Как найти плотность форума

Преобразование Фурье непериодических сигналов

Содержание

Обнаружили ошибку?
Выделите ее мышью
и нажмите

Предельный переход от ряда Фурье к преобразованию Фурье

Использование периодических функций для представления периодических сигналов выглядит вполне логичным и позволяет перевести анализ в частотную область. Таким образом, мы можем заменить сигнал набором спектральных гармоник , путем разложения в ряд Фурье:

(1)

где  — период повторения сигнала. Спектр состоит из дискретных гармоник, равноотстоящих по частоте с шагом рад/с.

Однако, периодические функции могут быть использованы и для частотного представления непериодических сигналов.
В данном разделе мы произведем переход от ряда Фурье (1) к интегральному преобразованию Фурье для непериодических сигналов .

Для начала рассмотрим, что будет происходить, если мы будем увеличивать период повторения периодического сигнала. На рисунке 1 показаны временные осциллограммы периодической последовательности прямоугольных импульсов , а также амплитудный спектр , при различном периоде повторения с, с и с, при амплитуде сигнала равной 2 В.

Рисунок 1. Амплитудный спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
при увеличении периода повторения

Из рисунка 1 видно, что при увеличении периода , гармоники спектра приближаются друг к другу, потому что расстояние между гармониками  обратно пропорционально периоду . Амплитуды гармоник при этом уменьшаются из-за уменьшения средней мощности сигнала на одном периоде повторения.

При увеличении периода повторения до бесконечности, периодический сигнал становится непериодическим, расстояние между гармониками  уменьшатся до нуля (дискретные гармоники сольются в одну сплошную линию), а амплитуды гармоник уменьшатся до бесконечно-малых значений.

Подставим в уравнение (1) для сигнала выражение для коэффициентов ряда Фурье :

(2)

Непериодический сигнал можно получить как предельный переход периодического сигнала (2) при стремящимся к бесконечности:

(3)

Учитывая, что , множитель переходит в бесконечно-малое приращение частоты:

(4)

Значения частот дискретных гармоник:

(5)

и (3) с учетом (4) и (5):

(6)

Сумма бесконечно-малых площадей, где  — основание прямоугольника переходит в интеграл, а переходит в непрерывную переменную :

(7)

Окончательно, из выражения (7) можно выделить пару интегральных преобразований Фурье для непериодического сигнала:

(8)

(9)

Уравнение (8) определяет прямое преобразование Фурье непериодического сигнала. Прямое преобразование Фурье обозначается оператором , ставит в соответствие сигналу непрерывную функцию частоты , которая носит название спектральной плотности сигнала .

Выражение (9) представляет собой обратное преобразование Фурье, которое обозначается оператором и позволяет восстановить сигнал  по его спектральной плотности .

В терминах частоты , выраженной в Гц, с учетом , уравнения (8) и (9) принимают вид:

(10)

(11)

Пояснения понятия спектральной плотности сигнала

Часто спектральную плотность непериодического сигала называют спектром, что не совсем корректно, потому что не определяет конечные амплитуды гармоник сигнала, как это было при разложении периодического сигнала в ряд Фурье, а задает распределение энергии сигнала по оси частот.
Для пояснения отличия понятия спектра периодического сигнала от спектральной плотности непериодического сигнала рассмотрим следующую аналогию.

Пусть имеется стержень длины м, единичной площади , который состоит из сегментов сплава меди и алюминия в различных пропорциях, как это показано на рисунке 2.

Рисунок 2. Стрежень состоящий из сегментов
сплава меди и алюминия в различных пропорциях

Каждый сегмент имеет постоянную плотность , где , но различные сегменты имеют различную плотность. Масса стержня может быть представлена как сумма масс всех сегментов:

(12)

где  — конечные массы отдельных сегментов.

Также как стержень в приведенном примере состоит из отдельных сегментов конечных масс, так и периодический сигнал состоит из суммы дискретных гармоник конечной амплитуды, в соответствии с рядом Фурье.

Предположим теперь, что такой же стержень представляет собой непрерывно-меняющийся по длине сплав меди и алюминия, как это показано на рисунке 3.

Рисунок 3. Стрежень состоящий из непрерывного по длине
сплава меди и алюминия

Плотность такого стержня непрерывно уменьшается по длине. Тогда массу мы не можем представить как сумму конечных дискретных масс, а только как интеграл плотности по длине стержня:

(13)

Другими словами, конечная масса состоит из бесконечного числа бесконечно-малых масс . Размерность плотности при постоянной площади стержня можно выразить в единицах кг/м.

Аналогично, спектральная плотность непериодического сигнала есть непрерывная функция частоты . При этом каждой бесконечно-малой полосе соответствует амплитуда , по аналогии бесконечно-малых масс из которых состоит полная масса стержня.

Единица измерения плотности в приведенном примере кг/м, тогда единица измерения равна сигнал/(единицу полосы), или Вс, если характеризует изменение напряжения.
Таким образом, размерность спектральной плотности непериодического сигнала отличается от размерности спектра периодического сигнала и эти два термина отождествлять не следует.

Связь спектральной плотности непериодического сигнала и огибающей коэффициентов ряда Фурье

В предыдущем параграфе мы привели пояснения понятия спектральной плотности непериодического сигнала физической аналогией с плотностью непрерывного сплава двух металлов. Мы говорили, что спектральная плотность непериодического сигнала представляет собой непрерывную функцию частоты . При этом каждой частоте соответствует бесконечно-малая амплитуда , спектра сигнала.

И хотя физический смысл спектральной плотности отличается от физического смысла спектра периодического сигнала, равно как масса стержня отличается от плотности, но оба этих представления находятся в тесной связи друг с другом. Эту взаимосвязь спектра периодического сигнала и спектральной плотности мы проследим на примере одиночного импульса длительности и его периодических копий.

Пример одиночного импульса показан на рисунке 4 сплошной линией. Обратим внимание, что исходный импульс ограничен по длительности, т.е. при .

Рисунок 4. Периодическое повторение одиночного импульса

Периодический сигнал , показанный на рисунке 4 пунктиром, представляет собой бесконечную сумму копий сигнала , сдвинутых друг относительно друга по времени на величину (чтобы импульсы не перекрывались во времени).

Преобразование Фурье одиночного импульса равно:

(14)

Периодический сигнал имеет дискретный спектр , где , , который равен:

(15)

Сравнивая (14) и (15) на фиксированной секте частот , можно заключить, что:

(16)

Таким образом, если периодический сигнал представляет собой повторенный импульс длительности , то его спектр на сетке частот равен значению спектральной плотности одиночного импульса , деленного на период повторения . При этом приводит размерность спектральной плотности к размерности спектра (равно как объем тела приводит размерность плотности к размерности массы тела).

Непрерывная по частоте спектральная плотность, деленная на период повторения задает непрерывную огибающую дискретного спектра , как это показано на рисунке 5 пунктирной линией.

Рисунок 5. Cпектральная плотность как непрерывная огибающая дискретного спектра

Забегая немного вперед, можем заметить, что периодическое повторение одиночного импульса привело к дискретизации непрерывной по частоте огибающей и переходу к дискретному спектру . Мы еще будем подробно рассматривать этот вопрос в следующих главах.

Условия существования преобразования Фурье

Мы осуществили передельный переход от периодического сигнала к непериодическому при устремлении периода повторения к бесконечности.
При увеличении периода длительность сигнала не увеличивалась. Это можно видеть на рисунке 1, длительность импульса остается постоянной при увеличении периода повторения .

Таким образом мы можем утверждать, что преобразование Фурье (8) и (9) существует для всех ограниченных во времени сигналов , для которых

выполняется условие Дирихле

[1, стр. 165].

Представим теперь, что сигнал не является ограниченным во времени, но затухает настолько быстро, что выполняется условие:

(17)

Говорят, что  — абсолютно интегрируемая функция времени [2, стр. 510], если выполняется (17).

Рисунок 6. График функции

В качестве примера абсолютно интегрируемой функции можно привести , график которой показан на рисунке 6. Поскольку затухает достаточно быстро, то всегда найдется такое конечное , при котором ошибка представления в виде ряда Фурье функции на интервале (при отбрасывании «затухающих хвостов») будет меньше любой конечной величины. Другими словами, «затухающие хвосты» с ростом периода будут оказывать исчезающе слабое влияние.

Таким образом, функция может быть бесконечной, но носить затухающий характер, и при условии абсолютной интегрируемости функции , мы можем использовать преобразование Фурье для расчета ее спектральной плотности.

Можно заметить, что всякий ограниченный во времени сигнал, удовлетворяющий условиям Дирихле также является абсолютно интегрируемым.

Приведенные рассуждения не являются строгим математическим доказательством условий существования преобразования Фурье, а скорее дают интуитивно-понятное разъяснение (17). Строгое доказательство условий существования преобразования Фурье можно найти [1, стр. 199] или в [2, стр. 511].

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели предельных переход от периодического сигнала
к непериодическому и получили выражения для прямого и обратного интегрального преобразования Фурье.

Мы отметили, что в отличии от спектра периодических сигналов, преобразование Фурье непериодического сигнала возвращает спектральную плотность сигнала, выраженную в единицах измерения сигнала, деленного на частоту. Были даны необходимые пояснения к понятию спектральной плотности.

Также были рассмотрены условия существования преобразования Фурье.

В следующих разделе мы рассмотрим

свойства преобразования Фурье,

a также

спектральные плотности некоторых сигналов.

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов

Список литературы

[1]

Теория рядов.
Москва, Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979, 408 с.

[2]

Будак, Б.М., Фомин, С.В.
Кратные интегралы и ряды.
Москва, Наука, 1965, 608 c.

[3]

Баскаков, С.И.
Радиотехнические цепи и сигналы.
Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[4]

Гоноровский И.С.
Радиотехнические цепи и сигналы
Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[5]

Дёч, Г.
Руководство по практическому применению преобразования Лапласа.
Москва, Наука, 1965, 288 c.

[6]

Bracewell R.
The Fourier Transform and Its Applications
McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:42:44)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14

• #1

в домашних условиях? в Фотошопе можно?
в госте (книжные издания для детей) есть такой пункт:

При печати на цветном, сером фоне, участках многокрасочных иллюстраций оптическая плотность фона должна быть не более 0,3

можно эти 0,3 как-то в фотошоповскую сумму красок преобразовать?

• #2

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

45 просмотров и ни одного ответа :/
может, я не в ту ветку написала?

• #3

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

Да как, как…
Берём денситометр на отражение и меряем.
В ГОСТ и СанПин правила измерения приведены.

В общем случае в CMYK не перевести, т.к. слишком многое зависит от бумаги, условий печати.

P.S. И напомните, 0.3 в каких там попугаях?
И абсолютная, или относительная оптическая плотность?

• #4

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

если б у меня был дома денситометр, я бы не спрашивала
понятно, что все относительно, но неужели никто не пытался даже примерно перевести?
допустим есть еще издательства, для которых гост не пустой звук, так неужели там сначала печатают, а потом меряют? что-то не верится ))

очень надеялась, что мне здесь помогут, т.к. мне

на уровне подготовки макета

надо сделать все по госту…

• #5

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

Используйте пастельные тона на которых текст достаточно контрастен.
Но опять таки… Слишком много зависит от бумаги, т.к. одно дело мелованная, другое офсетная, совсем третье – типографская.
В принципе, можно взять карту цветового охвата, одолжить денситометр, промерить и разметить.

• #6

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

в домашних условиях? в Фотошопе можно?
в госте (книжные издания для детей) есть такой пункт:
При печати на цветном, сером фоне, участках многокрасочных иллюстраций оптическая плотность фона должна быть не более 0,3
можно эти 0,3 как-то в фотошоповскую сумму красок преобразовать?

Предложение вырвано из контекста. Какой цветной/серый фон – тонированной бумаги?
Если говорят о плотности, то она равна D=-Log(I/Iо), где I – отражённый свет в точке измерения после запечатки, Iо – отражённый свет от незакатанной основы.

• #7

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

очень надеялась, что мне здесь помогут, т.к. мне

на уровне подготовки макета

надо сделать все по госту…

Ну да, в пятницу после 15:00…
А цвет фона играет не меньшую роль (если не бОльшую), чем его оптическая плотность. Особенно для детских книжек.

• #8

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

Используйте пастельные тона на которых текст достаточно контрастен.
Но опять таки… Слишком много зависит от бумаги, т.к. одно дело мелованная, другое офсетная, совсем третье – типографская.
В принципе, можно взять карту цветового охвата, одолжить денситометр, промерить и разметить.

я не могу использовать пастельные тона, я буду использовать те иллюстрации, какие дадут, а они к сожалению, совсем не пастельные

… гм, даже если я и найду где одолжить (что врядли), то промерить и разметить, это вообще из области фантастики, я этого никогда не делала

Предложение вырвано из контекста. Какой цветной/серый фон – тонированной бумаги?
Если говорят о плотности, то она равна D=-Log(I/Iо), где I – отражённый свет в точке измерения после запечатки, Iо – отражённый свет от незакатанной основы.

понимаете, это вам эти уравнения о чем-то говорят…
у меня нет запечатки, нет незакатанной основы, нет денситометра.

Мне такая в голову мысль пришла
1 (единица) это что такое у денситометра? как бы это… типа максимум непрозрачности?
А у меня будет матовая мелованая бумага, сумма красок максимум 300%
Что если такое уравнение составить:
1 – 300%
0,3 – х
х = 100%

примерно

• #10

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

45 просмотров и ни одного ответа :/
может, я не в ту ветку написала?

все задающие вопрос почему-то думают, что до них никого не было
и Дух Божий носился над водою(с)
ан нет – было
http://forum.rudtp.ru/showthread.php?t=39065

• #11

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

1 (единица) это что такое у денситометра? как бы это… типа максимум непрозрачности?
Нет.

Что если такое уравнение составить:
1 – 300%
0,3 – х
х = 100% примерно

Ну, в светах может и прокатит +- пол метра, но все краски обладают своей оптической плотностью по нормам и CMYK не симметричен.
И TIL здесь непричём, тогда уж его за 400% считать, как самый тёмный достижимый цвет (то, что его не могут напечатать по техническим ограничениям не значит, что его не существует )

• #12

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

все задающие вопрос почему-то думают, что до них никого не было
и Дух Божий носился над водою(с)
ан нет – было
http://forum.rudtp.ru/showthread.php?t=39065

вы читали те темы? я их видела (да, я сначала пользуюсь поиском, а потом создаю свою глупую тему) и читать пыталась, поняла мало что. Не могли бы вы резюмировать относительно сабжевого вопроса – как определить в домашних условиях?

• #13

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

какая жалость
так и думала, что не прокатит

• #14

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

… гм, даже если я и найду где одолжить (что врядли)

А чем JAW плох? Вроде в одном городе,

то промерить и разметить, это вообще из области фантастики, я этого никогда не делала

Было бы желание. Не думаю, чтобы он отказал в помощи.

• #15

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

Проблема в том, что когда писались ГОСТы, PhotoShop исчо не придумали….
Также, создатели PhotoShop никогда не слышали про ГОСТы.

Про денситометры.
Опт. плотность 100% Yellow при печати 0,9-1,25. (разные бумаги). А 100% Magenta, например 1,3-1,45 (тоже разные бумаги). Напечатанный чёрный текст на 100% желтом фоне легко читается. А на 100% пурпурном?

У ТС фоном будут являться картинки. Там будут и светлые и тёмные участки состоящие из CMYK. Значит и ориентироваться надо на С100М100Y100B100.
Измерения клина 0000-100100100100 показали, что необходимая опт. плотность находится на границе C20M20Y20B20.
Т.е. при обработке изображений не надо выходить за этот предел. НО.
Например, чёрного в картинке может не быть. Поэтому определите Lab, соответствующий вашей бумаге при C20M20Y20B20. И постарайтесь не выходить за предел L. Жёлтый – светлый, и его может быть намного больше 20%
Дальше и самой должно быть понятно…

• #16

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

Да проще можно…Для детский книг не делать выворотку. Оставьте детским глазкам хоть немного, а лучше побольше чистого цвета бумаги. Не надо его пачкать дизайнерскими изысками. Шрифт покрупнее, попроще. Картинку посветлее.. Это как мультик про “ёжика в тумане” отличается от “чёрного плаща”. А ГОСТ, хм… Решат штрафануть бравые ребята, то штрафанут. И гост не поможет

• #17

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

Предлагаю “отмазку” для неподготовленного санинспектора:
Для мелованной полуглянцевой бумаги – 100% черной краски должна иметь плотность 1,6 и значение светлоты L=16 (по ISO)
Плотность 0,3 будет иметь ~19% черной краски и значение светлоты L=88
100% Сyan – 1,45; плотность 0,3 будет при 21% -L=88
100% Magenta – 1,45; плотность 0,3 будет при 21% -L=87
100% Yellow – 1,3 плотность 0,3 будет при 23% -L=98
из этого делаем вывод фон для печати на полуглянцевой мелованной бумаге не должен быть темнее L=87 – что в шопе проконтролировать легко.
На офсетной бумаге ниже плотность, но выше растискивание, так, что если держать светлоту фона не менее L=90 – гарантированно требования стандарта будут выдержаны.

Не по теме:
завтра на работе замерю светлоту 20% Magenta и ее плотность. Спасибо за вопрос, как оказалось мне он тоже актуален – халтурю на детских книжках

• #18

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

sasa, Igor Bon спасибо вам огромное!

• #19

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

Да проще можно…Для детский книг не делать выворотку. Оставьте детским глазкам хоть немного, а лучше побольше чистого цвета бумаги. Не надо его пачкать дизайнерскими изысками. Шрифт покрупнее, попроще. Картинку посветлее.. Это как мультик про “ёжика в тумане” отличается от “чёрного плаща”. А ГОСТ, хм… Решат штрафануть бравые ребята, то штрафанут. И гост не поможет

эх, да я бы с удовольствием ))
только вот книги переводные, иллюстрации забугорные, а там такими вещами как выворотка и рубленные шрифты в принципе не заморачиваются
вот и думаешь как на фоне темного неба текст расположить

• #20

Ответ: Как определить оптическую плотность фона

Пока не за что- завтра промеряю библию цветов денситометром и спектрофотометром – проверю теорию. На темном фоне (вывородке) видимо действует пункт о разнице плотностей в 0,7 между фоном и шрифтом. Тут L не задействуешь из-за нелинейности, может разницу Яркости из HSB использовать?

Онлайн-калькулятор плотности, который поможет вам определить соотношение между плотностью, массой и весом объекта с помощью формулы плотности. В этом калькуляторе есть небольшая, но очень важная опция, где вы можете легко определить плотность объекта по категории и названию материала. Если вы хотите получить краткие сведения о том, как рассчитать плотность по формуле, продолжайте читать!

Кроме того, вы можете попробовать наш онлайн-калькулятор импульса, который поможет вам найти импульс движущегося объекта, а также определить массу объекта.

Читать дальше!

Что такое формула плотности?

Расчеты не слишком сложные, а очень простые. Просто введите значения в следующее уравнение плотности, чтобы легко вычислить любую из требуемых переменных:

р = м / В

Где,

V – объем & m – масса объекта.

Если вы хотите найти объем с помощью плотности и массы, калькулятор плотности использует формулу:

V = м / п

Чтобы найти массу с плотностью и объемом, рассмотрите следующую формулу:

т = р * V

Плотность можно определить как массу на единицу объема объекта. Со значениями введите единицы измерения, и этот калькулятор выполнит преобразование единиц измерения.

Как найти плотность объекта по массе и объему (шаг за шагом):

Рассчитать плотность с помощью этого расчет плотности очень просто. Вы можете найти любое из трех значений, введя два значения в формулу. Вот пример для каждого расчета:

Проведите по!

Пример:

Объект весил около 150 г и объем 90 см3. Найти плотность объекта?

Решение:

Формула:

р = м / В

Вот,

m = 150 г

V = 90 см3

Так,

р = 150/90

p = 1,66 г · см-3

как определить плотность объем по и массе:

Вы можете легко определить объем объекта, изменив уравнение плотности. Давайте посмотрим на пример:

Пример:

Какой у тела объем, если его масса 500 г, а плотность 4 см-3?

Решение:

Формула:

V = м / п

Вот,

м = 500г

р = 4 см-3

Так,

V = 500/4

V = 125 см3

Как найти массу объекта с учетом плотности и объема:

Расчет массы по объему и плотности становится простым. Просто следуйте следующему примеру:

Пример:

Объем объекта 200 см3, а плотность 9 см-3, какова масса объекта?

Решение:

Формула:

т = р * V

Вот,

V = 200 см3

р = 9 см-3

Так,

т = (9) * (200)

м = 1800г

Какая плотность воды?

Плотность воды между 0 ° C и 4 ° C обычно составляет 100 кг / м3, но она меняется в зависимости от температуры. При повышении температуры объем материала увеличивается. Согласно формуле, объем и плотность обратно пропорциональны друг другу, в конечном итоге плотность материала уменьшается. Плотность воды при различных температурах приведена в следующей таблице:

Стол

Ниже приведена таблица единиц, в которой плотность обычно выражается плотностями некоторых материалов.

Столы

Как пользоваться калькулятором плотности:

Следуйте данным инструкциям по расчету с помощью этого онлайн-инструмента. С помощью этого калькулятора вы можете производить расчеты в простом и продвинутом режимах. Давайте взглянем!

Входы:

• Прежде всего, выберите во вкладке то, что вам нужно найти.
• Затем введите значения во все обозначенные поля в соответствии с выбранной опцией.
• Наконец, нажмите кнопку “Рассчитать”.

Выходы:

Как только вы заполните все поля, калькулятор покажет:

• Плотность объекта
• Масса объекта
• Объем объекта
• Корень кубический из объема

Заметка:

Есть дополнительное поле, где вы можете ввести категорию материала и название материала, этот калькулятор найдет плотность выбранного материала. Если вы не знаете значение объема, используйте предварительный вариант этого калькулятора для расчета объема, в противном случае используйте простой режим.

Заключение:

Плотности широко используются для идентификации чистых веществ и определения состава различных видов смесей. В реальной жизни это полезно, когда выясняется, что что-то будет плавать в воде, и важно при расчете объема и массы вещества. Когда дело доходит до расчетов, запишите онлайн-калькулятор плотности, который поможет вам в кратчайшие сроки найти взаимосвязь между массой, объемом и плотностью вещества.

Others Languages:Density Calculator, Yoğunluk Hesaplama, Kalkulator Gęstości, Kalkulator Kepadatan, Dichte Rechner, 密度 計算, 밀도 계산, Výpočet Hustoty, Cálculo De Densidade, Calcul Densité, Calculadora De Densidad, Calcolo Densità, حساب الكثافة, Tiheys Laskuri, Massefylde Beregning, Tetthets Kalkulator.