Как найти плоские углы треугольника

Как найти плоские углы треугольника

Укажите размеры:

Результат:

Решение:

Скопировать

Ссылка на страницу с результатом:

# Теория

Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние, при этом один из углов прямой (равен 90°).

β
α

a
b
c

Тангенс угла tg(α) — это тригонометрическая функция выражающая отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.

Формула тангенса

tg alpha = dfrac{a}{b}

  • tg α – тангенс угла α
  • a – противолежащий катет
  • b – прилежащий катет

Арктангенс — это обратная тригонометрическая функция. Арктангенсом числа x называется такое значение угла α, выраженное в радианах, для которого tg α = x. Вычислить арктангенс, означает найти угол α, тангенс которого равен числу x.

Углы треугольника

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов:

angle alpha + angle beta + angle gamma = 180°

Так как у прямоугольного треугольника один из углов равен 90°, то сумма двух других углов равна 90°.

Поэтому, если известен один из острых углов треугольника, второй угол можно посчитать по формуле:

angle alpha = 90° – angle beta

angle beta = 90° – angle alpha

Острый угол — угол, значение которого меньше 90°.

У прямоугольного треугольника один угол прямой, а два других угла – острые.

Похожие калькуляторы:

Войдите чтобы писать комментарии

Источник

Как найти углы прямоугольного треугольника

  1. Главная
  2. /
  3. Математика
  4. /
  5. Геометрия
  6. /
  7. Как найти углы прямоугольного треугольника

Чтобы найти углы прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Прямоугольный треугольник

Чтобы найти острые углы прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для угла α:
    • угол β
    • длины катетов a и b
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
  • для угла β:
    • угол α
    • длины катетов a и b
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти угол α зная угол β и наоборот

Если ∠β = , то ∠α =

0

Если ∠α = , то ∠β =

0

Формула

α = 90° – β

β = 90° – α

Найти углы прямоугольного треугольника зная катеты

Катет a =
Катет b =

∠α =

0

∠β =

0

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

Формулы

или так:

α = arctg(a/b)

β = arctg(b/a)

Пример

Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если катет a = 5 см, а катет b = 2 см:

∠α = arctg(5/2) = arctg(2.5) ≈ 68.2°

∠β = arctg(2/5) = arctg(0.4) ≈ 21.8°

Найти углы прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Гипотенуза c =
Катет =

∠α =

0

∠β =

0

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны гипотенуза c и один из катетов (a или b)?

Формулы

sin(α) = a/c

sin(β) = b/c

cos(α) = b/c

cos(β) = a/c

или так:

α = arcsin(a/c) = arccos(b/c)

β = arcsin(b/c) = arccos(a/c)

Пример

Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если гипотенуза c = 6 см, а катет b = 3 см:

∠α = arccos(3/6) = arccos(0.5) = 60°

∠β = arcsin(3/6) = arcsin(0.5) = 30°

См. также

Источник

Как найти величину угла треугольника

Плоский треугольник в евклидовой геометрии составляют три угла, образованные его сторонами. Величины этих углов можно рассчитать несколькими способами. В силу того, что треугольник – одна из простейших фигур, существуют несложные формулы расчета, которые еще более упрощаются, если их применять к правильным и симметричным многоугольникам этого рода.

Как найти величину угла треугольника

Инструкция

Если известны величины двух углов произвольного треугольника (β и γ), то величину третьего (α) можно определить исходя из теоремы о сумме углов в треугольнике. Она гласит, что эта сумма в евклидовой геометрии всегда равна 180°. То есть для нахождения единственного неизвестного угла в вершинах треугольника отнимайте от 180° величины двух известных углов: α=180°-β-γ.

Если речь идет о прямоугольном треугольнике, то для нахождения величины неизвестного острого угла (α) достаточно знать величину другого острого угла (β). Так как в таком треугольнике угол, лежащий напротив гипотенузы, всегда равен 90°, то для нахождения величины неизвестного угла отнимайте от 90° величину известного угла: α=90°-β.

В равнобедренном треугольнике тоже достаточно знать величину одного из углов, чтобы вычислить два других. Если известен угол (γ) между сторонами равной длины, то для вычисления обоих остальных углов найдите половину от разницы между 180° и величиной известного угла – эти углы в равнобедренном треугольнике будут равны: α=β=(180°-γ)/2. Из этого вытекает, что если известна величина одного из равных углов, то угол между равными сторонами можно определить как разницу между 180° и удвоенной величиной известного угла: γ=180°-2*α.

Если известны длины трех сторон (A, B, C) в произвольном треугольнике, то величину угла можно найти по теореме косинусов. Например, косинус угла (β), лежащего напротив стороны B, можно выразить как сумму возведенных в квадрат длин сторон A и C, уменьшенную на возведенную в квадрат длину стороны B и поделенную на удвоенное произведение длин сторон A и C: cos(β)=(A²+C²-B²)/(2*A*C). А чтобы найти величину угла, зная чему равен его косинус, надо найти его арк-функцию, то есть арккосинус. Значит β=arccos((A²+C²-B²)/(2*A*C)). Аналогичным способом можно найти величины углов, лежащих напротив остальных сторон в этом треугольнике.

Источники:

  • величины углов

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Исторический термин «решение треугольников» (лат. solutio triangulorum) обозначает решение следующей тригонометрической задачи: найти остальные стороны и/или углы треугольника по уже известным[1]. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь и т. д.), а также на случай, когда треугольник располагается не на евклидовой плоскости, а на сфере (сферический треугольник), на гиперболической плоскости (гиперболический треугольник) и т. п. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях — например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Решение плоских треугольников[править | править код]

Стандартные обозначения в треугольнике

У треугольника[2] общего вида имеется 6 основных элементов: 3 линейные (длины сторон a,b,c) и 3 угловые (alpha ,beta ,gamma ). Сторону, противолежащую углу при вершине, традиционно обозначают той же буквой, что и эта вершина, но не заглавной, а строчной (см. рисунок). В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому далее предполагается, что хотя бы одна из известных величин — линейная[3].

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Поскольку вариант «заданы три угла» исключён из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов[4]:

  • три стороны;
  • две стороны и угол между ними;
  • две стороны и угол напротив одной из них;
  • сторона и два прилежащих угла;
  • сторона, противолежащий угол и один из прилежащих.

Основные теоремы[править | править код]

Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников[5]:

Теорема косинусов
{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccdot cos alpha }
{displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accdot cos beta }
{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcdot cos gamma }
Теорема синусов
{frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {c}{sin gamma }}
Сумма углов треугольника
alpha +beta +gamma =180^{circ }

Из других иногда полезных на практике универсальных соотношений следует упомянуть теорему тангенсов, теорему котангенсов, теорему о проекциях и формулы Мольвейде.

Замечания[править | править код]

  1. Для нахождения неизвестного угла надёжнее использовать теорему косинусов, а не синусов, потому что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла, поскольку смежные углы имеют один и тот же синус[6]. Например, если sin beta =0{,}5, то угол beta может быть как 30^{circ }, так и 150^{circ }, потому что синусы этих углов совпадают. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный. С косинусом такие проблемы не возникают: в интервале от 0^{circ } до 180^{circ } значение косинуса определяет угол однозначно.
  2. При построении треугольников важно помнить, что зеркальное отражение построенного треугольника тоже будет решением задачи. Например, три стороны однозначно определяют треугольник с точностью до отражения.
  3. Все треугольники подразумеваются невырожденными, то есть длина стороны не может быть нулевой, а величина угла — положительное число, меньшее, чем 180^{circ }.

Три стороны[править | править код]

Пусть заданы длины всех трёх сторон a,b,c. Условие разрешимости задачи — выполнение неравенства треугольника, то есть каждая длина должна быть меньше, чем сумма двух других длин:

{displaystyle a<b+c,quad b<a+c,quad c<a+b.}

Чтобы найти углы alpha ,beta , надо воспользоваться теоремой косинусов[7]:

{displaystyle alpha =arccos {frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}},quad beta =arccos {frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.}

Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна {displaystyle 180^{circ }colon }

{displaystyle gamma =180^{circ }-(alpha +beta ).}

Не рекомендуется второй угол находить по теореме синусов, потому что, как указано в замечании 1, существует опасность спутать тупой угол с острым. Этой опасности не возникнет, если первым определить, по теореме косинусов, наибольший угол (он лежит против наибольшей из сторон) — два других угла точно являются острыми, и применение к ним теоремы синусов безопасно.

Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам — использование теоремы котангенсов.

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними[править | править код]

Пусть для определённости известны длины сторон a,b и угол gamma между ними. Этот вариант задачи всегда имеет единственное решение. Для определения длины стороны c применяется теорема косинусов[8]:

{displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }}.}

Фактически задача сведена к предыдущему случаю. Далее ещё раз применяется теорема косинусов для нахождения второго угла:

{displaystyle alpha =arccos {frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}=arccos {frac {b-acos gamma }{sqrt {a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }}}.}

Третий угол находится из теоремы о сумме углов треугольника: beta =180^{circ }-alpha -gamma .

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол напротив одной из них[править | править код]

В этом случае решений может быть два, одно или ни одного. Пусть известны две стороны b,c и угол beta . Тогда уравнение для угла gamma находится из теоремы синусов[9]:

{displaystyle sin gamma ={frac {c}{b}}sin beta .}

Для краткости обозначим {displaystyle D={frac {c}{b}}sin beta } (правая часть уравнения). Это число всегда положительно. При решении уравнения возможны 4 случая, во многом зависящие от D[10][11].

  1. Задача не имеет решения (сторона b «не достаёт» до линии BC) в двух случаях: если D>1 или если угол beta geqslant 90^{circ } и при этом bleqslant c.
  2. Если {displaystyle D=1,} существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный: {displaystyle gamma =arcsin D=90^{circ }.}

  2. Если {displaystyle D<1,} то возможны 2 варианта.
    1. Если b<c, то угол gamma имеет два возможных значения: острый угол {displaystyle gamma =arcsin D} и тупой угол {displaystyle gamma '=180^{circ }-gamma }. На рисунке справа первому значению соответствуют точка C, сторона b и угол gamma , а второму значению — точка C', сторона {displaystyle b'=b} и угол gamma '.
    2. Если bgeqslant c, то beta geqslant gamma (большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для gamma исключён и решение {displaystyle gamma =arcsin D} единственно.

Третий угол определяется по формуле {displaystyle alpha =180^{circ }-beta -gamma }. Третью сторону можно найти по теореме синусов:

a=b {frac {sin alpha }{sin beta }}

В данном случае заданы сторона и прилежащие к ней углы. Аналогичные рассуждения имеют смысл, даже если один из известных углов противоположен стороне.

Сторона и два угла[править | править код]

Пусть задана сторона c и два угла. Эта задача имеет единственное решение, если сумма двух углов меньше 180^{circ }. В противном случае задача решения не имеет.

Вначале определяется третий угол. Например, если даны углы alpha ,beta , то {displaystyle gamma =180^{circ }-alpha -beta }. Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов[12]:

{displaystyle a=c {frac {sin alpha }{sin gamma }},quad b=c {frac {sin beta }{sin gamma }}.}

Решение прямоугольных треугольников[править | править код]

Прямоугольный треугольник

В этом случае известен один из углов — он равен 90°. Необходимо знать ещё два элемента, хотя бы один из которых — сторона. Возможны следующие случаи:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.

Вершину прямого угла традиционно обозначают буквой C, гипотенузу — c. Катеты обозначаются a и b, а величины противолежащих им углов — alpha и beta соответственно.

Расчётные формулы существенно упрощаются, так как вместо теорем синусов и косинусов можно использовать более простые соотношения — теорему Пифагора:

c^{2}=a^{2}+b^{2}

и определения основных тригонометрических функций:

sin alpha =cos beta ={frac {a}{c}},quad cos alpha =sin beta ={frac {b}{c}},
{displaystyle operatorname {tg} alpha =operatorname {ctg} beta ={frac {a}{b}},quad operatorname {ctg} alpha =operatorname {tg} beta ={frac {b}{a}}.}

Ясно также, что углы alpha и beta  — острые, так как их сумма равна 90^{circ }. Поэтому любой из неизвестных углов однозначно определяется по любой из его тригонометрических функций (синусу, косинусу, тангенсу и др.) путём вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.

При корректной постановке задачи (если заданы гипотенуза и катет, то катет должен быть меньше гипотенузы; если задан один из двух непрямых углов, то он должен быть острый) решение всегда существует и единственно.

Два катета[править | править код]

Гипотенуза находится по теореме Пифагора:

c={sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

Углы могут быть найдены с использованием функции арктангенса:

{displaystyle alpha =operatorname {arctg} {frac {a}{b}},quad beta =operatorname {arctg} {frac {b}{a}}}

или же по только что найденной гипотенузе:

alpha =arcsin {frac {a}{c}}=arccos {frac {b}{c}},quad beta =arcsin {frac {b}{c}}=arccos {frac {a}{c}}.

Катет и гипотенуза[править | править код]

Пусть известны катет b и гипотенуза c — тогда катет a находится из теоремы Пифагора:

a={sqrt {c^{2}-b^{2}}}.

После этого углы определяются аналогично предыдущему случаю.

Катет и прилежащий острый угол[править | править код]

Пусть известны катет b и прилежащий к нему угол alpha .

Гипотенуза c находится из соотношения

c={frac {b}{cos alpha }}.

Катет a может быть найден либо по теореме Пифагора аналогично предыдущему случаю, либо из соотношения

a=b mathrm {tg} ,alpha .

Острый угол beta может быть найден как

beta =90^{circ }-alpha .

Катет и противолежащий острый угол[править | править код]

Пусть известны катет b и противолежащий ему угол beta .

Гипотенуза c находится из соотношения

c={frac {b}{sin beta }}.

Катет a и второй острый угол alpha могут быть найдены аналогично предыдущему случаю.

Гипотенуза и острый угол[править | править код]

Пусть известны гипотенуза c и острый угол beta .

Острый угол alpha может быть найден как

alpha =90^{circ }-beta .

Катеты определяются из соотношений

a=csin alpha =ccos beta ,
b=csin beta =ccos alpha .

Решение сферических треугольников[править | править код]

Стороны сферического треугольника a,b,c измеряют величиной опирающихся на них центральных углов

Сферический треугольник общего вида полностью определяется тремя из шести своих характеристик (3 стороны и 3 угла). Стороны сферического треугольника a,b,c принято измерять не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов.

Решение треугольников в сферической геометрии имеет ряд отличий от плоского случая. Например, сумма трёх углов alpha +beta +gamma зависит от треугольника; кроме того, на сфере не существует неравных подобных треугольников, и поэтому задача построения треугольника по трём углам имеет единственное решение. Но основные соотношения: две сферические теоремы косинусов и сферическая теорема синусов, — используемые для решения задачи, аналогичны плоскому случаю.

Из других соотношений могут оказаться полезными формулы аналогии Непера[13] и формула половины стороны[14].

Три стороны[править | править код]

Если даны (в угловых единицах) стороны a,b,c, то углы треугольника определяются из теоремы косинусов[15]:

alpha =arccos left({frac {cos a-cos b cos c}{sin b sin c}}right),
beta =arccos left({frac {cos b-cos c cos a}{sin c sin a}}right),
gamma =arccos left({frac {cos c-cos a cos b}{sin a sin b}}right),

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними[править | править код]

Пусть заданы стороны a,b и угол gamma между ними. Сторона c находится по теореме косинусов[15]:

c=arccos left(cos acos b+sin asin bcos gamma right)

Углы alpha ,beta можно найти так же, как в предыдущем случае, можно также использовать формулы аналогии Непера:

{displaystyle alpha =operatorname {arctg} {frac {2sin a}{operatorname {tg} ({frac {gamma }{2}})sin(b+a)+operatorname {ctg} ({frac {gamma }{2}})sin(b-a)}},}
{displaystyle beta =operatorname {arctg} {frac {2sin b}{operatorname {tg} ({frac {gamma }{2}})sin(a+b)+operatorname {ctg} ({frac {gamma }{2}})sin(a-b)}}.}

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол не между ними[править | править код]

Пусть заданы стороны b,c и угол beta . Чтобы решение существовало, необходимо выполнение условия:

{displaystyle b>arcsin(sin c,sin beta ).}

Угол gamma получается из теоремы синусов:

{displaystyle gamma =arcsin left({frac {sin c,sin beta }{sin b}}right).}

Здесь, аналогично плоскому случаю, при b<c получаются два решения: gamma и {displaystyle 180^{circ }-gamma }.

Остальные величины можно найти из формул аналогии Непера[16]:

a=2operatorname {arctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(b-c)right){frac {sin left({frac {1}{2}}(beta +gamma )right)}{sin left({frac {1}{2}}(beta -gamma )right)}}right},
alpha =2operatorname {arcctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(beta -gamma )right){frac {sin left({frac {1}{2}}(b+c)right)}{sin left({frac {1}{2}}(b-c)right)}}right}.

Заданы сторона и прилежащие углы

Сторона и прилежащие углы[править | править код]

В этом варианте задана сторона c и углы alpha ,beta . Угол gamma определяется по теореме косинусов[17]:

{displaystyle gamma =arccos(sin alpha sin beta cos c-cos alpha cos beta ).}

Две неизвестные стороны получаются из формул аналогии Непера:

a=operatorname {arctg} left{{frac {2sin alpha }{operatorname {ctg} (c/2)sin(beta +alpha )+operatorname {tg} (c/2)sin(beta -alpha )}}right}
b=operatorname {arctg} left{{frac {2sin beta }{operatorname {ctg} (c/2)sin(alpha +beta )+operatorname {tg} (c/2)sin(alpha -beta )}}right}

или, если использовать вычисленный угол gamma , по теореме косинусов:

{displaystyle a=arccos left({frac {cos alpha +cos beta cos gamma }{sin beta sin gamma }}right),}
{displaystyle b=arccos left({frac {cos beta +cos gamma cos alpha }{sin gamma sin alpha }}right).}

Заданы два угла и сторона не между ними

Два угла и сторона не между ними[править | править код]

В отличие от плоского аналога данная задача может иметь несколько решений.

Пусть заданы сторона a и углы alpha ,beta . Сторона b определяется по теореме синусов[18]:

{displaystyle b=arcsin left({frac {sin a,sin beta }{sin alpha }}right).}

Если угол для стороны a острый и alpha >beta , существует второе решение:

{displaystyle b=pi -arcsin left({frac {sin a,sin beta }{sin alpha }}right).}

Остальные величины определяются из формул аналогии Непера:

{displaystyle c=2operatorname {arctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(a-b)right){frac {sin left({frac {1}{2}}(alpha +beta )right)}{sin left({frac {1}{2}}(alpha -beta )right)}}right}.}
{displaystyle gamma =2operatorname {arcctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(alpha -beta )right){frac {sin left({frac {1}{2}}(a+b)right)}{sin left({frac {1}{2}}(a-b)right)}}right}.}

Три угла[править | править код]

Если заданы три угла, стороны находятся по теореме косинусов:

a=arccos left({frac {cos alpha +cos beta cos gamma }{sin beta sin gamma }}right),
b=arccos left({frac {cos beta +cos gamma cos alpha }{sin gamma sin alpha }}right),
c=arccos left({frac {cos gamma +cos alpha cos beta }{sin alpha sin beta }}right).

Другой вариант: использование формулы половины угла[19].

Решение прямоугольных сферических треугольников[править | править код]

Изложенные алгоритмы значительно упрощаются, если известно, что один из углов треугольника (например, угол C) прямой. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера или из нижеприведённых соотношений[20]:

{displaystyle sin a=sin ccdot sin alpha =operatorname {tg} bcdot operatorname {ctg} beta ,}
{displaystyle sin b=sin ccdot sin beta =operatorname {tg} acdot operatorname {ctg} alpha ,}
{displaystyle cos c=cos acdot cos b=operatorname {ctg} alpha cdot operatorname {ctg} beta ,}
{displaystyle operatorname {tg} a=sin bcdot operatorname {tg} alpha ,}
{displaystyle operatorname {tg} b=operatorname {tg} ccdot cos alpha ,}
{displaystyle cos alpha =cos acdot sin beta =operatorname {tg} bcdot operatorname {ctg} c,}
{displaystyle cos beta =cos bcdot sin alpha =operatorname {tg} acdot operatorname {ctg} c.}

Вариации и обобщения[править | править код]

Во многих практически важных задачах вместо сторон треугольника задаются другие его характеристики — например, длина медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанного или описанного круга и т. д. Аналогично вместо углов при вершинах треугольника в задаче могут фигурировать иные углы. Алгоритмы решения подобных задач чаще всего комбинируются из рассмотренных выше теорем тригонометрии.

Примеры:

Примеры практического применения[править | править код]

Триангуляция[править | править код]

Чтобы определить расстояние d от берега до недоступной точки — например, до удалённого корабля,— нужно отметить на берегу две точки, расстояние l между которыми известно, и измерить углы alpha и beta между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и два угла» можно найти длину высоты треугольника[23]:

d={frac {sin alpha ,sin beta }{sin(alpha +beta )}},l={frac {operatorname {tg} alpha ,operatorname {tg} beta }{operatorname {tg} alpha +operatorname {tg} beta }},l

Этот метод используется в каботажном судоходстве. Углы alpha ,beta при этом оцениваются наблюдениями с корабля известных ориентиров на земле. Аналогичная схема используется в астрономии, чтобы определить расстояние до близкой звезды: измеряются углы наблюдения этой звезды с противоположных точек земной орбиты (то есть с интервалом в полгода) и по их разности (параллаксу) вычисляют искомое расстояние[23].

Другой пример: требуется измерить высоту h горы или высокого здания. Известны углы alpha ,beta наблюдения вершины из двух точек, расположенных на расстоянии l. Из формул того же варианта, что и выше, получается[24]:

h={frac {sin alpha ,sin beta }{sin(beta -alpha )}},l={frac {operatorname {tg} alpha ,operatorname {tg} beta }{operatorname {tg} beta -operatorname {tg} alpha }},l

Расстояние между двумя точками на поверхности земного шара[править | править код]

Distance on earth.png

Надо вычислить расстояние между двумя точками на земном шаре[25]:

Точка A: широта lambda _{mathrm {A} }, долгота L_{mathrm {A} },
Точка B: широта lambda _{mathrm {B} }, долгота L_{mathrm {B} },

Для сферического треугольника ABC, где C — северный полюс, известны следующие величины:

{displaystyle a=90^{mathrm {o} }-lambda _{mathrm {B} }}
{displaystyle b=90^{mathrm {o} }-lambda _{mathrm {A} }}
{displaystyle gamma =L_{mathrm {A} }-L_{mathrm {B} }}

Это случай «две стороны и угол между ними». Из приведенных выше формул получается:

mathrm {AB} =Rarccos left{sin lambda _{mathrm {A} },sin lambda _{mathrm {B} }+cos lambda _{mathrm {A} },cos lambda _{mathrm {B} },cos left(L_{mathrm {A} }-L_{mathrm {B} }right)right},

где R — радиус Земли.

История[править | править код]

Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.[26]

Общая постановка задачи решения треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в древнегреческой геометрии[27]. Во второй книге «Начал» Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников[28]:

В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее[29]: древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике», написанной в XIII веке[30].

Первые тригонометрические таблицы составил, вероятно, Гиппарх в середине II века до н. э. для астрономических расчётов. Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Первая книга «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные тригонометрические таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут. В таблицах Птолемей приводит значение длин хорд с точностью до трех шестидесятиричных знаков[31]. Такая точность примерно соответствует пятизначной десятичной таблице синусов с шагом 15 угловых минут[1].

Птолемей явно не формулирует теорему синусов и косинусов для треугольников. Тем не менее он всегда справляется с задачей решения треугольников, разбивая треугольник на два прямоугольных[32].

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию[33]. Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов[34]. Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров[35]. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен. В частности, индийцы первыми ввели в использование косинус[36]. Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов sin nvarphi , cos nvarphi для n=2,3,4,5. В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась[37].

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории[38]. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс[36].

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века[29]. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника[39]. Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения[40].

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году[41]. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам[42]. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для эффективного решения треугольников.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10″[43]. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера»[44]. Алгебраизация тригонометрии, начатая Франсуа Виетом, была завершена Леонардом Эйлером в XVIII веке, после чего алгоритмы решения треугольников приобрели современный вид.

См. также[править | править код]

  • Признаки подобия треугольников
  • Площадь треугольника
  • Сферическая тригонометрия
  • Сферический треугольник
  • Триангуляция
  • Тригонометрические тождества
  • Тригонометрические функции
  • Формулы Мольвейде

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 Выгодский М. Я., 1978, с. 266—268.
  2. ↑ Плоский треугольник иногда называют прямолинейным.
  3. ↑ Элементарная математика, 1976, с. 487.
  4. ↑ Solving Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 23 Jule 2012. Архивировано 30 июня 2019 года.
  5. ↑ Элементарная математика, 1976, с. 488.
  6. ↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 133.
  7. ↑ Solving SSS Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 23 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
  8. ↑ Solving SAS Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
  9. ↑ Solving SSA Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012). Архивировано 30 сентября 2012 года.
  10. ↑ Выгодский М. Я., 1978, с. 294.
  11. ↑ Элементарная математика, 1976, с. 493—496.
  12. ↑ Solving ASA Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
  13. ↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 87—90.
  14. ↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 102—104.
  15. ↑ 1 2 Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 545.
  16. ↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 121—128.
  17. ↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 115—121.
  18. ↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 128—133.
  19. ↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 104—108.
  20. ↑ Основные формулы физики, 1957, с. 14—15.
  21. ↑ Цейтен Г. Г., 1932, с. 223—224.
  22. ↑ Цейтен Г. Г., 1938, с. 126—127.
  23. ↑ 1 2 Геометрия: 7—9 классы, 2009, с. 260—261.
  24. ↑ Геометрия: 7—9 классы, 2009, с. 260.
  25. ↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 136—137.
  26. ↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — ISBN 3-540-12159-5.
  27. ↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 77.
  28. ↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 94—95.
  29. ↑ 1 2 Матвиевская Г. П., 2012, с. 92—96.
  30. ↑ Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook (англ.). — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859.
  31. ↑ История математики, том I, 1970, с. 143.
  32. ↑ Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — С. 366. — 456 с.
  33. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 25—27.
  34. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 33—36.
  35. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 40—44.
  36. ↑ 1 2 Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978, с. 79.
  37. ↑ Юшкевич А. П. История математики в Средние века. — М.: ГИФМЛ, 1961. — С. 160. — 448 с.
  38. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 51—55.
  39. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 111.
  40. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 96—98.
  41. ↑ Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.
  42. ↑ Рыбников К. А., 1960, с. 105.
  43. ↑ История математики, том I, 1970, с. 320.
  44. ↑ Степанов Н. Н. § 42. Формулы «аналогии Непера» // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 87—90. — 154 с.

Литература[править | править код]

Теория и алгоритмы
  • Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия: 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. — 19-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 384 с. — ISBN 978-5-09-021136-9.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия, учебник для 10 класса. — М.: МЦНМО, 2002. — ISBN 5-94057-050-X.
  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
  • Мензел Д. (ред.). Основные формулы физики. Глава 1. Основные математические формулы. — М.: Изд. иностранной литературы, 1957. — 658 с.
  • Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 4. — С. 518—557. — 568 с.
  • Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948.
История
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76—95. — 240 с.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983. — 352 с.
  • История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
    • История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
    • Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
    • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
  • Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.
  • Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Т. I.
  • Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1978. — 95 с. — (Люди науки).
  • Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. — М.—Л.: ГТТИ, 1932. — 230 с.
  • Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. — М.—Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.
Источник

Как найти углы прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы найти острые углы прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для угла α:
    • угол β
    • длины катетов a и b
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
  • для угла β:
    • угол α
    • длины катетов a и b
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти угол α зная угол β и наоборот

Формула

Найти углы прямоугольного треугольника зная катеты

Катет a =
Катет b =

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

Формулы

Пример

Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если катет a = 5 см, а катет b = 2 см:

Найти углы прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Гипотенуза c =
Катет =

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны гипотенуза c и один из катетов (a или b)?

Углы прямоугольного треугольника

Калькулятор расчёта углов прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние, при этом один из углов прямой (равен 90°).

Тангенс угла tg(α) — это тригонометрическая функция выражающая отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.

Формула тангенса

  • tg α – тангенс угла α
  • a – противолежащий катет
  • b – прилежащий катет

Арктангенс — это обратная тригонометрическая функция. Арктангенсом числа x называется такое значение угла α, выраженное в радианах, для которого tg α = x . Вычислить арктангенс, означает найти угол α, тангенс которого равен числу x.

Углы треугольника

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов:

Так как у прямоугольного треугольника один из углов равен 90°, то сумма двух других углов равна 90°.

Поэтому, если известен один из острых углов треугольника, второй угол можно посчитать по формуле:

Острый угол — угол, значение которого меньше 90°.

У прямоугольного треугольника один угол прямой, а два других угла – острые.

Точный угол 90 градусов с помощью рулетки

При отделочных работах и строительстве бывает нужна четкая геометрия: перпендикулярные стены и иные конструкции, требующие прямого угла в 90 градусов. Обыкновенный угольник не может позволить проверить или разметить углы со сторонами в несколько метров. Описываемый же метод превосходно подходит для разметки или проверки любых углов – длинна сторон не ограничена. Основной инструмент для измерений – рулетка.

Мы будем рассматривать точную разметку прямого угла, а также метод проверки уже размеченных углов на стенах и других объектах.

Теорема Пифагора

Теорема основана на утверждении, что у прямоугольного треугольника сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. В виде формулы записывается это так:

Стороны a и b – катеты, между которыми угол равен ровно 90 градусов. Следовательно, сторона c – гипотенуза. Подставляя в эту формулу две известные величины, мы можем вычислить третью, неизвестную. А следовательно можем размечать прямые углы, а также проверять их.

Теорема Пифагора известна еще под названием “египетский треугольник”. Это треугольник со сторонами 3, 4 и 5, причем совершенно не важно, в каких единицах длинны. Между сторонами 3 и 4 – ровно девяносто градусов. Проверим данное утверждение вышеприведенной формулой: a²+b²=c² = (3×3)+(4×4) = 9+16 = (5×5) = 25 – все сходится!

А теперь применим теорему на практике.

Проверка прямого угла

Начнем с самого простого – проверки прямого угла с помощью теоремы Пифагора. Самым частым примером в отделке и строительстве является проверка перпендикулярности стен. Перпендикулярные стены – это стены, расположенные друг к другу под прямым углом 90°.

Итак, берем любой проверяемый внутренний угол. На стенах (на одной высоте) или на полу отмечаем на обоих стенах отрезки произвольных длин. Длинна этих отрезков произвольная, по возможности нужно отмечать как можно больше, но чтобы между отметками на стенах удобно было мерить диагональ. Например, мы отметили 2,5 метра (или 250 см.) на одной стене и 3 метра (или 300 см.) на другой. Теперь длину отрезка каждой стены возводим в квадрат (умножаем саму на себя) и получившиеся произведения складываем. Выглядит это так: (2,5×2,5)+(3×3)=15,25 – это диагональ в квадрате. Теперь нужно извлечь из этого числа квадратный корень √15,25≈3,90 – 3,9 метра должна составлять диагональ между нашими отметками. Если измерение рулеткой показывает другую длину диагонали – проверяемый угол развернут и имеет отклонение от 90°.

Калькулятор расчета диагонали прямого угла

Извлечение квадратного корня никогда меня не привлекало – простому человеку не обойтись без калькулятора, к тому же, не на всех мобильных устройствах калькуляторы умеют извлекать его. Поэтому можно пользоваться упрощенным методом. Нужно лишь запомнить: у прямого угла со сторонами ровно 100 сантиметров, диагональ равна 141,4 см. Таким образом, у прямого угла со сторонами 2 м. – диагональ равна 282,8 см. То есть на каждый метр плоскости приходится 141,4 см. У этого метода один недостаток: от измеряемого угла нужно откладывать одинаковые расстояния на обеих стенах и отрезки эти должны быть кратны метру. Не буду утверждать, но по моей скромной практике – это гораздо удобнее. Хотя не стоит забывать о первоначальном способе совсем – в некоторых случаях он очень актуален.

Сразу же возникает вопрос: какое отклонение от вычисленной длинны диагонали считать нормой (погрешностью), а какое нет? Если проверяемый угол с отмеченными сторонами по 1 м. будет 89°, то диагональ уменьшится до 140 см. Из понимания этой зависимости можно сделать объективный вывод, что погрешность диагонали 141,4 см. в несколько миллиметров не даст отклонения в один целый градус.

Как проверить внешний угол? Проверка внешнего угла по сути не отличается, нужно лишь продлить линии каждой стены на полу (или земле, при помощи шнура) и получившийся внутренний угол измерить обычным способом.

Как разметить прямой угол рулеткой

Разметка может основываться как на общей теореме Пифагора, так и на принципе “египетского треугольника”. Однако это только в теории линии просто чертятся на бумаге, “ловить” же все выбранные размеры растянутыми шнурами или линиями на полу – задача посложнее.

Поэтому я предлагаю упрощенный способ, основанный на диагонали 141,4 см. у треугольника со сторонами 100 см. Вся последовательность разметки изображена на картинках ниже. Важно не забывать: диагональ 141,4 см. нужно умножать на количество метров в отрезке А-Б. Отрезки А-Б и А-В должны быть равны и соответствовать целому числу в метрах. Картинки увеличиваются по клику!

Как разметить острый угол

Гораздо реже возникает надобность в создании острых углов, в частности 45°. Для формирования подобных фигур формулы более сложные, однако это не самое проблематичное. Гораздо сложнее свести все линии, начерченные или натянутые шнурами – дело это непростое. Поэтому я предлагаю использовать упрощенный метод. Сначала размечается прямой угол 90°, а затем диагональ 141,4 делится на нужное количество равных частей. Например, чтобы получить 45°, диагональ нужно поделить пополам и от точки А провести линию через место деления. Таким образом мы получим два угла по 45 градусов. Если поделить диагональ на 3 части, то получится три угла по 30 градусов. Думаю алгоритм вам понятен.

Собственно я рассказал все, что мог рассказать, надеюсь все изложил понятным языком и у вас больше не возникнет вопросов как размечать и проверять прямые углы. Стоит добавить, что уметь делать это должен любой отделочник или строитель, ведь полагаться на строительный угольник небольшого размера – непрофессионально.

[spoiler title=”источники:”]

http://kalk.top/sz/corners-pr-triangle

http://yserogo.ru/remont/pryamoi-ugol.html

[/spoiler]

Источник

Добавить комментарий