Пусть даны точка 
и прямая, заданная уравнением
. Требуется найти уравнение проходящей через них плоскости. (Точка 
не лежит на данной прямой). Из уравнения данной прямой находим координаты точки 
.
Пусть 
– произвольная точка плоскости 
. При любом ее выборе направляющий вектор прямой 
и векторы
и 
лежат в одной плоскости и поэтому их смешанное произведение равно нулю:
Раскрывая определитель, получим уравнение искомой плоскости.
Совершенно так же найдем уравнение плоскости, проходящей через две параллельные или пересекающиеся прямые: на одной из них берется любая точка (не лежащая на другой прямой), и плоскость проводится через вторую прямую и точку .
Пример. Провести плоскость через прямую 
и точку 
.
Решение. Убедимся, что точка не лежит на прямой, данной в условии
Из уравнения данной прямой следует, что точка 
лежит на этой прямой. Пусть – произвольная точка искомой плоскости, тогда векторы 
, 
и 
компланарны. Следовательно,
Раскроем определитель: 
Таким образом искомая плоскость имеет уравнение
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и через данную прямую (точка не лежит на этой прямой). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую − теория, примеры и решения
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L:
и точка M0(x0, y0, z0), которая не находится на этой прямой.
Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через точку M0 и и через прямую L(Рис.1).
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} имеет следующий вид:
Направляющий вектор прямой L имеет вид q={m, p, l}. Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет вид:
Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:
Решая совместно уравнения (4) и (5) отностительно коэффициентов A, B, C получим такие значения A, B, C, при которых уравнение (2) проходит через точку M0 и через прямую (1). Для решения систему уравнений (4), (5), запишем их в матричном виде:
Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.
Получив частное решение уравнения (6) и подставив полученные значения A, B, C в (2), получим решение задачи.
Пример 1.Найти уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0)=M0(1, 2, 5) и через заданную прямую L:
Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0)=M0(1, 2, 5) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой (2).
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M1(x1, y1, z1)=M1(2, 1, −3) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой (3).
Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:
Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
Подставим значения m, p, l, x0, y0, z0, x1, y1, z1 в (8) и (9):
Решим систему линейных уравнений (10) и (11) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:
Решив однородную систему линейных уравнений (12) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:
Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (2), получим:
Упростим уравнение (13):
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, 2, 5) и через прямую (7) имеет вид (14).
Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M0(4, 3, −6) и через прямую L, заданной параметрическим уравнением:
Решение. Приведем параметрическое уравнение (15) к каноническому виду:
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:
Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=(0, 2, 4). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет вид:
Вычитая уравнение (18) из уравнения (17), получим:
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:
Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n должен быть ортогональным направляющему вектору прямой L :
Подставим значения m, p, l, x0, y0, z0, x1, y1, z1 в (19) и (20):
Решим систему линейных уравнений (21) и (22) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:
Решив однородную систему линейных уравнений (23) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:
Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (17), получим:
Упростим уравнение (24):
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 23.
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(4, 3, −6) и через прямую (16) имеет вид (26).
Содержание:
Плоскость в пространстве
Общее уравнение плоскости
Определение: Уравнение вида 
Определение: Порядок поверхности определяется по высшему показателю степени переменных х, у и z или по сумме показателей степени в произведении этих величин.
Определение: Уравнение вида Ax+By+Cz+D=O называется общим уравнением плоскости.
Рассмотрим частные случаи приведенного уравнения:
1. D = 0; Ах + By + Сz = 0. Из этого уравнения видно, что точка О(0; 0; 0) удов- летворяет этому уравнению, следовательно, это уравнение описывает плоскость, проходящую через начало координат (Рис. 36). 
Рис. 36. Плоскость, проходящая через начало координат.
2. С = 0; Ах + Ву + D = 0. Этому уравнению удовлетворяет любое значение переменной z, поэтому данное уравнение описывает плоскость, которая параллельна оси аппликат (Oz) (Рис. 37). 
Рис. 37. Плоскость, проходящая параллельно оси аппликат.
– плоскость параллельна оси ординат (Оу);- – плоскость параллельна оси абсцисс (Ох).
– плоскость параллельна оси ординат (Оу);
– плоскость параллельна оси абсцисс (Ох).Замечание: При отсутствии в уравнении плоскости одной из переменных величин говорит о том, что плоскость параллельна соответствующей координатной оси.
3. С=0; D=0; Ах+ By=0 – плоскость проходит через начало отсчета параллельно оси аппликат (Рис. 38). 
Рис. 38. Плоскость, проходящая через начало координат параллельно оси аппликат.
- – плоскость проходит через начало координат параллельно оси ординат;
- – плоскость проходит через начало координат параллельно оси абсцисс.
– плоскость проходит через начало координат параллельно оси ординат;
– плоскость проходит через начало координат параллельно оси абсцисс.4. 
– плоскость проходит через точку 
параллельно плоскости 
(Pис. 39). 
Рис. 39. Плоскость, проходящая параллельно координатной плоскости 
5. В = С = D = 0; Ах = 0=>х = 0 – уравнение описывает плоскость 
(Рис. 40).
Рис. 40. Координатная плоскость 
.
Другие уравнения плоскости
1. Уравнение плоскости в отрезках. Пусть в уравнении 
коэффициент 
тогда выполним следующие преобразования
Введем следующие обозначения 
тогда уравнение примет вид 
которое называется уравнением плоскости в отрезках. Найдем точки пересечения плоскости с координатными осями:
Откладывая на координатных осях точки М, N и Р, соединяя их прямыми лучим изображение данной плоскости (для определенности принято, что параметры а, b, с положительные) (Рис. 41): 
Рис. 41. Отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.
Из рисунка видно, что числа а, b, с показывают отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, считая от начала координат.
2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданному вектору. Пусть задана точка 
через которую проходит плоскость перпендикулярно к заданному вектору 
ОЗ. Вектор 
называется нормальным вектором плоскости, если он перпендикулярен любой паре неколлинеарных векторов, лежащих на плоскости.
Возьмем на плоскости произвольную точку 
и образуем вектор 
соединяющий точку 
с точкой М (Рис. 42). Тогда 
Рис. 42. Плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к нормальному вектору.
В силу того, вектор 
лежит в плоскости, то он перпендикулярен нормальному вектору 
Используя условие перпендикулярности векторов 
в проекциях перемножаемых векторов, получим уравнение плоскости, проходящая через заданную точку перпендикулярно к нормальному вектору: 
Пример:
Составить уравнение плоскости, проходящей через т. 
параллельно плоскости 
Решение:
Так как искомая плоскость параллельна плоскости (Q), то нормальный вектор этой плоскости 
(см. коэффициенты при переменных величинах х, у и z в уравнении плоскости 
) перпендикулярен к искомой плоскости и может быть взят в качестве нормального вектора этой плоскости. Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к данному вектору, получаем: 
Пример:
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(—1; 1 ;2) и В(0; —1; —1) параллельно вектору 
= (0; 0; -2):
Решение:
Построим на искомой плоскости вектор 
и вычислим нормальный вектор 
как векторное произведение векторов 
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку 
перпендикулярно к заданному вектору
имеет вид:
Отметим, что при выборе точки, через которую проходит искомая плоскость из точек 
брать как точку, через которую проходит искомая плоскость.
3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть плоскость проходит через 3 известные точки 
Возьмем произвольную точку плоскости М(х; у; z) и образуем векторы 
Рис. 43. Плоскость, проходящая через три заданные точки.
Вектора 
компланарные, используя условие компланарности векторов 
получим уравнение плоскости, проходящей через 3 известные точки: 
Замечание: Полученный определитель третьего порядка раскрывается по элементам первой строки.
Пример:
Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 
Решение:
Составим определитель третьего порядка 
Раскроем определитель по элементам первой строки 
Вычислим определители второго порядка: -7(x-l) + 5y + 4(z + 2) = 0. Умножив уравнение на (-1) и раскрыв скобки, получим окончательный ответ:
Основные задачи о плоскости в пространстве
1. Угол между пересекающимися плоскостями. Пусть даны две пересекающиеся плоскости 
которые имеют нормальные векторы
Пусть линия пересечения плоскостей определяется прямой (l). Из одной точки этой прямой проведем два перпендикулярных к прямой вектора 
Меньший угол между этими векторами определяет угол между плоскостями (Рис.44):
Рис.44. Угол между плоскостями.
В силу того, что 
то угол между нормальными векторами равен углу между векторами 
Из векторной алгебры известно, что угол между векторами определяется формулой: 
Следствие: Если плоскости перпендикулярны (
), то условием перпендикулярности плоскостей является равенство: 
.
Следствие: Если плоскости параллельны, то нормальные вектора коллинеарны, следовательно, условие параллельности плоскостей: 
2. Расстояние от данной точки до заданной плоскости. Расстояние от данной точки 
до заданной плоскости 
определяется по формуле: 
Пример:
На каком расстоянии от плоскости 
находится точка 
Решение:
Воспользуемся приведенной формулой: 
Прямая в пространстве
Общее уравнение прямой
Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей: 
Определение: Геометрическое место точек пространства, удовлетворяющих системе уравнений (1), называется прямой в пространстве, а система уравнений (1) называется общим уравнением прямой.
Замечание: Для того чтобы система уравнений (1) определяла прямую в пространстве необходимо и достаточно, чтобы нормальные вектора плоскостей, определяющих прямую, 
были неколлинеарными, т.е. выполняется одно из неравенств: 
Пусть прямая проходит через точку 
параллельно вектору 
который называется направляющим вектором прямой (см. Лекцию Ле 7), тогда ее уравнение называется каноническим и имеет вид:
Замечание: Если в уравнении (2) одна из проекций направляющего вектора равна 0, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.
Пример:
Как расположена прямая 
относительно координатных осей.
Решение:
Согласно замечанию эта прямая будет перпендикулярна осям абсцисс и ординат (параллельна оси аппликат) и будет проходить через точку 
Приравняв каждую дробь уравнения (2) параметру t, получим параметрическое уравнение прямой:
Пример:
Записать уравнение прямой 
в параметрическом виде.
Решение:
Приравняем каждую дробь к параметру t: 
Если прямая проходит через две известные точки 
то ее уравнение имеет вид: 
и называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.
Пример:
Составить канонические и параметрические уравнения прямых, проходящих через точки А (— 1; 1; 2 ), В (0; -1; -1) И С (1; 0; -1), D (l; 0; 1 ).
Решение:
Составим каноническое уравнение прямой линии, проходящей через точки 
Перейдём к параметрическому уравнению 
или 
Составим каноническое уравнение прямой линии, проходящей через точки 
Перейдём к параметрическому уравнению прямой 
Основные задачи о прямой в пространстве
1. Переход от общего уравнения прямой к каноническому. Пусть прямая задана общим уравнением
Для того, чтобы перейти от этого уравнения прямой к каноническому, поступают следующим образом:
Пример:
Записать уравнение прямой 
в каноническом и параметрическом виде.
Решение:
Положив х = 0, получим СЛАУ
Складывая уравнения, найдем у = -4. Подставив это значение переменной у во второе уравнение системы, получим z = —5. Таким образом, прямая проходит через точку 
Найдем направляющий вектор прямой как векторное произведение нормальных векторов заданных плоскостей:
Запишем каноническое 
и параметрическое уравнения прямой:
Угол между пересекающимися прямыми
Угол между двумя пересекающимися прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Если прямые 
имеют направляющие вектора
соответственно, то угол между прямыми определяется по формуле: 
Следствие: Если прямые перпендикулярны (
), то условием перпендикулярности прямых является равенство: 
Следствие: Если прямые параллельны, то направляющие вектора коллинеарны, следовательно, условие параллельности прямых: 
Координаты точки пересечения прямой и плоскости
Пусть прямая (L) задана общим уравнением 
а плоскость (Q) уравнением Ax+By+Cz+D=0. Так как точка пересечения прямой и плоскости принадлежит одновременно обоим этим объектам, то ее координаты находят из системы уравнений: 
Если прямая (L) задана каноническим уравнением 
а плоскость (Q)
Рассмотрим возможные случаи:
- если выполняются условия , то прямая не пересекает плоскость (прямая параллельна плоскости);
- при условиях прямая лежит на плоскости;
- если , прямая пересекает плоскость в одной точке.
, то прямая не пересекает плоскость (прямая параллельна плоскости);
прямая лежит на плоскости;
, прямая пересекает плоскость в одной точке.Пример:
Найти координаты точки пересечения прямой (L), заданной уравнением 
и плоскости (Q): 2x-y+3z-4=0.
Решение:
Перепишем уравнение прямой (L) в параметрическом виде 
Подставим найденные величины в уравнение плоскости (Q)? получим
Найденное значение параметра 
подставим в параметрическое уравнение прямой 
Таким образом, прямая пересекает заданную плоскость в точке 
- Заказать решение задач по высшей математике
Угол между прямой и плоскостью
Пусть дана плоскость (Q) с нормальным вектором 
и пересекающая ее прямая (L) с направляющим вектором 
(Рис.45). 
Рис. 45. Угол между прямой и плоскостью.
Угол 
является углом между прямой (L) и плоскостью (Q). Угол между нормальным вектором плоскости и прямой обозначим через 
Из рисунка видно, что 
Следовательно,
Следствие: Если прямая перпендикулярна плоскости (
), то условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид: 
Следствие: Если прямая параллельна плоскости (
), то направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны (
), следовательно, условие параллельности прямой и плоскости: 
.
Плоскость и прямая в пространстве
Всякое уравнение первой степени относительно координат 
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.
Вектор 
ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты А, В, С одновременно не равны 0.
Особые случаи уравнения (3.1):
- D = 0, Ах + By + Cz = 0 – плоскость проходит через начало координат.
- С = 0, Ах + By + D = 0 – плоскость параллельна оси Oz.
- С = D = 0, Ах + By = 0 – плоскость проходит через ось Oz.
- С = В = 0, Ах + D = 0 – плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: 
Прямая в пространстве может быть задана:
- как линия пересечения двух плоскостей, т.е. системой уравнений:
- двумя своими точками тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
- точкой ей принадлежащей, и вектором ей коллинеарным.
тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
ей принадлежащей, и вектором 
ей коллинеарным.Тогда прямая определяется уравнениями: 
Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.
Вектор 
называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t: 
Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных х и у, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой.
От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения: 
От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор 
– нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей 
в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система 
равносильна системе 
такая прямая перпендикулярна к оси Ох. Система 
равносильна системе 
прямая параллельна оси Oz.
Пример:
Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.
Решение:
По условию задачи вектор 
является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде 
Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 
Итак, 
Пример:
Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и образующей с плоскостью 
Решение:
Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением
одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не равно 0, 
По формуле косинуса угла В между двумя плоскостями 
Решая квадратное уравнение 
находим его корни 
откуда получаем две плоскости 
Пример:
Составьте канонические уравнения прямой: 
Решение:
Канонические уравнения прямой имеют вид:
где 
– координаты направляющего вектора прямой, 
– координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, х = 0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть х = 0, тогда у + z = 0, Зу-2z + 5 = 0 , откуда у = -l, z = l. Координаты точки 
принадлежащей данной прямой, мы нашли: М(0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей 
Тогда
Канонические уравнения прямой имеют вид: 
Пример:
В пучке, определяемом плоскостями 
найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М (1,0,1).
Решение:
Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид 
где 
не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом: 
Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим: 
Тогда уравнение плоскости, содержащей М, найдем, подставив 
в уравнение пучка: 
Т.к. и 
(иначе v=0, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение плоскости 
Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей: 
Значит, уравнение второй плоскости имеет вид: 
или 
- Определитель матрицы
- Критерий совместности Кронекера-Капелли
- Формулы Крамера
- Матричный метод
- Производная сложной функции
- Пределы в математике
- Функции многих переменных
- Уравнения прямых и кривых на плоскости
Векторный базис в пространстве:
Пусть 
— тройка некомпланарных векторов. Тогда, как известно из школьного курса, любой вектор 
пространства может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации данных векторов:
Определение:
Векторным базисом пространства называется тройка некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке.
Очевидно, что существует бесконечное множество базисов пространства. Пусть 
— один из них. Тогда любой вектор 
пространства может быть представлен единственным образом в виде
Это означает, что для любого вектора существует и притом только одна тройка чисел 
, удовлетворяющая равенству (2). Справедливо и обратное утверждение: тройка чисел 
в данном базисе определяет единственный вектор .
Числа 
называются координатами вектора в базисе
. Если вектор пространства задан своими координатами , то пишут 
.
Определение:
Базис пространства называется прямоугольным, если базисные векторы единичны и попарно перпендикулярны^ т. е. если
Базисные векторы прямоугольного базиса обозначают через 
а разложение вектора 
по базису 
имеет вид 
Пример:
Даны векторы:
Найти координаты векторов 
в базисе .
Решение. Имеем:
Применив правила действия над векторами, заданными координатами, находим:
Пример:
Найти длину вектора 
, если 
Решение:
Известно, что если 
, то 
. Находим:
поэтому
Прямоугольные координаты в пространстве
Определение:
Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность фиксированной точки 
и векторного базиса . Точка называется началом координат, прямые 
, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов 
(рис. 32), называются осями координат: — ось абсцисс, 
— ось ординат, 
— ось апликат. При этом систему координат 
будем также обозначать 
.
Пусть 
— произвольная точка пространства. Тогда вектор 
называется радиусом-вектором относительно точки . Координатами точки в декартовой системе координат называются координаты радиуса-вектора в базисе ; при этом 
где 
— абсцисса, 
— ордината, 
— апликата.
Определение:
Прямоугольной декартовой (или просто прямоугольной) системой координат в пространстве называется совокупность фиксированной точки и прямоугольного базиса 
(рис. 33).
Прямоугольная система координат хорошо известна по школьному курсу, поэтому на ее описании мы здесь останавливаться не будем.
Введение прямоугольной системы координат в пространстве дает возможность решать много геометрических задач так, как это делалось в плоскости.
Например, можно показать, что координаты точки 
, делящей отрезок 
в данном отношении 
, определяются по формулам:
Понятие об уравнении поверхности и линии в пространстве
Пусть множество решений уравнения
не пусто. Тогда каждой тройке чисел 
, являющейся решением уравнения (2), соответствует точка с координатами 
в некоторой прямоугольной системе координат. Множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению (2), есть, вообще говоря, некоторая поверхность.
Обратно, пусть в пространстве заданы некоторая поверхность и прямоугольная система координат .
Определение:
Уравнением данной поверхности в системе координат называется такое уравнение с переменными 
которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой поверхности.
Пример:
Найти уравнение сферы радиуса 
с центром в точке 
.
Решение:
Пусть 
— произвольная точка на сфере; тогда
Уравнение 
и есть искомое уравнение, так как координаты произвольной точки сферы ему удовлетворяют, и, как легко показать, координаты любой точки, не лежащей на сфере, не удовлетворяют этому уравнению (например, 
Линия в пространстве рассматривается как линия пересечения двух поверхностей, т. е. как множество точек, общих двум поверхностям. Так, если 
и 
— уравнения двух поверхностей, пересекающихся по некоторой линии 
, то координаты точек этой линии удовлетворяют каждому из этих
уравнений. Таким образом, система уравнений
определяет рассматриваемую линию в пространстве.
Например, система
определяет окружность (как линию пересечения двух сфер).
Отметим, что если известно уравнение поверхности (линии), то относительно любой точки пространства можно решить вопрос: лежит эта точка на данной поверхности (линии) или нет?
Пример:
Лежит ли точка 
на поверхности 
Решение:
Подставив в данное уравнение вместо текущих координат координаты точки 
, получим: 4 + 9 + 36 — 49 = 49 — 49 = 0. Точка лежит на данной поверхности.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором
Пусть в прямоугольной системе координат задана некоторая точка 
и ненулевой вектор 
. Требуется составить уравнение плоскости 
, проходящей через точку 
и
перпендикулярной вектору 
(рис. 34).
Определение:
Любой ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости , называется нормальным вектором этой плоскости.
Очевидно, что положение плоскости вполне определяется заданием точки 
и вектора 
Возьмем на плоскости произвольную точку 
. Ясно, что 
эквивалентно 
, что в свою очередь эквивалентно
Учитывая, что 
, запишем равенство (1) в координатной форме:
Уравнение (2) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку , с заданным нормальным вектором 
. Это —уравнение первой степени относительно текущих координат , поэтому можно сделать вывод: в прямоугольной системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени относительно текущих координат.
Заметим, что если коэффициентам 
уравнения (2) придавать различные значения, то можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку 
. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называют связкой плоскостей. Поэтому уравнение (2) называют и уравнением связки плоскостей.
Пример:
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
.
Решение:
Имеем 
Подставив эти значения в уравнение
(2), получим
или
Общее уравнение плоскости и его частные случаи
В предыдущем параграфе мы показали, что в прямоугольной системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени относительно текущих координат . Теперь докажем обратное: всякое уравнение первой степени
в прямоугольной системе координат определяет плоскость и притом единственную.
Так как уравнение (1) является уравнением первой степени, то по крайней мере один из коэффициентов , 
или 
отличен от нуля. Допустим, для определенности, что 
. Тогда уравнение (1) можно представить в виде
Это уравнение имеет вид уравнения (2) из предыдущего параграфа и, следовательно, оно определяет единственную плоскость, проходящую через точку 
и перпендикулярную вектору 
. Но тогда и уравнение (1), равносильное уравнению (2), определяет
плоскость.
Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости.
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (1) (плоскость, определяемую этим уравнением, обозначим через ).
1. Свободный член 
равен 0. Тогда уравнение (1) имеет вид 
Этому уравнению удовлетворяют координаты точки 
, следовательно, плоскость проходит через начало координат.
1. Один из коэффициентов при текущих координатах равен нулю. Пусть 
. Тогда уравнение (1) примет вид 
. В этом случае имеем 
Аналогично, 
. Таким образом, если в уравнении плоскости отсутствует какой-либо член, содержащий координату 
или 
, то плоскость параллельна соответственно оси 
или 
. Например, плоскость, определяемая уравнением 
, параллельна оси 
(здесь 
).
1. Свободный член и один из коэффициентов при текущих координатах равны нулю. Пусть, например, 
. Тогда (1) примет вид 
. Имеем: 
и, кроме того, 
, т. е. плоскость проходит через начало координат. Следовательно, плоскость проходит через ось . Аналогично можно показать, что уравнения 
определяют плоскости, проходящие соответственно через оси 
. Так, уравнение 
определяет плоскость, проходящую через ось 
.
4. Два коэффициента при текущих координатах равны нулю. Пусть, например, 
. Тогда уравнение (1) примет вид 
. Имеем:
Следовательно, данная плоскость параллельна координатной плоскости 
. Этот же вывод можно получить иначе. Имеем:
Положив
получим
Это уравнение показывает, что все точки данной плоскости имеют одну и ту же апликату, т. е. данная плоскость параллельна плоскости . Аналогично, уравнения 
определяют плоскости, соответственно параллельные координатным плоскостям 
и 
. Например, уравнение 
определяет плоскость, параллельную плоскости и расположенную ниже на расстоянии 2,5 ед.
от нее.
5. Свободный член и два коэффициента при текущих координатах равны нулю. Пусть, например, 
. Тогда уравнение (1) имеет вид 
. Это уравнение определяет плоскость, все точки которой имеют апликату, т. е. координатную плоскость .
Аналогично, 
— уравнение плоскости 
и 
уравнение плоскости .
Пример:
Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и через точку 
.
Решение. Так как искомая плоскость проходит через ось , то ее уравнение имеет вид 
. Заменив в этом уравнении текущие координаты координатами точки 
, получаем 
, откуда 
. Подставив это значение в уравнение
, находим 
, или 
Пример:
Построить плоскость
Решение:
Для построения плоскости достаточно построить три ее точки. Проще всего найти точки пересечения плоскости с осями координат. Положив в данном уравнении 
, найдем 
. Положив 
, находим 
. Наконец, положив 
и 
, находим 
. Таким образом, данная
плоскость пересекает оси 
соответственно в точках 
(рис.35).
Пример:
Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки 
и 
.
Решение:
Пусть искомое уравнение имеет вид (1). Так как каждая из данных точек принадлежит данной плоскости, то координаты этих точек удовлетворяет уравнению (1), т.-е.
Решим эту систему, приняв за неизвестные коэффициенты 
и считая 
. Из второго уравнения имеем
Подставив это значение 
в остальные два уравнения системы (3), получаем:
или
Отсюда 
ходим По формуле (4) находим
Заменив найденными значениями 
соответствующие коэффициенты в уравнении (1), получаем
Отсюда
Уравнения прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором
Пусть в прямоугольной системе координат 
задана некоторая точка 
и ненулевой вектор 
. Требуется составить уравнение прямой 
, проходящей через точку 
и параллельной вектору 
(рис. 36).
Определение:
Любой ненулевой вектор , колийеарный прямой , называется направляющим вектором этой прямой.
Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием точки 
и вектора , параллельного прямой .
Возьмем на прямой произвольную точку 
. Ясно, что условие принадлежности точки 
прямой эквивалентно коллинеарности векторов 
и , т. е. пропорциональности их
соответствующих координат. Следовательно,
Уравнения (1) называются уравнениями прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором 
или каноническими уравнениями прямой
Пример:
Составить уравнения прямой, проходящей через точку 
параллельно вектору,
соединяющему точки 
Решение:
За направляющий вектор искомой прямой примем вектор 
. Заменив в уравнениях (1) 
координатами точки 
координатами вектора 
получим искомые уравнения
Отметим, что если прямая перпендикулярна какой-либо из координатных осей, то соответствующая координата направляющего вектора равна нулю. Например, если 
. Однако и в этом случае условимся формально записывать уравнения прямой в каноническом виде:
Пример:
Составить уравнения прямой, проходящей через точку 
параллельно вектору 
.
Решение:
Согласно уравнениям (1) имеем
Другие формы уравнений прямой в пространстве
Параметрические уравнения прямой
В предыдущем параграфе мы показали, что точка принадлежит прямой 
(рис. 36) в том и только в том случае, когда векторы 
и 
коллинеарны. А для этого необходимо и достаточно, чтобы
где 
является параметром, принимающим всевозможные действительные значения в зависимости от положения точки на прямой . Записав равенство (1) в координатной форме, получим
Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями прямой.
Пример:
Найти точку пересечения прямой 
с плоскостью 
Решение:
Представим данные уравнения прямой в параметрическом виде, для чего перепишем их следующим образом:
Отсюда
или
Очевидно, что. для нахождения координат искомой точки нужно решить систему
Заменив в последнем уравнении 
и 
их значениями из первых трех уравнений, найдем
откуда 
Подставив найденное значение 
в параметрические уравнения прямой, получим: 
Следовательно, искомая точка имеет координаты (—2; 0; 3).
Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
Пусть требуется найти уравнения прямой , проходящей через точки 
Так как вектор 
коллинеарен прямой , то можно принять его за направляющий вектор. Искомые уравнения напишем как уравнения прямой, проходящей через точку 
и имеющей
направляющий вектор 
Пример:
Дан треугольник с вершинами 
. Составить уравнения медианы 
.
Решение:
Находим координаты точки 
как середины отрезка 
:
Напишем искомые уравнения как уравнения прямой, проходящей через точки 
3. Общие уравнения прямой. Рассмотрим систему
Каждое из уравнений системы (4) в прямоугольной системе координат 
определяет плоскость Если нормальные векторы 
и 
этих плоскостей не коллинеарны (т. е. плоскости не параллельны и не совпадают), то система (4) определяет некоторую прямую как линию пересечения двух плоскостей. Уравнения (4) называются общими уравнениями прямой.
Пример:
Привести к каноническому виду общие уравнения прямой
Решение:
Исключив сначала 
, а затем , получим уравнения 
Разрешим каждое из уравнений относительно 
и
откуда
или
Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве
Пусть прямая и плоскость 
заданы соответственно своими уравнениями
Решая задачи на прямую и плоскость, следует помнить, что для прямой (1) основной характеристикой является направляющий вектор 
, а для плоскости (2) — нормальный вектор 
.
Мы рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся задач на прямую и плоскость в пространстве.
Угол между прямой и плоскостью
Предположим сначала, что прямая не параллельна плоскости и не перпендикулярна ей.
Непосредственно из рис. 37
нетрудно заметить, что синус угла 
между прямой и плоскостью равен косинусу острого угла 
, образованного направляющим вектором 
прямой и нормальным вектором 
плоскости , т. е.
Но
Следовательно
Пример:
Найти угол между прямой
и плоскостью 
Решение:
Имеем: 
По формуле (3) находим
откуда 
.
Условия параллельности прямой и плоскости
Прямая и плоскость параллельны друг другу в том и только в том случае, когда векторы и взаимно перпендикулярны. А для этого необходимо и достаточно, чтобы 
или, в координатной форме,
Мы видим, что формула (3) справедлива и в случае 
— она дает просто 
.
Пример:
При каком значении 
прямая
параллельна плоскости 
Решение:
По формуле (4) имеем
откуда 
.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны в том и только в том случае, когда векторы и параллельны друг другу. А для этого необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны, т. е.
Из этих условий, в частности, следует, что формула (3) сохраняет смысл и при 
, так как (3) и (5) дают 
.
Пример:
При каких значениях 
и 
прямая
перпендикулярна плоскости 
Решение:
Из уравнения прямой имеем 
, а из уравнения плоскости 
. Подставив эти значения в (5), получаем
откуда 
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через точку пространства 
и имеющей нормальный вектор 
(см. рис. 2.6), записывается в виде
Это уравнение вытекает из условия ортогональности (см. п.2.4.) векторов 
и
где 
— произвольная точка плоскости.
Обозначив
получим общее уравнение плоскости в пространстве:
Если прямая параллельна вектору 
(называемому направляющим вектором) и проходит через точку 
, то ее уравнения из условия коллинеарности векторов 
и 
, (где 
— произвольная точка прямой) примут вид
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой линии в пространстве.
Уравнение прямой, проходящей через две точки пространства
записывается в виде
Направляющий вектор этой прямой имеет координаты, равные соответственно
Интерпретируя координаты точек
как координаты трех радиус-векторов
и используя условие компланарности векторов
получим запись уравнения плоскости, проходящей через эти точки, в виде определителя третьего порядка
где 
— радиус-вектор текущей точки , лежащей в искомой плоскости.
Пример:
Даны координаты вершин пирамиды 
:
Требуется составить: 1) уравнения прямой 
; 2) уравнение плоскости, проходящей через точки 
; 3) канонические уравнения прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно плоскости 
.
► 1. Составим уравнения прямой 
, используя приведенную в п. 2.6 формулу уравнений прямой, проходящей через две заданные точки пространства
Подставив координаты точек 
и 
, получаем
Окончательный вид уравнений прямой :
- Составим уравнение грани , используя формулу уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки пространства
- приведенную в п. 2.6. Подставляя координаты точек получаем
Раскладывая последний определитель по первой строке, выводим искомое уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки пространства :
Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Помощь по математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Решение заданий и задач по предметам:
- Математика
- Высшая математика
- Математический анализ
- Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат
Данная статья дает представление о том, как составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Разберем приведенный алгоритм на примере решения типовых задач.
Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой
Пусть задано трехмерное пространство и прямоугольная система координат Oxyz в нем. Заданы также точка М1(x1, y1, z1), прямая a и плоскость α, проходящая через точку М1 перпендикулярно прямой a. Необходимо записать уравнение плоскости α.
Прежде чем приступить к решению этой задачи, вспомним теорему геометрии из программы 10-11 классов, которая гласит:
Через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к заданной прямой.
Теперь рассмотрим, как же найти уравнение этой единственной плоскости, проходящей через исходную точку и перпендикулярной данной прямой.
Возможно записать общее уравнение плоскости, если известны координаты точки, принадлежащей этой плоскости, а также координаты нормального вектора плоскости.
Условием задачи нам заданы координаты x1, y1, z1 точки М1, через которую проходит плоскость α. Если мы определим координаты нормального вектора плоскости α, то получим возможность записать искомое уравнение.
Нормальным вектором плоскости α, так как он ненулевой и лежит на прямой a, перпендикулярной плоскости α, будет являться любой направляющий вектор прямой a. Так, задача нахождения координат нормального вектора плоскости α преобразовывается в задачу определения координат направляющего вектора прямой a.
Определение координат направляющего вектора прямой a может осуществляться разными методами: зависит от варианта задания прямой a в исходных условиях. К примеру, если прямая a в условии задачи задана каноническими уравнениями вида
x-x1ax=y-y1ay=z-z1az
или параметрическими уравнениями вида:
x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ
то направляющий вектор прямой будет иметь координаты аx, аy и аz. В случае, когда прямая a представлена двумя точками М2(x2, y2, z2) и М3(x3, y3, z3), то координаты направляющего вектора буду определяться как (x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).
Алгоритм для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой:
– определяем координаты направляющего вектора прямой a: a→ = (аx, аy, аz);
– определяем координаты нормального вектора плоскости α как координаты направляющего вектора прямой a:
n→ = (A, B, C), где A = ax, B = ay, C = az;
– записываем уравнение плоскости, проходящей через точку М1(x1, y1, z1) и имеющей нормальный вектор n→= (A, B, C) в виде A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0. Это и будет являться требуемым уравнением плоскости, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к данной прямой.
Полученное общее уравнение плоскости: A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 дает возможность получить уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости.
Решим несколько примеров, используя полученный выше алгоритм.
Задана точка М1(3, -4, 5), через которую проходит плоскость, и эта плоскость перпендикулярна координатной прямой Оz.
Решение
направляющим вектором координатной прямой Oz будет координатный вектор k⇀= (0, 0, 1). Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты (0, 0, 1). Запишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М1(3, -4, 5), нормальный вектор которой имеет координаты (0, 0, 1):
A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0⇔⇔0·(x-3)+0·(y-(-4))+1·(z-5)=0⇔z-5=0
Ответ: z – 5 = 0.
Рассмотрим еще один способ решить данную задачу:
Плоскость, которая перпендикулярна прямой Oz будет задана неполным общим уравнением плоскости вида Сz+D=0, C≠ 0. Определим значения C и D: такие, при которых плоскость проходит через заданную точку. Подставим координаты этой точки в уравнение Сz + D= 0, получим: С · 5 + D= 0. Т.е. числа, C и D связаны соотношением -DC=5. Приняв С = 1, получим D = -5.
Подставим эти значения в уравнение Сz + D= 0 и получим требуемое уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой Oz и проходящей через точку М1(3, -4, 5).
Оно будет иметь вид: z – 5 = 0.
Ответ: z – 5 = 0.
Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой x-3=y+1-7=z+52
Решение
Опираясь на условия задачи, можно утверждать, что за нормальный вектор n→ заданной плоскости можно принять направляющий вектор заданной прямой. Таким, образом: n→= (-3, -7, 2). Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку О (0, 0, 0) и имеющей нормальный вектор n→= (-3, -7, 2):
-3·(x-0)-7·(y-0)+2·(z-0)=0⇔-3x-7y+2z=0
Мы получили требуемое уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к заданной прямой.
Ответ: -3x-7y+2z=0
Задана прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном пространстве, в ней – две точки А(2, -1,-2) и B(3, -2, 4). Плоскость α проходит через точку A перпендикулярно прямой АВ. Необходимо составить уравнение плоскости α в отрезках.
Решение
Плоскость α перпендикулярна к прямой АВ, тогда вектор АВ→ будет нормальным вектором плоскости α. Координаты этого вектора определяются как разности соответствующих координат точек В(3, -2, 4) и А(2,-1,-2):
AB→=(3-2, -2-(-1), 4-(-2))⇔AB→=(1, -1, 6)
Общее уравнение плоскости будет записано в следующем виде:
1·x-2-1·y-(-1+6·(z-(-2))=0⇔x-y+6z+9=0
Теперь составим искомое уравнение плоскости в отрезках:
x-y+6z+9=0⇔x-y+6z=-9⇔x-9+y9+z-32=1
Ответ: x-9+y9+z-32=1
Также нужно отметить, что встречаются задачи, требование которых – написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной к двум заданным плоскостям. В общем, решение этой задачи в том, чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, т.к. две пересекающиеся плоскости задают прямую линию.
Задана прямоугольная система координат Oxyz , в ней – точка М1 (2, 0, -5). Заданы также уравнения двух плоскостей 3x + 2y + 1 = 0 и x + 2z – 1 = 0, которые пересекаются по прямой a. Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.
Решение
Определим координаты направляющего вектора прямой a. Он перпендикулярен как нормальному вектору n1→(3, 2, 0) плоскости n→(1, 0, 2), так и нормальному вектору 3x+2y+1=0 плоскости x+2z-1=0.
Тогда направляющим вектором α→ прямой a возьмем векторное произведение векторов n1→и n2→:
a→=n1→×n2→=i→j→k→320102=4·i→-6·j→-2·k→⇒a→=(4, -6, -2)
Таким образом, вектор n→=(4, -6, -2) будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой a. Запишем искомое уравнение плоскости:
4·(x-2)-6·(y-0)-2·(z-(-5))=0⇔4x-6y-2z-18=0⇔⇔2x-3y-z-9=0
Ответ: 2x-3y-z-9=0
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
