Как найти по графику значение ординаты

Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

1. Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

   – Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.

   

   – Если (a>1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

   

   – Аналогично с (a<-1), только график вытянут вниз.

   

   – Если (a∈(0;1)), то график сжат в (a) раз (по сравнению с «базовым» графиком с (a=1)). Вершина при этом остается на месте.

   

   – Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.

   

2. Парабола пересекает ось y в точке (c).

   

3. (b) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью (x_в) – абсциссы (икса) вершины параболы:

   (x_в=-frac{b}{2a})
   (b=-x_вcdot 2a)
   

Пример (ЕГЭ):

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).

Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).

(x_в=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(b=-4)

Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4)
(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0)
(x^2-2x-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1);    (x_2=frac{2+4}{2}=3).

Ответ: (3).

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:

1. Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
   Пример:

   

2. Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

   Пример: (A(-4;5)), (B(-5;5)), (C(-6;3)).

   (begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\5=a(-5)^2+b(-5)+c\3=a(-6)^2+b(-6)+c end{cases})

3. Решаем систему.
   Пример:

   (begin{cases}5=16a-4b+c\5=25a-5b+c\3=36a-6b+c end{cases})

   Вычтем из второго уравнения первое:

   (0=9a-b)
   (b=9a)

   Подставим (9a) вместо (b):

   (begin{cases}5=16a-36a+c\5=25a-45a+c\3=36a-54a+c end{cases})
   (begin{cases}5=-20a+c\5=-20a+c\3=-18a+c end{cases})

   Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

   (2=-2a)
   (a=-1)

   Найдем (b):

   (b=-9)

   Подставим в первое уравнение (a):

   (5=20+c)
   (c=-15).

   Получается квадратичная функция:   (y=-x^2-9x-15).

Пример (ЕГЭ):

Решение:

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи). 

Таким образом имеем систему:

(begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}8=a-b+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}4=a-b\-2=a+b end{cases})

Сложим 2 уравнения:

(2=2a)
(a=1)

Подставим во второе уравнение:

(-2=1+b)
(b=-3)

Получается:

(g(x)=x^2-3x+4)

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

(-3x+13=x^2-3x+4)
(x^2-9=0)
(x=±3)

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)

Ответ:   (22).

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа – вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

1. График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).

   

2. – Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
   – Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.

   

3. – График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
   – График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц. 

   

4. График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
   График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

   

У вас наверно остался вопрос – как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).

То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

(y=x^2-10x+25-4)
(y=x^2-10x+21)

Готово.

Пример (ЕГЭ):

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

1. Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).

   

2. Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).

3. Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).

4. Получается (y=-2(x^2-4x+4)+4=)(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4).

5. (f(6)=-2cdot 6^2+8cdot 6-4=-72+48-4=-28)

Смотрите также:
Как найти k и b по графику линейной функции?

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Содержание страницы:

Декартова система координат

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y. При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y.

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a < 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a = 0 , функция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y. Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Гипербола

Графиком функции y = k x является гипербола.

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

Если k     <     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Квадратный корень

Функция y     =     x имеет следующий график:

Возрастающие/убывающие функции

Функция y   =   f ( x ) возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y   =   f ( x ) убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Скачать домашнее задание к уроку 5.

В предыдущем уроке мы подробно разобрали,
как построить параболу.
В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.

---

Как найти нули квадратичной функции

Рассмотрим задачу.

Найти нули квадратичной
функции «y = x² − 3».

Подставим в исходную функцию вместо «y» ноль и решим полученное
квадратное уравнение.

Ответ: нули функции «y = x² − 3» :
    

x₁ = √3;
    

x₂ = −√3 .

Как найти при каких значениях
«x» квадратичная функция принимает заданное
числовое значение

Рассмотрим задачу.

При каких значениях «x» функция
«y = x² − x − 3» принимает значение
«−3».

Подставим в исходную функцию
«y = x² − x − 3» вместо «y = −3» и
найдем «x».

Ответ: при «x = 0» и
«x = 1» функция «y = x² − x − 3»
принимает значение «y = −3».

Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения параболы «y = x²»
и прямой «y = 3 − 2x».

Приравняем правые части функций и решим
полученное уравнение относительно «x».

Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в
«y = 3 − 2x») полученные
числовые значения «x», чтобы найти координаты
«y» точек пересечения.

Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.

Ответ: точки пересечения параболы
«y = x²»
и прямой «y = 3 − 2x»:
(·) A (−3; 9) и
(·) B (1; 1).

Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы

Рассмотрим задачу:

Не строя графика функции «y = x²», определить, какие точки принадлежат ему:
(·) А(2; 6),    
(·) B(−1; 1).

Подставим в функцию
«y = x²»

координаты точки (·) А(2; 6).

Подставим в функцию
«y = x²»

координаты точки (·) B(−1; 1).

---

Как найти точки пересечения параболы с осями координат

Рассмотрим задачу

Найти координаты точек пересечения параболы
«y = x² −3x + 2» с осями координат.

Сначала определим точки пересечения функции с осью «Ox».
На графике функции эти точки выглядят так:

Как видно на рисунке выше, координата «y» точек пересечения с осью «Ox»
равна нулю, поэтому подставим «y = 0» в
исходную функцию «y = x² −3x + 2»
и найдем их координаты по оси «Ox».

Запишем координаты точек пересечения графика с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).

Теперь найдем координаты точки пересечения с осью «Oy».

Как видно на рисунке выше, координата «x»
точки пересечения с осью «Oy» равна нулю.

Подставим «x = 0»
в исходную функцию
«y = x² −3x + 2»
и найдем координату точки по оси
«Oy».

Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)

Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.

Ответ: точки пересечения с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).
С осью «Oy»: (·)C (0; 2).

---

Как определить при каких значениях x функция принимает
положительные или
отрицательные значения

Напоминаем, что когда в задании говорится «функция принимает
значения» — речь идет о
значениях«y».
Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях
«x», координата
«y» положительна или отрицательна.

Рассмотрим задачу.

С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить:
При каких значениях «x» функция принимает 1) положительные значения; 2) отрицательные значения.

Проведем через точки, где график функции пересекает ось «Ox» прямые.

Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.

Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает
«x» в каждой из выделенных областей.

Ответ: при «x < −1» и
«x > 2» функция принимает отрицательные значения;
при «−1 < x < 2» функция принимает
положительные значения.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Исследование графика функции

На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

• область определения функции;
• область значений функции;
• нули функции;
• промежутки возрастания и убывания;
• точки максимума и минимума;
• наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось X.
Ось ординат — вертикальная ось, или ось Y.

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается x.
Другими словами, мы сами выбираем x, подставляем в формулу функции и получаем y.

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента x, при которых функция существует.
Обозначается: D(f) или D(y).

На нашем рисунке область определения функции  — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок  — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества  можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению  соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке  — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке  — точка минимума.

Точка  — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и  на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это  и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны  и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно  и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.