Как найти плотность кристаллической решетки

Расчет теоретической плотности кристаллических веществ

Теоретическую
плотность кристаллических веществ
нередко и наиболее точно определяют с
помощью рентгенографического метода
(рассчитанная таким образом плотность
носит название рентгенографической).
При определении плотности по данным
рентгенографического анализа используется
связь значений плотности вещества с
атомными массами составляющих его
элементов и объемом, занимаемым ими.

Для
определения рентгенографической
плотности необходимо знать объем
элементарной ячейки (V₀),
число атомов (Z)
в ней и суммарную массу этих атомов.
Тогда масса атомов в элементарной ячейке
равна

(A/N₀)
Z,
[г], где

A/N₀
– масса одного атома в граммах; N₀
= 6,0224102 (число Авогадро),

А – грамм–атом.

Таким образом,
плотность равна:

ρ
= (A·Z
/ N₀)·(1/
V₀),
[г/см³],

При
переводе значений объема элементарной
ячейки из кубических ангстремов в
кубические сантиметры в знаменателе
формулы появляется V₀·10^–24,
тогда

ρ=1,6602
(A·Z/V₀),
[г/см³].

Объем
элементарной ячейки определяется исходя
из сингонии и формально–геометрических
соображений (Приложение 3).

Значение
рассчитанной таким образом плотности
кристаллического вещества характеризует
идеализированную кристаллическую
решетку с реальными параметрами.
Справочные значения плотности, как
правило, будут отличаться от
рентгенографической в меньшую или
большую сторону. Эта разница может быть
вызвана наличием в реальных кристаллах
примесей, дефектов кристаллической
решетки, внутренних напряжений

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте
   определение кристаллического тела.

2. Что
   понимают под атомно–кристаллической
   структурой?

3. Что
   такое кристаллическая решетка?

4. Назовите
   основные типы кристаллических решеток
   для металлов.

5. Сколько
   атомов приходится на элементарную
   ячейку ОЦК, ГЦК и ГПУ решеток?

6. В
   каких единицах измеряется период
   решетки?

7. Что
   понимают под индексом Миллера?

8. Что
   характеризует координационное число?

9. Дайте
   понятие плотности поликристаллических
   веществ.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ
РАБОТЫ

1.
Изучить предложенную теоретическую
часть и дидактическое обеспечение.

2. Выбрать вариант в соответствии с
порядковым номером в учебном журнале
и выполнить следующие задания:

Задание
1. Из таблицы 1 взять предложенные
исходные данные в соответствии с номером
выбранного варианта.

1.а
определить индексы плоскости и
направления, изображенных на рисунке;

1.б изобразить в элементарной ячейке
кубической решетки плоскость и
направление, индексы которых даны в
задании.

Задание 2. Рассчитать плотность
металла, используя данные о его
кристаллической решетке в соответствии
с номером варианта (таблица 2).

Формулы для расчета объема элементарной
ячейки приведены в приложении 2.

Сравнить полученные результаты расчета
со справочными данными (Таблица 3).

3. Сделать вывод по результатам работы.

4. Оформить отчет.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1. Тема
   работы, номер варианта.

2. Рисунок
   элементарной ячейки кубической решетки,
   приведенный в задании с указанием
   найденных индексов Миллера; рисунок
   элементарной ячейки с изображением
   плоскости и направления, приведенных
   в задании.

3. Расчет
   плотности металла.

4. Вывод
   по работе.

Таблица 1

Варианты
задания 1

№ варианта	Задание 1 а Определить индексы плоскости и направления, изображенных на рисунке	Задание 1 б Изобразить в элементарной ячейке кубической решетки плоскость и направление, индексы которых даны
1	2	3
1		() []
2		[]
3		() []
Продолжение таблицы 1
1	2	3
4		(1 0 1) [1 0 1]
5		() []
6		() []
Продолжение таблицы 1
1	2	3
7		() []
8		() []
9		() []
10		() []
Продолжение таблицы 1
1	2	3
11		() []
12		() []
13		() []
Продолжение таблицы 1
1	2	3
14		() []
15		() []
16		() []
17		() []
Продолжение таблицы 1
1	2	3
18		() []
19		() []
20		() []
Продолжение таблицы 1
1	2	3
21		() []
22		() []
23		() []
Окончание таблицы 1
1	2	3
24		() []
25		() []

Таблица 2

Варианты задания 2

№ ва-риа-нта	Наименование и характеристика металла	Синго-ния	Кристал-лическая решетка	Парамет-ры элементарной ячейки	Основные свойства и область применения
1	2	3	4	5	6
1	Золото – Au, благородный металл желтого цвета	Куби-ческая	ГЦК	а=4,0783 Å	Основной валютный и денежный металл, используется на украшения, предметы роскоши, в физических и химических приборах
2	Медь – Cu, металл медно-красного цвета	Куби-ческая	ГЦК	а=3,6153 Å	Ковкий, пластичный, электропроводный, диамагнитный; широко применяется в электротехнике, машиностроении, для изготовления различных приборов, посуды и др .
3	Платина – Pt, металл серебристо-белого цвета	Куби-ческая	ГЦК	а=3,924 Å	Температура плавления 1773˚C; твердость 4; электропроводен, парамагнитен; используется в электротехнике, в физических и химических приборах, в том числе для изготовления термопар
4	Серебро – Ag, металл серебристо-белого цвета	Куби-ческая	ГЦК	а=4,0856 Å	Применяется в сплавах с медью для изготовления серебряных изделий, монет и др. Чистое серебро употребляется для филигранных работ, изготовления тиглей для плавления щелочей, серебрения и других целей
5	Алюминий – Al, металл серебристо-белого цвета	Куби-ческая	ГЦК	а=4,041 Å	Температура плавления 600˚C; высокая электропроводность; применяется для изготовления элементов конструкций и деталей (трубопроводы, кабели, электропровода, фольга)
6	Железо – Fe, металл серо-стального цвета	Куби-ческая	ОЦК	а=2,860 Å	Твердость 4-5; обладает ковкостью; до температуры 768˚C – магнитно. Сплавы железа с углеродом (стали, чугуны) и с другими металлами используется во всех отраслях экономики
Продолжение таблицы 2
1	2	3	4	5	6
7	Никель – Ni, металл серебристо-белого цвета	Куби-ческая	ОЦК	а=3,489 Å	Электропроводен, магнитен; широко применяется в качестве добавки для получения сталей и сплавов с особыми физическими свойствами (магнитно-твердые стали и сплавы)
8	Магний – Mg, металл светло-серого цвета	Гекса-гональ-ная	ГПУ	а=3,103 Å с=5,200 Å	Температура плавления 650˚C; на воздухе легко воспламеняется. Применяется в пиротехнике и химической промышленности. Сплавы на основе магния широко используются в авиационной и ракетной технике
9	Литий – Li, металл серебристо-белого цвета	Куби-ческая	ОЦК	а=3,509 Å	Относится к щелочным металлам. Самый легкий из металлов, химически очень активен. Используется для раскисления, легирования и модифицирования сплавов, как теплоноситель в ядерных реакторах, анод в химических источниках тока; в керамике, медицине
10	Бериллий – Be, металл светло-серого цвета	Гекса-гональ-ная	ГПУ	а=2,286 Å с=3,584 Å	Легкий, твердый. Применяют в электротехнике, самолето- и ракетостроении, для бериллизации, в ядерных реакторах
11	Натрий – Na, металл серебристо-белого цвета	Куби-ческая	ОЦК	а=4,291 Å	Относится к щелочным металлам. Мягкий, легкий, легкоплавкий (температура плавления 97,83˚C) Применяют для получения чистых металлов; как теплоноситель в ядерных реакторах. Участвует в минеральном обмене всех живых организмов
12	Калий – K, металл серебристо-белого цвета	Куби-ческая	ОЦК	а=5,247 Å	Относится к щелочным металлам. Мягкий легкоплавкий. Постоянная составляющая тканей растительных и животных организмов. Соли используют как удобрения. Сплавы калия и натрия – теплоносители в ядерных реакторах
Продолжение таблицы 2
1	2	3	4	5	6
13	Кальций – Ca, металл серебристо-белого цвета	Куби-ческая	ГЦК	а=5,582 Å	Относится к щелочноземельным металлам. Химически очень активен. Применяется как активный восстановитель металлов из их соединений; для раскисления сталей, бронз. Препараты кальция используются в медицине
14	Титан – Ti, металл серебристо-белого цвета	Гекса-гональ-ная	ГПУ	а=2,950 Å с=4,683 Å	Легкий, тугоплавкий, прочный, пластичный. Очень стоек химически. Титан и его сплавы применяются в авиа-, ракето-, кораблестроении; в химической промышленности
15	Ванадий – V, металл серо-стального цвета	Куби-ческая	ОЦК	а=3,028 Å	Твердый, устойчив к действию воды и многих кислот. Легирующий компонент конструкционных сталей и сплавов, применяемых в авиационной и космической технике, морском судостроении; компонент сверхпроводящих сплавов. Соединения используют в текстильной, лакокрасочной, стекольной промышленности
16	Хром – Cr, металл голубовато-серебристого цвета	Куби-ческая	ОЦК	а=2,885 Å	На воздухе не окисляется. Обязательный компонент нержавеющих, кислотоупорных, жаростойких сталей. Применяют для хромирования
17	Кобальт – Co, металл серебристо-белого цвета с красноватым оттенком	Гекса-гональ-ная	ГПУ	а=2,505 Å с=4,089 Å	Ферромагнитен, химически стоек. Радиоактивный элемент используют как источник γ-излучения в медицине и технике. Входит в состав витамина В12
18	Цинк – Zn, металл серебристо-белого цвета	Гекса-гональ-ная	ГПУ	а=2,665 Å с=4,947 Å	Температура плавления 419,5˚C. Применяют в щелочных аккумуляторах, для цинкования, получения сплавов
19	Цирконий – Zr, металл серебристо-белого цвета	Гекса-гональ-ная	ГПУ	а=3,231 Å с=5,731 Å	Твердый, тугоплавкий (температура плавления 1855˚C). Химически очнь стоек. Входит в состав сплавов для изготовления химической аппаратуры, хирургических инструментов; для жаростойкой керамики; для ядерной энергетики
Окончание таблицы 2
1	2	3	4	5	6
20	Ниобий – Nb, металл светло-серого цвета	Куби-ческая	ОЦК	а=3,301 Å	Тугоплавкий (температура плавления 2500˚C). Компонент жаростойких и химически стойких сталей; покрытия тепловыделяющих элементов ядерных реакторов
21	Молибден – Mo, металл светло-серого цвета	Куби-ческая	ОЦК	а=3,147 Å	Тугоплавкий (температура плавления 1890˚C), химически стоек. Применяется для легирования чугунов и сталей, используемых в авиа- и автомобилестроении. Важный конструкционый материал для изготовления нитей электрических ламп и катодов для лектровакуумных приборов
22	Кадмий – Cd, металл серебристого цвета с синеватым отливом	Гекса-гональ-ная	ГПУ	а=2,979 Å с=5,618 Å	Мягкий, легкоплавкий. Применяется для кадмирования; в мощных аккумуляторах; ядерной энергетике. Многие соединения кадмия ядовиты
23	Вольфрам – W, металл светло-серого цвета	Куби-ческая	ОЦК	а=3,165 Å	Наиболее тугоплавкий из металлов. Компонент жаропрочных сверхтвердых сталей (инструментальные, быстрорежущие) и сплавов. Используется в электротехнике и радиоэлектронике
24	Свинец – Pb, металл синевато-серого цвета	Куби-ческая	ГЦК	а=4,950 Å	Тяжелый, мягкий, ковкий. Используют для изготовления пластин для аккумуляторов, оболочек электрических кабелей, защиты от γ-излучения, как компонент типографских и антифрикционных сплавов, полупроводниковых материалов
25	Барий – Ba, металл серебристо-белого цвета	Куби-ческая	ОЦК	а=5,025 Å	Мягкий. Относится к щелочноземельным металлам. Химически очень активен, при нагревании воспламеняется. Применяют в вакуумной технике как газопоглотитель, в типографских и подшипниковых сплавах

Таблица
3

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

1.1. Структурная плотность кристаллических решеток твердых тел

Проблема структурной плотности кристаллических решеток как показателя условий минералообразования в свое время оживленно дискутировалась, соответствующий обзор приведен в работе (Евзикова и Ициксон, 1969), где авторами были предложены следующие параметры: η – число структурных единиц (атомов, молекул) в единице объема; Ω – абсолютная структурная рыхлость или объем, приходящийся в среднем на каждую структурную единицу минерала. Взаимосвязь этих параметров выражается формулой:

                      (1.1)

где: η – число структурных единиц в формуле минерала; Z – число формульных единиц в элементарной ячейке, а V_o – ее объем.

При всей очевидной ясности физического смысла параметров η и Ω необходимо указать на их недостаточность для характеристики структурной плотности минералов. Это фактически признается самими авторами в статье (Евзикова и Ициксон, 1969), где для реальных, практических оценок используется другая характеристика структурной рыхлости:

                            (1.2)

где: М – молекулярная масса минерала (г/моль); ρ – плотность минерала (г/см3); n – число атомов в формуле соединения.[1]

Вопреки первоначальной негативной оценке (Наковник, 1972; Доливо-Добровольский, 1973), мы считаем эту характеристику минералов весьма ценной, и ее возможности в описании и предсказании свойств минералов будут продемонстрированы в соответствующем разделе.

Представляется очевидным, что по своему физическому смыслу параметр h должен быть одинаковым для решеток различных минералов, обладающих одним и тем же структурным типом. Однако в реальности это далеко не соблюдается, в чем легко убедиться при сравнении параметров η для группы кристаллов, обладающих решеткой типа галита (NaCl) – галенита (PbS) (таблица 1.1).

Таблица 1.1

Параметры η для кристаллов с решеткой типа NаCl-PbS

Кристалл	η	Кристалл	η	Кристалл	η
LiF	0,122	NaF	0,081	AgI	0,036
MgO	0,107	MnS	0,056	PbTe	0,030
FeO	0,101	NaCl	0,045	KI	0,023
MnO	1,091	PbS	0,038	RbI	0,020

Крайние члены (первый и последний) в этой таблице различаются по параметру η более чем в 6 раз! Аналогичная картина имеет место при рассмотрении кристаллов других структурных типов. Следовательно, необходим другой, более корректный параметр структурной плотности, в качестве которого мы рекомендуем относительную структурную плотность кристаллической решетки – γ, который входит в новую кристаллохимическую формулу плотности минералов (Богданов и Зуев, 1991):                                

                                  (1.3)                                                                                              

где 1,66 – константа, служащая для выражения плотности в г/см3, она равна атомной единице массы (а.е.м.) 1,66×10^-24г, поделенной на коэффициент перевода кубических ангстремов в кубические сантиметры (1 Å = 10-8 см); n – число атомов в формуле минерала; d (Å) – параметр межатомных расстояний.

В случае сложных минералов в качестве параметра d необходимо использовать усредненные для структуры величины межатомных расстояний. Например, для форстерита Mg₂^[6]Si^[4]O₄^[4], в котором d_ср.(Mg-O₆) = 2,12 Å и d_ср.(Si-O₄) = 1,63 Å, усреднение межатомных расстояний с учетом координационных чисел (КЧ) атомов и их количеств в формуле минерала приводит к <d> = (2,12x6x2 + 1,63x4x1)/16 = 2,0 Å.

Параметры γ определяются КЧ атомов (см. рис. 1.1 и таблицу 1.2).

 

 

 Таблица 1.2

Значения коэффициентов абсолютной и относительной плотности упаковки атомов в зависимости от их координационных чисел (Поваренных, 1963)

КЧ	v, %	γ	КЧ	v, %	γ	КЧ	v, %	γ
1	8,0	0,15	6	52,4*	1,00	11	73,4	1,40
2	17,0	0,32	7	60,8	1,16	12	74,0*	1,42
3	24,1(16,9*)	0,46	8	68,0*	1,30	13	–	1,50
4	34,0*	0,65	9	70,0	1,35	14	–	1,58
5	43,5	0,83	10	72,3	1,38

Величины v, % характеризуют степень заполнения пространства равновеликими шарами (атомами). Параметры γ получены делением рассчитанных (отмечены звездочками) и интерполированных (рис. 1.1) величин v на величину v = 52,4%, отвечающую КЧ = 6 для структурного типа кристалла NaCl.

Однако можно вывести строгую формулу оценки g из кристаллохимических данных. Такую возможность дает сопоставление формулы (1.3) с известной рентгенометрической формулой плотности:

ρ= 1,66ZM / V_o                                 (1.4)

Комбинируя эти две формулы, получим:

γ = Znd³ / V_o                                   (1.5)

Расчет по формуле (1.5) для всех кристаллов (таблица 1.1) дает одинаковую структурную плотность γ = 1, что представляется вполне естественным, поскольку речь идет об одном и том же структурном типе кристаллов. Заметим, что формула (1.5) отличается от ранее предложенной формулы (1.1) лишь введением дополнительного параметра межатомных расстояний d, т. е. фактически уточняет последнюю.

В таблице 1.3 приведены вычисленные по формуле (1.5) параметры γ для некоторых других распространенных структурных типов минералов.

Таблица 1.3

Параметры структурной плотности для некоторых распространенных структурных типов минералов

Структурный тип	γ	Структурный тип	γ
NaCl, PbS	1,0	Cu2O (куприт)	0,49
CsCl, a-Fe	1,3	SiO2 (кварц)	0,33
Cu, Ag, Au	1,42	CaF2 (флюорит)	1,00
C (алмаз), ZnS	0,65	CaWO4 (шеелит)	0,85
FeS2 (пирит)	0,87	Ca3Al2Si3O12 (гранат)	0,88
FeS (троилит)	1,00	Mg2SiO4 (форстерит)	0,77
Al2O3 (корунд)	0,82	ZrSiO4 (циркон)	0,74
TiO2 (рутил)	0,72	CaTiO3 (перовскит)	1,31
PbCl2 (котунит)	1,15	Ca5[PO4]3F (апатит)	0,93
Al2SiO4F2 (топаз)	0,62	CaCO3 (кальцит)	0,65
Al2SiO5 (кианит)	0,65	CaCO3 (арагонит)	0,93
MgAl2O4 (шпинель)	0,78	BaSO4 (барит)	1,22
NaCaNb2O6F (пирохлор)	0,95	K2SO4 (арканит)	1,23
Fe2TiO5 (псевдобрукит)	0,70	Ba[NO3]2 (нитробарит)	0,87
YTiNbO6 (приорит)	0,84	CePO4 (монацит)	0,92
CaMn2O4 (марокит)	1,01	FeWO4 (вольфрамит)	0,75
La2O3	1,01	Cu2S (халькозин)	0,81
CuO (тенорит)	0,74	NiS (миллерит)	0,93
CaSO4 (ангидрит)	0,77	Na2SO4 (тенардит)	0,82
Ni3S2 (хизлевудит)	0,87	MgSiO3 (энстатит)	0,68
Co4[As4]3 (скуттерудит)	0,77	Mg7[Si8O22](OH)2 (антофиллит)	0,62
S8 (самородная сера)	0,34	Ca2Mg5[Si8O22](OH)2 (тремолит)	0,72
Se (селен цепной стр-ры)	0,46	Mg6[Si4O10](OH)8 (серпентин)	0,62
В (кристаллический бор)	0,76	Al2SiO5 (андалузит)	0,56
MoS2 (молибденит)	0,73	Al2SiO5 (силлиманит)	0,55
Hg2Cl2 (каломелит)	0,67	K2NiF4	1,1
BiF3 (Li3Bi)	1,60	MgCu2	1,69
Mn2O3 (биксбиит)	0,78	SnJ4	0,4
MoO3 (молибдит)	0,67	PbO (глет)	0,62

Согласно (Поваренных, 1963) (см. также таблицу 1.2), переход от γ к абсолютной плотности упаковки v осуществляется по формуле:

v = 52,4γ,                                      (1.6)

где 52,4 есть выраженная в % степень заполнения пространства равновеликими соприкасающимися атомами-шарами в решетке типа NaCl с октаэдрической координацией атомов. Поскольку из формулы (1.6) γ = v / 52,4, то физический смысл параметра γ состоит в степени заполнения атомами пространства для рассматриваемого структурного типа по отношению к структурному типу NaCl. Соответственно параметр γ может быть охарактеризован как относительная структурная плотность решетки минерала.

Близким к параметру v, согласно данным работы (Наковник, 1972), является так называемый упаковочный индекс s (таблица 1.4).

Таблица 1.4

Сопоставление соответствующих параметров абсолютной плотности упаковки и упаковочных индексов в ряде минералов

Минерал	v, %	s, %	Минерал	v, %	s, %	Минерал	v, %	s, %
Алмаз	34	26	Жадеит	42	49	Берндтит	39	32
Стишовит	38	32	Алтаит	52	53	Селлаит	39	32
Корунд	43	45	Пирит	46	50	Натролит	27	33
Мусковит	43	42	Кварц	17	21	Халькозин	44	55
Форстерит	40	52	Тридимит	14	19	Анальцим	26	32
Пироп	47	46	Андалузит	30	31	Торианит	52	61

Рассмотренная концепция структурной плотности и способ нахождения параметра γ по формуле (1.5) относится, как отмечалось, к упаковкам равновеликих сфер. Однако эти данные можно распространять также и на катион-анионные упаковки разновеликих сфер, что следует из работы (Ye Danian, Zhang Jinmin, 1991). К тому же реальные, иначе называемые эффективными размеры катионных и анионных компонентов в гетероатомных минералах довольно близки, о чем свидетельствуют результаты соответствующих расчетов. Следует также оговориться, что формула (1.6) справедлива для упаковок из соприкасающихся сфер и следующих граничных условий 1,42 ≥ γ ≥ 0, где γ = 1,42 отвечает случаю плотнейших металлических упаковок с КЧ = 12.

Итак, структурную плотность кристаллов можно выражать либо в виде относительной (γ), либо в виде абсолютной (v) плотности упаковки атомов.

В качестве примеров в таблицах 1.5 и 1.6 приведены результаты оценок γ и v по формулам (1.5) и (1.6) для ряда групп полиморфных модификаций минералов. Поскольку в таблице 1.5 в пределах каждой из групп минералов (модификаций) идентичного состава КЧ атомов одинаковы, а межатомные расстояния М-Х довольно близки (Поваренных, 1966), то заметная разница в плотностях модификаций идентичного состава объясняется соответствующим различием плотностей упаковок (γ, v), причем эта зависимость, естественно, симбатная. В таблицах 1.6 и 1.7 имеет место более радикальный рост r в зависимости от роста γ(v), что связано с последовательным увеличением КЧ катионов в рассматриваемом ряду кристаллов состава MgSiO₃ и SiO₂.

Таблица 1.5

Структурная плотность некоторых кристаллических модификаций минералов в сопоставлении с их плотностью

Формула	Название модификации	γ	v, %	ρ, г/см3
SiO2	Коэсит	0,37	19,4	2,9
“	a-Кварц	0,33	17,3	2,65
“	b-Кварц	0,32	16,8	2,53
“	Кристобалит	0,29	15,1	2,3
“	Тридимит	0,275	14,4	2,2
“	Меланофлогит	0,25	13,1	2,0
TiO2	Рутил	0,72	37,7	4,3
“	Брукит	0,70	36,7	4,1
“	Анатаз	0,65	34,1	3,9
As2O3	Клодетит	0,38	19,9	4,2
“	Арсенолит	0,345	18,1	3,9
Sb2O3	Валентинит	0,48	25,2	5,8
“	Сенармонтит	0,46	24,1	5,6
FeS2	Пирит	0,87	45,6	5,0
“	Марказит	0,84	44,0	4,9
ZnS	Сфалерит	0,65	34,1	4,1
“	Вюртцит	0,64	33,5	4,0
Cu2S	Халькозин гекс.	0,845	44,3	6,0
“	Халькозин ромб.	0,81	42,4	5,8
FeS	Троилит	1,00	52,4	4,8
Fe0.88S	Пирротин гекс.	0,95	49,8	4,65
Fe0.82S	Пирротин монокл.	0,94	49,3	4,64
α-FeOOH	Гетит	0,76	39,8	4,3
γ-FeOOH	Лепидокрокит	0,72	37,7	4,1
Mg2SiO4	Тип K2NiF4	1,1	57,6	4,1
γ-Mg2SiO4	Рингвудит	0,81	42,2	3,5
α-Mg2SiO4	Форстерит	0,77	40,3	3,2

Таблица 1.6

Рост параметров структурной плотности и плотности в кристаллах в зависимости от увеличения КЧ катионов

Кристаллическая фаза с указанием КЧкатионов и структурного типа	γ	v, %	ρ, г/см3
Mg[6]Si[4]O3 (типа пироксена)	0,68	35,6	3,2
Mg[6]Si[6]O3 (типа ильменита)	0,83	43,5	3,8
Mg[7.5]Si[4.5]O3 (типа граната)	0,88	46,1	3,7
Mg[8]Si[6]O3 (типа перовскита)	1,09	57,1	4,1

Таблица 1.7

Структурная, гравитационная и энергетическая плотности ряда модификаций SiO₂ в сопоставлении с твердостью

Модификации SiO2	γ	ρ, г/см3	Ev, кДж/см3	НМ
Кварц	0,33	2,65	83	7
Коэсит	0,37	2,93	91	7,5
Стишовит	0,72	4,34	132	8,5
SiO2 типа пирита	0,87	4,6	135	9,5
SiO2 типа флюорита	1,00	4,8	139	10,9
SiO2 типа котунита	1,15	5,1	–	–

Следует обратить внимание на то, что параметры γ не всегда дают корректные результаты в смысле предсказания стабильности структуры в зависимости от давления, определяемого глубиной образования. Так, по параметрам γ ряд глубинности соединений состава MgSiO₃ (таблица 1.6) таков: пироксеновый тип → ильменитовый тип → гранатовый тип → перовскитовый тип, в то время как соответствующий экспериментальный ряд с указанием давлений переходов согласно данным работы (Ohtani, Kagawa, Fujino, 1991) отличается перестановкой мест ильменитового и гранатового типов фаз состава MgSiO₃:

17 ГПа                      22,5 ГПа                          23 ГПа
Пироксеновый тип	→	Гранатовый тип	→	Ильменитовый тип	→	Перовскитовый тип

Эти экспериментальные данные лучше интерпретируются с позиций использования параметров энергоплотности рассматриваемых кристаллических соединений состава MgSiO₃ (Зуев, 1995).

Тем не менее, представляется вполне вероятным, что параметры структурной плотности кристаллических решеток минералов могут найти применение в качестве критериев глубинности минералообразования. Некоторые соответствующие данные по этому вопросу приведены в таблице 1.8, где типичные гипогенные (глубинные) и гипергенные (поверхностные) минералы весьма четко различаются по параметру γ: средняя величина γ для первых близка к 0,9, для вторых равна 0,45.

Таким образом, средние параметры γ типичных глубинных и поверхностных минералов различаются почти в два раза, а их соответствующие средние плотности (ρ) – в 1,3 раза. Это означает, что параметр γ более чувствителен, а потому и более информативен как критерий глубинности минералообразования по сравнению с параметром ρ. Как известно, типичная глубинная порода – кимберлит имеет в своем составе оливин, флогопит, пироп, циркон, диопсид (хром-диопсид), ильменит, перовскит и апатит. Все указанные минералы характеризуются довольно высокими параметрами γ (таблица 1.8).

Таблица 1.8

Сопоставление структурной и гравитационной плотностей для ряда глубинных и поверхностных минералов

Гипогенныеминералы	γ	ρ, г/см3	Гипергенныеминералы	γ	ρ, г/см3
Алмаз	0,65	3,5	Лед	0,24	0,92
Стишовит	0,72	4,3	Опал	0,25	2,2
Циркон	0,74	4,7	Кварц	0,33	2,65
Оливин	0,77	3,6	Куприт	0,49	6,1
Жадеит	0,80	3,3	Сера	0,34	2,1
Ильменит	0,82	4,8	Арсенолит	0,35	3,9
Диопсид	0,83	3,3	Каолинит	0,46	2,6
Флогопит	0,84	3,0	Гиббсит	0,53	2,4
Пироп	0,89	3,55	Кальцит	0,65	2,7
Апатит	0,93	3,2	Гидрогетит	<0,70	4,0
Троилит	1,00	4,8	Гипс	0,57	2,3
Периклаз	1,00	3,6	Аурипигмент	0,49	3,5
Перовскит	1,31	4,0	Реальгар	0,50	3,6
Рингвудит	0,81	3,5	Азурит	0,45	3,8
Средние параметры	<0,87>	<3,8>	Средние параметры	<0,45>	<3,0>

Интересно с позиций структурной плотности рассмотреть ряд глубинности минералов по И. В. Матяшу (Матяш, 1991), который связывает увеличение глубинности образования минералов с ростом их ионности (эффективных зарядов атомов кислорода) и плотности. Рост ионности, по И. В. Матяшу, приводит к образованию все более плотноупакованных, компактных структур. Значит, в этом случае вполне правомочно использование параметра структурной плотности γ соответствующих кристаллических решеток минералов.

Таблица 1.9

Ряд глубинности минералов (Матяш, 1991) в сопоставлении с параметрами: структурной плотности, ионности и удельной массовой энергии атомизации

Минерал	γ	fi (Зуев, 1990)	Em, кДж/г	Минерал	γ	fi (Зуев, 1990)	Em, кДж/г
Гидроксит (вода)	0,25	0,33	53,9	Антофиллит	0,62	0,60	29,8
Брусит	0,68	0,57	34,3	Гиперстен	0,68	0,60	29,0
Кварц	0,33	0,5	31,3	Форстерит	0,77	0,64	27,8
Серпентин	0,60	0,54	31,8	Периклаз	1,00	0,80	24,7
Тальк	0,58	0,53	30,8

Как следует из таблицы 1.9, ряд глубинности минералов по И. В. Матяшу в целом подтверждается и дополнительно обосновывается использованием соответствующих параметров γ. Особое внимание заслуживает весьма тесная обратная корреляция глубинности минералов с величинами их удельной массовой энергии атомизации по Э. Мамырову (Мамыров, 1989).

Приведем также ряд других примеров прикладного использования параметров γ. По данным (Смольянинов, 1955) флюорит легко и иногда в больших количествах замещает кальцит, что можно связать с ростом γ в этом процессе:

CaCO₃ (γ = 0,65) → CaF₂ (γ = 1,0).

Аналогичным образом объясняется легкость замещения галенита англезитом:

PbS (γ = 1,0) → PbSO₄ (γ = 1,22).

Можно констатировать, что в зоне окисления многие процессы замещения одних минералов другими сопровождаются уплотнением вновь образующихся кристаллических решеток минералов, что связано с ростом параметров γ. Повышенная устойчивость малахита по сравнению с азуритом может служить тому примером:

Азурит Cu₃[CO₃]₂(OH)₂ (γ = 0,45) → малахит Cu₂[CO₃](OH)₂ (γ = 0,74).

Сульфид меди, например, халькопирит CuFeS₂ (γ = 0,65), в зоне окисления замещается ковеллином CuS (γ = 0,69), купритом Cu₂O
(γ = 0,49), самородной медью Cu (γ = 1,42), гетитом FeOOH (γ = 0,76). Как видим, параметры γ указанных продуктов замещения халькопири­та заметно растут по отношению к исходной величине γ.

В качестве выводов по данному разделу можно заключить, что кристаллохимические параметры структурной плотности минералов γ определенно коррелируются с условиями (глубинностью) минералообразования, а также могут служить индикаторами (указателями) направленности процессов замещения одних минералов другими.

---

[1] Точнее, n есть число самостоятельных структурных узлов кристаллической решетки, включая атомы, ионы и радикалы (комплексные ионы).

Быстрое оформление заказа

Рассчитать количество материала

Оставьте контактные данные и мы перезвоним вам в ближайшее время

Оформление заказа

✕

Спасибо за вашу заявку!
Мы скоро вам перезвоним

Рассчитать количество материала

Спасибо за заявку!

Ожидайте звонка нашего специалиста

1.6.3. Плотность кристаллических структур

В расчетах на прочность лопатки турбины необходимо знать плотность материала. В частности, ее величину для матрицы и армирующей фазы эвтектического композита лопатки, чтобы оценить величину объемных сил инерции при вращении рабочего колеса турбины. Решение данной задачи является одним из этапов обобщенной модели прочности лопатки [41] (рис. 1.39).

Рис. 1.39

В данном разделе обосновывается расчет плотности монокристаллов.

Плотность монокристаллов r определяется по известной формуле

r = m/V,

где m – масса; V – объем.

В рассматриваемом случае в качестве объема принимается объем элементарной атомной ячейки с периодом кристаллической решетки a0, равный

Масса элементарного объема определяется по следующей формуле:

m = mАMедkр,

где mА – атомная масса элемента; Mед = 1,66⋅10–27 кг – атомная единица массы; kр – коэффициент ретикулярной плотности для элементарной атомной ячейки (рис. 1.40).

Рис. 1.40. Схема формирования ретикулярной плотности в ячейке [42]

Коэффициент ретикулярной плотности элементарной ячейки кристаллической структуры определяется в соответствии с правилами кристаллографии [43].

Тогда формула расчета плотности монокристалла, разработанная автором, примет следующий вид [44]

Плотность монокристалла простого вещества, состоящего из атомов одного химического элемента железа – Fe с объемно-центрированной кристаллической решеткой, определяется как

Плотность монокристалла простого вещества, состоящего из атомов одного химического элемента меди – Cu с гранецентрированной кристаллической решеткой, определяется как

Плотность сложных веществ или соединений, состоящих их атомов разных химических элементов типа NaCl, определяется как сумма плотностей составляющих химических элементов, т.е.

где kрNa, kрCl – коэффициент ретикулярной плотности соответственно для Na и Cl; mNa, mCl – атомная масса соответственно для Na и Cl; a0 – период кристаллической решетки NaCl (табл. 1.20).

Таблица 1.20

Символ элемента, соединения	Величина плотности r, кг/м3	Расхождение, %
расчетная	экспериментальная
Fe	7871,9	7872	0
Cu	8933	8933	0
NaCl	2174,5	2100	3,5

Из табл. 1.20 видно, что расчетная величина плотности для железа Fe составляет 7871,9 кг/м3, а экспериментальное значение – 7872 кг/м3 [7].

Результаты некоторых расчетов плотности приведены в табл. 1.21.

Таблица 1.21

Наименование элемента	Величина плотности, кг/м3	Погрешность, %	Источник
расчетная	экспериментальная
Mo (ОЦК)	10219,9	10218 (10200)	0,02	[7]
W (ОЦК)	19248,5	19263 (19230)	0,08	[7]
Ta (ОЦК)	16678,6	16623 (16600)	3,3	[7]
Nb (ОЦК)	8581,5	8630 (8570)	5,6	[7]
TaС (кубич)	14625,0	14500	8,6	[7]

Примечание. Приведены рентгеновская и пикнометрическая (в скобках) экспериментальные значения плотности.

Как видно из табл. 1.20, 1.21, результаты расчетов удовлетворительно сходятся с результатами экспериментов.

Таким образом, результаты расчета применимы для оценки плотности моно- и поликристаллов, в том числе соединений, по которым редко или совсем не встречается справочная информация.

Результаты расчета плотности моно- и поликристаллов, из которых состоит матрица эвтектических композитов, являются исходными данными для моделирования прочности лопаток газовых турбин.

Уважаемый посетитель!

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на скачивание – внизу страницы.

Изобретение относится к области испытания физических свойств материалов и предназначено для определения плотности. Технический результат изобретения – расширение функциональных возможностей, снижение трудоемкости за счет прогнозирования физических свойств материала расчетом по формуле. Сущность изобретения заключается в том, что для монокристаллов простых веществ определяют период кристаллической решетки рентгеноструктурным методом, а затем вычисляют плотность по установленной формуле, а для монокристаллов сложных веществ определяют период кристаллической решетки рентгеноструктурным методом, затем по установленной формуле определяют плотность каждого составного химического элемента ρ_i в элементарной ячейке кристаллической структуры сложного вещества, после чего плотность сложного вещества ρ определяют как сумму плотностей простых веществ, входящих в состав сложного вещества. 2 н.п. ф-лы, 1 табл.

Изобретение относится к способам определения плотности твердых тел.

Известен способ определения плотности твердых тел, включающий, в частности, погружение исследуемого тела в сосуд с жидкостью, предварительное измерение среднего диаметра и измерение скорости погружения (Авторское свидетельство СССР №1698705, М. Кл. G 01 N 9/00, 15.12.1991 г.).

Известен способ определения кажущейся плотности пористых изделий, включающий, в частности, физическое воздействие на изделие, определение параметра, с учетом которого по тарировочным графикам определяют плотность (Авторское свидетельство СССР №1820302, М. Кл. G 01 N 9/00, 07.06.1993 г).

Известен способ определения истинной плотности порошковых материалов, включающий, в частности, измерение модуля упругости исследуемого материала путем механического нагружения в упругой области образцов (Авторское свидетельство СССР №1827582, М. Кл. G 01 N 9/00, 15.07.1993 г.).

Недостатками способов являются ограниченные функциональные возможности.

Наиболее близким по достигаемому результату является способ, по которому производится последовательное взвешивание исследуемого тела, отбор материала из анализируемой части объема и определение плотности по формуле (Авторское свидетельство СССР №1723497, М. Кл. G 01 N 9/00, 30.03.1992 г.).

Недостатками являются трудоемкость способа и ограниченные функциональные возможности.

Технический результат изобретения снижение трудоемкости способа, возможность прогнозирования плотности материала путем расчета по формуле, а также расширение функциональных возможностей за счет определения плотности предельно малых объемов на уровне нанометрических размеров.

Технический результат изобретения достигается за счет того, что в способе определения плотности твердых тел, по которому плотность вычисляют по формуле, в отличие от прототипа для монокристаллов простых веществ определяют период кристаллической решетки рентгеноструктурным методом, а затем по формуле

ρ=(m_AM_едk_р)/а₀ ³,

где m_A – атомная масса элемента;

М_ед = 1,66·10^-27 кг – атомная единица массы;

k_p – коэффициент ретикулярной плотности элементарной ячейки кристаллической структуры;

а₀ – период кристаллической решетки

определяют плотность.

К тому же технический результат изобретения достигается за счет того, что в способе определения плотности твердых тел, по которому плотность вычисляют по формуле, в отличие от прототипа для монокристаллов сложных веществ определяют период кристаллической решетки рентгеноструктурным методом, а затем по формуле

ρ=(m_AM_едk_р)/а₀ ³,

где m_A – атомная масса элемента;

М_ед = 1,66·10^-27 кг – атомная единица массы;

k_p – коэффициент ретикулярной плотности элементарной ячейки кристаллической структуры;

а₀ – период кристаллической решетки

определяют плотность каждого составного химического элемента ρ_i в элементарной ячейке кристаллической структуры сложного вещества, после чего плотность сложного вещества ρ определяют как сумму плотностей простых веществ, т.е.

ρ=Σρ_i,

где i – номер химического элемента, входящего в состав сложного вещества.

Кроме того, период кристаллической решетки можно определить по справочным данным (Кристаллография и дефекты кристаллической решетки. Учебник для вузов / Новиков И.И., Розин К.М. М.: Металлургия, 1990, 336 с.).

Пример конкретной реализации способа

Для рентгеноструктурного анализа изготавливаются образцы. Монолитные образцы в форме шлифов изготавливают из исследуемого материала обычными механическими способами и перед съемкой подвергают электролитической полировке для снятия наклепа. Плоские шлифы подготавливают для съемки с помощью электролитического травления для снятия деформированного слоя. При съемке на просвет образцы должны электролитически утоньшаться до тонкой фольги.

Для определения периодов кристаллической решетки необходимо измерить межплоскостные расстояния, проиндицировать дифракционные отражения и, зная связь между межплоскостным расстоянием, индексами отражающих плоскостей и периодами решетки, рассчитать последние (С.С.Горелик, Л.Н.Расторгуев, Ю.А.Скаков Рентгенографический и электронно-оптический анализ. М.: Металлургия, 1970, 366 с.).

Методами прецизионного определения периода кристаллической решетки могут служить следующие:

– асимметричная съемка с расчетом по последним линиям;

– метод съемки на больших расстояниях в широком расходящемся пучке;

– метод съемки с независимым эталоном;

– безэталонный метод при обратной съемке и др.

Выбор того или иного метода определения периода решетки связан с расположением линий на рентгенограмме и симметрией решетки исследуемого материала (Н.Н.Качанов, Л.И.Миркин Рентгеноструктурный анализ. М.: Машгиз, 1960, 216 с.).

Коэффициент ретикулярной плотности элементарной ячейки кристаллической структуры определяется в соответствии с правилами кристаллографии [Лахтин Ю.М., Леонтьев В.П. Материаловедение: Учебник для ВУЗов – 3-е изд., – М.: Машиностроение, 1990. – 528 с].

Например, плотность монокристалла простого вещества, состоящего из атомов одного химического элемента железа Fe с объемно-центрированной кристаллической решеткой, определяется как

ρ=(m_AM_едk_р)/а₀ ³=(55,847·1,66·10^-27·2)/(2,8665·10^-10)³=7871,9 кг/м³.

Плотность монокристалла простого вещества, состоящего из атомов одного химического элемента меди – Cu с гранецентрированной кристаллической решеткой, определяется как

ρ=(m_AM_едk_р)/а₀ ³=(63,546·1,66·10^-27·4)/(3,6148·10^-10)³=8933 кг/м³.

Плотность сложных веществ или соединений, состоящих их атомов разных химических элементов типа NaCl, определяется как сумма плотностей составляющих химических элементов, т.е.

ρ_NaCl=Σρ_I=(m_Nak_pNaМ_ед)/a₀ ³+(m_Clk_pClМ_ед)/а₀ ³=((m_Nak_pNa+m_Clk_pCl)М_ед)/а₀ ³=((22,989·4+35,453·4)·1,66·10^-27)/(5,63·10^-10)³=2174 кг/м³,

где k_pNa, k_pCl – коэффициент ретикулярной плотности соответственно для Na и Cl;

m_Na, m_Cl – атомная масса соответственно для Na и Cl;

а₀ – период кристаллической решетки NaCl.

Из таблицы видно, что расчетная величина плотности для железа Fe составляет 7871,9 кг/м³, а экспериментальное значение – 7872 кг/м³ (Свойства элементов. В двух частях, 4.1. Физические свойства. Справочник. Второе изд. М., Металлургия, 1976. 600 с.).

Таким образом, заявляемое изобретение позволяет снизить трудоемкость за счет расчета по формуле, в свою очередь, определение плотности предельно малых объемов на уровне нанометрических размеров расширяет функциональные возможности способа.

1. Способ определения плотности твердых тел, по которому плотность вычисляют по формуле, отличающийся тем, что для монокристаллов простых веществ определяют период кристаллической решетки рентгеноструктурным методом, а затем по формуле

ρ=(m_AM_едk_р)/а₀ ³,

где m_A – атомная масса элемента;

М_ед=1,66·10^-27 кг – атомная единица массы;

k_p – коэффициент ретикулярной плотности элементарной ячейки кристаллической структуры;

а₀ – период кристаллической решетки,

определяют плотность.

2. Способ определения плотности твердых тел, по которому плотность вычисляют по формуле, отличающийся тем, что для монокристаллов сложных веществ определяют период кристаллической решетки рентгеноструктурным методом, а затем по формуле:

ρ=(m_AM_едk_р)/а₀ ³,

где m_A – атомная масса элемента;

М_ед=1,66·10^-27 кг – атомная единица массы;

k_p – коэффициент ретикулярной плотности элементарной ячейки кристаллической структуры;

а₀ – период кристаллической решетки,

определяют плотность каждого составного химического элемента ρ_i в элементарной ячейке кристаллической структуры сложного вещества, после чего плотность сложного вещества ρ определяют как сумму плотностей простых веществ, т.е.:

ρ=Σρ_i,

где i – номер химического элемента, входящего в состав сложного вещества.