Как найти площодь треугольника

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

Определение треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая образуется в результате пересечения трех отрезков, концы которых не лежат на одной прямой. У любого треугольника есть три стороны, три вершины и три угла.

Онлайн-калькулятор площади треугольника

Треугольники бывают различных видов. Например, существует равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны равны), равнобедренный (в нем равны две стороны) и прямоугольный (в котором один из углов прямой, т. е. равен 90 градусам).

Площадь треугольника можно найти различными способами в зависимости от того, какие элементы фигуры известны по условию задачи, будь то углы, длины, либо же вообще радиусы окружностей, связанных с треугольником. Рассмотрим каждый способ отдельно с примерами.

Формула площади треугольника по основанию и высоте

S=12⋅a⋅hS= frac{1}{2}cdot acdot h,

aa — основание треугольника;
hh — высота треугольника, проведенная к данному основанию a.

Пример

Найти площадь треугольника, если известна длина его основания, равная 10 (см.) и высота, проведенная к этому основанию, равная 5 (см.).

Решение

a=10a=10
h=5h=5

Подставляем в формулу для площади и получаем:
S=12⋅10⋅5=25S=frac{1}{2}cdot10cdot 5=25 (см. кв.)

Ответ: 25 (см. кв.)

Формула площади треугольника по длинам всех сторон

S=p⋅(p−a)⋅(p−b)⋅(p−c)S= sqrt{pcdot(p-a)cdot (p-b)cdot (p-c)},

a,b,ca, b, c — длины сторон треугольника;
pp — половина суммы всех сторон треугольника (то есть, половина периметра треугольника):

p=12(a+b+c)p=frac{1}{2}(a+b+c)

Эта формула называется формулой Герона.

Пример

Найти площадь треугольника, если известны длины трех его сторон, равные 3 (см.), 4 (см.), 5 (см.).

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5

Найдем половину периметра pp:

p=12(3+4+5)=12⋅12=6p=frac{1}{2}(3+4+5)=frac{1}{2}cdot 12=6

Тогда, по формуле Герона, площадь треугольника:

S=6⋅(6−3)⋅(6−4)⋅(6−5)=36=6S=sqrt{6cdot(6-3)cdot(6-4)cdot(6-5)}=sqrt{36}=6 (см. кв.)

Ответ: 6 (см. кв.)

Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам

S=a22⋅sin⁡βsin⁡γsin⁡(β+γ)S=frac{a^2}{2}cdot frac{sin{beta}sin{gamma}}{sin(beta+gamma)},

aa — длина стороны треугольника;
β,γbeta, gamma — углы, прилежащие к стороне aa.

Пример

Дано сторону треугольника, равную 10 (см.) и два прилежащих к ней угла по 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

a=10a=10
β=30∘beta=30^{circ}
γ=30∘gamma=30^{circ}

По формуле:

S=1022⋅sin⁡30∘sin⁡30∘sin⁡(30∘+30∘)=50⋅123≈14.4S=frac{10^2}{2}cdot frac{sin{30^{circ}}sin{30^{circ}}}{sin(30^{circ}+30^{circ})}=50cdotfrac{1}{2sqrt{3}}approx14.4 (см. кв.)

Ответ: 14.4 (см. кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

S=a⋅b⋅c4RS=frac{acdot bcdot c}{4R},

a,b,ca, b, c — стороны треугольника;
RR — радиус описанной окружности вокруг треугольника.

Пример

Числа возьмем из второй нашей задачи и добавим к ним радиус RR окружности. Пусть он будет равен 10 (см.).

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
R=10R=10

S=3⋅4⋅54⋅10=6040=1.5S=frac{3cdot 4cdot 5}{4cdot 10}=frac{60}{40}=1.5 (см. кв.)

Ответ: 1.5 (см.кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

S=p⋅rS=pcdot r,

pp — половина периметра треугольника:

p=a+b+c2p=frac{a+b+c}{2},

a,b,ca, b, c — стороны треугольника;
rr — радиус вписанной в треугольник окружности.

Пример

Пусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи.

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
r=2r=2

p=3+4+52=6p=frac{3+4+5}{2}=6

S=6⋅2=12S=6cdot 2=12 (см. кв.)

Ответ: 12 (см. кв.)

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

S=12⋅b⋅c⋅sin⁡(α)S=frac{1}{2}cdot bcdot ccdotsin(alpha),

b,cb, c — стороны треугольника;

αalpha — угол между сторонами bb и cc.

Пример

Стороны треугольника равны 5 (см.) и 6 (см.), угол между ними равен 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

b=5b=5
c=6c=6
α=30∘alpha=30^{circ}

S=12⋅5⋅6⋅sin⁡(30∘)=7.5S=frac{1}{2}cdot 5cdot 6cdotsin(30^{circ})=7.5 (см. кв.)

Ответ: 7.5 (см. кв.)

Контрольная по геометрии недорого на сервисе Студворк от профильных экспертов!

Тест на тему “Плошадь треугольника”

Формулы площади треугольника

Через основание и высоту

$$S= frac{1}{2} ah $$
(S) — площадь треугольника

(a) — основание

(h) — высота

(a =)   
(h =)

---

Через две стороны и угол

$$S= frac{1}{2} ab sin alpha $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

( alpha ) — угол между сторонами (a) и (b)

(a =)   
(b =)   
( alpha =)

---

Формула Герона

$$S= sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(c) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})

(a =)   
(b =)   
(c =)

---

Через радиус вписанной окружности

$$S= rp $$
(S) — площадь треугольника

(r) — радиус вписанной окружности

(a) — сторона

(b) — сторона

(c) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})

(r =)   
(p =)

---

Через радиус описанной окружности

(S= frac{abc}{4R} )

(S) — площадь треугольника

(R) — радиус описанной окружности

(a) — сторона

(b) — сторона

(c) — сторона

(a =)  
(b =)

(c =)  
(R =)

---

Площадь прямоугольного треугольника

$$S= frac{1}{2} ab $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(a =)   
(b =)

---

Площадь прямоугольного треугольника

$$S= de $$
(S) — площадь треугольника

(d =)   
(e =)

---

Формула Герона для прямоугольного треугольника

$$ S= (p-a)(p-b) $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})

(a =)   
(b =)   
(p =)

---

Площадь равнобедренного треугольника

$$S= frac{1}{2} a^2 sin alpha$$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами

(a =)   
( alpha =)

---

Площадь равнобедренного треугольника

<
$$S= frac{1}{2} ab sin alpha $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами и основанием

(a =)   
(b =)   
( alpha =)

---

Площадь равнобедренного треугольника

$$S= frac{b^2}{4tg frac{ alpha }{2}} $$
(S) — площадь треугольника

(b) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами и основанием

(b =)   
(alpha =)

---

Формула Герона для равнобедренного треугольника

a =   
b =

---

Площадь равностороннего треугольника

$$S= frac{ sqrt{3}a^2}{4} $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(a =)

---

Площадь равностороннего треугольника

$$S= frac{3 sqrt{3}R^2}{4}$$
(S) — площадь треугольника

(R) — радиус описанной окружности

(R =)

---

Площадь равностороннего треугольника

$$S= 3 sqrt{3}r^2 $$
(S) — площадь треугольника

(r) — радиус вписанной окружности

(r =)

---

Площадь равностороннего треугольника

$$S= frac{h^2}{sqrt{3}}$$
(S) — площадь треугольника

(h) — высота

(h =)