЙБОБН ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC . фПЗДБ РМПЭБДШ ФТЕХЗПМШОЙЛБ KMC УПУФБЧМСЕФ РМПЭБДЙ ФТЕХЗПМШОЙЛБ УП УФПТПОБНЙ 3, 4, 5, Ф.Е. . 6 = . уМЕДПЧБФЕМШОП,

Медиана делит площадь треугольника пополам

Два треугольника называются равновеликими. Если они имеют одинаковую площадь.

Теорема 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть ВМ – медиана треугольника АВС. Докажем, что

Проведем высоту BH треугольника АВС. Тогда

Так как ВМ – медиана треугольника АВС, то АМ=МС, поэтому

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Из теоремы, в частности следует, что если точку пересечения медиан треугольника соединить со всеми его вершинами, то треугольник разобьется на три равновеликие части.

Задача 1 Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника.

Пусть в треугольнике АВС медианы АМ и ВЕ равны 3 и 4 соответственно, , К – точка пересечения медиан.

Так как треугольник АВК прямоугольный с прямым углом ВКА, то .

Так как медиан делят треугольник на 6 равновеликих частей, то .

Задача 2 Медианы треугольника равны 6, 8 и 10, найти площадь треугольника.

Пусть медианы АM, BE и CD данного треугольника соответственно равны 6, 8 и 10, К – точка их пересечения. Отложим на продолжении луча ВЕ за точку Е отрезок EF=KE. Соединим точки С, F и A.

Рассмотрим треугольник KAF.

то

Далее, , так как CKAE – параллелограмм (по признаку параллелограмма: ели диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, до данный четырехугольник параллелограмм), получаем .

Так как , то есть , то по обратной теореме Пифагора (если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный) треугольник KAF – прямоугольный и .

Вычислим площадь треугольника AKF:

Теперь сравним площади треугольников AKF и АВС: так как AE – медиана треугольника AKF, то

, ,

Отметим, что задачу можно решить по-другому, если воспользоваться тем фактом, что:

площадь треугольника, образованного медианами данного треугольника составляет от площади самого треугольника.

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Вопросы для самопроверки:

1. Какие треугольники называются равновеликими?

2. Площадь треугольника равна S. Чему равна площадь каждого из треугольников, на которые его разбивает медиана, проведенная к какой-либо стороне этого треугольника?

3. На сколько равновеликих частей разбивают треугольник проведенные в нем три медианы?

4. Площадь треугольника равна S. Цент тяжести этого треугольника соединили с его вершинами. Чему равна площадь каждого из получившихся треугольников?

5. Площадь треугольника равна 48, чему равна площадь треугольника, составленного из медиан этого треугольника?

6. Площадь треугольника, составленного из медиан некоторого треугольника равна 24, чему равна площадь треугольника?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 8. Найти площадь треугольника.

2. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 найти площадь треугольника.

3. Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку М пересечения медиан треугольника с вершинами треугольника. Найти площадь треугольника ВМС.

4. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.

УСЛОВИЕ:

9.56. Зная медианы треугольника, найдите его площадь.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
S (Δ ABH)= S( ΔBCH)

S( ΔАОС)=(1/3) S ( Δ АВС)

S( ΔАОН)=(1/6) S ( Δ АВС)

Все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

[b] Дополнительное построение [/b]

Продолжим медиану AF за точку F на (1/3) ёё длины.

Получим параллелограмм ОВКС,
S(ОВКС)=2S(Δ ОВК)

Значит, площадь треугольника АВС найдем, зная площадь треугольника ОВК.

В треугольнике ОВК известны все стороны.
Значит можно найти площадь по формуле Герона

О т в е т. (4/3)sqrt(m*(m-m_(a))*(m-m_(b))*(m-m_(c)))
Так формула лучше просматривается, есть сходство с формулой Герона.

Медиана треугольника. Теорема равнобедренного треугольника.

Статьи
Медиана треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника c серединой противоположной стороны. Прямая тоже может быть медианой. Треугольник имеет три стороны, поэтому у него всегда ровно три медианы, каждая из которых выходит из вершины к середине противоположной стороны треугольника.

Давайте введем определение высоты:

Для построения медианы необходимо:

найти середину стороны и обозначить ее точкой;
соединить найденную точку с противолежащей вершиной треугольника.

Напомним про свойства равнобедренного треугольника из теоремы:

Если мы проведем медиану к основанию в равнобедренном треугольнике, то увидим что она также является и высотой:

Напомним, что такое биссектриса:

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Елена Михайловна Глущенко

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Стерлитамакский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 6-11 классов. Обществознание и история очень интересные предметы! Здесь можно изучить законы общества, понять свои возможности и выбрать жизненный путь, получить знания из других наук: экономики, философии, политологии, социологии и этики. Использую индивидуальный подход к ученику, стараюсь заинтересовать и расширить кругозор, использую на занятиях презентации, схемы и видео.

Татьяна Сергеевна Вахнина

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Орский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов.

В математике и физике всё подчиняется определенным законам, которые легко понять, и которые одинаковы абсолютно для всех. Стремлюсь скучные формулы и законы обогащать их образами и картинами, на которых видны связующие нити. На моих занятиях учащиеся понимают практическую значимость предметов. Ежегодно успешно сдают ОГЭ по математике и физике. До встречи на увлекательных занятиях!!!

Лиля Алексеевна Шевченко

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Армавирский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике 5-9 классы. Подготовка к ВПР/ОГЭ, повышение успеваемости. Я люблю математику за то, что она учит логично мыслить, правильно доказывать сначала теорему, а потом и отстаивать свою точку зрения!

Площадь треугольника онлайн расчет

Египетские дроби. Часть вторая
Египетские (аликвотные) дроби
По сегменту определить радиус окружности
Круг и площадь, отсекаемая перпендикулярами
Деление треугольника на равные площади параллельными
Определение основных параметров целого числа
Свойства обратных тригонометрических функций
Разделить шар на равные объемы параллельными плоскостями
Взаимосвязь между организмами с различными типами обмена веществ
Аутотрофные и миксотрофные организмы
Рассечение круга прямыми на равные площади
Период нечетной дроби онлайн. Первые полторы тысяч разложений.
Представить дробь, как сумму её множителей
Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений
Расчет основных параметров четырехполюсника
Цепочка остатков от деления в кольце целого числа
Система счисления на базе ряда Фибоначчи онлайн
Уравнение пятой степени. Частное решение.
Рассчитать площадь треугольника по трем сторонам онлайн
Общее решение линейного диофантового неоднородного уравнения
Частное решение диофантового уравнения с несколькими неизвестными
Онлайн разложение дробно рациональной функции
Корни характеристического уравнения
Имя пользователя при работе с Excel
Распределение частот появления букв русского алфавита в текстах

Данная страница посвящена достаточно распространенному информационному ресурсу — описанию и расчету площади произвольного треугольника. Отличие от других ресурсов, это расчет площади онлайн, непосредственно в процессе прочтения статьи

Площадь через высоту и основание

Высота треугольника
Основание куда «падает» высота треугольника

Это самая простая для запоминания формула. Словами эта формула звучит так — площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на его высоту.

В случае прямоугольного треугольника это выражение приобретает еще более простой смысл: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов

площадь через стороны треугольника

Сторона а треугольника
Сторона b треугольника
Сторона а треугольника

Площадь треугольника выраженная через стороны известна очень давно — она фигурирует в книгах, датированных 1 веком до нашей эры.

Эту формулу можно выразить по разному, благо формул расчета параметров треугольника достаточно.

Но если попытаться мыслить категориями времен до нашей эры, когда не было формул в современном преставлении, не было переменных и знаков корня, то единственной аксимомой, на базе которого, Герон, создал свою формулу, была теорема Пифагора. А так как в те времена, еще не знали иррациональных чисел, да к отрицательным у ученых было достаточно скептическое видение, то для размышлений использовались целые числа.

Самого доказательства здесь не будет, предположив только что Герон, дополнял произвольный пифагоровый треугольник до прямоугольника высчитывал его площадь, и делил на два.

Площадь через координаты вершин

Когда известны координаты вершин треугольника, формула площади может быть выражена вот такой формулой

Определитель третьего порядка легко раскладывается, и поэтому расчет площади даже в ручном режиме не вызовет никаких затруднений.

Площадь через две стороны и угол между ними

Площадь через сторону и два угла

Редко встречающаяся задача, но и для таких исходных данных высчитали формулу. Внимательный читатаель сразу видит «ошибку». Заголовок гласит, что площадь узнается через сторону и два угла, то есть через три переменных, а в формуле присутствут все четыре. Как же так?

На самом деле ошибки никакой нет, зная одну из основных аксиом треугольника, гласящая, что сумма внутренних углов треугольника всегда(!!) равна 180 градусов

Поэтому нет ничего сложного, зная два угла треугольника, узнать третий.

Площадь через медианы треугольника

Медиана на сторону а
Медиана на сторону b
Медиана на сторону с

Заменив квадраты сторон на дополнительные переменные, система превращается в систему линейных уравнений, которые легко решить.

А узнав все стороны, легко определить площадь по сторонам треугольника

Площадь через высоты треугольника

Высота на сторону а
Высота на сторону b
Высота на сторону с

Красивая формула не правда ли?

Как её выводили неизвестно, то что что она по своему элеганта, это не подвергается сомнению.

По двум сторонам и углу между ними. Параметры треугольника >>

Поиск по сайту

Русский и английский алфавит в одну строку
Часовая и минутная стрелка онлайн.Угол между ними.
Универсальный калькулятор комплексных чисел онлайн
Перемешать буквы в тексте онлайн
Массовая доля химического вещества онлайн
Декoдировать текст u0xxx онлайн
Частотный анализ текста онлайн
Поворот точек на произвольный угол онлайн
Площадь многоугольника по координатам онлайн
Остаток числа в степени по модулю
Обратный и дополнительный код числа онлайн
Расчет процентов онлайн
Как перевести градусы в минуты и секунды
Поиск объекта по географическим координатам
Расчет пропорций и соотношений
Время восхода и захода Солнца и Луны для местности
DameWare Mini Control. Настройка.
Растворимость металлов в различных жидкостях
Калькулятор географических координат
Расчет значения функции Эйлера
Теория графов. Матрица смежности онлайн
Географические координаты любых городов мира
Перевод числа в код Грея и обратно
Онлайн определение эквивалентного сопротивления
Произвольный треугольник по заданным параметрам
НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF)
Площадь пересечения окружностей на плоскости
Калькулятор онлайн расчета количества рабочих дней
Непрерывные, цепные дроби онлайн
Построить ненаправленный граф по матрице
Расчет заряда и разряда конденсатора через сопротивление
Месторождения золота и его спутники
Сообщество животных. Кто как называется?
Расчет понижающего конденсатора
Система комплексных линейных уравнений
Из показательной в алгебраическую. Подробно
Проекция точки на плоскость онлайн
Дата выхода на работу из отпуска, декрета онлайн
Определение формулы касательной к окружности
Расчет параметров конденсатора онлайн


Онлайн расчеты


Подписаться письмом

Ошибка 404 — Страница не найдена

К сожалению мы не можем показать то, что вы искали. Может быть, попробуете поиск по сайту или одну из приведенных ниже ссылок?

Поиск для:

Архивы

Архивы
Выберите месяц Сентябрь 2022 Август 2022 Июль 2022 Июнь 2022 Май 2022 Апрель 2022 Март 2022 Февраль 2022 Январь 2022 Декабрь 2021 Ноябрь 2021 Октябрь 2021 Сентябрь 2021 Август 2021 Июль 2021 Июнь 2021 Май 2021 Апрель 2021 Март 2021 Февраль 2021 Январь 2021 Декабрь 2020 Ноябрь 2020 Октябрь 2020 Сентябрь 2020 Август 2020 Июль 2020 Июнь 2020 Май 2020 Апрель 2020 Март 2020 Февраль 2020 Январь 2020 Декабрь 2019 Ноябрь 2019 Октябрь 2019 Сентябрь 2019 Август 2019 Июль 2019 Июнь 2019 Май 2019 Апрель 2019 Март 2019 Февраль 2019 Январь 2019 Декабрь 2018 Ноябрь 2018 Октябрь 2018 Сентябрь 2018 Август 2018 Июль 2018 Июнь 2018 Февраль 2018 Январь 2018 Ноябрь 2017 Сентябрь 2017 Август 2017 Июль 2017 Апрель 2017 Март 2017 Февраль 2017 Январь 2017

Рубрики

РубрикиВыберите рубрикуbritish bulldogАстраБез рубрикиВидеоурокивоспитательная работаВПРВСОШвысшая пробадвидиктантЕГЭЕГЭ 2022 информатикаЕГЭ 2022 математикаЕГЭ по химиизолотое руноизложениеитоговое сочинениеитоговое устное собеседованиеКенгуруКИТконкурс Пегасконтрольная работактпматематический праздникмежрегиональный химический турнирМОШмцкоОВИООГЭОГЭ 2022 математикаолимпиада звездаолимпиада курчатоволимпиада ЛомоносовОПКРаботы статградрабочая программарабочая тетрадьРДРРешу ЕГЭРешу ОГЭрусский медвежонокСочинениеСтатьитексты егэтесттурнир ЛомоносоваУчебные пособияЧИПЮМШ

Страницы

04. 10.2020 XLIII Турнир Ломоносова задания и ответы
05.12.17 Ответы и задания по математике 10 класс СтатГрад варианты МА00201-МА00208
05.12.17 Ответы и задания по математике 7 класс «СтатГрад» варианты МА70101-МА70106
06.11.2017 Олимпиада «Звезда» естественные науки задания и ответы 6-11 класс отборочный этап
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Камчатского края и Чукотского автономного округа
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Республика Алтай, Алтайский край, Республика Тыва, Респ. Хакасия, Красноярский край, Кемеровская, Томская и Новосибирская область
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 зона 8 Республика Саха (Якутия), город Якутск, Амурская область, Забайкальский край
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения для Республика Бурятия, Иркутская область зона 7
06.12.2017 5 зона Омск MSK+3 (UTC+6) официальные темы
06.12.2017 Ответы и задания по обществознанию 9 класс «СтатГрад» варианты ОБ90201-ОБ90204
07. 12.17 Ответы и задания по русскому языку 11 класс СтатГрад варианты РЯ10701-РЯ10702
07.12.2017 Ответы и задания по биологии 9 класс пробное ОГЭ 4 варианта
08.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс контрольная работа ОГЭ 56 регион
08.12.2017 Ответы и задания по физике 9 класс работа СтатГрад ОГЭ ФИ90201-ФИ90204
10.04.2020 Решать впр тренировочные варианты по математике 6 класс с ответами
10.10.17 Математика 9 класс контрольная работа 4 варианта ФГОС 56 регион задания и ответы
10.10.17 Русский язык 9 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ90101-РЯ90102
10.11.2017 История 9 класс задания и ответы статград варианты ИС90201-ИС90204
100balnik мы в ВКОНТАКТЕ
100balnik отзывы пользователей
11 апреля 10-11 класс география ответы и задания
11 апреля 6 класс история ответы и задания
11 апреля 7 класс биология ответы и задания
11.04.2020 Решать ВПР тренировочные варианты по математике 5 класс с ответами
11. 10.17 Физика 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты ФИ10101-ФИ10104
11.12.2017 — 16.12.2017 Олимпиада по дискретной математике и теоретической информатике
11.12.2017 Зимняя олимпиада по окружающему миру для 4 класса задания и ответы
11.12.2017 Ответы и задания по английскому языку 11 класс СтатГрад вариант АЯ10101
11.12.2017 Соревнование для 5-6 классов интернет-карусель по математике задания и ответы
12.04.2020 Решать тренировочные варианты ВПР по математике 4 класс + ответы
12.10 Русский язык 10 класс диагностическая работа ФГОС для 11 региона задания и ответы
12.10.17 Русский 2 класс ВПР официальные варианты задания и ответы
12.10.17 Химия 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ХИ90101-ХИ90104
12.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс работа СтатГрад варианты ГГ90101-ГГ90102
13.09.2017 Биология 11 класс СтатГрад задания и ответы все варианты
13.10.17 Математика 9 класс задания и ответы для 11 региона
13. 10.2017 Обществознание 11 класс работа СтатГрад задания и ответы ОБ10101-ОБ10104
13.12.2017 Ответы по физике 11 класс статград задания варианты ФИ10201-ФИ10204
13.12.2017 Письмо говорение по английскому языку 7-9 класс работа 56 регион
14.09.2017 Информатика 11 класс тренировочная работа статград ответы и задания
14.12 Геометрия 9 класс задания и ответы «СтатГрад»
14.12.2017 КДР ответы по русскому языку 8 класс задания все варианты
14.12.2017 Контрольная работа по математике 8 класс за 1 полугодие 2 варианта заданий с ответами
14.12.2017 Литература 11 класс ответы и задания СтатГрад вариант ЛИ10101
14.12.2017 Ответы КДР по математике 10 класс задания 6 вариантов
14.12.2017 Ответы по геометрии 9 класс СтатГрад задания варианты МА90301-МА90304
14.12.2017 Ответы по математике 11 класс КДР задания 6 вариантов
15.09 Математика 10 класс контрольная работа 3 варианта 56 регион задания и ответы
15. 09.2017 Биология 9 класс тренировочная работа «СтатГрад» БИ90101-БИ90104 ответы и задания
15.11.2017 Задания и ответы 2-11 класс по Русскому медвежонку 2017 год
15.12.2017 Обществознание 11 класс ответы и задания СтатГрад варианты ОБ10201-ОБ10204
16 апреля 11 класс английский язык ответы и задания
16 апреля 5 класс история ответы и задания
16 апреля 6 класс биология ответы и задания
16 апреля 7 класс география ответы и задания
16.01.2018 Контрольная работа по русскому языку 9 класс в формате ОГЭ с ответами
16.01.2018 Ответы и задания КДР по русскому языку 11 класс 23 регион
16.10.2017 Ответы и задания всероссийской олимпиады школьников по математике 4-11 класс ВОШ
16.11.2017 МЦКО 10 класс русский язык ответы и задания
17.01.2018 Ответы и задания по информатике 11 класс работа статград варианты ИН10301-ИН10304
17.10.17 Физика 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ФИ90101-ФИ90104
18 апреля 11 класс химия ответы и задания
18 апреля 5 класс биология ответы и задания
18 апреля 6 класс обществознание ответы и задания
18 апреля 7 класс математика ответы и задания
18. 09. Математика 10 класс задания и ответы
18.10.17 Математика 9 класс РПР 64 регион задания и ответы 1 этап
18.10.2017 Задания и ответы по математике 9 класс 50 регион Московская область
18.12.2017 Биология 11 класс Статград задания и ответы варианты БИ10201-БИ10204
19.09 Диагностическая работа по русскому языку 5 класс задания и ответы за 1 четверть
19.09 Контрольная работа по русскому языку 11 класс для 56 региона задания и ответы 1 четверть
19.09.2017 школьный этап всероссийской олимпиады по ОБЖ 5-11 класс задания и ответы
19.10.17 Русский язык 11 класс (ЕГЭ) задания и ответы статград варианты РЯ10601-РЯ10602
19.12.2017 КДР геометрия 8 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
19.12.2017 КДР математика 9 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
19.12.2017 Математика 10 класс тригонометрия база и профиль ответы и задания СтатГрад
2 апреля 11 класс история ВПР
2 апреля 7 класс английский язык ВПР
20. 09 Входная контрольная работа русский язык 7 класс для 56 региона задания и ответы
20.09.2017 История 9 класс варианты ИС90101-ИС90102 ОГЭ задания и ответы
20.11.2017 Русский язык 9 класс «СтатГрад» ОГЭ задания и ответы РЯ90701-РЯ90702
20.12.2017 Химия 9 класс ответы и задания работа Статград варианты ХИ90201-ХИ90202
21.09.17 Математика 11 класс варианты МА10101-МА10108 задания и ответы
21.10.17 ОБЖ 7-11 класс муниципальный этап ВОШ для Москвы ответы и задания
21.11.17 Биология 9 класс СтатГрад задания и ответы варианты БИ90201-БИ90204
21.12.2017 Математика 9 класс РПР для 64 региона задания и ответы 2 этап
21.12.2017 Ответы и задания по математике 11 класс «СтатГрад» база и профиль
21.12.2017 Ответы и задания по русскому языку 10-11 класс варианты КДР 23 регион
22.09.17 Обществознание 9 класс работа статград ОГЭ варианты ОБ90101-ОБ90102 задания и ответы
22.09.17 Русский язык 10 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы
22. 10 Задания и ответы олимпиады по литературе 7-11 класс муниципальный этап 2017
23 апреля математика 5 класс ВПР 2019
23 апреля русский язык 6 класс ВПР 2019
23 апреля ФИЗИКА 7 класс ВПР 2019
23.11.2017 Задания и ответы по информатике 9 класс для вариантов статград ИН90201-ИН90204
24.10.17 Изложение 9 класс русский язык СтатГрад варианты РЯ90601-РЯ90602
24.10.17 КДР 8 класс математика алгебра задания и ответы 23 регион
24.10.17 Контрольная работа английский язык 7-9 класс для 56 региона письмо
25.09.17 Информатика 9 класс задания и ответы СтатГрад варианты ИН90101-ИН90102
25.10.17 Английский язык 7-9 класс контрольная работа для 56 региона чтение варианты
25.10.17 История 11 класс МЦКО варианты задания и ответы
25.10.17 Русский язык 9 класс МЦКО задания и ответы
26.09 Английский язык 7,8,9 класс контрольная работа для 56 региона задания и ответы ФГОС
26.09.17 История 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты ИС10101-ИС10102
26. 09.17 Математика 11 класс мониторинговая работа ЕГЭ 3 варианта задания и ответы
26.10 ВПР Русский язык 5 класс ответы и задания все реальные варианты
26.10.17 Химия 11 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ХИ10101-ХИ10104
27.09.2017 Математика 9 класс работа статград варианты МА90101-МА90104 задания и ответы
27.10 Задания и ответы для олимпиады по биологии муниципальный этап 2017
28.09.17 Русский язык 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ10101-РЯ10102
29.09.17 Математика 10 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты МА00101-МА00104
30.11.2017 МЦКО математика 11 класс ответы и задания
4 апреля 11 класс биология ВПР
4 апреля 7 класс обществознание ВПР
4 класс диктант 2019 год
4 класс диктант платно
4 класс математика 22.04.2019-26.04.2019
4 класс математика платно ответы и задания
4 класс окр. мир платно
4 класс окружающий мир 22.04.2019-26. 04.2019
4 класс русский тест 2019 год
4 класса тест платно
5 класс биология платно
5 класс история платно
5 класс русский язык впр 25 апреля
5 класс русский язык платно
6 класс история платно
6 класс математика впр 25 апреля
6 класс математика платно
6 класс общество платно
6 класс платно гео ответы и задания
6 класс платно ответы и задания
7 класс ВПР 2019 по географии ответы и задания 16 апреля 2019
7 класс история впр 25 апреля
7 класс русский язык 56 регион ответы и задания 21.12.2018
7.11.17 Английский язык 9 класс от СтатГрад задания и ответы варианты АЯ90101-АЯ90102
8.11.2017 Русский язык 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты РЯ10201-РЯ10202
9 апреля география 6 класс ВПР 2019
9 апреля русский язык 7 класс ВПР 2019
9 апреля физика 11 класс ВПР 2019
9 класс английский язык ОГЭ 24 25 мая
9 класс БИОЛОГИЯ ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
9 класс информатика огэ 2019 год
9 класс математика огэ 2019 год
9 класс обществознание ОГЭ 2019
9 класс ОГЭ 2019
9 класс русский язык ОГЭ 2019
9 класс ФИЗИКА огэ 2019 год
9 класс ФИЗИКА ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
9 класс экзамен по истории огэ 2019 год
9. 11.17 Математика 9 класс работа «СтатГрад» задания и ответы варианты МА90201-МА90204
British Bulldog 2019 ответы и задания 3-4 класс 10-11 декабря 2019
British Bulldog 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
British Bulldog 5-6 класс ответы и задания 2018-2019
British Bulldog 9-11 класс ответы и задания 2018-2019
FAQ
My Calendar
Алгебра 7 класс статград 4 декабря 2019 ответы и задания МА1970101-106
Алгебра и начала анализа статград 10 класс 4 декабря 2019 ответы и задания
Английский 9 класс СтатГрад задания и ответы
Английский язык 11 класс АЯ10301 ответы и задания 23 апреля 2019 год
Английский язык 11 класс СтатГрад 17.04
Английский язык 11 класс статград 5 декабря 2019 ответы и задания АЯ1910101
Английский язык 7 класс ВПР 2020 тренировочные варианты задания и ответы
Английский язык 7 класс ВПР ответы и задания 2 апреля 2019 год
Английский язык 7-9 класс ответы и задания 56 регион
Английский язык 7,8,9 класс мониторинговая работа чтение 2019
Английский язык 9 класс ответы и задания АЯ1990101 АЯ1990102 статград 6 ноября 2019
Английский язык 9 класс платно
Английский язык 9 класс статград ответы и задания 2018-2019 06. 11
Английский язык аудирование ответы 7 8 9 класс 56 регион 2018-2019
Английский язык говорение 56 регион ответы 7 8 9 класс 2018-2019
Английский язык задания и ответы школьного этапа олимпиады ВОШ 2019-2020
Английский язык ответы 7 8 класс 56 регион чтение 2018-2019
Английский язык письмо 7 8 класс ответы и задания 2018-2019
Аргументы для тем итогового сочинения 2019-2020 регион МСК+8
Архив работ
Астра 2019 ответы и задания 3-4 класс 20 ноября 2019
Банк заданий ФИПИ по русскому языку ЕГЭ 2019 морфемика и словообразование
Биология 10 класс РДР задания и ответы 14 ноября 2019-2020
Биология 11 класс 5 ноября 2019 статград ответы и задания БИ1910201-204
Биология 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
Биология 11 класс ВПР ответы и задания 11. 05
Биология 11 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019
Биология 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
Биология 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 18 апреля 2019 год
Биология 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
Биология 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Биология 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
Биология 6 класс платно
Биология 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
Биология 7 класс впр статград ответы и задания 11 сентября 2019
Биология 9 класс 15 ноября ответы и задания статград 2018
Биология 9 класс БИ90501 БИ90502 ответы и задания 23 апреля 2019
Биология 9 класс ответы БИ90401 и БИ90402 статград 01.2019
Биология 9 класс ответы и задания 25 ноября работа статград БИ1990201-БИ1990204
Биология 9-10 класс ответы КДР 24 января 2019
Биология ОГЭ 2018 платно
Благодарим за ваш заказ!
Британский бульдог 7-8 класс ответы и задания 2018-2019
Вариант 322 КИМы с реального ЕГЭ 2018 по математике
Вариант № 33006761 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Вариант № 33006762 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Вариант №1 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
Вариант №2 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
Вариант №3 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
Вариант №4 морфемика и словообразование банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ
Вариант №5 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
Вариант №6 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
Вариант №7 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
Вариант по биологии с реального ЕГЭ 2020 задания и ответы
Варианты БИ1910301-БИ1910304 по биологии 11 класс ответы и задания 14 января 2020
Варианты ВПР по физике 11 класс задания и ответы за 2018 год
Варианты для проведения ВПР 2020 по математике 6 класс с ответами
Ваши отзывы — пожелания
Вероятность и статистика 7 класс ответы 16. 05
Вероятность и статистика 8 класс ответы 16.05
Витрина
ВКР английский язык 7,8,9 класс задания и ответы говорение 2019-2020
ВКР по геометрии 8 класс ответы и задания
Возможные варианты для устного собеседования 9 класс ОГЭ 13 марта 2019
Вот что с восторгом воскликнул Иван Васильевич готовые сочинения
ВОШ всероссийская олимпиада школьников задания и ответы
ВОШ ВСЕРОССИЙСКИЕ школьные олимпиады 2017-2018 задания и ответы
ВОШ муниципальный этап по обществознанию ответы и задания 2018-2019
ВОШ по ОБЩЕСТВОЗНАНИЮ 2017-2018
ВОШ Школьный этап 2017-2018 задания и ответы для Республики Коми
ВОШ школьный этап по экономике ответы и задания 2018-2019
ВПР 11 класс английский язык ответы и задания 20 марта 2018
ВПР 11 класс география
ВПР 11 класс история ответы и задания 21 марта 2018
ВПР 2019 6 класс обществознание ответы и задания 18 апреля 2019 год
ВПР 2019 по математике 7 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
ВПР 2019 физика 11 класс ответы и задания 9 апреля 2019 год
ВПР 2020 6 класс задание №10 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 6 класс задание №11 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 6 класс задание №6 по математике с ответами
ВПР 2020 6 класс задание №7 по математике с ответами
ВПР 2020 6 класс задание №8 по математике с ответами
ВПР 2020 6 класс задание №9 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 английский язык варианты АЯ1910201-АЯ1910202 задания и ответы
ВПР 2020 биология 11 класс варианты БИ1910601-БИ1910602 ответы и задания
ВПР 2020 биология 5 класс новые варианты с ответами
ВПР 2020 вариант демоверсии по биологии 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 география 10-11 класс варианты ГГ1910401-ГГ1910402 ответы и задания
ВПР 2020 география 6 класс варианты ГГ1960101, ГГ1960102 задания и ответы
ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по русскому языку с ответами
ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по русскому языку с ответами
ВПР 2020 год 6 класс задание №14 по русскому языку с реальными ответами
ВПР 2020 демоверсия по биологии 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по географии 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по географии 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по иностранным языкам 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по истории 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по истории 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по математике 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по математике 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 задание 6 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №1 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
ВПР 2020 задание №2 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №3 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №4 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №5 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
ВПР 2020 математика 5 класс реальные задания с ответами
ВПР 2020 новые варианты с ответами по русскому языку 7 класс
ВПР 2020 ответы и задания всероссийские проверочные работы
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №1 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №10 с реальными ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №2 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №3 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №4 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №6 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №7 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №8 с реальными ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №9 с реальными ответами
ВПР 2020 по биологии 7 класс тренировочные варианты БИ1970201,БИ1970202
ВПР 2020 по истории 6 класс задание 1 с ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №10 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №2 с ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №3 с ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №4 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №5 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №6 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №7 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №8 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №9 с реальными ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание 11 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание 12 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №1 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №13 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №2 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №8 реальное с ответами
ВПР 2020 русский язык 8 класс варианты РУ1980201, РУ1980202 ответы
ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 8 класс задания с ответами
ВПР 2020 тренировочные варианты по русскому языку 5 класс задания с ответами
ВПР 2020 физика 11 класс варианты ФИ1910601-ФИ1910602 ответы и задания
ВПР 2020 химия 8 класс демоверсия задания и ответы
ВПР 2021 ответы и задания всероссийские проверочные работы
ВПР 2022 ответы и задания всероссийские проверочные работы
ВПР 4 класс математика 2020 год реальные официальные задания и ответы
ВПР БИОЛОГИЯ 11 класс 2018 реальные ответы и задания
ВПР география 10-11 класс
ВПР математика 5 класс ответы и задания
ВПР по истории 11 класс ответы и задания 18. 05
ВПР ФИЗИКА 11 класс 2018
ВПР физика 11 класс резервный день ответы
ВПР ХИМИЯ 11 05.04
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2018-2019 задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2019-2020 задания и ответы
Всероссийская олимпиада по праву ответы и задания школьный этап 25-26 октября 2019
Всероссийская олимпиада по химии ответы и задания школьный этап 21-22 октября 2019
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада региональный этап 2018-2019 задания и ответы
Всероссийская олимпиада школьников региональный этап 2019-2020 задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Краснодарского края
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Челябинской области
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 региональный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 учебный год задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 учебный год задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 школьный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2019-2020 учебный год задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 муниципальный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 региональный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 школьный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2021 заключительный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2022-2023 задания и ответы
Всероссийские проверочные работы 2017 задания и ответы
Всероссийские проверочные работы 2017-2018 задания и ответы
Всероссийские проверочные работы 2018-2019 задания и ответы
Всесибирская олимпиада школьников задания и ответы по математике 2018-2019
Входная контрольная работа по математике 11 класс ответы и задания 2019-2020
Входная контрольная работа по математике 4 класс ответы и задания 2019-2020
Входная контрольная работа по математике 5 класс ответы и задания 2019-2020
Входная работа по русскому языку 11 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
Входные контрольные работы ФГОС варианты и ответы с 1 по 11 класс
Гарантия
ГГ1910101 ответы и задания география 11 класс статград 4 октября 2019
ГДЗ 5 классы решебники
ГДЗ по Математике за 5 класс: Виленкин Н. Я
ГДЗ решебники
Гелиантус АСТРА 1-2 класс ответы и задания 2018-2019
Гелиантус АСТРА 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
География 10-11 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
География 11 класс ответы и задания 17 апреля 2019 тренировочная №4
География 11 класс ответы и задания вариант ГГ10101 статград 2018-2019
География 11 класс платно
География 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
География 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 9 апреля 2019
География 6 класс ВПР 2020 год задание 7 и официальные ответы
География 6 класс ВПР 2020 год задание №8 и реальные ответы
География 6 класс ВПР 2020 задание №2 официальное с ответами
География 6 класс ВПР 2020 задание №3 с ответами официальные
География 6 класс ВПР 2020 задание №4 с ответами официальные
География 6 класс ВПР 2020 задание №5 с ответами официальные
География 6 класс ВПР 2020 задание №6 и официальные ответы
География 6 класс задание №1 реального ВПР 2020 с ответами
География 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
География 9 класс ответы и задания ГГ90401 ГГ90402 22 апреля 2019
География 9 класс ответы и задания тренировочная статград 18 марта 2019
География 9 класс СтатГрад задания и ответы
География 9 класс статград ответы и задания 13 марта 2018
География задания и ответы школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
География муниципальный этап 2019 задания и ответы всероссийской олимпиады
Геометрия 9 класс ответы и задания 12 декабря 2019 работа статград
Готовое итоговое сочинение 2018-2019 на тему может ли добрый человек проявлять жестокость?
Готовые сочинения для варианта №1 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И. П
Готовые сочинения для варианта №2 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №3 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №4 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №5 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №6 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №7 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения ЕГЭ в избушке у самого леса живёт старый охотник
Готовые сочинения ЕГЭ несомненно Дюма останется ещё на многие
Готовые сочинения ЕГЭ по тексту может быть самая трогательная и самая глубокая
Готовые сочинения ЕГЭ по тексту Н. Тэффи нежность самый кроткий робкий божественный лик любви
Готовые сочинения ЕГЭ по тексту отправь голову в отпуск Измайлов
Готовые сочинения ЕГЭ ты часто жаловался мне, что тебя «не понимают!»
Готовые сочинения как-то Анатолий Бочаров высказал по тексту В. В. Быкову
Готовые сочинения на Невском, у Литейного постоянно толпились
Готовые сочинения по тексту Ф. М. Достоевскому в эту ночь снились мне
Готовые сочинения чего нам так не хватает а не хватает нам любви к детям по тексту А. А. Лиханову
Готовые сочинения я очень плохо знаю деревенскую жизнь с проблемами и текстом
ДВИ МГУ варианты ответы и программы вступительных испытаний
Демоверсии ЕГЭ 2023 года ФИПИ по всем предметам
Демоверсия ВПР 2020 география 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ВПР 2020 история 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ВПР 2020 по биологии 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ВПР 2020 по обществознанию 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ОГЭ 2019 по математике решение заданий
Диктант по русскому языку 4 класс ВПР 2018 задания
ДКР 2019 по географии 10 класс ответы и задания Свердловская область
ДКР 2019 по географии 7 класс задания и ответы 11 декабря 2019-2020
Добро пожаловать
Доступ ко всем работам
ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по истории 11 класс
Если хочешь понять душу леса найди лесной 9 готовых сочинений ЕГЭ
Естественные науки ответы и задания олимпиада ЗВЕЗДА 25-29 ноября 2019-2020
за эти месяцы тяжелой борьбы решающей 9 готовых сочинений ЕГЭ
Задание № 15 неравенства ОГЭ по математике 9 класс 2020
Задания ВПР 2017 для 11 класса по географии
Задания ВПР 2017 для 4 класса по русскому языку
Задания ВПР 2017 для 5 класса по математике
Задания заключительного этапа ВСЕРОССИЙСКОЙ олимпиады по информатике 2017/2018
Задания и ответы 2 варианта пробного экзамена ЕГЭ по математике 11 класс 4 апреля 2018
Задания и ответы 56 регион на ФЕВРАЛЬ 2017
Задания и ответы 6 класс XXX математический праздник 2019 год
Задания и ответы Англ. яз 18.11
Задания и ответы Биология 14.11
Задания и ответы Биология 9 класс 21.11.
Задания и ответы всероссийской олимпиады по русскому языку Московской области 19 ноября 2017
Задания и ответы ГЕОГРАФИЯ 21.11.2017
Задания и ответы для комплексной работы КДР для 8 класса ФГОС 4 варианта
Задания и ответы для Оренбургской области 56 регион декабрь 2017
Задания и ответы для Оренбургской области ноябрь 2017
Задания и ответы для Оренбургской области октябрь 2017
Задания и ответы для Оренбургской области сентябрь 2017
Задания и ответы для работ 11 регион Республика Коми 2018-2019
Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми Декабрь 2018-2019
Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми НОЯБРЬ 2018-2019
Задания и ответы для работ 56 региона октябрь 2018
Задания и ответы для работ Республики Коми
Задания и ответы для регионального этапа по физической культуре 2018
Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион декабрь 2018
Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион февраль 2018
Задания и ответы КДР 2019 математика 9 класс 20 февраля
Задания и ответы Математика 03. 12
Задания и ответы Математика 17.11
Задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 по немецкому языку 7-11 класс ВСОШ
Задания и ответы муниципального этапа по русскому языку 2019-2020 Москва
Задания и ответы МХК 15.11
Задания и ответы на Апрель 2017 для 56 региона
Задания и ответы на Май 2017 для 56 региона
Задания и ответы на Март 2017 для 56 региона
Задания и ответы олимпиады по литературе региональный этап 2020
Задания и ответы по информатике 11 класс 28 ноября 2017 СтатГрад варианты ИН10201-ИН10204
Задания и ответы по истории для 11 классов (56 регион)
Задания и ответы по математике 11 класс профиль вариант №22397963
Задания и ответы по математике 11 класс профиль ЕГЭ вариант №22397967
Задания и ответы по математике 6 класс ВПР 2018
Задания и ответы по русскому языку 6 класс ВПР 2018
Задания и ответы по русскому языку 9 класс СтатГрад 29 ноября 2017 варианты РЯ90201-РЯ90202
Задания и ответы по физике муниципального этапа 2019 всероссийская олимпиада
Задания и ответы по химии 11 класс СтатГрад 30 ноября 2017 года варианты ХИ10201-ХИ10204
Задания и ответы ПРАВО 14. 11
Задания и ответы право региональный этап ВОШ 2019
Задания и ответы регионального этапа 2019 по английскому языку
Задания и ответы регионального этапа 2019 по испанскому языку
Задания и ответы регионального этапа 2019 по китайскому языку
Задания и ответы регионального этапа 2019 по химии ВОШ
Задания и ответы региональный этап ВОШ 2019 по французскому
Задания и ответы Русский язык 19.11
Задания и ответы Русский язык ОГЭ 9 класс 20.11.
Задания и ответы Физика 18.11
Задания и ответы Химия 24.11
Задания Московской математической олимпиады 8 класс 17 марта 2019 год
Задания МОШ 2019 по физике 1 тур 7 8 9 10 класс
Задания по истории муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
Задания, ответы и результаты олимпиады по биологии региональный этап 2020
Задания, ответы и результаты олимпиады по химии региональный этап 2020
Заключительный этап 2022 задания и ответы многопрофильной инженерной олимпиады звезда
Заключительный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020 задания и ответы
Закрытый раздел
Золотое руно 2018 ответы и задания 16 февраля конкурс по истории
Изложение русский язык 9 класс статград ответы и задания 4 октября 2019
Информатика 11 класс 15 ноября 2019 статград ответы и задания ИН1910201- ИН1910204
Информатика 11 класс КДР ответы и задания 18 декабря 2018
Информатика 11 класс платно
Информатика 11 класс СтатГрад задания и ответы
Информатика 11 класс тренировочная №5 ответы и задания 15 апреля 2019 год
Информатика 7 класс ответы РДР 21 февраля 2019
Информатика 9 класс 06. 03
Информатика 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
Информатика 9 класс ответы и задания тренировочная №5 25 апреля 2019
Информатика 9 класс ответы статград 13 ноября 2018
Информатика 9 класс ответы статград 31 января 2019
Информатика ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
Информатика ОГЭ 2018
Информатика ОГЭ 2018 платно
Информатика ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
История 10 класс РДР 2019 официальные задания и ответы все варианты
История 11 класс 13 ноября 2019 ответы и задания статград вариант ИС1910201- ИС1910204
История 11 класс ВПР 2018 год задания и ответы все варианты
История 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 2 апреля 2019 год
История 11 класс ВПР 2020 тренировочные варианты с ответами
История 11 класс задания и ответы СтатГрад
История 11 класс ИС10201 и ИС10202 ответы и задания статград 23.11.2018
История 11 класс ответы и задания СтатГрад 24. 04
История 11 класс ответы ИС10401 и ИС10402 11 марта 2019 год
История 11 класс СтатГрад 24 ноября 2017 задания и ответы варианты ИС10201-ИС10204
История 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
История 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
История 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
История 5 класс ВПР 25.04
История 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
История 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
История 6 класс тренировочные варианты ВПР 2020 задания и ответы
История 7 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
История 7 класс платно 24 апреля
История 9 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы 2019-2020
История 9 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019 год
История 9 класс СтатГрад 27 февраля ответы и задания
История 9 класс статград ответы и задания 2018-2019
История 9 класс статград ответы и задания 30 марта 2018
История всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
Итоговая контрольная работа по математике 8 класс за 2018-2019 учебный год
Итоговая контрольная работа по русскому языку 7 класс за 2018-2019 учебный год
Итоговая работа математика 10 класс ответы и задания 24 апреля 2019 год
Итоговое собеседование варианты 12 февраля 2020
Итоговое сочинение 05. 12.2018
Итоговое сочинение 2017
Итоговое устное собеседование ОГЭ 2022 по русскому языку 9 класс
Как написать эссе по обществознанию ЕГЭ
Как получить задания и ответы для ВПР 2019
Как получить работу задания и ответы
Как получить темы на итоговое сочинение 6 декабря 2017 года
Как человеку воспитать в себе доброту? готовое итоговое сочинение 2018-2019
КДР (задания+ответы) на Февраль 2017
КДР (задания+ответы) на Январь 2017
КДР 1 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
КДР 2 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
КДР 2019 23 регион ответы и задания май 2019 год
КДР 2019 задания и ответы по английскому языку 8 класс 21 мая 2019 год
КДР 2019 ответы и задания апрель 2019 год
КДР 2019 ответы по географии 9 класс 15 февраля
КДР 2019 химия 9 и 10 класс ответы 19 марта 2019 год
КДР 2019-2020 декабрь 23 регион ответы и задания
КДР 2020 23 регион ответы и задания Краснодарский край
КДР 9 класс русский язык ответы и задания 14 декабря 2018
КДР Английский язык 8 класс ответы и задания 2018-2019
КДР апрель 2017 работы задания и ответы
КДР апрель 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР декабрь 2017 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР задания и ответы
КДР задания и ответы комплексная работа 3 класс 2018 год
КДР задания и ответы комплексная работа 4 класс варианты 2018 год
КДР Май 2017 работы задания и ответы
КДР Май 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР математика 11 класс задания и ответы 28 февраля 2018 год
КДР математика 7 класс ответы и задания 12. 04
КДР математика 9 класс 19.04
КДР ответы и задания 23 регион Январь 2019
КДР ответы и задания для Краснодарского края 23 регион ДЕКАБРЬ 2018
КДР ответы и задания математика 10-11 класс 23 ноября 2018
КДР ответы и задания НОЯБРЬ 2018 для Краснодарского края 23 регион
КДР ответы и задания октябрь 2018 для Краснодарского края 23 регион
КДР ответы и задания по английскому языку 9 10 11 класс 8 февраля 2018
КДР ответы и задания по Биологии 10 класс 23 января 2018
КДР ответы и задания по Биологии 11 класс 23 января 2018
КДР ответы и задания по Биологии 9 класс 23 января 2018
КДР ответы и задания по Географии 10 класс 25 января 2018
КДР ответы и задания по Географии 9 класс 25 января 2018
КДР ответы и задания по информатике 10 класс 18 января 2018
КДР ответы и задания по информатике 9 класс 18 января 2018
КДР ответы и задания по истории 9 10 11 класс 13 февраля 2018
КДР ответы и задания по обществознанию 9 10 11 класс 1 февраля 2018
КДР ответы и задания по русскому языку 9 класс 6 февраля 2018
КДР ответы и задания по химии 10 11 класс 6 февраля 2018
КДР ответы математика 7 класс 30 января 2019
КДР ответы русский язык 9 класс 6 февраля 2019
КДР ответы физика 9-10 класс 31 января 2019
КДР по алгебре 8 класс ответы и задания 2018-2019
КДР ПО ГЕОГРАФИИ 11 КЛАСС 23 регион ответы и задания 22 февраля
КДР по литературе 10 11 класс 2018 ответы и задания
КДР по литературе 10 класс ответы
КДР по Математике 9 класс официальные ответы
КДР по русскому языку для 9 классов
КДР русский язык 7 8 класс ответы и задания
КДР русский язык 7-8 класс ответы 17. 05
КДР февраль 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР январь 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
Кенгуру 2017 9 класс ответы
Кенгуру 2017 ответы и задания 2-10 класс
Кенгуру 2019 ответы и задания 5-6 класс
Кенгуру 2019 ответы и задания для 7-8 класса
КИТ 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
КИТ 8-9 класс ответы и задания 2018-2019
КИТ-2019 ответы и задания 10-11 класс 27 ноября 2019-2020
Комплексная работа ФГОС 5 6 7 8 9 класс ответы и задания 30 ноября 2018
Конкурс АСТРА 2019 ответы и задания 5-6 класс 20 ноября 2019
Конкурс КИТ 2018 4-5 класс ответы и задания
Конкурс КИТ 2019 ответы и задания 2-3 класс 27 ноября 2019
Контакты
Контрольная входная работа по русскому языку 10 класс ответы и задания 2019-2020
Контрольная работа за 1 полугодие по русскому языку 7 класс ответы и задания
Контрольная работа по математике 11 класс 2 четверть в формате ЕГЭ 3 варианта с ответами
Контрольная работа по русскому языку 10 класс за 1 полугодие 2 варианта с ответами
Контрольная работа по русскому языку 8 класс за 1 полугодие 2 четверть задания и ответы
Контрольные работы ОГЭ 2021 задания и ответы для 9 класса
Контрольные срезы 56 регион ответы и задания октябрь 2019-2020
Корзина
Критерии ответы и задания по физике 11 класс статград 23 марта 2018
Критерии ответы по информатике 11 класс статград 16 марта 2018
Критерии ответы по русскому языку 11 класс статград 2018
Кружила январская метелица скрипели мерзлые готовые сочинения ЕГЭ
Куда поступить после 11 класса в 2017 году
Литература 11 класс ответы и задания ЕГЭ статград 22. 03.2018
Литература 11 класс СтатГрад задания и ответы
Литература 9 класс ОГЭ 2019 год
Литература 9 класс ответы и задания статград 22 ноября 2018 год
Литература 9 класс статград ОГЭ сочинение ответы 14 марта 2018
Литература ОГЭ 2018 платно
Литература олимпиада ВОШ задания муниципальный этап 2018-2019
Литература ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
Литература ответы и задания школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Литература школьный этап 2019-2020 задания и ответы олимпиады ВОШ
Математика 7 классов 56 регион задания и ответы
Математика 10 класс (вероятность и статистика)
Математика 10 класс 56 регион ответы 16.05
Математика 10 класс вероятность и статистика ответы и задания 4 апреля 2019
Математика 10 класс задания и ответы мониторинговая работа ФГОС 2019-2020
Математика 10 класс ответы и задания 18.05
Математика 10 класс ответы и задания статград
Математика 10 класс ответы и задания статград 2018-2019
Математика 10 класс статград ответы и задания 29. 03.2018
Математика 10 класс статград ответы и задания БАЗА и ПРОФИЛЬ
Математика 10 класс тригонометрия ответы статград 18.12.2018
Математика 10-11 класс ответы и задания варианты статград 17 мая 2019
Математика 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
Математика 11 класс 17 декабря 2019 контрольная работа задания и ответы
Математика 11 класс диагностическая работа ЕГЭ профиль задания и ответы для 11 региона
Математика 11 класс КДР ответы и задания 28 февраля
Математика 11 класс ответы база профиль статград 24 января 2019
Математика 11 класс ответы и задания БАЗА ПРОФИЛЬ 20.09
Математика 11 класс ответы и задания тренировочная работа №5 19 апреля 2019
Математика 11 класс ответы статград БАЗА ПРОФИЛЬ 20.12.2018
Математика 11 класс профиль 56 рег
Математика 11 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 13 марта 2019
Математика 3 класс задания ВСОКО МЦКО итоговая работа 2019
Математика 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
Математика 4 класс ВПР ответы 25. 04
Математика 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
Математика 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
Математика 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
Математика 5 класс задания и ответы СтатГрад варианты 12 сентября 2017 год
Математика 5 класс контрольная работа за 1 полугодие задания и ответы 2019-2020
Математика 5 класс официальная демоверсия ВПР 2020 задания и ответы
Математика 5 класс платно
Математика 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Математика 6 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
Математика 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
Математика 6 класс ответы СтатГрад 15.05
Математика 7 класс ответы и задания варианты МА70301 МА70302 14 мая 2019
Математика 7 класс РДР ответы 2018-2019
Математика 8 класс 56 регион 17.03
Математика 8 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
Математика 8 класс входная контрольная работа ответы и задания 2019-2020
Математика 8 класс задания и ответы работа статград 12 сентября 2017
Математика 8 класс ответы и задания варианты МА80201 МА80202 14 мая 2019
Математика 8 класс ответы и задания по диагностической работе 11 регион 2018-2019
Математика 8 класс статград ответы и задания
Математика 9 класс — 64 регион ответы
Математика 9 класс 12 ноября 2019 ответы и задания работа статград МА1990201-04
Математика 9 класс 13. 02
Математика 9 класс 56 рег ответы
Математика 9 класс контрольная работа в формате ОГЭ 4 варианта ответы и задания
Математика 9 класс ОГЭ 2018 ответы и задания
Математика 9 класс ответы 11 регион 18.12.2018
Математика 9 класс ответы 15.05 СтатГрад
Математика 9 класс ответы и задания 11 регион 4 октября 2018
Математика 9 класс ответы и задания варианты 56 регион 10 октября 2019
Математика 9 класс ответы и задания РПР 64 регион 20.12.2018
Математика 9 класс ответы и задания статград 19 марта 2019
Математика 9 класс ответы и задания статград варианты 15 мая 2019 год
Математика 9 класс ответы РПР 64 регион 2019 3 этап 20 марта
Математика 9 класс пробник статград ответы и задания 21 марта 2018
Математика 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
Математика 9 класс статград ответы и задания 13 февраля 2018 года
Математика 9 класс статград ответы и задания 27.09.2018
Математика База платно
Математика геометрия 9 класс КДР ответы и задания 20 февраля 2018
Математика задания и ответы муниципальный этап ВОШ 2018-2019 для Москвы
Математика олимпиада ВОШ 2018-2019 школьный этап задания и ответы
Математика ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
Математика профиль 11 класс 56 регион контрольная работа 18. 12.2018
Математика тренировочная работа 9 класс ответы статград 8 ноября 2018 года
Математическая вертикаль 2021-2022 ответы и задания
Математическая вертикаль ответы и задания 2020-2021 учебный год
Материалы за 2016-2021 учебный год
Международный молодёжный предметный чемпионат по правоведению для 10-11 классов.
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2017-2018 задания и ответы
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2018-2019 ответы и задания
Многопрофильная инженерная олимпиада Звезда 2021-2022 ответы и задания
Многопрофильная олимпиада Звезда 2019-2020 ответы и задания
Многопрофильная олимпиада Звезда 2020-2021 ответы и задания
Мой аккаунт
Мониторинговая работа аудирование по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019-2020
Мониторинговая работа по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019
Мониторинговая работа по русскому языку 5 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
Мониторинговая работа по русскому языку 8 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
Мониторинговые работы 56 регион ответы и задания сентябрь 2019
Московская олимпиада школьников 2020-2021 ответы и задания
Московская олимпиада школьников 2021-2022 ответы и задания
Московский турнир юных физиков задания 2019-2020 учебный год
МПУ МЦКО 4 класс задания 31 января 2019 год
Муниципальный этап 2019 олимпиады по испанскому языку задания и ответы ВОШ
Муниципальный этап 2019 олимпиады по истории задания и ответы ВСОШ
Муниципальный этап 2019-2020 олимпиада по ОБЖ ответы и задания для Москвы
Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по химии задания и ответы Московская область
Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по экологии ответы и задания ВсОШ Москва
Муниципальный этап 2019-2020 по литературе ответы и задания ВсОШ Москва
Муниципальный этап ВОШ 2018 по праву задания и ответы для Москвы
Муниципальный этап ВОШ 2018-2019 задания по химии в Московской области
Муниципальный этап ВОШ по астрономии ответы и задания 2018-2019 учебный год
Муниципальный этап ВОШ по ОБЖ ответы и задания 2018-2019
Муниципальный этап олимпиады 2019 по искусству МХК задания и ответы ВСОШ
Муниципальный этап олимпиады 2019-2020 по астрономии задания и ответы Московская область
Муниципальный этап олимпиады по биологии ответы и задания 19 октября 2019
Муниципальный этап по астрономии всероссийской олимпиады задания 2018-2019
Муниципальный этап по обществознанию 2019-2020 ответы и задания ВСОШ Москва
Муниципальный этап по экономике всероссийская олимпиада 2018-2019
МХК искусство задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 учебный год
МХК искусство школьный этап 2019 ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
МХК муниципальный этап 8 ноября задания всероссийской олимпиады 2018-2019
МЦКО 2019-2020 расписание и демоверсии диагностических работ
МЦКО 2020-2021 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
МЦКО 2021-2022 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
МЦКО 2022-2023 демоверсии, варианты и ответы диагностических работ
МЦКО 7 класс математика ответы 13 февраля 2018
МЦКО 8 класс метопредмет ответы и задания 27 февраля
МЦКО 8 класс ответы 15. 03
МЦКО история 10 класс ответы 25.10.2018
МЦКО математика 3 класс задания
Мцко математика 7 класс 02.03.17
МЦКО математика 9 класс варианты задания и ответы 2019-2020
МЦКО математика 9 класс ответы и задания 3 октября 2018
МЦКО ответы и задания по русскому языку 11 класс 18 января 2018
МЦКО ответы и задания по русскому языку 7 8 класс 1 февраля 2018
МЦКО по физике для 9 классов
МЦКО русский язык 9 класс ответы 2018-2019
МЦКО физика для 7 классов ответы и задания
Направления тем итогового сочинения 2017-2018
Наше наследие 1-11 класс муниципальный тур ответы и задания 2019-2020
Наше наследие 1-11 класс школьный тур ответы и задания 2019-2020
Наше наследие олимпиада задания и ответы 2017-2018
Наше наследие ответы и задания 5-6 класс школьный тур 2019-2020
Наше наследие ответы и задания 9-11 класс школьный тур 2019-2020
Новый тренировочный вариант 200622 по биологии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
Новый тренировочный вариант 200622 по физике 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по истории 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по литературе 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210208 по химии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 34072997 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
Новый тренировочный вариант 34072998 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
Новый тренировочный вариант 34072999 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 34073000 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант ЕГЭ 34073001 по математике профильный с ответами
Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по биологии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по физике 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
О нас
ОБ1910201-ОБ1910204 ответы и задания обществознание 11 класс 13 декабря 2019
ОБЖ школьный этап задания и ответы олимпиады ВОШ 2019-2020
Обществознание 10 класс КДР 2019 задания и ответы 01. 03.2019
Обществознание 11 класс 04.05
Обществознание 11 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
Обществознание 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания 19 марта 2018
Обществознание 11 класс СтатГрад задания и ответы
Обществознание 11 класс Статград ответы и задания
Обществознание 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Обществознание 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
Обществознание 9 11 класс контрольная работа 56 регион 20 февраля 2018
Обществознание 9 класс 19 декабря 2019 ответы и задания ОБ1990201-ОБ1990204
Обществознание 9 класс КДР 2019 ответы 01.03.2019
Обществознание 9 класс ответы и задания 29 апреля 2019 тренировочная №5
Обществознание 9 класс СтатГрад задания и ответы
Обществознание 9 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
Обществознание 9 класс тренировочная работа №1 ответы и задания 21.09
ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ для 9 классов Республика Коми, 11 регион
Обществознание ОГЭ 2018 платно
ОГЭ
ОГЭ 2017 закрытый раздел
ОГЭ 2018 Математика платно
ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 24 региона
ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 54 региона
ОГЭ 2019 официальное расписание экзаменов 9 класс
ОГЭ английский язык 2018 ответы и задания 9 класс
Одно желание было у лейтенанта Бориса Костяева готовые сочинения ЕГЭ
Окружающий мир 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
Окружающий мир 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
Олимпиада Звезда заключительный тур 2017-2018 задания и ответы
Олимпиада Ломоносов по математике 11 класс задания и ответы 2018-2019
Олимпиада Наше Наследие 2019-2020 учебный год задания и ответы
- Школьный тур 5-11 класс наше наследие задания и ответы 2019-2020
Олимпиада Наше Наследие 2020-2021 учебный год ОВИО задания и ответы
Олимпиада Наше Наследие задания и ответы 2018-2019 учебный год
Олимпиада основы православной культуры задания и ответы 2019-2020
Олимпиада по английскому языку 8-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 17 апреля 2020
Олимпиада по английскому языку задания и ответы муниципального этапа 2019
Олимпиада по английскому языку школьный этап 2017 задания
Олимпиада по астрономии муниципальный этап 2019 задания и ответы
Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап 2019 ВОШ
Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап ВсОШ 23-24 октября 2019
Олимпиада по математике НТИ отборочный этап ответы и задания 2018-2019
Олимпиада по МХК школьный этап 2017 задания
Олимпиада по обществознанию школьный этап 2017 задания
Олимпиада по праву школьный этап 2017 задания
Олимпиада по русскому языку задания и ответы школьного этапа 2019
Олимпиада по физической культуре муниципальный этапа 2019-2020 задания и ответы
Олимпиада по экологии 4-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 15 апреля 2020
Олимпиада по экологии ответы и задания школьный этап 2019-2020 Московская область
Олимпиада по экологии школьный этап 2017 задания
Олимпиада РОСАТОМ 2018-2019 задания и ответы
Олимпиада ФИЗТЕХ 11 класс ответы и задания 2018-2019
Олимпиада школьников САММАТ 2019-2020 ответы и задания
Оплата заказа
Оренбургская область 56 регион задания и ответы работы январь 2018
Отборочные задания по математике для физико-математической школы 2019 год
Отборочные задания по физике для физико-математической школы 2019 год
Ответы 56 регион математика 8 класс 19 декабря 2018
Ответы 7 8 класс золотое руно 2019 с заданиями
Ответы 9-11 класс золотое руно задания 2019
Ответы английский язык 7 8 9 класс говорение 56 регион 2018-2019
Ответы английский язык для 9 классов 56 регион
Ответы ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №5
Ответы для реального задания №10 ВПР 2020 по географии 6 класс
Ответы для реального задания №9 ВПР 2020 по географии 6 класс
Ответы задания и сочинения татарский язык ЕРТ
Ответы задания изложение по русскому языку 9 класс СтатГрад 8 февраля 2018
Ответы и задания 1-2 класс конкурс АСТРА 20 ноября 2019-2020
Ответы и задания 10-11 класс КИТ 2018
Ответы и задания 11 класс кенгуру выпускника 2019
Ответы и задания 12. 04.2018
Ответы и задания 2 класс пегас 2019
Ответы и задания 2 класс чип 2019-2020 Австралия
Ответы и задания 3-4 класс золотое руно 2019
Ответы и задания 3-4 класс кенгуру 2019 год
Ответы и задания 3-4 класс пегас 2019
Ответы и задания 3-4 класс ЧИП 2019 год
Ответы и задания 4-5 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
Ответы и задания 4-5 класс русский медвежонок 14 ноября 2019
Ответы и задания 5-6 класс Гелиантус (астра) 2018-2019
Ответы и задания 5-6 класс золотое руно 2019 год
Ответы и задания 6-7 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
Ответы и задания 6-7 класс русский медвежонок 2018-2019
Ответы и задания 8-9 класс русский медвежонок 2018-2019
Ответы и задания 9 класс кенгуру выпускника 2019
Ответы и задания 9-10 класс кенгуру 2019 год
Ответы и задания английский язык 9 класс диагностика №2 22 марта 2019
Ответы и задания БИ10401 и БИ10402 биология 11 класс 4 марта 2019
Ответы и задания биология 11 класс статград
Ответы и задания биология 11 класс статград 30 ноября 2018
Ответы и задания ВПР по географии 10-11 класс 03. 04.2018
Ответы и задания география 11 класс статград 9 декабря 2019 ГГ1910201
Ответы и задания для конкурса Кенгуру 2020 11 класс
Ответы и задания для конкурса по информатике КИТ 1-11 класс 29 ноября 2017 год
Ответы и задания для Оренбургской области 56 регион март 2019
Ответы и задания для пробных работ 56 региона 2018
Ответы и задания для работ 15.02.2017
Ответы и задания для работы статград по истории 9 класс
Ответы и задания золотое руно 2019 1-2 класс
Ответы и задания информатика 11 класс ИН1910101 ИН1910102 23 сентября 2019
Ответы и задания история 9 класс статград 29 ноября 2018 год
Ответы и задания КДР 23 регион март 2019 год
Ответы и задания КДР геометрия 8 класс 16 ноября 2018 года
Ответы и задания кенгуру 2 класс 2019 год
Ответы и задания кенгуру выпускника 4 класс 2019
Ответы и задания контрольная по математике 7 класс
Ответы и задания контрольных работ для 56 региона декабрь 2019
Ответы и задания МЦКО английский язык 9 класс 2018
Ответы и задания ОГЭ 2018 по математике 9 класс
Ответы и задания олимпиада звезда по обществознанию 2019-2020 отборочный этап
Ответы и задания олимпиады по физкультуре 8,9,10 класс пригласительный этап 28 апреля 2020
Ответы и задания по астрономии школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
Ответы и задания по биологии 11 класс 30 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по биологии 11 класс статград 12. 09
Ответы и задания по биологии 9 класс 17.09 статград
Ответы и задания по Биологии 9 класс 24 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по биологии 9 класс БИ1990101-02 статград 14 октября 2019
Ответы и задания по биология 9 класс СтатГрад 2018
Ответы и задания по информатике 11 класс статград 14.09
Ответы и задания по информатике 9 класс статград 19.09
Ответы и задания по информатике 9 класс СтатГрад 31 января 2018
Ответы и задания по Истории 11 класс 23 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по истории 11 класс ИС1910101 ИС1910102 27 сентября 2019
Ответы и задания по истории 9 класс 18 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по истории школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Ответы и задания по итальянскому языку школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
Ответы и задания по китайскому языку олимпиада школьный этап 2019-2020
Ответы и задания по литературе школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020 московская область
Ответы и задания по математике 10 класс контрольная работа
Ответы и задания по математике 11 класс 25 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по математике 11 класс ЕГЭ база 56 регион 04. 04.18
Ответы и задания по математике 11 класс мониторинговая работа 2019-2020
Ответы и задания по математике 8 класс статград 11.09
Ответы и задания по математике 9 класс 12 декабря 2019 статград все варианты
Ответы и задания по математике 9 класс 56 регион 4 декабря 2018
Ответы и задания по математике 9 класс МА1990101-МА1990104 3 октября 2019
Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада
Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
Ответы и задания по МХК искусство всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020
Ответы и задания по ОБЖ всероссийская олимпиада 2018-2019
Ответы и задания по ОБЖ школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Ответы и задания по обществознанию 11 класс ОБ10101 ОБ10102 статград 2018-2019
Ответы и задания по обществознанию 9 класс 26 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по обществознанию ОГЭ 2018
Ответы и задания по праву муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
Ответы и задания по русскому языку 11 класс 19 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по русскому языку 11 класс 2 октября 2019 РУ1910101 РУ1910102
Ответы и задания по Русскому языку 11 класс статград 28 марта 2018
Ответы и задания по русскому языку 7 класс входная работа
Ответы и задания по русскому языку 8 класс 56 регион
Ответы и задания по русскому языку 9 класс МЦКО 1 октября 2019
Ответы и задания по русскому языку 9 класс статград РУ1990101-02 16 октября 2019
Ответы и задания по Русскому языку КДР 11 класс январь 2019
Ответы и задания по русскому языку муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
Ответы и задания по русскому языку ОГЭ 2018
Ответы и задания по русскому языку олимпиада школьный этап 22 октября 2019
Ответы и задания по физике 10 класс КДР 30 января 2018
Ответы и задания по физике 11 класс ВОШ 2018-2019
Ответы и задания по физике 11 класс ВПР 2018 10. 04.18
Ответы и задания по физике 11 класс КДР 30 января 2018
Ответы и задания по физике 9 класс 29 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по физике 9 класс КДР 30 января 2018
Ответы и задания по физике 9 класс статград
Ответы и задания по физике школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
Ответы и задания по химии 11 класс 28 ноября 2018
Ответы и задания по химии 11 класс ВПР 2018 05.04.18
Ответы и задания по химии 11 класс статград ХИ1910101 и ХИ1910102 15 октября 2019
Ответы и задания по химии 9 класс статград ХИ1990101-ХИ1990104 21 октября 2019
Ответы и задания по химии 9 класс тренировочная работа статград
Ответы и задания по экологии школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Ответы и задания русский язык 11 класс варианты 16 мая 2019 год
Ответы и задания русский язык 7 класс ВПР 9 апреля 2019 год
Ответы и задания русский язык 9 класс 56 регион 06. 04.18
Ответы и задания стартовая работа русский язык 8 класс 23 сентября 2019
Ответы и задания статград обществознание 11 класс 14 декабря 2018
Ответы и задания статград по физике 9 класс варианты 24 октября 2019
Ответы и задания тренировочная №4 история 9 класс 21 марта 2019
Ответы и задания ФИ90401 и ФИ90402 физика 9 класс 4 марта 2019
Ответы и задания Физика ОГЭ 2018 9 класс
Ответы и задания ЧИП 1-2 класс 2019
Ответы и задания школьный этап по математике всероссийской олимпиады новосибирская область 2019-2020
Ответы и задания школьный этап по физике всероссийской олимпиады в Московской области 2019-2020
Ответы КДР 2019 по информатике 10 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 2019 по информатике 9 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 2019 по литературе 10 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 2019 по литературе 9 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 23 регион биология 11 класс 21. 12.2018
Ответы КДР 23 регион история 11 класс 21.12.2018
Ответы КДР задания 23 регион Февраль 2019 год
Ответы КДР литература 11 класс 14 декабря 2018
Ответы КДР физика 11 класс 14 декабря 2018
Ответы МЦКО математика 10 класс 5 декабря 2018
Ответы МЦКО математика 11 класс 28 ноября 2018
Ответы МЦКО по истории 9 класс 19.09
Ответы на тренировочная работа по химии 9 класс «СтатГрад»
Ответы на тренировочную работу по русскому языку 11 класс
Ответы обществознание 9 класс статград 5 декабря 2018
Ответы обществознание для 10 классов 23 регион
Ответы ОГЭ 2018 английский язык
Ответы ОГЭ 2018 русский язык
Ответы олимпиада по праву 9 класс школьный этап ВОШ 2018-2019
Ответы олимпиада по физике 9 класс 2018-2019
Ответы по английскому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
Ответы по английскому языку олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
Ответы по астрономии школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
Ответы по биологии 9 10 11 класс вош 2018-2019 школьный этап
Ответы по биологии для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
Ответы по географии ВОШ олимпиада школьный этап 2018-2019
Ответы по географии для 9 классов 11 регион
Ответы по информатике 11 класс 12. 05
Ответы по искусству МХК олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
Ответы по истории 11 класс статград тренировочная работа №1 26.09
Ответы по истории 11 класс школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
Ответы по истории 9 класс статград
Ответы по истории для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
Ответы по математике 7-8 класс КДР
Ответы по математике 8 класс МЦКО 28 марта 2018
Ответы по математике 9 класс 64 регион
Ответы по математике 9 класс СтатГрад 15.02
Ответы по немецкому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
Ответы по русскому языку 11 класс 11 регион 13.02
Ответы по русскому языку для 7 и 8 класс 12.05
Ответы по русскому языку школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
Ответы по тренировочная работа по биологии 11 класс
Ответы по тренировочная работа по обществознанию 9 класс
Ответы по физике 9 класс ФИ90201 и ФИ90202 статград 7 декабря 2018
Ответы по физике, биологии для 11 классов 56 регион 16. 02
Ответы по химии 11 класс пробное ЕГЭ статград 12 марта 2019
Ответы по химии 9 класс статград 19 декабря 2018
Ответы по химии, информатике, географии, обществознанию для 9 классов
Ответы по экологии школьный этап ВОШ 2018-2019
Ответы репетиционный экзамен по математике 9 класс пробное ОГЭ 9 февраля 2018
Ответы РПР по математике 9 класс 64 регион 3 этап 2018
Ответы русский язык 10 класс 56 регион 12.05
Ответы русский язык 5-8 класс контрольная работа за 1 полугодие 56 регион 2018
Ответы статград география 11 класс 11.12.2018
Ответы СтатГрад по обществознанию 9 класс
Ответы статград по обществознанию 9 класс варианты ОБ1990101-02 23 октября 2019
Ответы тренировочная работа по истории 9 класс
Ответы тренировочная работа по математике 10 класс 08.02.2017
Ответы тренировочная работа по русскому языку 9 класс 09.02.2017
Ответы тренировочная работа по химии 11 класс 14. 02
Ответы физике для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
Отзывы прошлых лет
Отзывы с первого экзамена ОГЭ 2018 по английскому языку
Отзывы с первых экзаменов ЕГЭ 2017
Отзывы с прошедших экзаменов ОГЭ 2019
Отзывы с экзамена по русскому языку ОГЭ 2018
Открытый банк заданий и ответы ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку 11 класс
Официальные работы РДР 2019-2020 для 78 региона
- РДР 2020 по математике 11 класс задания и ответы 2 варианта ИС «Знак»
- РДР 2020 по математике 9 класс задания, ответы и критерии
Официальные работы РДР для 78 региона 2018-2019 учебный год
Официальные РДР 2020 для Московской области задания и ответы
Официальные РДР 2021 для Московской области задания и ответы
Официальные РДР 2022 для Московской области задания и ответы
Официальные темы для Республика Саха (Якутия) Сахалинская область итоговое сочинение 2018-2019
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+1
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+6
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса МСК
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK +9
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK+7
Оформление заказа
Пегас 2018 задания и ответы 7 февраля конкурс по литературе
Пегас 2019 5-6 класс ответы и задания
Пегас 2019 7-8 класс ответы и задания
Пегас 2019 ответы для 9-11 класса
Письмо английский язык 7 8 9 класс 56 регион ответы и задания
Платно русский язык 9 класс
Поддержать проект
Полугодовая контрольная работа по русскому языку 11 класс задания и ответы 2019-2020
ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКОЕ СОГЛАШЕНИЕ
Предэкзаменационная работа задания и ответы по информатике 9 класс ОГЭ 2019
Предэкзаменационная работа задания и ответы по математике 11 класс ЕГЭ 2019
Пригласительный школьный этап 2021 всероссийская олимпиада школьников задания и ответы
Пробная (тренировочная) ВПР 2019 география 10-11 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 биология 11 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 география 6 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 математика 7 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 4 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 5 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 6 класс ответы и задания
Пробное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 11 класс
Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 5 класс
Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 7 класс
Пробное ВПР 2019 по истории 5 класс ответы и задания
Пробное ВПР 2019 по истории 6 класс ответы и задания
Пробное ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания
Пробное Итоговое собеседование 9 класс русский язык ОГЭ 2019 задания
Пробный экзамен по обществознанию и литературе для 11 классов ответы
Проект математическая вертикаль ответы и задания
Работа по математике 11 класс статград ответы и задания 25 сентября 2019
Работа статград по русскому языку 9 класс 3 декабря 2019 ответы и задания
Работы (задания+ответы) для Республики Коми Март 2017
Работы (задания+ответы) Март 2017 СтатГрад
Работы (задания+ответы) Февраль 2017
Работы (задания+ответы) Январь 2017
Работы 56 регион ответы и задания май 2019 год
Работы для 56 региона Май 2018 ответы и задания
Работы для Оренбургской области
Работы для Республики Коми Декабрь 2017 задания и ответы
Работы для Республики Коми Ноябрь 2017 задания и ответы
Работы для Республики Коми Октябрь 2017 задания и ответы
Работы задания и ответы по регионам
Работы МЦКО демоверсии задания и ответы
Работы СтатГрад 2018 февраль задания и ответы
Работы СтатГрад апрель 2018 задания и ответы
Работы Статград ВПР задания и ответы февраль 2019
Работы статград ВПР март 2019 задания и ответы
Работы СтатГрад декабрь 2017 задания и ответы
Работы статград декабрь 2018-2019 ответы и задания
Работы статград декабрь 2019 задания и ответы 2019-2020 учебный год
Работы статград задания и ответы ноябрь 2019-2020 учебный год
Работы СтатГрад задания и ответы октябрь 2018
Работы статград задания и ответы октябрь 2019-2020 учебный год
Работы СтатГрад задания и ответы сентябрь 2018
Работы СтатГрад март 2018 задания и ответы
Работы СтатГрад ноябрь 2017 задания и ответы
Работы СтатГрад октябрь 2017 задания и ответы
Работы СтатГрад сентябрь 2017 задания и ответы
Работы статград сентябрь 2019 год ответы и задания
Работы СтатГрад январь 2018 задания и ответы
Работы статград январь 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
Работы СтатГрад, КДР за апрель 2017
Работы СтатГрад, КДР за май 2017
Работы СтатГрад, КДР за март 2017
Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за февраль 2017
Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за январь 2017
Рабочая программа по окружающему миру ФГОС с 1 по 4 класс на 2022-2023
Рабочая программа по чтению ФГОС с 1 по 4 класс на 2022-2023
Рабочие программы по английскому языку ФГОС с 2 по 11 класс на 2022-2023
Рабочие программы ФГОС на 2022-2023 учебный год для 1-11 класса
- Рабочая программа по информатике ФГОС с 5 по 11 класс на 2022-2023
- Рабочие программы 7 класс по ФГОС на 2022-2023 год
- Рабочие программы для 10 класса ФГОС на 2022-2023
- Рабочие программы по ОБЖ ФГОС с 5 по 11 класс на 2022-2023
Разговоры о важном цикл внеурочных занятий 2022-2023
Расписание
- ЕГЭ 2021 официальное расписание проведения экзаменов от Рособрнадзора
- ЕГЭ и ОГЭ 2020 год официальное расписание экзаменов у 9 и 11 класса
- ОГЭ 2021 официальное расписание проведения экзаменов у 9 класса
- Официальное расписание ЕГЭ 2019 11 класс основной досрочный этап
- Расписание муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников в Санкт-Петербурге 2018-2019
- Расписание работ КДР 2019
- Расписание РДР 2020-2021 для 58 региона задания и ответы Пензенская область
- Расписание РПР 2018-2019 для 26 региона
Расписание ГИА ОГЭ 2017
Расписание ЕГЭ 2018 досрочный основной резервный период
Расписание итогового сочинения 2017-2018
Расписание проведения экзаменов 9 класса ОГЭ 2018
Расписание школьных олимпиад 2017-2018 задания и ответы
Распределения реальных тем итогового сочинения 2017-2018 по зонам регионам
РДР 2019-2020 по физике 10 класс ответы и задания
РДР 8 класс ответы и задания по математике 15 ноября 2018
РДР математика 10 класс 14 ноября 2019 ответы и задания
РДР математика 6 класс ответы и задания 21 ноября 2019 78 регион
РДР ответы и задания для Санкт-Петербурга
- Официальные работы РДР для 78 региона задания и ответы 2020-2021 учебный год
РДР по русскому языку 9 класс ответы и задания вариант 1901 и 1902 17 октября 2019
Реальное ВПР 2020 задание 1 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание 2 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №10 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №12 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №3 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №4 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №5 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №6 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №6 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №7 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальные задания по математике ПРОФИЛЬ ЕГЭ 2018
Реальные темы и готовые сочинения 4 декабря 2019 ФИПИ для региона МСК+9
Реальные темы итогового сочинения 2018-2019 5 декабря
Реальный вариант с ЕГЭ 2019 по математике 29 мая 2019 год
Региональный экзамен по математике 7 класс
Региональный экзамен по математике 7 класс 56 регион ответы и задания
Региональный экзамен по русскому языку 8 класс 56 регион
Региональный этап 2019 по астрономии задания и ответы всероссийская олимпиада
Региональный этап 2019 по географии ответы и задания ВОШ
Региональный этап 2019 по искусству МХК ответы и задания ВОШ
Региональный этап 2019 по истории задания и ответы всероссийская олимпиада
Региональный этап 2019 по немецкому языку задания и ответы
Региональный этап по биологии задания всероссийская олимпиада 2018-2019
Региональный этап по математике ответы и задания 2019
Результаты ЕГЭ 2017 у школьников
Решать реальное ВПР 2020 задание №8 по биологии 5 класс с ответами
Решать реальное ВПР 2020 задание №9 по биологии 5 класс с ответами
Решения и задания муниципального этапа 2019 олимпиады по математике
РПР 2017-2021 задания и ответы для Саратовской области 64 регион
РПР математика 9 класс 3 этап задания и ответы 2018-2019
РПР по математике 9 класс 64 регион задания 2018-2019
Русский медвежонок 10-11 класс ответы и задания 2018-2019
Русский медвежонок 14 ноября 2019 ответы и задания 6-7 класс
Русский медвежонок 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
Русский медвежонок 2019 ответы и задания для 10-11 класса 14 ноября
Русский Медвежонок 2019 ответы и задания для 2-3 класса
Русский медвежонок 2019-2020 ответы и задания 8-9 класс 14 ноября
Русский медвежонок 4-5 класс ответы и задания 2018-2019
Русский медвежонок для учителей 2020 год задания и ответы
Русский язык 10 класс КДР ответы и задания
Русский язык 10 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
Русский язык 10 класс ответы и задания 56 регион
Русский язык 10 класс ответы МЦКО 8 ноября 2018 год
Русский язык 10 класс СтатГрад ответы 12. 05
Русский язык 10-11 класс ответы и задания 22 апреля 2019 тренировочная №1
Русский язык 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
Русский язык 10-11 класс ответы РЯ10901 и РЯ10902 6 марта 2019
Русский язык 11 класс 03.06.2019
Русский язык 11 класс 11 ноября 2019 ответы и задания работа статград
Русский язык 11 класс 56 регион ответы
Русский язык 11 класс диагностическая работа №5 ответы и задания 8 апреля 2019
Русский язык 11 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
Русский язык 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2 варианта задания и ответы
Русский язык 11 класс мониторинговая работа ответы и задания
Русский язык 11 класс ответы и задания диагностика 2 статград 18 марта 2019
Русский язык 11 класс ответы и задания СтатГрад 17.05
Русский язык 11 класс ответы РЯ10601 и РЯ10602 статград 2018-2019
Русский язык 11 класс ответы статград 30 января 2019
Русский язык 11 класс РЯ1910701-РЯ1910702 статград ответы и задания 11 декабря 2019
Русский язык 11 класс статград 24 октября 2019 ответы и задания РЯ1910601-02
Русский язык 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
Русский язык 11 класс СТАТГРАД ответы и задания 28 февраля
Русский язык 11 класс статград ответы и задания вариант РЯ10201 и РЯ10202 07. 11.2018
Русский язык 11 класс тренировочная работа №1 ответы статград 2018-2019
Русский язык 3 класс МЦКО ВСОКО задания итоговая работа 2019
Русский язык 4 класс ВПР 2020 демоверсия задания и ответы ФИПИ
Русский язык 4 класс задания и ответы мониторинговая работа 2019-2020
Русский язык 5 класс демоверсия ВПР 2020 ФИПИ задания и ответы
Русский язык 5 класс ответы и задания 21.09
Русский язык 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Русский язык 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
Русский язык 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
Русский язык 6 класс статград ответы и задания 2018-2019
Русский язык 7 класс 56 регион ответы
Русский язык 7 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
Русский язык 7 класс задания и ответы мониторинговая работа 10 сентября 2019
Русский язык 7 класс ответы и задания РУ1970101 и РУ1970102 26 сентября 2019
Русский язык 7 класс ответы и задания статград 2018-2019
Русский язык 7 класс статград ответы и задания
Русский язык 7-8 класс ответы КДР 23 января 2019
Русский язык 8 класс 56 регион задания и ответы
Русский язык 8 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
Русский язык 8 класс ответы и задания 56 регион
Русский язык 8 класс ответы и задания 6 мая 2019 итоговая работа
Русский язык 8 класс стартовая работа ответы и задания 24. 09
Русский язык 8 класс статград ответы и задания
Русский язык 9 класс 11.05 ответы
Русский язык 9 класс 74 регион ответы
Русский язык 9 класс ответы и задания 19 апреля 2019 диагностическая работа №4
Русский язык 9 класс ответы и задания варианты 13 мая 2019 год
Русский язык 9 класс ответы и задания диагностика статград 15 марта 2019
Русский язык 9 класс ответы и задания полугодовая работа 2018-2019
Русский язык 9 класс ответы изложение статград 2018-2019
Русский язык 9 класс СтатГрад 17.04
Русский язык 9 класс СтатГрад задания и ответы
Русский язык 9 класс статград ОГЭ ответы и задания 15 марта 2018
Русский язык 9 класс СТАТГРАД ответы и задания
Русский язык 9 класс статград РЯ90201-РЯ90202 ответы и задания 27.11.
Русский язык платно
Русский язык школьный этап 2018-2019 ответы и задания Санкт-Петербург
Русский язык школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
РЭ по математике 7 класс 24. 05 ответы
РЭ по русскому языку 7 класс ответы 19.05
РЭ по русскому языку 8 класс ответы 24.05
СтатГрад
- Задания и ответы работы СТАТГРАД ВПР март 2020
- Работы статград апрель 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград апрель 2022 год варианты ответы и решения
- Работы статград декабрь 2020 год задания ответы и решения
- Работы статград декабрь 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград задания и ответы апрель 2020 год
- Работы статград май 2020 год задания, ответы, решения
- Работы статград май 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград май 2022 год варианты ответы и решения
- Работы статград март 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград март 2022 год задания ответы и решения
- Работы статград ноябрь 2020 год задания, ответы и решения
- Работы статград ноябрь 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград октябрь 2020 год задания, ответы и решения
- Работы статград октябрь 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград сентябрь 2020 год задания, ответы и решения
- Работы статград сентябрь 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград сентябрь 2022 год варианты ответы и решения
- Работы статград февраль 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград февраль 2022 год задания ответы и решения
- Работы статград январь 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград январь 2022 год задания ответы и решения
Статград 9 класс русский язык ответы и задания 21. 12.2018
СтатГрад апрель 2017 работы задания и ответы
СтатГрад биология 11 класс 14.04.17
Статград ВПР работы апрель 2019 ответы и задания
СТАТГРАД ВПР февраль 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
Статград география 11 класс ответы и задания март 2018
Статград география 9 класс ответы и задания 20 ноября 2018
СтатГрад задания и ответы по обществознанию 11 класс 1 февраля 2018 года
Статград задания и ответы январь 2018-2019
Статград информатика 9 класс 27 ноября 2019 ответы и задания ИН1990201-ИН1990204
СтатГрад информатика 9 класс ответы и задания 5 марта 2018
Статград история 11 класс 2 варианта ответы и задания 12 марта 2018
СтатГрад май 2017 работы задания и ответы
СтатГрад математика 11 класс ответы и задания 6 марта 2018
Статград Обществознание 11 класс ответы и задания
Статград обществознание 9 класс ответы и задания 13 марта 2018
СтатГрад обществознание 9 класс ответы и задания 17. 05
СтатГрад ответы и задания для работ ноябрь 2018
СтатГрад ответы и задания по математике 10 класс База и Профиль 7 февраля 2018
СтатГрад ответы и задания по русскому языку 11 класс 6 февраля 2018
Статград ответы русский язык 11 класс 19.12.2018
СтатГрад по математике для 11 классов
Статград работы май 2018 ответы и задания
Статград работы ответы и задания май 2019
СтатГрад русский язык диагностические работы 2017 задания и ответы
Темы итогового сочинения 2017
Темы на пробное итоговое сочинение для 52 региона
Темы по направлениям которые будут итоговое сочинение 2018 6 декабря
Тест по русскому языку 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
Тренировочная работа по биологии 11 класс
Тренировочная работа по биологии 9 класс ответы и задания 15 января 2019
Тренировочная работа по информатике 11 класс
Тренировочная работа по информатике 9 класс ответы
Тренировочная работа по математике 10 класс ответы 6 февраля 2019
Тренировочная работа по математике 11 класс ответы 06. 03
Тренировочная работа по химии 11 класс ответы 8 февраля 2019
Тренировочная работа статград по географии 11 класс ответы 15.02.2019
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 7 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 6 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по истории 11 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по математике 6 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по физике 11 класс
Тренировочные варианты 200203, 200217, 200302 по химии 11 класс с ответами 2020
Тренировочные варианты ВПР 2020 по химии 8 класс ХИ1980101,ХИ1980102
Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по биологии задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по обществознанию 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по русскому языку задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по английскому языку 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по географии 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по информатике задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по истории 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по литературе 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по физике 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по химии 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты КДР 10 класс обществознание 2019
Тренировочные варианты ОГЭ по английскому языку 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по биологии 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по географии 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по информатике 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по истории 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по математике 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по обществознанию 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по русскому языку 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по физике 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по химии 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты по биологии 10 класс задания с ответами
Тренировочные задания МЦКО ВСОКО математика 3 класс 2019
Тренировочные работы для 56 региона задания и ответы сентябрь 2018
Тренировочные работы для 56 региона Оренбургской области задания и ответы
Тренировочные работы по математике статград 2017 задания и ответы
Тренировочный вариант 33006757 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант 33006758 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант 33006759 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073002 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073003 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073004 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073005 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073006 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073007 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073008 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073009 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073010 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073011 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант с ответами 200316 по физике 11 класс ЕГЭ 2020
Тренировочный варианты №191223 и №191209 по химии 11 класс ЕГЭ 2020
Тренировочный ЕГЭ 2020 математика 11 класс профиль задания и ответы
Турнир ЛОМОНОСОВ задания и ответы 2018-2019
Турнир Ломоносова задания и ответы 2019-2020 учебный год
- 09. 03.2020 XLII Заключительный тур Ломоносова по биологии задания и ответы
- 09.03.2020 Заключительный тур Ломоносова по астрономии задания и ответы
- 29.09.2019 Задания и ответы по астрономии 42 турнир М.В.Ломоносова
- 29.09.2019 Задания и ответы по биологии 42 турнир М.В. Ломоносова
- 29.09.2019 Задания и ответы по истории 42 турнир М.В. Ломоносова
- 29.09.2019 Задания и ответы по лингвистике 42 турнир М.В. Ломоносова
- 29.09.2019 Задания и ответы по литературе 42 турнир М.В. Ломоносова
- 29.09.2019 Задания и ответы по математике 42 турнир М.В. Ломоносова
- 29.09.2019 Задания и ответы по физике 42 турнир М.В. Ломоносова
- 29.09.2019 Задания и ответы по химии 42 турнир М.В. Ломоносова
- Ответы и задания по истории XLII заключительный тур Ломоносова 9 марта 2020
- Ответы и задания по лингвистике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
- Ответы и задания по литературе XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
- Ответы и задания по математике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
- Ответы и задания по физике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
- Ответы и задания по химии XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
Условия перепечатки материалов | Правообладателям
Устная часть английский язык 2018 платно
Устное собеседование 2019 официальные варианты 13 февраля
Устное собеседование 9 класс 2019
Физика 11 класс 7 ноября 2019 статград ответы и задания варианты ФИ1910201-ФИ1910204
Физика 11 класс ВПР ответы 25. 04
Физика 11 класс ответы и задания 6 мая 2019 тренировочная работа №5
Физика 11 класс ответы и задания пробник статград 14 февраля 2018
Физика 11 класс ответы и задания статград 2018
Физика 11 класс ответы и задания ФИ1910101 ФИ1910102 19 сентября 2019
Физика 11 класс СтатГрад ответы и задания
Физика 11 класс тренировочная ЕГЭ №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
Физика 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
Физика 9 класс задания и ответы СтатГрад
Физика 9 класс ответы и задания ФИ90101 и ФИ90102 статград 2018-2019
Физика 9 класс ответы и задания ФИ90401 ФИ90402 статград
Физика 9 класс СтатГрад 03.05 ответы
Физика 9 класс статград ответы и задания 10 декабря 2019 варианты ФИ1990201-ФИ1990204
Физика ОГЭ 2018 ответы и задания 2 июня
Физика ОГЭ 2018 платно
Физика турнир Ломоносова задания 2018-2019
Физическая культура 10 ноября задания муниципальный этап всероссийская олимпиада 2018-2019
ФИПИ открытый банк заданий ЕГЭ 2019 по русскому языку Лексика и фразеология
Французский язык 7-11 класс муниципальный этап 2019-2020 ответы и задания Москва
Химия 11 класс 10. 05 СтатГрад ответы
Химия 11 класс ВПР 27.04 задания и ответы
Химия 11 класс ЕГЭ статград ответы и задания 14 марта 2018
Химия 11 класс ответы для ХИ10101 ХИ10102 статград 19.10
Химия 11 класс ответы и задания 28 ноября 2019 статград ХИ1910201-ХИ1910204
Химия 11 класс ответы и задания варианты статград 13 мая 2019 год
Химия 11 класс ответы и задания СтатГрад 9 февраля 2018 года
Химия 11 класс СтатГрад задания и ответы
Химия 9 класс задания и ответы СтатГрад
Химия 9 класс КДР ответы и задания 15 февраля 2018 года
Химия 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
Химия 9 класс ОГЭ статград ответы и задания 15 февраля 2018
Химия 9 класс ответы и задания 16.05
Химия 9 класс ответы и задания ОГЭ статград 22.03.2018
Химия 9 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
Химия 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
Химия ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
Химия ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
Частная группа
ЧИП Австралия 23 октября 2019 ответы и задания 7-8 класс
ЧИП Австралия 3-4 класс ответы и задания 23 октября 2019-2020
ЧИП Австралия ответы и задания 5-6 класс 23 октября 2019-2020
ЧИП мир сказок 2019 ответы и задания для 1 класса 5-7 лет
Читательская грамотность 4 класс МЦКО 2019 тестирование
Чтение читательская грамотность 3 класс МЦКО ВСОКО задания 2019
Школьные конкурсы расписание 2017-2018
Школьные олимпиады и конкурсы 2017-2018 задания и ответы
Школьный тур наше наследие 7-8 класс ответы и задания 2019-2020
Школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада по астрономии ответы и задания
Школьный этап 2019-2020 олимпиады ВОШ по физике ответы и задания
Школьный этап 2019-2020 по биологии ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
Школьный этап 2019-2020 по испанскому языку ответы и задания всероссийской олимпиады
Школьный этап 2019-2020 по праву задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников
Школьный этап 2019-2020 по праву ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
Школьный этап 2019-2020 по русскому языку ответы и задания всероссийская олимпиада школьников
Школьный этап ВОШ 2019-2020 ответы и задания по французскому языку
Школьный этап ВОШ по информатике ответы и задания 2018-2019
Школьный этап ВОШ по испанскому языку ответы и задания 2018-2019
Школьный этап ВОШ по математике задания и ответы 2018-2019
Школьный этап ВСЕРОССИЙСКИХ олимпиад 2017-2018 задания
Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по обществознанию 2019-2020 учебный год
Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по физической культуре 2019-2020
Школьный этап ВсОШ 2019-2020 ответы и задания по обществознанию
Школьный этап олимпиады по информатике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
Школьный этап олимпиады по математике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
Школьный этап олимпиады по экономике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
Школьный этап по английскому языку 2019-2020 задания и ответы московская область
Школьный этап по ОБЖ задания и ответы всероссийская олимпиада 2019-2020
Экзамен по географии ОГЭ 2019
Экономика олимпиада муниципальный этап 2019 ВсОШ задания и ответы

Медианы треугольника пересекаются в отношении

Содержание

1 Содержание
2 Свойства [ править | править код ]
- 2. 1 Основное свойство [ править | править код ]
- 2.2 Свойства медиан равнобедренного треугольника [ править | править код ]
- 2.3 Свойства оснований медиан [ править | править код ]
- 2.4 Другие свойства [ править | править код ]
3 Основные соотношения [ править | править код ]
4 2 Comments

Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.

Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.

Другие свойства [ править | править код ]

Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.

Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.

2>>>,> где m a , m b , m c ,m_> — медианы к соответствующим сторонам треугольника, a , b , c — стороны треугольника.2>

Площадь S любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

S = 4 3 σ ( σ − m a ) ( σ − m b ) ( σ − m c ) , >)(sigma -m_)>>,> где σ = ( m a + m b + m c ) / 2 +m_)/2> — полусумма длин медиан.3>4>

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис. 7).

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Свойство медиан треугольника может быть доказано многими способами. Доказательство, опирающееся на свойства параллелограмма и средней линии треугольника, может быть проведено сразу же после изучения соответствующих тем, что позволяет начать использовать свойство медиан треугольника уже с начала 8 класса.

(Свойство медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано : ABC, AA1, BB1, CC1 — медианы

1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO

(то есть AM=OM, BN=ON).

2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.

3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — середина AC.

Следовательно, A1B1 — средняя линия треугольника ABC и

Значит, четырёхугольник MNA1B1 — параллелограмм (по признаку).

По свойству диагоналей параллелограмма

из чего следует, что

5) Доказательство того факта, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, будем вести методом от противного.

Предположим, что третья медиана CC1 треугольника ABC пересекает медианы AA1 и BB1 в некоторой точке, отличной от точки O.

Тогда на каждой медиане есть две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины. Пришли к противоречию.

Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точка пересечения медиан делит каждую из их в отношении 2:1, считая от вершины:

Что и требовалось доказать .

Промогите пожалуйста:
В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла до гипотенузы провели медиану длинной 50см и перпендикуляр 48см. Вычислить периметр.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Следовательно, гипотенуза 100 см. Пусть катеты равны x см и y см. По теореме Пифагора x²+y²=100². Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне S=0,5∙100∙48 см², либо половине произведения катетов S=0,5∙x∙y. Отсюда xy=4800.
Решаем систему уравнений: x²+y²=100²; xy=4800. Решения (60;80) (80;60). То есть катеты 60 см и 80 см. Периметр P=60+80+100=240 см.
(Не обязательно доводить решение системы до конца. Достаточно найти x+y. Для этого к 1-му уравнению прибавим удвоенное 2-е, получим
x²+2xy+y²=19600; x+y=140).

«>

Все о медианах

В треугольнике медиана — это линия, соединяющая вершину с серединой противоположной стороны. Используя стандартные обозначения, в ΔABC есть три медианы: AM _a , BM _b , CM _c .

Три медианы треугольника сходятся в точке — центроиде треугольника.

Ниже приведены несколько доказательств этого замечательного факта.

Элементарная геометрия

Средняя линия, т. е. линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине (см., Евклид, Элементы , VI.2 и VI.4.) Следовательно, из ΔABC, M _b M _c = BC/2. Пусть G обозначает точку пересечения BM _b и CM _c . Пусть также R — середина GC, а S — середина GB. Затем, как и прежде, из ΔGBC RS = BC/2. Следовательно, RS = M _b M _c . Кроме того, две прямые параллельны (обе параллельны BC). Таким образом, четырехугольник M _b M _c SR является параллелограммом.

Так как диагонали параллелограмма делятся пополам точкой пересечения, мы также имеем M _b G = GS и M _c G = GR, которые вместе с GS = SB и GR = RC показывают, что на обеих медианах G стоит в два раза дальше от одного конца (вершины), чем от другого конца (вершины). середина.) Это условие однозначно определяет точку на медиане. Так как для двух медиан определенные таким образом точки совпадают, то то же самое, по симметрии , верно и для оставшейся медианы.

Другое элементарное доказательство начинается с расширения BM _b за M _b до длины GM _б . Точно так же CM _c выходит за пределы M _c до длины GM _c. Тогда M _b M _c является средней линией в обоих треугольниках ABC и GRS, откуда SR = BC и прямые параллельны. Отсюда следует, что четырехугольник SRBC является параллелограммом, так что его диагонали CR и BS разделены пополам их общей точкой G. Следовательно, GM _b и GM _C в два раза короче GB и GC соответственно. Доказательство заканчивается, как и раньше.

Третье элементарное доказательство было предложено Скоттом Броди. Треугольники BCG и M _b M _c G подобны. Все их стороны находятся в одинаковой пропорции. Поскольку BC/M _b M _c = 2, мы также имеем BG/M _b G = 2 и CG/M _c G = 2.

Четвертое доказательство принадлежит Дани Рубинштейн, Еврейская дневная школа им. Чарльза Э. Смита, Роквилл, Мэриленд, с которым я столкнулся в Учитель математики , т. 96, № 6, сентябрь 2003 г., с. 401.

Пусть G — точка пересечения медиан AM _a и BM _b. Продлите CG за G и далее за его пересечение с AB в точке D. Проведите через B прямую, параллельную AM _a, и пусть она пересекает CG в точке H. В ΔBCH M _a является серединой BC, а также BH|| ГМ _и. Следовательно, G является серединой CH. В ΔACH M _b — середина AC, а G — середина CH. Следовательно, AH||GM _b или AH||BG. Четырехугольник AHBG с двумя парами параллельных сторон является параллелограммом. В любом параллелограмме диагонали делят друг друга пополам. Следовательно, АД = ДБ. Другими словами, D = M _c, середина AB.

Как указывает Дэни, его доказательство не опирается на тот факт, что общая точка трех медиан делит каждую из них в отношении 2:1, а скорее получает это отношение как побочный эффект.

Еще одно элементарное доказательство принадлежит Розмари Рэмси; он основан на наблюдении, что, если предположить, что медианы не совпадают, их точки пересечения образуют треугольник, площадь которого обязательно равна нулю, что привело бы к противоречию.

Векторная алгебра

Рассмотрим два вектора a и b , исходящие из одной и той же точки O. Обратите внимание, что один и тот же вектор ( a + b )/3 можно получить несколькими способами. Сначала (левая диаграмма) найдите среднее ( a + b )/2 двух векторов, а затем умножьте этот вектор на 2/3.

С другой стороны (правая диаграмма), вектор, соединяющий конечную точку a до середины b равно ( b /2- a ). Прибавив 2/3 этого вектора к и , мы получим

.

a + 2( b /2- a )/3 = a + b /3 — 2 a /3 = ( a + b)/4

Барицентрические координаты

В барицентрических координатах (w _A , w _B , w _C ) с w _A + w _B + w _C =1, уравнение медианы AM _a равно w _B = w _C . Аналогично, BM _b определяется как w _A = w _C, а CM _c определяется как w _A = w _B . Четыре уравнения имеют единственное решение w _A = w _B = w _C = 1/3, которое определяет общую точку трех медиан.

С учетом транзитивности равенства уравнения не нужно решать явно. Транзитивность сразу означает, что прямые имеют общую точку. Выше мы также нашли его барицентрические координаты.

Теорема Чева

Рассматриваемый нами факт является следствием более общей теоремы Чевы.

Комплексные номера

Точки на аффинной плоскости могут быть связаны с комплексными числами. Для любых двух комплексных чисел z ₁ и z ₂ , (z ₁ + z ₂ )/2 есть другое комплексное число — среднее z ₁ и z ₂ . Существует единственная прямая, проходящая через два различных комплексных числа. Таким образом, если z ₁ и z ₂ различны, уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид .

Пусть есть три комплексных числа z _A , z _B и z _C . Соедините среднее двух точек с третьей точкой линией: z(t) = tz _A + (1 — t)((z _B + z _C )/2. Для t = 1/3 получаем z(1/3) = (z _A + z _B + z _C )/3 — среднее из трех чисел. Среднее значение трех чисел лежит на линии, соединяющей одно из них со средним значением двух других. Следовательно, по симметрии , среднее из трех принадлежит всем трем таким линиям.

Практически идентичный аргумент работает непосредственно с точками на аффинной плоскости.

Аффинная геометрия

В аффинной геометрии все треугольники одинаковы в том смысле, что между любыми двумя треугольниками существует аффинное преобразование, которое последовательно отображает вершины одного треугольника на вершины другого. Известно, что аффинные преобразования сохраняют параллелизм и его противоположность, параллелизм прямых линий. Отсюда следует, что если три медианы пересекаются в одной точке в каком-либо одном треугольнике, то же верно и для всех остальных треугольников. (Это можно выразить иначе: аффинные преобразования сопоставляют барицентры треугольника с барицентрами треугольника изображения, или барицентры сохраняются при аффинных преобразованиях.) Возьмите равносторонний треугольник в качестве эталонного треугольника. В равностороннем треугольнике все медианы проходят через центр описанной окружности. Что доказывает утверждение в общем случае. (Спасибо Скотту Броуди за напоминание об этом доказательстве.) Любой равнобедренный треугольник мог бы служить простым исходным случаем. В равнобедренном треугольнике медианы сторон сходятся на осях симметрии треугольника, которая, помимо прочего, служит третьей медианой.

21 февраля 2015 г., Создано с помощью GeoGebra

Вот несколько связанных фактов:

Линии медиан треугольников ABC и M _a M _b M _c совпадают, а значит, и их центроиды. Последнее также следует из того, что среднее трех комплексных чисел (z _A + z _B )/2, (z _B + z _C )/2 и (z _A + z _C )/2 точно такое же, как среднее значение z _A , z _B и z _B . Этот аргумент можно применять повторно, создавая последовательность вложенных треугольников, содержащих одну и ту же точку G.

Медианы делят треугольник на шесть меньших треугольников равной площади. чевианы , обладающие этим свойством, обязательно являются медианами. Центроид G — это единственная точка, в которой треугольники ABG, BCG и ACG имеют одинаковую площадь. Скотт Броди делится интересным замечанием о шести треугольниках.

Если в треугольнике две медианы равны, то треугольник равнобедренный. В более общем случае более длинной стороне соответствует более короткая медиана.

Среди всех точек плоскости центроид G минимизирует сумму квадратов вершин треугольника ABC. Чтобы увидеть это, сначала обратите внимание, что

, где жирным шрифтом обозначены векторы, определяемые их начальной и конечной точками. (1) — это еще один способ сказать, что G является центром тяжести трех вершин A, B, C. (1) также следует из наблюдения, что, поскольку в аффинном смысле G = (A + B + C)/ 3, для любой точки X на плоскости имеем

(2) ( XA + XB + XC )/3 = XG ,

частный случай которого (1.

Таким образом, нас интересует минимизация f(X) = XA ² + XB ² + XC ² , где XA — длина вектора XA : XA = | XA |, т. е. расстояние от X до A, а также XB и XC.

ХА ² + ХВ ² + ХС ² = | ХА | ² + | ХВ | ² + | ХС | ²

=
| XG + GA | ² + | XG + ГБ | ² + | XG + GC | ²

=
| XG | ² + 2· XG · GA + | ГА | ² + | XG | ² + 2· XG · ГБ + | ГБ | ² + | XG | ² + 2· XG · GC + | ГК | ² ,

где точка обозначает скалярное произведение. Продолжим:

XA ² + XB ² + XC ² = 3·| XG | ² + 2· XG ·( GA + GB + GC ) + | ГА | ² + | ГБ | ² + | ГК | ²

=
3·| XG | ² + | ГА | ² + | ГБ | ² + | ГК | ²

≥
| ГА | ² + | ГБ | ² + | ГК | ²

= GA ² + GB ² + GC ² ,

с равенством только при X = G.

Медианы в треугольнике всегда образуют треугольник, известный как срединный треугольник данного треугольника. Площадь срединного треугольника составляет 3/4 площади данного треугольника (см. динамическую PWW и более общую настройку).

Центроид треугольника обладает интересным характерным свойством. Пусть прямая, проходящая через G, пересекает AB в M и AC в N. Тогда BM/MA + CN/NA = 1. Здесь BM, MA, CN, NA считаются отрезками со знаком. В определенном смысле тождество выполняется даже тогда, когда рассматриваемая прямая параллельна, скажем, АВ. В этом случае M — точка в бесконечности, и BM/MA = —1, тогда как CN/NA = 2. Наоборот, если любая прямая, проходящая через точку P, удовлетворяет этому тождеству, то обязательно P = G.

|Контакты|
|Главная страница|
|Содержание|
|Геометрия|

Copyright © 1996-2018 Александр Богомольный

Центроид треугольника | Brilliant Math & Science Wiki

Бой (보이),
Даниэль Лю,
Александр Кац,
а также

способствовал

Содержимое

Нахождение центроида

Доказательство существования

Характеристики

Отношения с другими центрами треугольника

Другие полигоны

Смотрите также

Центр тяжести легко найти с помощью координат: треугольник с вершинами (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)( x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) имеет центроид в точке (x1+x2+x33,y1+y2+y33). left(frac{x_1+x_2+x_3) {3}, frac{y_1+y_2+y_3}{3}right).(3×1+x2+x3,3y1+y2+y3).

Треугольник ABCABCABC имеет вершины A=(3,4)A = (3,4)A=(3,4), B=(5,12)B=(5,12)B=(5,12) и C =(8,15)С=(8,15)С=(8,15). Каковы координаты центра тяжести треугольника ABCABCABC?

Центроид находится в точке

(3+5+83,4+12+153)=(163,313). □left(frac{3+5+8}{3}, frac{4+12+15}{3}right)=left(frac{16}{3}, frac{31} {3}справа). _квадрат(33+5+8,34+12+15)=(316,331). □

Простейшее доказательство является следствием теоремы Чевы, которая утверждает, что AD,BE,CFAD, BE, CFAD,BE,CF совпадают тогда и только тогда, когда

AEEC⋅CDDB⋅BFFA=1.frac{AE}{ EC} cdot frac{CD}{DB} cdot frac{BF}{FA} = 1.ECAE⋅DBCD⋅FABF=1.

В этом случае D,E,FD,E,FD,E,F являются серединами соответствующих сторон. Следовательно, AE=EC,CD=DB,AE=EC, CD=DB,AE=EC,CD=DB и BF=FA,BF=FA,BF=FA, так что вышеприведенное равенство сразу верно, демонстрируя существование центроида.

Медиана треугольника — это отрезок прямой между вершиной треугольника и серединой противоположной стороны. Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Центроид — это пересечение трех медиан.

Три медианы также делят треугольник на шесть треугольников, каждый из которых имеет одинаковую площадь.

Центроид делит каждую медиану на две части, которые всегда находятся в соотношении 2:1.

Центроид также обладает тем свойством, что 92 = 70PA2+PB2+PC2=70. Геометрическое место PPP представляет собой окружность радиуса rrr, где rrr может быть выражено в виде mnfrac{m}{n}nm для некоторых взаимно простых натуральных чисел mmm и nnn. Найдите 100м+n100м+n100м+n.

Аналогичное свойство следующее: если какая-либо линия, проходящая через центроид, пересекает ABABAB в точке DDD и ACACAC в точке EEE, то

BDDA+CEEA=1.frac{BD}{DA}+frac{CE}{EA}=1.DABD+EACE=1.

Можно также рассчитать длину медианы из длин сторон: 92большой)AB2+BC2+CA2=3(GA2+GB2+GC2).

На приведенной выше диаграмме прямая lll проходит через центр тяжести △ABC.треугольника ABC.△ABC.

Если расстояние по перпендикуляру между AAA и линией lll равно 2, а расстояние по перпендикуляру между BBB и линией lll равно 6, то каково расстояние по перпендикуляру между CCC и линией l?l?l?

Пусть a,b,ca, b, ca,b,c — длины сторон треугольника ABCABCABC выше, а d,e,fd, e, fd,e,f — расстояния от его центра тяжести ООО до вершин . (Красные линии — медианы.) 92}?d2+e2+f2a2+b2+c2?

В треугольнике ABCABCABC случайная прямая проходит через его центр тяжести (пересечение трех медиан), разделяя его на две области. Найдите минимально возможное отношение площади меньшей области к площади большей области.

Другие центры треугольника включают

ортоцентр

в центре

центр окружности.

Ортоцентр — точка, где встречаются три высоты треугольника. Высота — это отрезок, проведенный из одной вершины в противоположную сторону и перпендикулярный противоположной стороне.

Центр вписанной окружности является центром вписанной окружности треугольника. Вписанная окружность — это окружность, заключенная внутри треугольника и касающаяся каждой из его сторон.

Центр описанной окружности — это центр описанной окружности, окружности, проходящей через все три вершины треугольника. 92большой). _квадрат
end{выровнено}OA2+OB2+OC29R2⇒OG2=GA2+GB2+GC2+3OG2=3(GA2+GB2+GC2)+9OG2=a2+b2+c2+9OG2=R2−91(a2+b2+ в2). □[так как OA=OB=OC=R][так как AB2+BC2+CA2=3(GA2+GB2+GC2)]

Центроид также лежит на линии Эйлера треугольника, поэтому

GH=23OH,GO=13OH,GH = frac{2}{3}OH,quad GO=frac{1}{3}OH,GH=32OH,GO=31OH,

, где HHH — ортоцентр треугольника.

Если A’,B’,C’A’, B’, C’A’,B’,C’ являются центрами описанных окружностей треугольников BCG,ACG,ABG,BCG, ACG, ABG,BCG,ACG,ABG, соответственно, то

ООО — центр тяжести треугольника A′B′C′A’B’C’A′B′C′. Кроме того, GGG является точкой симедианы △A′B′C′треугольника A’B’C’△A′B′C′.

Наконец, медианы треугольника △A′B′C′треугольника A’B’C’△A′B′C′ проходят через середины треугольников AB,BC,AB, BC,AB,BC и CACACA, поэтому медианы △A′B′C′треугольника A’B’C’△A′B′C′ и △ABCтреугольника ABC△ABC пересекаются в середине исходного треугольника.

Рассмотрим равнобедренный △ABCтреугольник ABC△ABC, где AB=AC=5,BC=6,AB=AC=5, BC=6,AB=AC=5,BC=6, где I,O,HI, O, HI, O, H обозначают его центр вписанной окружности, центр описанной окружности, ортоцентр соответственно.

Найдите площадь △IOHтреугольника IOH△IOH.

Другие многоугольники имеют аналогичную интерпретацию центроида; он остается центром масс вершин многоугольника.

Однако центр тяжести больше не является (обязательно) пересечением медиан; на самом деле медианы не обязательно пересекаются в больших многоугольниках.

Циркумцентр

Инцентр

Ортоцентр

Цитировать как:
Центроид треугольника.
Brilliant.org .
Извлекаются из
https://brilliant.org/wiki/triangles-centroid/

Центроид делит площадь треугольника на 3 или 6 равных частей

Как три медианы, сходящиеся в центроиде, делят площадь треугольника на 3 и 6 равных частей и свойства чевиан

Центроид делит площадь треугольника на 3 равные части, образованные более длинными срединными сегментами в центре тела, и на 6 равных частей всеми шестью срединными сегментами в центре тела.

Также точка на чевиане делит площадь треугольника в соотношении его сегментов в этой точке.

Медианы, встречающиеся в центре тяжести, создают богатый набор из отношений, включающих фрагментированные области и сегментированные линии, включая стороны треугольника.

Содержание:

Как каждая медиана делит площадь треугольника на две равные части.

Как три медианы, сегментированные в центре тяжести, делят площадь треугольника на 6 равных частей.

Как три медианы, сходящиеся в центре тяжести , делят площадь треугольника на 3 равные части своими более длинными сегментами.

Отношение между площадями треугольников, образованных медианами в центре тяжести и линией, параллельной основанию и проходящей через середины двух других сторон.

Концепция отношения площади к чевианскому сегменту: Площадь треугольника делится в том же отношении, что и чевианское сегментное отношение, в точке, которая действует как вершина второго треугольника.

Площадь треугольника из длины медиан.

Медиана делит треугольник на 2 части равной площади

На следующем рисунке AD — это медиана $треугольника ABC$, делящая пополам противоположную сторону BC в точке D. Центроид — это точка G, через которую проходят две другие медианы. , если нарисовано, пройдет. AH — высота треугольника с основанием BC; PAQ — прямая, параллельная основанию BC.

При основании BC и высоте AH площадь $треугольника ABC$ равна,

$A=frac{1}{2}BCtimes{AH}$.

AS $BD=CD=frac{1}{2}BC$, площадь $треугольника ABD$ равна,

$A_{ABD}=frac{1}{2}BDtimes{AH} =frac{1}{4}BCtimes{AH}=frac{1}{2}A$.

Для $triangle ADC$ также высота равна AH, как и у любого треугольника с основанием BC и вершиной, лежащей на параллельной ему прямой PAQ. Таким образом, площадь $треугольника ADC$ равна

$A_{ADC}=frac{1}{2}DCtimes{AH}=frac{1}{4}BCtimes{AH}=frac {1}{2}А$.

Таким образом, медиана AD делит площадь треугольника на две равные части.

Прежде чем мы покажем вам, как три медианы делят площадь треугольника на шесть равных частей, мы обобщим первый результат в мощную концепцию Отношение площади к основанию и покажем его механизм.

Концепция соотношения площади к основанию

На следующем рисунке показано решение проблемы.

В $треугольнике ABC$, поскольку отрезок AD от вершины A до основания BC делит BC в отношении, $CD:BD=x:y$, отношения площадей $треугольника ACD$ и $ треугольник ABD$ также будет равен $x:y$. Чтобы формально сформулировать этот важный общий результат,

Отрезок от вершины треугольника до противоположной стороны, являющейся основанием, делит основание и площадь треугольника в одинаковом отношении.

Доказательство концепции отношения площади к основанию

В $треугольнике ABC$ отрезок AD делит основание BC в точке D так, что

$CD:BD=x:y$.

Поскольку оба треугольника, $triangle ACD$ и $triangle ABD$, имеют одинаковую высоту AP, которая также является высотой родительского $triangle ABC$,

$text{Площадь }triangle ABD=A_{ ABD}=frac{1}{2}BDtimes{AP}$.

Аналогично,

$text{Площадь }треугольника ACD=A_{ACD}=frac{1}{2}CDtimes{AP}$.

Взяв отношение последнего к первому,

$A_{ACD}:A_{ABD}=CD:BD=x:y$.

Результат очень простой, но общий.

Особый случай, когда AD является медианой и $CD=BD$. В этом случае медиана делит треугольник на две равные по площади части.

В качестве другого примера, если $BD=2CD$,

$A_{ABD}=2A_{ACD}$.

Мы воспользуемся этим последним результатом, чтобы объяснить, как три медианы делят треугольник на шесть частей равной площади.

Все три медианы вместе делят треугольник на 6 равных частей, доказательство

Следующий рисунок поможет объяснить механизм этой связи. AD, BE и CF — три медианы, делящие $треугольник ABC$ на шесть неполных треугольников, точка пересечения которых — центроид G. AP — перпендикуляр к медиане BE и высота всех трех треугольников $треугольника ABG$, $треугольник AEG$ и $треугольник ABE$.

Медианы делят треугольник на шесть непересекающихся треугольных областей с вершинами, встречающимися в центре тяжести G. Эти шесть треугольников на самом деле состоят из трех пар равных треугольников, образованных путем деления трех треугольников, образованных из центра тяжести и трех пар вершин. , частью медианы от вершины G до основания. Например, площади одной такой пары равновеликих треугольников имеют отношение

$A_{BGD}=A_{CGD}$.

Наша цель — показать площадь одной соседней пары из трех пар треугольников как равную. Например, мы покажем,

$A_{AFG}=A_{AEG}$.

$треугольник ABE$ делится на два треугольника $треугольник ABG$ и $треугольник AEG$ медианным сечением $AG$, падающим на основание BE в точке G. Соотношение секций по центроиду концепции, она разделена на две секции BG и EG с соотношением $BG:EG=2:1$ .

Таким образом, согласно концепции отношения площади к основанию ,

$A_{ABG}=2A_{AEG}$.

Снова в $треугольнике ABG$

$A_{ABG}=2A_{AFG}$.

Таким образом,

$A_{AEG}=A_{AFG}$, то есть пара смежных треугольников равна по площади.

Это делает площади всех шести треугольников с совпадающими вершинами в точке G равными.

Три отрезка от вершины к центроиду делят треугольник на 3 равные части

Согласно этой концепции, G является центроидом, на рисунке ниже GA, GB и GC делят треугольник на 3 равные части.

Это можно легко сделать, сложив соседние равные пары шести равных треугольников, образованных тремя медианами, как в предыдущем разделе.

Перед тем, как мы перейдем к следующим разделам, нам нужно объяснить часто используемую концепцию Треугольника с богатым сходством.

Подобие треугольника, богатая концепция, механизм

Следующий рисунок поможет объяснить концепцию.

Мы официально заявляем сходство треугольника богатое понятие as,

Отношение всех пар соответствующих сторон соответствующих пар треугольников, образованных прямой линией, параллельной основанию, будет равным.

В качестве альтернативы этот результат приводит к

Прямая линия, параллельная основанию треугольника, разделит все отрезки прямой линии, опущенные от вершины к основанию, в равном отношении.

Эта мощная богатая концепция часто используется в обеих формах.

Чтобы быть точным, по отношению к рисунку выше, прямая $PQ||BC$, основание, пересекает четыре прямые $AB$, $AM$, $AN$ и $AC$, опущенные из вершины A в вершину основания ВС в точках D, E, F и G соответственно в равном соотношении. То есть

$AD:BD=AE:EM=AF:FN=AG:GC$.

Это вторая форма богатого понятия и следует из более широкой первой формы определения понятия.

Первичная форма концепции, богатой сходством треугольника

Прямая PQ||BC образует шесть пар соответствующих треугольников, пересекая четыре прямые, опущенные из вершины в основание,

$треугольник ADE$ и $треугольник ABM$,

$треугольник AEF$ и $triangle AMN$,

$triangle AFG$ и $triangle ANC$,

$triangle ADF$ и $triangle ABN$,

$triangle AEG$ и $triangle AMC$, и, наконец, ,

$треугольник ADG$ и $треугольник ABC$.

В каждой такой паре треугольников отношения соответствующих сторон будут равны, так что отношения всех пар соответствующих сторон будут равны.

Частично это составляет

$displaystylefrac{AD}{AB}=frac{AE}{AM}=frac{AF}{AN}=frac{AG}{AC}=frac {DG}{BC}$.

Таких равных соотношений будет больше.

Это происходит прежде всего потому, что, скажем, в паре треугольников $треугольник ADG$ и $треугольник ABC$,

угол при вершине $угол A$ общий, а

остальные две пары углов, $угол ADG=угол ABC$ и $угол AGD =угол ACB$, поскольку каждый из AB и AC пересекает пару параллельных прямых DG и BC.

При равенстве трех пар соответствующих углов $треугольник ADG$ и $треугольник ABC$ подобны, так что отношения всех трех пар соответствующих сторон становятся равными.

Один и тот же механизм работает в каждой паре соответствующих треугольников.

Тривиально показать, что этот результат приводит ко второй форме определения этого важного богатого понятия.

Нам нужно объяснить еще одну богатую концепцию, отношение площади к чевианскому сегменту , прежде чем перейти к следующим разделам.

A cevian is,

Линия, идущая от вершины к противоположной стороне треугольника или пересекающая ее.

Концепция отношения площади к сегменту Cevian, доказательство

Следующий рисунок поможет определить и подтвердить концепцию.

A чевиан определяется как,

Линия от вершины, достигающая или пересекающая противоположную сторону треугольника.

На рисунке выше AD является таким чевианом. Частными случаями чевиан являются медиана и высота треугольника.

Концепция отношения площади к чевианскому сегменту формально утверждает,

Любая точка на чевианской линии, делящая прямую в отношении $x:y$, также разделит всю площадь треугольника на две области в том же самом отношение, выступая в качестве вершины второго треугольника внутри основного треугольника.

В качестве альтернативы,

Отношение двух отрезков линии, образованных точкой на чевиане, будет таким же, как отношение двух площадей, образованных точкой как вершиной треугольника с основанием, таким же, как у исходного треугольника.

Конкретно по рисунку

$AF:FD=text{Площадь области }ABFCA:text{Площадь }треугольника BFC$.

Здесь точка F делит чевиан AD на два участка FD и AF в отношении $x:y$.

Из этого результата следует,

$FD:AD=A_{AFD}:A_{ABC}=x:(x+y)$.

Мы получаем этот результат, просто обращая дробь, прибавляя 1 и затем обращая обратно.

Давайте посмотрим, почему эта концепция работает.

В $треугольнике ABD$ с AD в качестве основания, применяя концепцию отношения площади к основанию деления ,

$A_{DBF}:A_{ABF}=FD:FA=x:y$.

Аналогично в $треугольнике ACD$ с AD в качестве основания и применяя ту же концепцию, мы получаем

$A_{DCF}:A_{ACF}=FD:FA=x:y$.

Таким образом, по понятиям соотношения,

$A_{BFC}:A_{ABFC}=x:y$,

Или, $A_{BFC}:A_{ABC}=x:(x+y)$.

Частный случай центроида как чевианской точки на медиане, в данном случае чевиана

В качестве особого случая, если F является центроидом, AD является медианой, так что F делит медиану в отношении,

$FD :AF=1:2$, поэтому в этом особом случае

$A_{BFC}:A_{ABC}=1:3$.

Другими словами, площадь $треугольника BFC$ будет равна одной трети площади основного $треугольника ABC$.

Имея эти богатые концепции, мы теперь готовы приступить к элегантной работе с остальными концепциями.

Дополнительные полезные отношения между площадями треугольников, образованных медианами в центре тяжести

Мы будем использовать следующий рисунок для пояснения концепции в этом разделе. В частности, мы увидим, как площади треугольников $triangle GFP$, $triangle GEP$ или $triangle BGC$ связаны друг с другом и с площадью основного $треугольника ABC$.

В этом разделе мы рассмотрим отношения площадей треугольников $triangle GFP$, $triangle GFE$ и $triangle BGC$ к площади родительского треугольника.

Площадь $треугольника GFP$ относительно площади $треугольника GFE$

Медиана AD – это прямая из вершины в основание последнего треугольника BC, проходящая через основания треугольников, $треугольник AFE$ и $ triangle AGE$, где эти два треугольника имеют общее основание FE, медиана AD делит FE пополам также в точке P. Мы заключаем этот результат, применяя концепцию большого подобия треугольника.

Итак,

$FP=EP$.

Таким образом, GP делит $треугольник GFE$ на две равные части. Мы заключаем это из понятия медианы, делящей пополам площадь треугольника.

Тогда этот результат говорит:

$A_{GFP}=frac{1}{2}A_{GFE}$.

Площадь $треугольника GFE$ относительно площади $треугольника ABC$

Для решения этой задачи определим протяженность GP.

По сходство треугольника богатое понятие ,

$AP=DP=DG+PG$.

Добавление PG к уравнению,

$AP+PG=AG=DG+2PG$.

Снова по отношение медианного сечения в концепции центроида ,

$AG=2DG=DG+2PG$.

Итак,

$DG=2PG$, что мы подозревали, но теперь знаем.

As $DG=frac{1}{3}AD$,

$PG=frac{1}{6}AD$, где $AD$ – медиана.

Вертикальное отражение $треугольника GFP$ с перемещением вершины вдоль медианы

При этом мы образуем прямоугольник GEHF, диагонали которого делятся пополам в точке P, а его площадь делится пополам общим основанием FE.

Кроме того,

$PH=PG=frac{1}{6}AD=frac{1}{3}AP$.

By Концепция отношения площади к чевианскому сегменту then,

$A_{GFE}=A_{FHE}=frac{1}{3}A_{AFE}=2A_{GFP}$,

Также ,

$A_{AFE}=frac{1}{4}A_{ABC}$, так как основание и высота меньшего треугольника вдвое меньше, чем у большего треугольника.

Отношение площадей всех этих треугольников,

$A_{GFP}=frac{1}{2}A_{GFE}=frac{1}{6}A_{AFE}=frac{1}{ 24}A_{ABC}=frac{1}{8}A_{BGC}$.

Последний результат, который мы получаем из более раннего результата,

$A_{BGC}=frac{1}{3}A_{ABC}$, поскольку GD составляет одну треть от AD.

Обратите внимание, , что мы не использовали высоту или длину основания. Мы могли бы избежать этого из-за симметричных отношений между медианой и основаниями и, следовательно, площадями за счет использования мощных богатых понятий.

Площадь треугольника, полученная из длин его медиан, доказательство

Рисунок ниже поможет объяснить.

Как обычно, AD, BE и CF являются тремя медианами $треугольника ABC$, пересекающимися в центре тяжести G.

Значения $AD=m_1$, $BE=m_2$ и $CF=m_3$ даны . Нам нужно найти площадь $треугольника ABC$.

Как мы знаем, для трех сторон треугольника a, b и c, его полупериметра

$s=frac{1}{2}(a+b+c)$ и площади

$A=sqrt{s(sa)(sb)(sc)}$.

Затем нам нужно построить треугольник с тремя сторонами в качестве медиан, вывести соотношение между площадью медианного треугольника и площадью исходного треугольника, а затем получить площадь исходного треугольника, вычислив площадь медианного треугольника с помощью концепция полупериметра.

Построение медианного треугольника

Для построения медианного треугольника сначала мы зафиксировали сторону медианы AD, а переместили сторону медианы BE в направлении, параллельном BC, на расстояние BD, чтобы достичь положения DQ . Этот параллельный перевод привел к $BE||DQ$ и $BE=DQ$, а также к $EQ||BD||BC$ и $EQ=BD=DC$. Это сформировало вторую сторону треугольника медиан.

Для формирования третьей стороны третья медиана CF была перемещена в направлении, параллельном AB, в сторону AQ, так что $CF||AQ$ и $CF=AQ$, а также $CQ||AF||AB ||DE$ и $CQ=AF=FB=DE$.

В результирующем параллелограмме DEQC две диагонали делят друг друга пополам, так что $ER=CR$ и $DR=QR$, так что AR является медианой $треугольника ADQ$, состоящей из медиан исходный $треугольник ABC$.

Таким образом, AR делит площадь $треугольника ADQ$ на две равные части, каждая из которых, скажем, равна $x$.

AS $AE=EC=2ER$, $AR=AE+ER=3ER$, то есть

$ER=frac{1}{3}AR$, что дает

$A_{DER}=A_ {DCR}=frac{1}{3}A_{ADR}=z$, скажем.

Теперь мы будем использовать следующий рисунок, упрощенный из приведенного выше рисунка, чтобы изложить заключительную часть рассуждений.

Мы удалили медианы BE и CF в качестве меры очистки.

Обозначим,

Площадь $треугольника ABD=A_{ABD}=y$,

Площадь $треугольника ADR=A_{ADR}=x$ и

Площадь $треугольника DCR= A_{DCR}=z$.

А площадь $треугольника ABC$ равна $A_{ABC}=2y$, а площадь $треугольника ADQ$ равна $A_{ADQ}=A_m=2x$.

Теперь

$A_{ACD}=y=x+z=x+frac{1}{3}x=frac{4}{3}x$.

Итак,

$A_{ABC}=frac{4}{3}A_m$.

Другими словами, площадь любого треугольника составляет четыре трети площади треугольника, образованного его медианами.

Поскольку мы знаем, как найти площадь треугольника по заданным длинам его сторон, это еще один простой шаг, чтобы найти площадь $треугольника ABC$ по заданной длине его медиан.

Наконец, мы просто пробежимся по вопросу о нахождении площади равностороннего треугольника с точки зрения его сторон или медиан.

Площадь равностороннего треугольника по его сторонам и медианам 92$, где $a$ — длина стороны равностороннего $треугольника ABC$, а $m$ — длина всех трех его медиан.

Примечание: Будучи ПОЛЬЗОВАТЕЛЯМИ знаний для наилучшего решения проблем, мы должны как можно более ясно знать механизм, лежащий в основе концепции. Ясность понимания понятия имеет большое значение для укрепления нашей веры в понятие и, следовательно, нашей способности использовать понятие, когда оно действительно необходимо.

Пошаговая помощь по геометрии в Suresolv

Чтобы получить наилучшие результаты из обширного ассортимента статей учебников , вопросов и решений по геометрии в Suresolv, следуйте руководству, ₁2 Руководство по сдаче экзаменов SSC CHSL, SSC CGL, SSC CGL Tier II и других конкурсных экзаменов.

Список статей включает ВСЕ статьи по геометрии и соответствующие темы в Suresolv и актуален.

← →

Расчет площади | SkillsYouNeed

Площадь — это мера того, сколько места внутри фигуры. Вычисление площади формы или поверхности может быть полезно в повседневной жизни — например, вам может понадобиться знать, сколько краски нужно купить, чтобы покрыть стену, или сколько семян травы вам нужно, чтобы посеять газон.

На этой странице собрана основная информация, которую вам необходимо знать, чтобы понимать и вычислять площади обычных фигур, включая квадраты и прямоугольники, треугольники и круги.

Вычисление площади с использованием метода сетки

Когда фигура рисуется на масштабированной сетке, вы можете найти площадь, подсчитав количество квадратов сетки внутри фигуры.

В этом примере внутри прямоугольника 10 квадратов сетки.

Чтобы найти значение площади с помощью метода сетки, нам нужно знать размер, который представляет квадрат сетки.

В этом примере используются сантиметры, но тот же метод применяется для любой единицы длины или расстояния. Например, вы можете использовать дюймы, метры, мили, футы и т. д.

В этом примере каждый квадрат сетки имеет ширину 1 см и высоту 1 см. Другими словами, каждый квадрат сетки равен одному «квадратному сантиметру».

Подсчитайте квадраты сетки внутри большого квадрата, чтобы найти его площадь.

Имеется 16 маленьких квадратов, поэтому площадь большого квадрата составляет 16 квадратных сантиметров.

В математике квадратные сантиметры сокращаются до см ² . ² означает «квадратный».

Каждый квадрат сетки равен 1 см ² .

Площадь большого квадрата 16см ² .

Подсчет квадратов на сетке для нахождения площади работает для всех фигур — если известны размеры сетки. Однако этот метод становится более сложным, когда фигуры не точно соответствуют сетке или когда вам нужно подсчитать доли квадратов сетки.

В этом примере квадрат не вписывается точно в сетку.

Мы все еще можем вычислить площадь, считая квадраты сетки.

Имеется 25 полных квадратов сетки (заштрихованы синим цветом).
10 половинных квадратов сетки (заштрихованы желтым цветом) – 10 половинных квадратов соответствуют 5 полным квадратам.
Существует также 1 четверть квадрата (заштриховано зеленым цветом) – (¼ или 0,25 целого квадрата).
Сложите целые квадраты и дроби вместе: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.

Следовательно, площадь этого квадрата равна 30,25 см ² .

Вы также можете записать это как 30¼cm ² .

Хотя использование сетки и подсчет квадратов внутри фигуры — это очень простой способ изучения понятий площади, он менее полезен для нахождения точных площадей с более сложными формами, когда может быть много долей квадратов сетки, которые нужно сложить вместе.

Площадь можно рассчитать с помощью простых формул в зависимости от типа фигуры, с которой вы работаете.

Оставшаяся часть этой страницы объясняет и дает примеры того, как вычислить площадь фигуры без использования системы сетки.

Площади простых четырехугольников:

Квадраты, прямоугольники и параллелограммы

Простейшие (и наиболее часто используемые) вычисления площадей предназначены для квадратов и прямоугольников.

Чтобы найти площадь прямоугольника, умножьте его высоту на ширину.

Площадь прямоугольника = высота × ширина

Для квадрата вам нужно только найти длину одной из сторон (поскольку каждая сторона имеет одинаковую длину), а затем умножить это само на себя, чтобы найти площадь. Это то же самое, что сказать длину ² или длина в квадрате.

Хорошей практикой является проверка того, что фигура на самом деле является квадратом, путем измерения двух сторон. Например, стена комнаты может выглядеть как квадрат, но когда вы ее измерите, вы обнаружите, что на самом деле это прямоугольник.

Часто в реальной жизни формы могут быть более сложными. Например, представьте, что вы хотите найти площадь пола, чтобы заказать нужное количество ковра.

Типовой план помещения не может состоять из простого прямоугольника или квадрата:

В этом и других подобных примерах хитрость заключается в том, чтобы разбить фигуру на несколько прямоугольников (или квадратов). Неважно, как вы разделите фигуру — любое из трех решений приведет к одному и тому же ответу.

Решение 1 и 2 требуют, чтобы вы сделали две фигуры и сложили их площади вместе, чтобы найти общую площадь.

Для решения 3 вы делаете большую фигуру (A) и вычитаете из нее меньшую фигуру (B), чтобы найти площадь.

Другая распространенная проблема заключается в том, чтобы найти область границы — фигура внутри другой фигуры.

В этом примере показан путь вокруг поля шириной 2 метра.

Опять же, в этом примере есть несколько способов определить площадь пути.

Вы можете просмотреть путь как четыре отдельных прямоугольника, вычислить их размеры, затем их площадь и, наконец, сложить площади вместе, чтобы получить общую сумму.

Более быстрым способом было бы определить площадь всей фигуры и площадь внутреннего прямоугольника. Вычтите внутреннюю площадь прямоугольника из целого, оставив площадь пути.

Площадь всей фигуры 16 м × 10 м = 160 м ² .
Мы можем вычислить размеры средней секции, потому что знаем, что путь по краю имеет ширину 2 м.
Ширина всей фигуры 16 м, а ширина пути по всей фигуре 4 м (2 м слева от фигуры и 2 м справа). 16м — 4м = 12м
То же самое можно сделать для высоты: 10 м — 2 м — 2 м = 6 м
Итак, мы подсчитали, что средний прямоугольник имеет размеры 12 м × 6 м.
Таким образом, площадь среднего прямоугольника равна: 12 м × 6 м = 72 м ² .
Наконец, мы отделяем площадь среднего прямоугольника от площади всей фигуры. 160 — 72 = 88м ² .

Площадь пути 88 м ² .

Параллелограмм — это четырехсторонняя фигура с двумя парами сторон одинаковой длины. Прямоугольник по определению является разновидностью параллелограмма. Однако большинство людей склонны думать о параллелограммах как о четырехгранных фигурах с наклонными линиями, как показано здесь.

Площадь параллелограмма вычисляется так же, как и для прямоугольника (высота × ширина), но важно понимать, что под высотой подразумевается не длина вертикальных (или не вертикальных) сторон, а расстояние между сторонами .

Из диаграммы видно, что высота — это расстояние между верхней и нижней сторонами фигуры, а не длина стороны.

Представьте воображаемую линию под прямым углом между верхней и нижней сторонами. Это высота.

Вычисление площади треугольников

Треугольник можно представить как половину квадрата или параллелограмма.

Предполагая, что вы знаете (или можете измерить) размеры треугольника, вы можете быстро определить его площадь, используя следующую формулу:

Площадь треугольника = (высота × ширина) ÷ 2.

Другими словами, вы можете вычислите площадь треугольника так же, как площадь квадрата или параллелограмма, а затем просто разделите ответ на 2.

Высота треугольника измеряется как прямоугольная линия от нижней линии (основания) до «вершины» (верхней точки) треугольника.

Вот несколько примеров:

Площадь трех треугольников на диаграмме выше одинакова.

Каждый треугольник имеет ширину и высоту 3 см.

Площадь вычисляется:

(высота × ширина) ÷ 2

3 × 3 = 9

9 ÷ 2 = 4,5

Площадь каждого треугольника составляет 4,5 см ² .

В реальных ситуациях вы можете столкнуться с задачей, требующей нахождения площади треугольника, например:

Вы хотите покрасить фронтон сарая. Вы только хотите посетить отделочный магазин один раз, чтобы получить нужное количество краски. Вы знаете, что литр краски покроет 10м ² стены. Сколько краски нужно, чтобы покрыть фронтон?

Вам нужно три измерения:

A — Общая высота до вершины крыши.

B — Высота вертикальных стен.

C — Ширина здания.

В этом примере размеры:

A — 12,4 м

B — 6,6 м

C — 11,6 м

Следующий этап требует некоторых дополнительных расчетов. Думайте о здании как о двух формах, прямоугольнике и треугольнике. По имеющимся у вас измерениям вы можете рассчитать дополнительные измерения, необходимые для определения площади конца фронтона.

Размер D = 12,4 – 6,6

D = 5,8 м

Теперь можно вычислить площадь двух частей стены:

Площадь прямоугольной части стены: 6,6 × 11,6 = 76,56 м ²

Площадь

2 треугольная часть стены: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64 м

Сложите эти две площади вместе, чтобы найти общую площадь:

76,56 + 33,64 = 110,2 м ^{2 9017 _{366 _{366 _{366 _{366 _{366 _{366 известно, что один литр краски покрывает 10 м ² стены, поэтому мы можем вычислить, сколько литров нам нужно купить:}}}}}}}

110,2 ÷ 10 = 11,02 литра.

На самом деле вы можете обнаружить, что краска продается только в 5-литровых или 1-литровых банках, в результате получается чуть более 11 литров. У вас может возникнуть соблазн округлить до 11 литров, но если мы не разбавим краску водой, этого будет недостаточно. Таким образом, вы, вероятно, округлите до следующего целого литра и купите две 5-литровые банки и две 1-литровые банки, что в сумме составит 12 литров краски. Это позволит избежать любых потерь и оставит большую часть литра для подкрашивания позже. И не забывайте, если вам нужно нанести более одного слоя краски, вы должны умножить количество краски на один слой на необходимое количество слоев!

Площади кругов

Чтобы вычислить площадь круга, нужно знать его диаметр или радиус .

Диаметр окружности — это длина прямой линии от одной стороны окружности до другой, проходящей через центральную точку окружности. Диаметр в два раза больше длины радиуса (диаметр = радиус × 2)

Радиус окружности — это длина прямой линии от центральной точки окружности до ее края. Радиус равен половине диаметра. (радиус = диаметр ÷ 2)

Вы можете измерить диаметр или радиус в любой точке окружности – важно измерять с помощью прямой линии, которая проходит через (диаметр) или заканчивается (радиус) в центре окружности.

На практике при измерении окружностей часто проще измерить диаметр, чем разделить его на 2, чтобы найти радиус.

Радиус нужен для вычисления площади круга, формула такова:

Площадь круга = πR ² .

Это означает:

π = Pi — константа, равная 3,142.

R = радиус окружности.

R ² (радиус в квадрате) означает радиус × радиус.

Следовательно, круг с радиусом 5 см имеет площадь:

3,142 × 5 × 5 = 78,55 см ² .

Круг диаметром 3м имеет площадь:

Сначала вычисляем радиус (3м ÷ 2 = 1,5м)

Затем применяем формулу:

πR ²

3,142 × 1,5 × 1,5 = 7,0695.

Площадь круга диаметром 3 м равна 7,0695 м ² .

Заключительный пример

Этот пример использует большую часть содержимого этой страницы для решения простых задач с площадями.

Это дом Рубена М. Бенджамина в Блумингтоне, штат Иллинойс, внесенный в Национальный реестр исторических мест США (регистрационный номер: 376599).

Этот пример включает в себя нахождение площади фасада дома, деревянной решетчатой части, исключая дверь и окна. Вам нужны следующие мерки:

А – 9,7 м Б – 7,6 м

С – 8,8 м Г – 4,5 м

В – 2,3 м В – 2,7 м

Г – 1,2 м В – 1,0 м

Примечания:

Все измерения являются приблизительными.

О бордюре вокруг дома можно не беспокоиться – он не учитывался при измерениях.

Предполагается, что все прямоугольные окна имеют одинаковый размер.

Размер круглого окна — это диаметр окна.

Размеры двери включают ступени.

Какова площадь деревянной реечной части дома?

Вычисления и ответы ниже:

Ответы на приведенный выше пример

Сначала вычислите площадь основной формы дома – прямоугольника и треугольника, составляющих фигуру.

Основной прямоугольник (В × С) 7,6 × 8,8 = 66,88м ² .

Высота треугольника (A – B) 9,7 – 7,6 = 2,1.

Следовательно, площадь треугольника равна (2,1 × C) ÷ 2,
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24 м ² .

Суммарная полная площадь фасада дома равна сумме площадей прямоугольника и треугольника:

66,88 + 9,24 = 76,12 м ² .

Затем определите площади окон и дверей, чтобы их можно было вычесть из общей площади.

Площадь двери и ступеней (D × E) 4,5 × 2,3 = 10,35 м ² .

Площадь одного прямоугольного окна составляет (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24 м ² .

Пять прямоугольных окон. Умножьте площадь одного окна на 5.

3,24 × 5 = 16,2 м2. (общая площадь прямоугольных окон).

Круглое окно имеет диаметр 1 м, поэтому его радиус равен 0,5 м.

С помощью πR ² вычислить площадь круглого окна: 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0,7855 м ² .

Затем сложите площади дверей и окон.

(площадь дверей) 10,35 + (площадь прямоугольных окон) 16,2 + (площадь круглых окон) 0,7855 = 27,3355

Наконец, вычтите общую площадь окон и дверей из полной площади.

76,12 – 27,3355 = 48,7845

Площадь деревянного реечного фасада дома, а ответ на задачу: 48,7845м ² .

Вы можете округлить ответ до 48,8 м ² или 49 м ² .

См. нашу страницу по Оценка, приближение и округление .

Медиана треугольника, Указатель теорем и задач. Электронное обучение, геометрия колледжа онлайн.

Очки, теоремы и проблемы — Указатель.

Точка пересечения.

медиана
длина, теорема Аполлония

Центроид / Барицентр. Индекс.

Медианы.

GeoGebra, динамическая геометрия:
Центроид
треугольника.
Анимация HTML5 для планшетов (iPad, Nexus…)

Симмедиан (Лемуан)
Точка

Симмедиана — линия, симметричная медиане относительно
биссектриса угла, из которого проведена медиана.

Марион
Теорема Вальтера: площади треугольника и шестиугольника:
Использование программного обеспечения динамической геометрии TracenPoche.
Медианы.

Центр девяти точек, круг девяти точек, линия Эйлера.
Интерактивная иллюстрация.
Медиана.

Формула Герона с медианами.
Медианы.

Теорема Ньютона,
Линия Ньютона-Гаусса: теорема о полном четырехугольнике. Использование TracenPoche
Программное обеспечение для динамической геометрии, онлайн
Пошаговое строительство, манипуляции и анимация.
медианы.

Точки Фейербаха и круг из девяти точек с интерактивным
анимация, манипуляции и пошаговое строительство.

Геометрическая задача 1383.
Треугольник, Медиана, Окружность, Хорда, Секущая, Сумма, Произведение.

Геометрическая задача 1355.
Треугольник, Середина, Медиана, Окружность, Хорда, Равное произведение меры отрезков.

Геометрическая задача 1302.
Треугольник, Медиана, Середина, Окружности, Диаметры, Конгруэнтность.

Задача 1290 по геометрии.
Треугольник, Биссектриса внутреннего угла, Медиана, Параллель, Измерение, Метрические отношения.

Геометрическая задача 1273.
Окружность, Касательная, Секущая, Середина, Изогональные линии, Конгруэнтные углы.

Геометрическая задача 1272.
Равнобедренный треугольник, медиана, середина, перпендикуляр, 90 градусов, углы, конгруэнтность.

Геометрическая задача 1263.
Треугольник, медианы, 90 градусов, перпендикуляр.

Геометрическая задача 1262.
Равнобедренный треугольник, высота, медианы, 90 градусов, перпендикуляр.

Геометрическая задача 1128.
Прямоугольные треугольники, Медианы, Параллели, Углы, Конгруэнтность, Половина меры.

Геометрическая задача 1125.
Треугольник, четыре равносторонних треугольника, центроид, середина.

Задача по геометрии 1124.
Треугольник, медиана, два квадрата, площадь.

Задача геометрии
1053.
Треугольник, две перпендикулярные медианы, середина, конгруэнтность.

Задача геометрии
1007.
Шестиугольник, Середина, Треугольник, Медиана, Центроид, Параллелизм.

Геометрическая задача 999.
Прямоугольный треугольник, середина, медиана, двойной угол, конгруэнтность.

Задача 990 по геометрии.
Треугольник, Вписанная окружность, Медиана, Чевиана, Центральный угол, Конгруэнтность, Окружность, Секущая, Середина,
Параллельно.

Геометрическая задача 986.
Треугольник, медиана, середина, равные углы, 45 градусов.

Задача геометрии 928.
Треугольник, Середина, Медиана, Чевиана, Параллелизм, Площадь.

Задача по геометрии 896
Треугольник, Ортоцентр, Середина, Медиана, Пересекающиеся окружности, Диаметр, Коллинеарные точки.
GeoGebra, анимация HTML5 для планшетов

г.
Задача по геометрии 870
Треугольник, Медиана, Три квадрата, Центры, Вершины, Коллинеарные точки, Середина.

Задача по геометрии 867
Равнобедренный треугольник, медиана, перпендикуляр, угол, конгруэнтность.

г.

Задача по геометрии 860
Треугольник, Три медианы, Параллельность, Параллелограмм, Площадь, Конгруэнтность.

Задача по геометрии 857
Треугольник, Медиана, Середина, Углы, 30, 45 градусов, Конгруэнтность, Вспомогательные прямые.

Задача геометрии
802
Разносторонний треугольник, медиана, перпендикуляр, угол, измерение.

Задача геометрии
734.
Треугольник, Равнобедренный, Медиана, Параллельность, Биссектриса, Конгруэнтность, Середина.

Задача геометрии
714.
Треугольник, Параллельность, Чевианы, Середины, Медиана, Теорема Чевы.

Задача по геометрии 679.
Треугольник, Окружность, Медиана, Пропорция.

Проблема
572.
Прямоугольный треугольник, Медиана, Окружность, Диаметр, Внекруг, Касательные окружности.

Задача 528.
Треугольник, Медианы, Перпендикуляр, Измерение.

Предлагаемая задача 402.
Шестиугольник, Треугольник, Центроид, Параллельность, Конгруэнтность, Подобие.

Предлагаемая задача 263.
Треугольник, Медиана, Высота, Ортогональная проекция, Стороны.

Предлагаемая задача 255.
Треугольник, Центроид, Вершины, Точка, Расстояния, Квадраты.
Медиана.

Предлагаемая задача 254.
Треугольник, Центроид, Вершины, Точка, Расстояния, Квадраты.
Медиана.

Предлагаемая задача 253.
Треугольник, Центроид, Вершины, Расстояния, Квадраты.
Средние точки.

Предлагаемая задача 250.
Четырехугольник, стороны, диагонали, середины, квадраты.
Медиана.

Предлагаемая задача 176.
Четырехугольник с серединами, треугольниками, медианой и площадями.

Предлагаемая задача 175.
Четырехугольник с серединами, площадями.

Предлагаемая задача 174.
Четырехугольник с серединами, треугольниками, медианой и площадями.

Предлагаемая задача 173.
Четырехугольник с серединами, треугольниками, медианой и площадями.

Предлагаемая задача 172. Трапеция,
Середины, четырехугольники, площади.

Предлагаемая задача 171. Трапеция,
Середины, Треугольники,
Медиана, Области.

Предлагаемая задача 170. Трапеция,
Середина, Треугольник,
Медиана, Площадь.

Предлагаемая задача 161.
Параллелограмм, Середины, Восьмиугольник,
Медиана, Области.

Предлагаемая задача 151a>.
Четырехугольник, площадь, три сечения сторон.
Средние точки.

Предлагаемая задача 150.
Четырехугольник, площадь, три сечения сторон.
Средние точки.

Предполагаемая задача 149.
четырехугольник,
Медиана, Площадь, Середины.

Предлагаемая задача 148.
четырехугольник,
Медиана, Площадь, Середины.

Предлагаемая задача 147.
четырехугольник,
Медиана, Площадь, Середины, Треугольник.

Предлагаемая задача 146>. В. Вариньона
Теорема: Четырехугольник, Середины, Параллелограмм, Площадь, Периметр.

трапеция,
Треугольник, Диагонали, Середины.
Динамическая геометрия.
Пошаговое строительство, манипулирование и анимация.
Медиана.

Предлагаемая задача 108. Углы,
Треугольник, медиана.
Медиана.

Предлагаемая задача 98. Площадь четырехугольника, центроид, подобие, середины.

Предлагаемая задача 90.
Площади четырехугольника и треугольника, середины,
Медиана.

Предлагаемая задача 89. Треугольники равной площади, середины, медиана.

Предлагаемая задача 88.

No related posts.

Навигация по записям

Предыдущая статьяКакие четырехугольники имеют четыре прямых угла: Типы четырехугольников. Геометрия квадрат. Прямоугольник геометрии. Геометрия параллелограмм.

Следующая статьяКонвертировать doc в txt онлайн: Конвертировать DOC (WORD) в TXT онлайн — Convertio

Источник

Медиана треугольника

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Площади треугольников с медианой

§2. Площадь треугольника. Метод площадей

В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.

`S=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c`,	(1)
`S=1/2 ab sinC=1/2acsinB=1/2bcsinA`,	(2)
`S=pr`,	(3)
``S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))` – формула Герона,	(4)
`S=(abc)/(4R)`.	(5)

Для примера, рассмотрим два треугольника:

`DeltaABC:` `AB=13`, `BC=14`, `AC=15`;

`DeltaKML:` `KL=sqrt(13)`, `LM=sqrt(14)`, `KM=sqrt(15)`;

Надо найти площадь и радиус описанной окружности.

Для треугольника `ABC` удобен ход решения такой:

`p=1/2(AB+BC+AC)=21`, по формуле Герона

`S_(ABC)=sqrt(21*6*7*8)= ul(84)` и по формуле (5)

тогда `sinM=sqrt(1-64/(210))=(sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))` и по формуле (2):

тогда `R=(KL)/(2sinM)=ul((sqrt(13)*sqrt(14)*sqrt(15))/(2*sqrt(146)))=(sqrt(13)*sqrt7*sqrt(15))/(2*sqrt(73))` (точно также по формуле 5).

Сравнение площадей треугольников обычно опирается на одно из следующих утверждений:

$$ 2.<1>^<○>$$. Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как длины соответствующих оснований. В частности, если точка `D` лежит на основании `AC` (рис. 6а), то

$$ 2.<2>^<○>$$. Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (см. рис. 6б):

$$ 2.<3>^<○>$$. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их

сходственных сторон, т. е. если `Delta ABC

DeltaA_1B_1C_1`, то `(S_(A_1B_1C_1))/(S_(ABC))=((A_1B_1)/(AB))^2`.

Все эти утверждения легко доказываются с использованием соответственно формул площади (1) и (2).

Обратим внимание на важное свойство медиан треугольника.

Три медианы треугольника разбивают его на `6` треугольников с общей вершиной и равными площадями.

Докажем, например, для треугольника `BOM`, что `S_(BOM)=1/6S_(ABC)`.

Точка `M` – середина стороны `BC` (рис. 7б), по утверждению $$ 2.<1>^<○>$$ о сравнении площадей `S_(ABM)=1/2S`. Медиана `BN`, пересекая медиану `AM` в точке `O` (рис. 7в), делит её в отношении `AO:OM=2:1`, т. е. `OM=1/3AM`. По тому же утверждению $$ 2.<1>^<○>$$ площадь треугольника `BOM` составляет `1//3` площади треугольника `ABM`, т. е.

1. Обозначим `S_(ABC)=S`, `S_(DBKO)=sigma` и `S_(ADO)=a`. По утверждению $$ 2.<1>^<○>$$ имеем `S_(ABK)=a+sigma=3/5S` (так как `BK:BC=3:5`). Площадь `a` треугольника `ADO` найдём как часть площади треугольника `ADC`, зная, что `S_(ADC)=1/3S` (так как `AD:AB=1:3`).

По той же теореме (`/_DCB`, `OK“||“DL`) получим `(DO)/(DC)=(LK)/(LC)`, `DO=1/3DC`.

3. Теперь находим `S_(ADO):S_(ADC)=DO:DC`, `a=1/3(1/3S)=1/9S`.

(Можно по теореме Менелая для треугольника `BCD` и секущей `CD:`

`(BK)/(KC)*(CO)/(OD)*(DA)/(AB)=1 iff 3/2*(CO)/(OD)*1/3=1 iff CO=2OD=>OD=1/3DC`).

Находим площадь: `sigma=3/5S-a=(3/5-1/9)S=22/45S`.

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны `3` и `7`, а медиана к третьей стороне равна `4` (рис. 9).

В треугольнике `DBC` известны все три стороны: `BC=7`, `DC=3`, `BD=2BM=8`.

Находим его площадь по формуле Герона: `p=9`, `S_(BCD)=6sqrt3`.

Значит и `S_(ABC)=6sqrt3`.

Найти площадь треугольника, если его медианы равны `3`, `4` и `5`.

Пусть `O` – точка пересечения медиан треугольника `ABC` (рис. 10) и пусть `m_a=AM=3`, `m_b=BN=4` и `m_c=CP=5`.

Достроим треугольник `AOC` до параллелограмма `AOCD`, `S_(AOC)=S_(DOC)`, в треугольнике `DOC` известны три стороны:

`DO=2ON=2/3m_b`, `OC=2/3m_c`, `DC=AO=2/3m_a`.

Найти отношение площади `S` треугольника к площади `S_0` треугольника, составленного из медиан первого.

`S_(m_am_bm_c)=3/4S_(abc)`.

Проведём два примера, в каждом выведем полезную формулу.

В треугольнике `ABC` угол `C` равен `varphi`, `AC=b`, `BC=a` (рис. 12). Доказать, что биссектриса `CD` равна `(2ab)/(a+b) cos varphi/2`.

`x=(2ab)/(a+b)cos varphi/2`.

Вневписанная окружность касается стороны `a=BC` треугольника `ABC` (рис. 14). Доказать, что `S_(ABC)=r_a(p-a)`, где `2p=a+b+c`.

Считаем площадь `S_0` четырёхугольника `ABI_aC`:

`S_0=S_(ABC)+S_(BCI_a)` и `S_0=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)`, откуда

Медиана делит площадь треугольника пополам

Медиана делит площадь треугольника пополам

Два треугольника называются равновеликими. Если они имеют одинаковую площадь.

Теорема 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть ВМ – медиана треугольника АВС. Докажем, что

Проведем высоту BH треугольника АВС. Тогда

Так как ВМ – медиана треугольника АВС, то АМ=МС, поэтому

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Пусть в треугольнике АВС медианы АМ и ВЕ равны 3 и 4 соответственно, , К – точка пересечения медиан.

Так как треугольник АВК прямоугольный с прямым углом ВКА, то .

Так как медиан делят треугольник на 6 равновеликих частей, то .

Задача 2 Медианы треугольника равны 6, 8 и 10, найти площадь треугольника.

Рассмотрим треугольник KAF.

то

Вычислим площадь треугольника AKF:

Теперь сравним площади треугольников AKF и АВС: так как AE – медиана треугольника AKF, то

, ,

Отметим, что задачу можно решить по-другому, если воспользоваться тем фактом, что:

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Вопросы для самопроверки:

1. Какие треугольники называются равновеликими?

3. На сколько равновеликих частей разбивают треугольник проведенные в нем три медианы?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 8. Найти площадь треугольника.

2. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 найти площадь треугольника.

[spoiler title=”источники:”]

http://zftsh.online/articles/5257

http://pandia.ru/text/78/448/58035.php

[/spoiler]

Источник

Как найти площадь треугольника через три его медианы?

Можно просто найти площадь этого треугольника, а можно попробовать формулу вывести (если очень хочется)

Но захочется не всем. И искать формулу площади треугольника в интернете – не стоит. Не честно и не интересно.

И да, наконец без трапеций. Вообще. Или почти без трапеций.

Посмотрите на это короткое, простое и понятное условие. Тут не запутаешься. Но подсказки всё равно будут, но после условия.

Условие

Медианы треугольника равны 3, 4 и 5. Найдите площадь треугольника.

Подсказки

для одного из возможных решений, начать лучше со свойства медиан и того, как они делятся (2:1 от вершины). Через пропорциональные отрезки можно узнать отношение площадей всех получившихся треугольников (площади будут равны). Ну а дальше можно составить уравнение через площадь по формуле Герона в любых двух треугольниках.

#задача #задачи #огэ по математике #егэ по математике

Источник

§2. Площадь треугольника. Метод площадей

1. Формула площади треугольника по основанию и высоте

2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)

4. Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам

5. Формула площади прямоугольного треугольника по одному катету и прилежащему углу

6. Формула площади равностороннего треугольника по его стороне

7. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности

8. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности

9. Формула площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

10. Формула площади равнобедренного треугольника

11. Формула площади треугольника, который задан координатами своих вершин на плоскости

12. Формула площади треугольника, стороны которого заданы векторами

13. Формула площади треугольника по трём медианам

14. Формула площади треугольника по трём высотам

15. Формула площади треугольника по радиусу описанной окружности и всем углам

16. Формула площади треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге

По каким формулам можно вычислить площадь треугольника

1. Формула площади треугольника по основанию и высоте

2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)

4. Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам

5. Формула площади прямоугольного треугольника по одному катету и прилежащему углу

7. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности

8. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности

9. Формула площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

11. Формула площади треугольника, который задан координатами своих вершин на плоскости

12. Формула площади треугольника, стороны которого заданы векторами

13. Формула площади треугольника по трём медианам

16. Формула площади треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге

Даны медианы треугольника найти площадь треугольника

рПДУЛБЪЛБ

тЕЫЕОЙЕ

УСЛОВИЕ:

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Медиана треугольника. Теорема равнобедренного треугольника.

Площадь треугольника онлайн расчет

Площадь через высоту и основание

площадь через стороны треугольника

Площадь через координаты вершин

Площадь через две стороны и угол между ними

Площадь через сторону и два угла

Площадь через медианы треугольника

Площадь через высоты треугольника

Ошибка 404 — Страница не найдена

Архивы

Рубрики

Страницы

Медианы треугольника пересекаются в отношении

Другие свойства [ править | править код ]

Все о медианах

Элементарная геометрия

Векторная алгебра

Барицентрические координаты

Теорема Чева

Комплексные номера

Аффинная геометрия

Центроид треугольника | Brilliant Math & Science Wiki

Содержимое

Центроид делит площадь треугольника на 3 или 6 равных частей

Как три медианы, сходящиеся в центроиде, делят площадь треугольника на 3 и 6 равных частей и свойства чевиан

Медиана делит треугольник на 2 части равной площади

Концепция соотношения площади к основанию

Доказательство концепции отношения площади к основанию

Все три медианы вместе делят треугольник на 6 равных частей, доказательство

Три отрезка от вершины к центроиду делят треугольник на 3 равные части

Подобие треугольника, богатая концепция, механизм

Первичная форма концепции, богатой сходством треугольника

Концепция отношения площади к сегменту Cevian, доказательство

Частный случай центроида как чевианской точки на медиане, в данном случае чевиана

Дополнительные полезные отношения между площадями треугольников, образованных медианами в центре тяжести

Площадь $треугольника GFP$ относительно площади $треугольника GFE$

Площадь $треугольника GFE$ относительно площади $треугольника ABC$

Вертикальное отражение $треугольника GFP$ с перемещением вершины вдоль медианы

Площадь треугольника, полученная из длин его медиан, доказательство

Построение медианного треугольника

Площадь равностороннего треугольника по его сторонам и медианам 92$, где $a$ — длина стороны равностороннего $треугольника ABC$, а $m$ — длина всех трех его медиан.

Пошаговая помощь по геометрии в Suresolv

Расчет площади | SkillsYouNeed

Вычисление площади с использованием метода сетки