Как найти площу сектора круга

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их практического применения.

  • Определение сектора круга

  • Формулы нахождения площади сектора круга

    • Через длину дуги и радиус круга

    • Через угол сектора (в градусах) и радиус круга

    • Через угол сектора (в радианах) и радиус круга

  • Примеры задач

Определение сектора круга

Сектор круга – это часть круга, образованная двумя его радиусами и дугой между ними. На рисунке ниже сектор закрашен зеленым цветом.

Сектор круга

  • AB – дуга сектора;
  • R (или r) – радиус круга;
  • α – это угол сектора, т.е. угол между двумя радиусами. Также его иногда называют центральным углом.

Формулы нахождения площади сектора круга

Через длину дуги и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется одной второй произведения длины дуги сектора (L) и радиуса круга (r).

Формула расчета площади сектора круга через длину дуги и радиус

Через угол сектора (в градусах) и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется площади круга, умноженной на угол сектора в градусах (α°) и деленной на 360°.

Формула расчета площади сектора круга через угол сектора в градусах и радиус

Через угол сектора (в радианах) и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется половине произведения угла сектора в радианах (aрад) и квадрата радиуса круга.

Формула расчета площади сектора круга через угол сектора в радианах и радиус

Примеры задач

Задание 1
Дан круг радиусом 6 см. Найдите площадь сектора, если известно, что длина его дуги составляет 15 см.

Решение
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее заданные значения:

Пример расчета площади сектора круга

Задание 2
Найдите угол сектора, если известно, что его площадь равна 78 см2, а радиус круга – 8 см.

Решение
Выведем формулу для нахождения центрального угла из второй формулы, рассмотренной выше:

Пример нахождения центрального угла сектора круга

Определение сектора круга

Круговой сектор — часть круга, которая ограничена дугой этого самого круга и двумя радиусами.

Онлайн-калькулятор площади сектора круга

Возьмем две произвольные точки, лежащие на границе круге. Они делят ее на две разные части, которые могут быть как одинаковыми по длине, так и разными. Эти части называются дугами круга.

Дуги равны по длине, когда равны углы, с помощью которых они образованы.

Рассмотрим задачу о нахождении площади сектора круга.
площадь треугольника

Формула площади сектора круга по радиусу и длине дуги

S=12⋅r⋅lS=frac{1}{2}cdot rcdot l

rr — радиус круга;
ll — длина дуги.

Рассмотрим решение задачи.

Пример

Найдите площадь кругового сектора, если известно, что длина дуги равна 20 (см.), а радиус круга равен 5 (см.).

Решение

r=5r=5
l=20l=20

В данной задаче сразу можно подставить наши числа в исходную формулу и вычислить площадь:
S=12⋅r⋅l=12⋅5⋅20=50S=frac{1}{2}cdot rcdot l=frac{1}{2}cdot 5cdot 20=50 (см. кв.)

Ответ: 50 см. кв.

Формула площади сектора круга по радиусу и угла в радианах

S=12⋅r2⋅αS=frac{1}{2}cdot r^2cdot alpha

rr — радиус круга;
αalpha — центральный угол, измеряемый в радианах.

Пример решения задачи.

Пример

Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен 8 (см.), а центральный угол кругового сектора равен π2frac{pi}{2} радиан.

Решение

r=8r=8

α=π2alpha=frac{pi}{2} рад.

По формуле получаем:

S=12⋅r2⋅α=12⋅82⋅π2≈50.2S=frac{1}{2}cdot r^2cdot alpha=frac{1}{2}cdot 8^2cdotfrac{pi}{2}approx50.2 (см. кв.)

Ответ: 50.2 см.кв.

Формула площади сектора круга по радиусу и углу в градусах

S=π360⋅r2⋅αS=frac{pi}{360}cdot r^2cdot alpha

rr — радиус круга;

αalpha — центральный угол, измеряемый в градусах.

Эту формулу можно получить используя связь между радианами и градусами:

2π рад.=360∘2pitext{ рад.}=360^{circ}

Пример

Найти площадь кругового сектора, если дан радиус круга равный 10 (см.), а центральный угол сектора равен 180180 градусов.

Решение

r=10r=10
α=180∘alpha=180^{circ}

Площадь данного сектора:
S=π360⋅r2⋅α=π360⋅102⋅180∘≈157S=frac{pi}{360}cdot r^2cdot alpha=frac{pi}{360}cdot 10^2cdot 180^{circ}approx157 (см. кв.)

Ответ: 157 см. кв.

Решение задач по геометрии онлайн от экспертов сайта Студворк!

Тест по теме “Площадь сектора круга”

Здесь вы можете рассчитать площадь сектора круга с помощью удобного онлайн калькулятора по двум формулам. Для этого необходимо ввести известные вам параметры фигуры:

  • радиус круга и угол,
  • длину дуги и радиус.

Сектор круга или окружности – это его(её) часть, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга (окружности).

Содержание:
  1. калькулятор площади сектора круга
  2. формула площади сектора круга через радиус и угол
  3. формула площади сектора круга через радиус и длину дуги
  4. примеры задач

Формула площади сектора круга через радиус и угол

Площадь сектора круга через радиус и угол

S = pi R^2 dfrac{alpha °}{360°}
S = dfrac{alpha}{2} R^2

R – радиус сектора

α° – угол сектора (в градусах)

α – угол сектора (в радианах)

Формула площади сектора круга через радиус и длину дуги

Площадь сектора круга через радиус и длину дуги

S = dfrac{1}{2}LR

L – длина дуги сектора

R – радиус сектора

Примеры задач на нахождение площади сектора круга

Задача 1

Найдите площадь сектора круга радиуса 1 длина дуги которого равна 2.

Решение

Для решения задачи нам подойдет вторая формула.

S = dfrac{1}{2}LR = dfrac{1}{2} cdot 2 cdot 1 = dfrac{1}{2} cdot 2 = 1 : см^2

Ответ: 1 : см^2

Давайте проверим ответ с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь сектора круга радиуса 24 длина дуги которого равна 3.

Решение

Задача аналогична предыдущей.

S = dfrac{1}{2}LR = dfrac{1}{2} cdot 3 cdot 24 = dfrac{1}{2} cdot 72 = 36 : см^2

Ответ: 36 : см^2

Проверка .

Задача 3

Найдите площадь кругового сектора если радиус круга равен 3, а угол сектора равен 120°.

Решение

Для решения этой задачи нам потребуется первая формула, в которой угол указывается в градусах.

S = pi R^2 dfrac{alpha °}{360°} = pi cdot 3^2 cdot dfrac{120°}{360°} = pi cdot 9 cdot dfrac{1}{3} = 3 pi : см^2 approx 9.42478 : см^2

Ответ: 3 pi : см^2 approx 9.42478 : см^2

Проверка .

Как рассчитать площадь сектора круга

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь сектора круга онлайн. Для расчета задайте радиус, длину дуги или угол сектора круга.

Сектор круга – это часть круга, окружности ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги.

Через длину дуги и радиус


Площадь сектора круга


Формула для нахождения площади сектора круга:

l – длина дуги окружности; r – радиус окружности.


Через угол и радиус


Площадь сектора круга


Формула для нахождения площади сектора круга:

 — в градусах;

 — в радианах;

π – константа равная (3.14); α – угол сектора круга; r – радиус окружности.

Площадь круга и сектора круга

  1. ПЛОЩАДЬ КРУГА

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса окружности и числа π.

(S = pi R^{2})

  1. ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА

Сектор – это часть круга, которая ограничена дугой и двумя радиусами.

Чтобы понять, какую площадь занимает сектор, нужно понять, какую часть круга этот сектор занимает. Если сектор занимает половину круга, он выглядит так:

Понятно, что у такого полукруга (alpha = 180⁰,) т.к. два радиуса, ограничивающих сектор образуют диаметр. Получается, что

(frac{alpha}{360{^circ}} = frac{180{^circ}}{360{^circ}} = frac{1}{2})

Значит угол сектора напрямую связан с площадью, которую он занимает. В данном случае сектор занимает половину от круга, значит и его угол будет равен половине всего оборота круга – половине от 360⁰.

Если мы рассмотрим сектор, который занимает четверть от круга, получится, что его тоже будет являться четвертью от 360⁰

(frac{alpha}{360{^circ}} = frac{90{^circ}}{360{^circ}} = frac{1}{4})

Поэтому, для того чтобы найти площадь сектора, нужно найти площадь круга и умножите её на долю сектора, который на этот круг приходится:

(S = pi R^{2} bullet frac{alpha}{360{^circ}})

где (frac{alpha}{360⁰}) показывает, какую часть от круга занимает сектор

Площадь сектора круга равна произведению площади круга на отношение градусной меры дуги этого сектора к 360⁰.

(S = pi R^{2} bullet frac{alpha}{360{^circ}})

Добавить комментарий