Как найти по формуле маклорена

Идея представления функции в виде многочлена с остаточным слагаемым основана на разложении функции в степенной ряд.

Ряды Тейлора и Маклорена

Бесконечно дифференцируемую в точке x0x_0 функцию действительной переменной f(x)f(x) можно разложить в ряд по степеням двучлена (x−x0)(x-x_0):

f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+…=f(x)=f(x_0)+dfrac{f{‘}(x_0)}{1!}(x-x_0) +dfrac{f{”}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +ldots =

=∑k=0∞f(k)(x0)k!(x−x0)k=sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

Этот ряд называют рядом Тейлора.

В случае x0=0x_0=0, полученный степенной ряд:

f(x)=f(0)+f′(0)1!x+f′′(0)2!(x−x0)2+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+…=f(x)=f(0)+dfrac{f{‘}( 0)}{1!} x +dfrac{f{”}(0)}{2!}(x-x_0)^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +ldots =

=∑k=0∞f(k)(x0)k!(x−x0)k=sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

называют рядом Маклорена.

Запишем разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена, укажем соответствующие интервалы сходимости и приведем примеры их определения.

• Показательная функция:

ex=1+x1!+x22!+x33!+…+xnn!+…=∑k=1∞xnn!,∣x∣<∞e^x=1+dfrac{x}{1!} +dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^3}{3!}+ldots+dfrac{x^n}{n!}+ldots=sumlimits_{k=1}^{infty} dfrac{x^n}{n!},quad |x|<infty

• Тригонометрические функции:

sin⁡x=x1!−x33!+x55!−x77!+…+(−1)n+1x2n−1(2n−1)!+…=∑k=1∞(−1)k+1x2k−1(2k−1)!,∣x∣<∞sin x=dfrac{x}{1!} -dfrac{x^3}{3!} +dfrac{x^5}{5!} -dfrac{x^7}{7!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+ldots=sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}x^{2 k -1}}{(2 k -1)!},quad |x|<infty

cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+…+(−1)n+1x2n(2n)!+…=∑k=0∞(−1)kx2k(2k)!,∣x∣<∞cos x=1 -dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^4}{4!} -dfrac{x^6}{6!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}+ldots=sumlimits_{ k =0}^{infty} dfrac{(-1)^{k}x^{2 k }}{(2 k)!},quad |x|<infty

arctg⁡x=x−x33+x55−x77+…+(−1)nx2n+12n+1+…=∑k=0∞(−1)kx2k+12k+1,∣x∣≤1arctg x=x-dfrac{x^3}{3} +dfrac{x^5}{5} -dfrac{x^7}{7} +ldots+dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}+ldots=sumlimits_{ k =0}^{infty} dfrac{(-1)^{ k }x^{2 k +1}}{2 k +1},quad |x|le{1}

• Логарифмическая функции:

ln⁡(1+x)=x1!−x22!+x33!−x44!+…+(−1)n+1xnn!+…=∑k=1∞(−1)k+1xkk!,x∈(−1;1]ln (1+x)=dfrac{x}{1!} -dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^3}{3!} -dfrac{x^4}{4!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n!}+ldots=sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}x^{ k }}{ k!},quad xin (-1;1]

• Степенная функции:

(1+x)α=1+α1!x+α(α−1)2!x2+α(α−1)(α−2)3!x3+…+α(α−1)…(α−n+1)n!xn+…=(1+x)^alpha=1+dfrac{alpha }{1!}x+dfrac{alpha (alpha -1)}{2!}x^2 +dfrac{alpha (alpha -1)( alpha -2)}{3!} x^3 +ldots+dfrac{alpha (alpha -1) ldots ( alpha-n+1)} {n!} {x^n}+ldots=

=∑k=0∞α(α−1)…(α−k+1)k!xk=sumlimits_{ k =0}^{infty} dfrac{alpha (alpha -1) ldots ( alpha-k+1)}{ k!} {x^ k }

11−x=1+x+x2+…+xn+…=∑k=0∞xk,∣x∣<1dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+ldots+x^n+ldots =sumlimits_{ k =0}^{infty}x^{ k },quad |x|<1

Пример 1

Найдем для функции:

f(x)=sin⁡xf(x)=sin x

интервал сходимости ряда:

f(x)=sin⁡x==∑n=1∞(−1)n+1x2n−1(2n−1)!f(x)=sin x==sumlimits_{n=1}^{infty} dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}

Воспользуемся признаком Даламбера:

lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞∣x2n+1/(2n+1)!x2n−1/(2n−1)!∣=x2lim⁡n→∞12n(2n+1)=0limlimits_{n to infty } left | dfrac {a_{n+1}}{a_n} right | = limlimits_{n to infty } left | dfrac {x^{2n+1}/{(2n+1)!}}{ x^{2n-1}/{(2n-1)!}} right | =x^2 limlimits_{n to infty } dfrac {1} {2n(2n+1)}=0

Полученный результат говорит о том, что предел равен нулю для любого xx, и, следовательно, интервалом сходимости ряда является вся числовая ось.

Пример 2

Найдем интервал сходимости ряда для функции

f(x)=arctg⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1,∣x∣≤1f(x)=arctg x= sumlimits_{n=0}^{infty} dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}, quad |x|le{1}

Воспользовавшись признаком Даламбера применительно к степенному ряду, получаем:

lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞∣x2n+1/(2n+1)x2n−1/(2n−1)∣=x2lim⁡n→∞2n−12n+1=x2lim⁡n→∞2−1n2+1n=x2limlimits_{n to infty } left | dfrac {a_{n+1}}{a_n} right | = limlimits_{n to infty } left | dfrac {x^{2n+1}/(2n+1)}{ x^{2n-1}/(2n-1)} right | =x^2 limlimits_{n to infty } dfrac {2n-1} {2n+1}=x^2 limlimits_{n to infty } dfrac {2-dfrac{1}{n}}{2+dfrac{1}{n}}= x^2

Условие сходимости по этому признаку имеет вид:

x2<1x^2<1

В граничных точках x=±1x=pm1 получаем знакопеременный ряд вида:

∑n=0∞anx2n+1sumlimits_{n=0}^{infty} a_n x^{2n+1},

где ∣an∣=1n+1|a_n|=dfrac {1}{n+1}

Заметим, что

lim⁡n→∞∣an∣=0limlimits_{n to infty } |a_n|=0

и, согласно признаку Лейбница, знакопеременный ряд сходится. Таким образом, интервалом сходимости исходного ряда является: ∣x∣≤1|x| le 1.

Применение формулы и рядов Маклорена

Вычисление значений функций

Идея использования рядов для приближенного вычисления примечательна тем, что можно добиться требуемой точности, т.е. фактически найти требуемое значение со сколь угодно высокой точностью.

Пример

Вычислим значение числа ee с точностью до второго знака после запятой. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции f(x)=exf(x)=e^x при x=1x=1, вычислив сумму до шестого члена в разложении и с остаточным членом в форме Лагранжа:

e1=1+11!+12!+13!+14!+15!+ec6!,0≤c≤1e^1=1+dfrac {1}{1!} +dfrac {1}{2!} +dfrac {1}{3!} +dfrac {1}{4!} +dfrac {1}{5!} +dfrac {e^c}{6!},quad 0le c le 1

Далее:

e1=16360!+ec6!≈2.716+ec6!,0≤c≤1e^1=dfrac {163}{60!} +dfrac {e^c}{6!}approx 2.716+dfrac {e^c}{6!},quad 0le c le 1

Учитывая, что ec6!<0.0014dfrac {e^c}{6!}<0.0014 получаем результат e≈2.72e approx 2.72

Вычисление пределов функций

На практике часто встречаются такие пределы, которые нельзя найти, используя первый и второй замечательные пределы, правило Лопиталя или другие способы вычислений. В этих случаях можно воспользоваться разложением элементарных функций в степенной ряд Маклорена и уже затем найти сам предел.

Пример

Вычислим:

lim⁡x→0e2x−1−2x−2x2x−sin⁡xlimlimits_{x to 0 } dfrac {e^{2x}-1-2x-2x^2}{x-sin {x}}

Заменим exe^x и sin⁡xsin{x} их разложениями в степенные ряды, находим:

lim⁡x→0e2x−1−2x−2x2x−sin⁡x=lim⁡x→0(1+2x+4×22!+8×33!+…)−1−2x−2x2x−(x−x33!+x55!−…)=limlimits_{x to 0 } dfrac {e^{2x}-1-2x-2x^2}{x-sin {x}}=limlimits_{x to 0 } dfrac {left( 1+2x+dfrac{4x^2}{2!}+dfrac{8x^3}{3!}+ldots right)-1-2x-2x^2}{x-left( x-dfrac{x^3}{3!}+dfrac{x^5}{5!}-ldots right)}=

=lim⁡x→08×33!+16×44!+…x33!−x55!+…=lim⁡x→083!+16×4!+…13!−x25!+…=8=limlimits_{x to 0 } dfrac {dfrac{8x^3}{3!}+dfrac{16x^4}{4!}+ldots} {dfrac{x^3}{3!} -dfrac{x^5}{5!}+ldots} = limlimits_{x to 0 } dfrac {dfrac{8}{3!}+dfrac {16x}{4!} +ldots} {dfrac{1}{3!} -dfrac{x^2}{5!}+ldots}=8

Вычисление определенных интегралов

Конечно, на практике лучше всего вычислять точное значение определенного интеграла. Но очень часто соответствующие неопределенные интегралы является «неберущимися». Поэтому для приближенного вычисления определенного интеграла используется разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Пример

Вычислим с точностью до третьего знака после запятой:

∫01x3e−xdxdisplaystyle intlimits_0^1 sqrt[3] x e^{-x} dx

Для приближенного вычисления этого определенного интеграла используется разложение функции f(x)=sqrt[3]xe−xf(x)= sqrt[3] x e^{-x} в ряд Маклорена:

f(x)=sqrt[3]xe−x=x1/3−x4/3+12×7/3−16×10/3+…f(x)= sqrt[3] x e^{-x}=x^{1/3}-x^{4/3}+dfrac{1}{2}x^{7/3}-dfrac{1}{6}x^{10/3}+ldots

Интервал, заданный пределами интегрирования: 0≤x≤10 le x le 1 входит в радиус сходимости полученного ряда (−∞;+∞)(-infty;+infty).

Интегрируя почленно, получаем:

∫01f(x)=∫01×1/3dx−∫01×4/3dx+12∫01×7/3dx−16∫01×10/3dx+…=displaystyleintlimits_0^1 f(x)= intlimits_0^1 x^{1/3}dx-intlimits_0^1 x^{4/3}dx+dfrac{1}{2}intlimits_0^1 x^{7/3}dx-dfrac{1}{6}intlimits_0^1 x^{10/3}dx+ldots=

=34×4/3∣01−37×7/3∣01+32⋅10×10/3∣01−36⋅13×13/3∣01+…= dfrac{3}{4} Biggl. x^{4/3}Biggr |_0^1-dfrac{3}{7} Biggl. x^{7/3}Biggr |_0^1+dfrac{3}{2 cdot 10} Biggl. x^{10/3}Biggr |_0^1-dfrac{3}{6 cdot 13} Biggl. x^{13/3}Biggr|_0^1+ldots

и с учетом требуемой точности:

∫01x3e−xdx≈34−37+32⋅10−36⋅13≈928+29260≈197455≈0,433displaystyleintlimits_0^1 sqrt[3] x e^{-x} dx approx dfrac{3}{4}-dfrac{3}{7}+dfrac{3}{2 cdot 10}-dfrac{3}{6 cdot 13}approx dfrac{9}{28}+dfrac{29}{260} approx dfrac{197}{455} approx 0,433

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора^[1] — его использовали ещё в XIV веке в Индии^[2], а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами.
В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.

Определение[править | править код]

1. Многочленом Тейлора функции вещественной переменной , дифференцируемой раз в точке , называется конечная сумма

,

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при верно .

При записи суммы использованы обозначение и соглашение о произведении по пустому множеству: , .

2. Рядом Тейлора в точке функции вещественной переменной , бесконечно дифференцируемой в окрестности точки , называется формальный степенной ряд

с общим членом , зависящим от параметра .

Другими словами, рядом Тейлора функции в точке называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена :

.^[3]

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции в окрестности точки не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки .

3. Рядом Тейлора в точке функции комплексной переменной ,
удовлетворяющей в некоторой окрестности точки условиям Коши — Римана,
называется степенной ряд

.

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса , что в ряд сходится к функции .

4. В случае ряд

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция[править | править код]

1. Функция вещественной переменной называется аналитической в точке , если существуют такой радиус и такие коэффициенты , , что может быть представлена в виде сходящегося на интервале степенного ряда:
,
то есть .

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд на любом компактном подмножестве области сходимости допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в -ю производную функции подставить , то получится .

Таким образом, для аналитической в точке функции для некоторого всюду в является верным представление .

Следствие. Функция вещественной переменной является аналитической в точке тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром на некотором открытом интервале, содержащем точку .

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке функции вещественного переменного её ряд Тейлора сходиться к всюду на каком-нибудь интервале , то есть представима ли этим рядом?

Ответ: нет.
Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности
.

Примеры. Функции вещественной переменной ,
,

являются бесконечно дифференцируемыми в точке , причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром тождественно равны нулю.
Однако, для любого в окрестности точки найдутся точки,
в которых функции отличны от .
Таким образом, эти функции не являются в точке аналитическими.

Область сходимости ряда Тейлора[править | править код]

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке ) для случая комплексной переменной
и интервал (с центром в точке ) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция определена для всех действительных чисел, кроме точки , то ряд сходится только при условии .

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

.

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию . Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен . Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси для любого параметра .

4. От параметра — точки разложения ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного ) в ряд Тейлора функцию : .

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента , при любых значениях (кроме ) имеет один и тот же вид.

Действительно,

.

Область сходимости ряда может быть задана неравенством . И теперь эта область зависит от . Например, для ряд сходится при . Для ряд сходится при .

Формула Тейлора[править | править код]

Предположим, что функция имеет все производные до -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку . Найдем многочлен степени не выше , значение которого в точке равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до -го порядка включительно в точке равняются значениям соответствующих производных от функции в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид , то есть это -я частичная сумма ряда Тейлора функции . Разница между функцией и многочленом называется остаточным членом и обозначается . Формула называется формулой Тейлора^[4]. Остаточный член дифференцируем раз в рассматриваемой окрестности точки . Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении.
Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена[править | править код]

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В интегральной форме:

Ослабим предположения:

В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

Критерий аналитичности функции[править | править код]

Основной источник: ^[5]

Предположим, что некоторую функцию нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке . Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке , и её ряд Тейлора с параметром может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка , потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку . Пусть ряд Тейлора с параметром такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех из окрестности по формуле Тейлора можно записать , где  — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция является аналитической в точке тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки существует непрерывная область такая, что для всех остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом : .

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию . Её ряд Тейлора сходится на всей оси для любых параметров . Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках .

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид , где  — некоторое число, заключенное между и (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых и .

Ряды Маклорена некоторых функций[править | править код]

• Гиперболические функции^[6][10]:

• Обратные гиперболические функции^[6][11]:

Формула Тейлора для функции двух переменных[править | править код]

Пусть функция имеет непрерывные производные до -го порядка включительно в некоторой окрестности точки .
Введём дифференциальный оператор

.

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням для в окрестности точки будет иметь вид

где  — остаточный член в форме Лагранжа:

Следует иметь в виду, что операторы и
в действуют только на функцию , но не на и/или .

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе .

В случае функции одной переменной .

Формула Тейлора многих переменных[править | править код]

Для получения формулы Тейлора функции переменных , которая в некоторой окрестности точки имеет непрерывные производные до -го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням в окрестности точки имеет вид

где  — остаточный член порядка .

Для функции переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки , ряд Тейлора имеет вид:

.

В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:

.

Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных[править | править код]

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных , и в окрестности точки до второго порядка малости. Оператор будет иметь вид

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

Учитывая, что

получим

Например, при ,

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. В 2 т. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1967. — Т. 1: Начала теории. — 486 с.
• Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
• Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10—24.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — 432 с.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 2. — 560 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. — Изд. 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. I. — 680 с. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0.

Формула Маклорена.

Колин Маклорен
(1698-1746) шотландский математик.

 Формулой Маклорена
называется формула Тейлора при а
= 0:

Мы
получили так называемую формулу Маклорена
с остаточным членом в форме Лагранжа.

 Следует отметить,
что при разложении функции в ряд
применение формулы Маклорена
предпочтительнее, чем применение
непосредственно формулы Тейлора, т.к.
вычисление значений производных в нуле
проще, чем в какой- либо другой точке,
естественно, при условии, что эти
производные существуют.

 Однако, выбор числа
аочень важен для практического
использования. Дело в том, что при
вычислении значения функции в точке,
расположенной относительно близко к
точкеа, значение, полученное по
формуле Тейлора, даже при ограничении
тремя – четырьмя первыми слагаемыми,
совпадает с точным значением функции
практически абсолютно. При удалении же
рассматриваемой точки от точкиадля получения точного значения надо
брать все большее количество слагаемых
формулы Тейлора, что неудобно.

 Т.е. чем больше по
модулю значение разности (х – а) тем
более точное значение функции отличается
от найденного по формуле Тейлора.

 Кроме того, можно
показать, что остаточный член R_n+1(x)
является бесконечно малой функцией при
ха, причем долее
высокого порядка, чем (х – а)^m,
т.е.

.

 Таким образом, ряд
Маклорена можно считать частным случаем
ряда Тейлора.

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.

 Применение формулы
Тейлора для разложения функций в
степенной ряд широко используется и
имеет огромное значение при проведении
различных математических расчетов.
Непосредственное вычисление интегралов
некоторых функций может быть сопряжено
со значительными трудностями, а замена
функции степенным рядом позволяет
значительно упростить задачу. Нахождение
значений тригонометрических, обратных
тригонометрических, логарифмических
функций также может быть сведено к
нахождению значений соответствующих
многочленов.

 Если при разложении
в ряд взять достаточное количество
слагаемых, то значение функции может
быть найдено с любой наперед заданной
точностью. Практически можно сказать,
что для нахождения значения любой
функции с разумной степенью точности
(предполагается, что точность, превышающая
10 – 20 знаков после десятичной точки,
необходима очень редко) достаточно 4-10
членов разложения в ряд.

 Применение принципа
разложения в ряд позволяет производить
вычисления на ЭВМ в режиме реального
времени, что немаловажно при решении
конкретных технических задач.

Функция f(x)
= e^x.

 Находим: f(x)
=e^x,f(0) = 1

f(x)
= e^x, 
f(0)
= 1

……………………

f⁽ⁿ⁾(x)
= e^x, f⁽ⁿ⁾(0)
= 1

[an error occurred while processing
this directive]

Тогда: 

 Пример:Найдем
значение числа е.

В полученной выше
формуле положим х = 1.

Для 8 членов разложения:
e= 2,71827876984127003

Для 10 членов разложения:
e= 2,71828180114638451

Для 100 членов разложения:
e = 2,71828182845904553

 На графике показаны
значения числа е с точностью в зависимости
от числа членов разложения в ряд Тейлора.

 Как
видно, для достижения точности, достаточной
для решения большинства практических
задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами
ряда.

Функция f(x)
= sinx.

 Получаем f(x)
=sinx;f(0)
= 0

 f(x)
=cosx=sin(x+/2); f(0)
= 1;

 f(x)
= -sinx = sin(x + 2/2);
f(0)
= 0;

 f(x)
= -cosx = sin(x + 3/2);
f(0)=-1;

 …………………………………………

 f⁽ⁿ⁾(x)
= sin(x + n/2); 
f⁽ⁿ⁾(0)
= sin(n/2);

 f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)
= sin(x + (n + 1)/2); f⁽ⁿ⁺¹⁾()
= sin(
+ (n + 1)/2);

Итого: 

Функция f(x)
= cosx.

 Для функции cosx,
применив аналогичные преобразования,
получим:

Функция
f(x) = (1 + x)^.

[an error occurred while
processing this directive]  

(- действительное число)

…………………………………………………..

Тогда:

 Если в
полученной формуле принять =n, гдеn-
натуральное число иf⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=0,
тоR_n+1= 0, тогда

Получилась
формула, известная как бином Ньютона.

 Пример:Применить
полученную формулу для нахождения
синуса любого угла с любой степенью
точности.

 На приведенных
ниже графиках представлено сравнение
точного значения функции и значения
разложения в ряд Тейлора при различном
количестве членов разложения.

Рис. 1. Два члена разложения

Рис. 2. Четыре члена разложения

Рис. 3. Шесть членов разложения

Рис. 4. Десять
членов разложения

 Чтобы получить
наиболее точное значение функции при
наименьшем количестве членов разложения
надо в формуле Тейлора в качестве
параметра авыбрать такое число,
которое достаточно близко к значениюх, и значение функции от этого числа
легко вычисляется.

Для
примера вычислим значение sin20⁰.

Предварительно
переведем угол 20⁰в радианы: 20⁰=/9.

Применим
разложение в ряд Тейлора, ограничившись
тремя первыми членами разложения:

В четырехзначных
таблицах Брадиса для синуса этого угла
указано значение 0,3420.

 На графике показано
изменение значений разложения в ряд
Тейлора в зависимости от количества
членов разложения. Как видно, если
ограничиться тремя членами разложения,
то достигается точность до 0,0002.

 Выше говорилось,
что при х0 функцияsinxявляется бесконечно
малой и может при вычислении быть
заменена на эквивалентную ей бесконечно
малую функцию х. Теперь видно, что при
х, близких к нулю, можно практически
без потери в точности ограничиться
первым членом разложения, т.е.sinxx.

 Пример:
Вычислить sin28⁰1315.

[an error occurred while processing this
directive]

Для
того, чтобы представить заданный угол
в радианах, воспользуемся соотношениями:

1⁰=
; 
28⁰;

1;;

;;

рад

Если при разложении
по формуле Тейлора ограничиться тремя
первыми членами, получим: sinx=
.

Сравнивая полученный
результат с точным значением синуса
этого угла,

sin=
0,472869017612759812,

видим, что даже при
ограничении всего тремя членами
разложения, точность составила 0,000002,
что более чем достаточно для большинства
практических технических задач.

Функция f(x)
= ln(1 + x).

 Получаем: f(x)
= ln(1 + x); f(0)
= 0;

f(x)
=
; 

………………………………………

Итого:

 Полученная формула
позволяет находить значения любых
логарифмов (не только натуральных) с
любой степенью точности. Ниже представлен
пример вычисления натурального логарифма
ln1,5. Сначала получено
точное значение, затем – расчет по
полученной выше формуле, ограничившись
пятью членами разложения. Точность
достигает 0,0003.

ln1,5 = 0,405465108108164381 

  Разложение
различных функций по формулам Тейлора
и Маклорена приводится в специальных
таблицах, однако, формула Тейлора
настолько удобна, что для подавляющего
большинства функций разложение может
быть легко найдено непосредственно.

 Ниже будут рассмотрены
различные применения формулы Тейлора
не только к приближенным представлениям
функций, но и к решению дифференциальных
уравнений и к вычислению интегралов.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Формула Тейлора и ее применение

Формула Тейлора

Теорема: Если функция

Эта формула была получена в 1715 г. Бруком Тейлором, который был учеником Исаака Ньютона, и носит его имя. Последнее слагаемое в формуле Тейлора называется остаточным членом, вид которого установил Лагранж: величина

В этой формуле неизвестной является только величина причем в указанном интервале согласно теореме Лагранжа такая точка всегда присутствует, хотя бы в единственном числе. Если зафиксировать начало интервала, а его конец считать переменной величиной, то формула Тейлора принимает вид:

При a = 0 формула Тейлора переходит в формулу Маклoрена:

Пример:

Представить по формуле Маклорена функцию ограничившись n=2.

Решение:

Вычислим три первых производных заданной функции:

При х = 0 получим Остаточный член имеет вид Следовательно, при n = 2 заданная функция по формуле Маклорена имеет вид: Отметим, что полученное выражение справедливо при Решим найденное равенство относительно величины Отсюда получаем Следовательно, Так как выражение под радикалом 4-ой степени должно быть неотрицательным и Таким образом, из двух корней теореме Тейлора удовлетворяет только корень который действительно лежит между нулем и х.

Замечание: При n = 0 формула Тейлора дает формулу конечных приращений:

(см. теорему Лагранжа ТЗ Лекции №18). При n = 1 получаем Если положить то получим формулу

Применение формулы Тейлора

Если известны величины то формула Тейлора позволяет вычислить значение функции в некоторой точке х. В зависимости от требуемой степени точности вычислений достаточно бывает вычислить два, три или несколько первых слагаемых в формуле Тейлора. Для оценки погрешности вычислений необходимо помнить, что величина в остаточном члене в форме Лагранжа лежит в пределах от а до х.

Пример:

Представить функцию по формуле Маклорена.

Решение:

Так как Следовательно, где Отсюда следует,

Пример:

Вычислить с точностью

Решение:

Так как основание Следовательно, при х = 1/2 остаточный член равен При n = 3: остаточный член Следовательно, удерживая пять первых слагаемых в формуле Маклорена, получим с требуемой точностью, что

Пример:

Вычислить число е с точностью

Решение:

Согласно результатам, полученным в предыдущем примере, для достижения требуемой точности, подсчитаем остаточный член формулы Маклорена в форме Лагранжа

При n = 6 имеем

при n = 7 получаем

Итак,

Если вычислять значение числа е с точностью то потребуется взять 13 первых слагаемых, при этом Аналогично формула Маклорена-Тейлора применяется для вычисления и других функций. Например, для вычисления натуральных логарифмов используется формула:причем

Пример:

Вычислить с точностью

Решение:

В данном примере х = -0,1. Так как следовательно, остаточный член При n = 1 получаем Следовательно, достаточно взять первый член в формуле Маклорена-Тейлора

Формула тейлора

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке . Тогда (см. формулу (9.5)) ее приращение 

Пусть  тогда (14.1) перепишется в виде 
Рассмотрим многочлен 
Многочлен обладает следующими свойствами:

Пусть функция y=f(x) n раз дифференцируема в точке . Найдем многочлен

обладающий аналогичными свойствами:

Из (14.2), (14.3) следует, что

Поэтому коэффициенты  многочлена (14.2) задаются формулой

Далее

Таким образом свойства (14.3) выполняются (при этом коэффициенты
многочлена  задаются формулами (14.4)). Тем самым теорема доказана.
Теорема 14.1. Пусть функция y=f(x) n раз дифференцируема в точке , тогда

где  – бесконечно малая функция более высокого порядка
малости, чем
Формула (14.5) называется формулой Тейлора, многочлен

в правой части формулы (14.5) называется многочленом Тейлора, а представление разности в виде  – остаточным членом в форме Пеано.
Если функция  то (14.5) перепишется в виде

формула Маклорена.
Если функция раз дифференцируема в некоторой окрестности
 точки , то остаточный член  можно представить в виде
остаточный член в форме Лагранжа и формула

Таким образом, вычисленное значение 3,(1) отличается от истинного с точностью до 0,01.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример 14.3
Разложить  по формуле Маклорена до члена  используя основные разложения. Оценить погрешность при 
Решение
Пусть  Тогда (см. формулу (14.10))

Остаточный член запишем в форме Лагранжа:

поэтому 
Таким образом, и погрешность при  меньше чем

Пример 14.4
Найти 
Решение
Воспользуемся разложением (14.7):

Тогда

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций